2024秋高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列綜合訓(xùn)練新人教B版選擇性必修第三冊

PAGEPAGE1第五章綜合訓(xùn)練一、單項選擇題1.一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和,則公比q的值為()A.32 B.C.5-122.(2024黑龍江鶴崗一中高二期中)在等比數(shù)列{an}中,若a5=9,則log3a4+log3a6=()A.2 B.3 C.4 D.93.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊4.等差數(shù)列{an}中,a3=16,a7=8,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則使得數(shù)列Snn的前n項和最大的n的值為()A.20 B.21C.20或21 D.21或225.已知數(shù)列{an}滿意a1=1,an+1=an+2n,則a10=()A.1024 B.2048 C.1023 D.20476.設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和,S3=a22,且S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a10=(A.15 B.19 C.21 D.307.在等差數(shù)列{an}中,a1=-9,a5=-1.記Tn=a1a2…an(n=1,2,…),則數(shù)列{Tn}()A.有最大項,有最小項B.有最大項,無最小項C.無最大項,有最小項D.無最大項,無最小項8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2022=()A.122022-72 B.32022-6C.-22022-1 D.22022-1二、多項選擇題9.已知數(shù)列{an}滿意an=n·kn(n∈N+,0<k<1),下列說法正確的有()A.當(dāng)k=12時,數(shù)列{anB.當(dāng)k=45時,數(shù)列{an}肯定C.當(dāng)0<k<12時,數(shù)列{anD.當(dāng)k1-k為正整數(shù)時,數(shù)列{10.設(shè)d,Sn分別為等差數(shù)列{an}的公差與前n項和,若S10=S20,則下列論斷中正確的有()A.當(dāng)n=15時,Sn取最大值B.當(dāng)n=30時,Sn=0C.當(dāng)d>0時,a10+a22>0D.當(dāng)d<0時,|a10|>|a22|11.(2024福建廈門一中高二期中)在數(shù)列{an}中,a1=1,數(shù)列1an+1是公比為2的等比數(shù)列,設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前nA.an=12B.an=1C.數(shù)列{an}為遞減數(shù)列D.S6>212.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若存在實數(shù)H,使得對隨意的n∈N+都有|Sn|<H,則稱數(shù)列{an}為“和有界數(shù)列”.下列說法正確的是()A.若{an}是等差數(shù)列,且公差d=0,則{an}是“和有界數(shù)列”B.若{an}是等差數(shù)列,且{an}是“和有界數(shù)列”,則公差d=0C.若{an}是等比數(shù)列,且公比|q|<1,則{an}是“和有界數(shù)列”D.若{an}是等比數(shù)列,且{an}是“和有界數(shù)列”,則{an}的公比|q|<1三、填空題13.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1=,d=.

14.數(shù)列{an}滿意a1=3,且對于隨意的n∈N+,都有an+1-an=n+2,則a39=.

15.數(shù)列{an}滿意an+2+(-1)nan=3n-1,前16項和為540,則a1=.

16.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N+),則d+q的值是.

四、解答題17.(2024海南模擬預(yù)料)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿意a1=1,an2+an+22=2an(1)求數(shù)列{an(2)求滿意不等式an+5+1<2an的正整數(shù)n的最小值.18.設(shè)數(shù)列{an}滿意a1=3,an+1=3an-4n.(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明;(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.19.已知函數(shù)f(x)=xx+1,數(shù)列{an}滿意a1=1,并且an+1=f(an(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=2n+1an,求數(shù)列{bn}的前n項和S20.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1,在等差數(shù)列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{anbn}的通項公式;(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.21.某地出現(xiàn)了蟲害,農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列{In},{In}表示第n周的蟲害的嚴峻程度,蟲害指數(shù)越大,嚴峻程度越高,為了治理蟲害,須要環(huán)境整治、殺滅害蟲.由于人力資源有限,每周只能實行以下兩個策略之一:策略A:環(huán)境整治,“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿意In+1=1.02In-0.20;策略B:殺滅害蟲,“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿意In+1=1.08In-0.46.當(dāng)某周“蟲害指數(shù)”小于1時,危機解除.(1)設(shè)第一周的蟲害指數(shù)I1∈[1,8],用哪一個策略將使其次周的蟲害嚴峻程度更小?(2)設(shè)第一周的蟲害指數(shù)I1=3,假如每周都采納最優(yōu)的策略,蟲害的危機最快在第幾周解除?22.已知數(shù)列{an},{bn},{cn}滿意a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=bnbn+2·cn,n(1)若{bn}為等比數(shù)列,公比q>0,且b1+b2=6b3,求q的值及數(shù)列{an}的通項公式;(2)若{bn}為等差數(shù)列,公差d>0,證明:c1+c2+…+cn<1+1d,n∈N+

參考答案第五章綜合訓(xùn)練1.C由題意知an=an+1+an+2=anq+anq2,q>0,即q2+q-1=0,所以q=5-12,2.C等比數(shù)列{an}中,因為a5=9,所以a4a6=a52所以log3a4+log3a6=log3(a5)2=log381=4.故選C.3.C由題意可知,從上到下,從內(nèi)到外,每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項,9為公差的等差數(shù)列,設(shè)為{an}.設(shè)上層有n環(huán),則上層扇面形石板總數(shù)為Sn,中層扇面形石板總數(shù)為S2n-Sn,下層扇面形石板總數(shù)為S3n-S2n,三層扇面形石板總數(shù)為S3n.因為{an}為等差數(shù)列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等差數(shù)列,公差為9n2.因為下層比中層多729塊,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+27×262×9=3402.故選C4.C設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a3=16,a7=8,可得d=a7-a37-3=8-16所以an=20+(n-1)×(-2)=22-2n,所以Sn=n(20+22-2所以Snn=21可得當(dāng)n<21時,Snn當(dāng)n=21時,Snn當(dāng)n>21時,Snn<所以當(dāng)n=20或n=21時,數(shù)列Snn的前n項和取得最大值.故選C.5.C因為an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,因此a10=a10-a9+a9-a8+…+a2-a1+a1=29+28+…+2+1=1-2101-6.B設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.由S3=a22,得3a2=a22,故a2=0或a由S1,S2,S4成等比數(shù)列可得S22=S1·S又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化簡得3d2=2a2d,又d≠0,∴a2=3,d=2,a1=1,∴an=1+2(n-1)=2n-1,∴a10=19.7.B由題意可知,等差數(shù)列的公差d=a5-則其通項公式為an=a1+(n-1)d=-9+(n-1)×2=2n-11,留意到a1<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<…,且由T5<0可知Ti<0(i≥6,i∈N),由TiTi-1=ai>1(i≥7,i∈N)可知數(shù)列{Tn}不存在最小項,由于a1=-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-故數(shù)列{Tn}中的正項只有有限項:T2=63,T4=63×15=945.故數(shù)列{Tn}中存在最大項,且最大項為T4.故選B.8.C當(dāng)n=1時,3S1=3a1=2a1-3,解得a1=-3;當(dāng)n≥2時,由3Sn=2an-3n可得3Sn-1=2an-1-3(n-1),上述兩式作差得3an=2an-2an-1-3,所以an=-2an-1-3,所以an+1=-2(an-1+1),所以an+1所以數(shù)列{an+1}是以a1+1=-2為首項,以-2為公比的等比數(shù)列,所以a2024+1=-2×(-2)2024=-22024,因此a2024=-22024-1.故選C.9.BCD當(dāng)k=12時,a1=a2=12,A錯誤;當(dāng)k=45時,an+1an=45·n+1n,若n<4,an+1an>1,若n>4,an+1an<1,所以可推斷數(shù)列{an}肯定有最大項,B正確;當(dāng)0<k<12時,an+1an=kn+1n<n+12n≤1,所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,C正確;設(shè)k1-k=m∈N+,則k=mm+1,所以an+1an=kn+1n=mn+mmn+n,當(dāng)n>m,即n≥m+110.BC因為S10=S20,所以10a1+10×92d=20a1+20×192d,解得a1=-對選項A,因為無法確定a1和d的正負,所以無法確定Sn是否有最大值,故A錯誤;對選項B,S30=30a1+30×292d=30×-292d+15×29d=0,故B正確.對選項C,a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2-292d+15d=d>0,故C正確.對選項D,a10=a1+9d=-292d+182d=-11a22=a1+21d=-292d+422d=13因為d<0,所以|a10|=-112d,|a22|=-132|a10|<|a22|,故D錯誤.故選BC.11.AC因為a1=1,數(shù)列1an+1是公比為2的等比數(shù)列,所以1an+1=2·2n-1=2n,所以an=1依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)性質(zhì),可知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,C正確;因為12n-1≤12n-2n-1=12n-1,當(dāng)且僅當(dāng)n=1故選AC.12.BC若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則Sn=na1+n(n-1)d2=d2對于A選項,當(dāng)d=0時,Sn=na1,若a1≠0,依據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知,此時不存在符合題意的H.所以A選項錯誤;對于B選項,數(shù)列{an}是“和有界數(shù)列”,而Sn=d2n2+a1-d2n,若d≠0,依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,此時不存在符合題意的H,故d=0.所以B選項正確;若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則Sn=a1(1-qn)1對于C選項,若|q|<1,則|Sn|=a11-q?a11-q·qn<a11-q+a11-qqn<2a11-q,對于D選項,若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且是“和有界數(shù)列”,q的取值可能為-1,此時|Sn|≤|a1|,所以存在實數(shù)H,使得對隨意的n∈N+,都有|Sn|<H.所以D選項錯誤.故選BC.13.23-1由題意,可得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),故有3a1+2d=0,又因為2a1+a2=1,即3a1+d=所以d=-1,a1=2314.820因為an+1-an=n+2,所以a2-a1=3,a3-a2=4,a4-a3=5,……an-an-1=n+1(n≥2),上面n-1個式子左右兩邊分別相加,得an-a1=(n即an=(n所以a39=40×412=82015.7當(dāng)n為偶數(shù)時,有an+2+an=3n-1,則(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92,因為前16項和為540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.當(dāng)n為奇數(shù)時,有an+2-an=3n-1,由累加法得an+2-a1=3(1+3+5+…+n)-1+n2=34n2+n+14,所以an+2=34所以a1+34×12+1+14+a1+34×32+3+14+a1+34×52+5+14+a1+34×72+7+14+a1+34×92+9+14+a1+34×112+11+14+a1+34×132+13+14+a1=448,解得a1=7.16.4由等差數(shù)列的前n項和公式和等比數(shù)列的前n項和公式得Sn=na1+n(n-1)2d+b1(1-qn)1-q比照已知條件Sn=n2-n+2n-1,得d=2,q=2,所以d+q=4.17.解(1)由已知,an所以數(shù)列{an2}是等差數(shù)列,由a4-a2=2a4+a2,得a42?a22=2,所以2d=(2)由an>0,得an=n,所以原不等式即n+5+1<2n兩邊平方可得n+6+2n+5<4n,即2n+5<3n-6,所以4(n+5)<(3n-6)2,整理得(n-4)(9n-4)>0,解得n>4或n<因為n∈N+,故n的最小值為5.18.解(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],……a2-5=3(a1-3).因為a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.①從而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.②①-②得-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.19.解(1)由題意,得an+1=an∴1an+1=a即1an∴數(shù)列1an是一個等差數(shù)列,公差為1,首項為1a1從而1an=n,∴an=(2)由(1),得bn=2n+1an=2n(n+1∴Sn=b1+b2+…+bn=21-12+12?13+…+1n?1n+1=20.解(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差數(shù)列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,則b2=5.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列,∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.∵bn>0,∴d=-10應(yīng)舍去,∴d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1.故anbn=(2n+1)·3n-1.(2)由(1),知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)