材料力學(xué)(第三版) 課件 第6章 彎曲變形

第6章彎曲變形6.1引言6.2確定梁位移的積分法6.3確定梁位移的疊加法6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計6.5簡單靜不定梁習(xí)題

6.1引言

1.工程中的彎曲變形問題工程中的很多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在工作時，對于彎曲變形都有一定的要求。一類是要求構(gòu)件的位移不得超過一定的數(shù)值。另一類是要求構(gòu)件能產(chǎn)生足量的變形?？梢姡瑥澢冃畏治鲈诠こ虡?gòu)件設(shè)計中占有一定的地位。

2.撓度、轉(zhuǎn)角及其相互關(guān)系

在平面彎曲中，梁變形后的軸線是位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條連續(xù)光滑的平面曲線，稱為梁的撓曲線，如圖6-1所示。圖6-1

選取x-w平面坐標(biāo)系。x軸沿梁變形前的軸線，向右為正，表示梁橫截面的位置；w軸沿垂直于梁軸線的方向，向上為正，表示梁橫截面形心的橫向位移。橫截面的形心沿w軸方向的線位移稱為撓度，用w表示。不同橫截面的撓度一般不同，撓度是坐標(biāo)位置的函數(shù)，可表示為

上式稱為撓度方程。

彎曲變形時，軸線位于中性層上，梁軸的長度保持不變，因此橫截面的形心沿梁軸方向也存在位移，但在小變形條件下，橫截面形心的軸向位移是二階微量，遠小于其橫向位移，可忽略不計。所以撓度方程也稱為梁的撓曲線方程(或撓曲軸方程)。

橫截面的角位移稱為轉(zhuǎn)角，用θ表示。橫截面的轉(zhuǎn)角θ等于撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角，如圖6-1所示。撓度的正負規(guī)定為向上為正、向下為負；轉(zhuǎn)角的正負規(guī)定為逆時針為正、順時針為負。

工程中，梁的轉(zhuǎn)角一般都很小，例如不超過1°(0.075rad)，由圖示幾何關(guān)系可得

即在小變形情形下，梁的撓度對坐標(biāo)位置的一階導(dǎo)數(shù)等于轉(zhuǎn)角。

6.2確定梁位移的積分法

6.2.1撓曲線的近似微分方程由上一章知，用曲率表示的彎曲變形公式(51)為

這一公式是在純彎曲情況下得到的，若忽略剪力對梁變形的影響，則此式也可用于一般橫力彎曲，由于梁軸上各點的曲率和彎矩均是橫截面位置x的函數(shù)，因而上式可寫為

由高等數(shù)學(xué)知識可知，平面曲線上任一點的曲率為

將式(b)代入式(a)可得

式(c)稱為撓曲線微分方程，是一個二階非線性常微分方程。

在小變形情形下，轉(zhuǎn)角θ=dw/dx?1，為一階微量，(dw/dx)2為高階微量，略去不計。式(c)可簡化為

圖6-2

例6-1如圖6-3所示懸臂梁，承受集中力F與矩為Me=Fa/2集中力偶作用，試?yán)L制該梁的撓曲軸的大致形狀圖。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

解(1)繪制撓曲軸的基本依據(jù)。確定撓曲軸形狀的基本依據(jù)之一是：曲率表示的彎曲變形公式與撓曲線近似微分方程，即

可根據(jù)彎矩的正、負、零值點和零值區(qū)，確定撓曲軸的凹、凸、拐點或直線區(qū)。

繪制撓曲軸的基本依據(jù)之二是：在梁的約束處，應(yīng)滿足位移邊界條件；在分段點處，應(yīng)滿足位移連續(xù)光滑條件。

(2)繪制彎矩圖。繪制梁的彎矩圖如圖6-3(a)所示。

(3)繪制撓曲軸的大致形狀圖。截面A處為固定端，該截面的轉(zhuǎn)角與撓度均為零，AG段的彎矩為負，AG段撓曲線應(yīng)為凸曲線；GC段的彎矩為正，GC段撓曲線應(yīng)為凸曲線；CD段的彎矩為零，CD段撓曲線應(yīng)為直線。在截面G處存在拐點，在截面B與C處，撓曲軸應(yīng)滿足連續(xù)光滑條件。

繪制撓曲線如圖6-3(b)所示。A點為極值點。至于截面D處的撓度值為正或負，則需由計算具體確定。

圖6-3

6.2.2積分法求梁的變形

對式(6-3)積分一次，得轉(zhuǎn)角方程為

再積分一次，得撓曲線方程為

式中C、D為積分常數(shù)。積分常數(shù)可利用梁的邊界條件和撓曲線的連續(xù)光滑條件來確定。

例如，在固定端處，橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度均為零，即

在鉸支座處，橫截面的撓度為零，即

中間鉸鏈左右兩側(cè)截面的撓度相等，滿足連續(xù)條件，即

梁橫截面的已知位移條件或約束條件，稱為梁位移的邊界條件。

當(dāng)彎矩方程需要分段建立時，各段梁的撓度、轉(zhuǎn)角方程也將不同，但在相鄰梁段的交接處，左右兩鄰面應(yīng)具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角，即應(yīng)滿足連續(xù)光滑條件，稱為梁位移的連續(xù)

光滑條件，可表示為

一般來說，積分常數(shù)可由位移邊界條件和連續(xù)光滑條件共同確定。當(dāng)積分常數(shù)確定后，將其代入式(6-4)和式(6-5)，即得梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。這種通過兩次積分確定梁位移的方法稱為積分法。

例6-2有一支承管道的懸臂梁AB(見圖6-4)。管道的重量為W，梁長為l，抗彎剛度為EI，求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。圖6-4

例6-3簡支梁AB受力如圖6-5所示(圖中a>b)，梁的抗彎剛度EI為常量，求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并確定最大撓度值。圖6-4

解(1)求約束力。建立坐標(biāo)系如圖所示，求得約束力為

方向均豎直向上。

順便指出，如果用中點撓度代替最大撓度，引起的誤差將不超過3%。所以一般情況下，當(dāng)簡支梁上承受若干個集中力作用時，只要其撓曲線朝一個方向彎曲，就可以用中點

撓度來代替最大撓度。

6.3確定梁位移的疊加法

如果因變量為各自變量的線性齊次式，即因變量表達式中僅包含自變量的一次方項，則各自變量獨立作用，互不影響，幾個自變量同時作用所產(chǎn)生的總效應(yīng)，等于各個自變量單獨作用時產(chǎn)生效應(yīng)的總和，此原理稱為疊加原理。表6-1給出了懸臂梁、簡支梁及外伸梁在簡單載荷作用下的撓度與轉(zhuǎn)角，以便計算時查閱。

例6-4某橋式起重機力學(xué)模型如圖6-6(a)所示，橫梁自重可視為均布載荷，集度為q，作用于跨度中點的載荷F=ql，梁的抗彎剛度為EI，試求B點處截面的轉(zhuǎn)角θB及C點處的撓度wC。圖6-6

解用疊加法求解此題。

將載荷分解為中點作用集中力、全梁作用均布載荷的簡支梁兩種情況，查表6-1可得由集中力F引起的C處的撓度wCF和B處的轉(zhuǎn)角θBF分別為

由均布載荷q引起的C處的撓度wCq和B處的轉(zhuǎn)角θBq分別為

所以B截面處的轉(zhuǎn)角和C截面處的撓度分別為

例6-5圖6-7所示的簡支梁受半跨度均布載荷作用，梁的抗彎剛度為EI。試求梁中點C處的撓度wC。圖6-7

解本題可用兩種方法求解。

解法一：均布載荷可視為作用在梁軸上的無數(shù)微小集中載荷。由表6-1(7)可知，在距梁左端為x(l/2<x<l)處的微小載荷qdx作用下(見圖6-7(b))，簡支梁中點的撓度為

所以半跨度均布載荷在簡支梁中點處所引起的撓度為

解法二：將圖6-7(a)所示的梁上載荷分解為作用在整個梁上向下的均布載荷q(見圖6-7(c))和左半跨度上的均布載荷q(見圖6-7(d))。由表6-1(8)可查出，圖6-1(c)所示載荷作用下，梁中點的撓度為

由對稱性可知，在圖6-7(d)所示的半跨度均布載荷作用下，簡支梁中點的撓度與所要求的wC大小相等、方向相反，即

由疊加法可知，梁中點C的撓度為

所以有

例6-6-圖6-8(a)所示的組合梁由梁AB與梁BC用鉸鏈連接而成。在梁AB上作用有均布載荷q，梁BC的中點作用有集中力F=qa。試求截面B的撓度與截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)兩段梁的抗彎剛度均為EI。圖6-8

解梁AB與梁BC的受力分別如圖6-8(b)所示。由靜平衡條件可求得支座A及中間鉸鏈B處的約束力分別為

分析懸臂梁BC，查表6-1(1)、(2)可得

變形后撓曲線的大致形狀如圖6-8(c)中細實線所示。截面A的轉(zhuǎn)角等于因中間鉸鏈B處撓度所引起的截面A的轉(zhuǎn)角與均布載荷作用于簡支梁AB所引起截面A的轉(zhuǎn)角的代數(shù)和，即

6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計

1.梁的剛度條件若許用撓度用[δ]表示，許用轉(zhuǎn)角用[θ]表示，梁的剛度條件可表示為式中wmax與θmax均取絕對值。剛度條件要求梁在工作時其最大撓度與最大轉(zhuǎn)角分別不超過各自的許用值。而在有些情況下，還會限制某些特定截面的撓度、轉(zhuǎn)角不超過其許用值。

許用撓度與許用轉(zhuǎn)角的數(shù)值由梁的工作條件決定。例如對跨度為l的橋式起重機梁，其許用撓度為

對于跨度為l一般用途的軸，其許用撓度為

跨度為l的架空管道的許用撓度為

對于高度為h的一般塔器的許用撓度為

在安裝齒輪或滑動軸承處，軸的許用轉(zhuǎn)角則為

至于其他梁或軸的許用位移值，可從有關(guān)設(shè)計規(guī)范或手冊中查得。

例6-7一簡支梁由單根工字鋼制成，跨度中點承受集中載荷F，已知F=35kN，跨度l=3m，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，許用撓度[δ]=l/500，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號。

(2)剛度校核。

查型鋼表得，18號工字鋼對中性軸的慣性矩為

Iz=1.66×107mm4，最大撓度在梁跨度的中點，它的數(shù)值為

梁的許可撓度[δ]=l/500=6mm，wmax<[δ]所以滿足剛度條件。

2.提高彎曲剛度的措施

梁的撓度和轉(zhuǎn)角不僅與受力有關(guān)，而且與梁的抗彎剛度、跨度以及約束條件有關(guān)。據(jù)此，在梁的設(shè)計中可采取以下主要措施提高梁的剛度以減小其變形：增大梁截面的慣性矩；盡量減小梁的跨度或長度；增加支承；改善梁的受力情況等。

(1)提高梁的抗彎剛度EI。

(2)改善梁的載荷。

(3)減小梁的跨度或合理增加梁的支承。

6.5簡單靜不定梁

在工程中，為了提高梁的強度和剛度，或由于結(jié)構(gòu)上的需要，往往給靜定梁增加約束，于是，梁的約束力數(shù)目超過獨立靜平衡方程的數(shù)目，即成為靜不定梁。在靜定梁上增加的約束，對于維持構(gòu)件平衡來說是多余的，因此，習(xí)慣上常把這種約束稱為多余約束。與多余約束所對應(yīng)的支座約束力或約束力偶，統(tǒng)稱為多余約束反力。通常把梁具有的多余約束反力數(shù)目，稱為梁的靜不定次數(shù)，靜不定次數(shù)等于約束反力總個數(shù)減去獨立靜平衡方程數(shù)。

圖6-9(a)、(b)所示的兩個梁分別為一次靜不定梁與二次靜不定梁。圖6-9

為了求解靜不定梁，除需要列出靜力平衡方程式外，還需要根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件以及力與位移間的物理關(guān)系，建立補充方程，補充方程個數(shù)應(yīng)與靜不定次數(shù)相等，這樣才能解出全部約束力。下面以圖6-10(a)為例，說明靜不定梁的求解方法。

該梁具有一個多余約束，為一次靜不定梁。如以B處支座作為多余約束，則相應(yīng)的多余約束力為FB。

為了求解，假想地將支座B解除，而以約束力FB代替其作用，于是得到一個承受集中力F和未知力FB的靜定懸臂梁AB，如圖6-10(b)所示。

圖6-10

以上分析表明，求解靜不定梁的關(guān)鍵在于確定多余約束力，其方法和步驟可概述如下：

(1)根據(jù)約束力與獨立平衡方程的數(shù)目，判斷梁的靜不定次數(shù)。

(2)解除多余約束，并以相應(yīng)的多余約束力代替其作用，得到原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。

(3)計算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程，由此即可求出多余約束力。

例6-8一懸臂梁AB，承受集中載荷F作用，因其剛度不夠，用一短梁加固，兩梁在C處的連接方式為鉸鏈連接，如圖6-11(a)所示。試計算梁AB最大撓度的減少量。假設(shè)二梁橫截面的抗彎剛度均為EI。圖6-11

解(1)判斷靜不定次數(shù)。梁AB與梁AC均為靜定梁，但由于在C處用鉸鏈相連增加一約束，因而該結(jié)構(gòu)屬于一次超靜定結(jié)構(gòu)。

(2)確定相當(dāng)系統(tǒng)。選定鉸鏈C為多余約束，解除多余約束，并以相應(yīng)多余約束力FR代替其作用，得原靜不定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖6-11(b)、(c)所示。

(4)剛度比較。未加固時，梁AB端點B的最大撓度為

加固后該截面的撓度為

后者僅為前者的60.9%，可見經(jīng)加固后AB梁的撓度顯著降低。

例6-9求解圖6-12(a)所示BC桿的內(nèi)力。已知載荷集度q、尺寸l、AB梁的抗彎剛度EI和BC桿的抗拉(壓)剛度EA。圖6-12

解(1)判斷靜不定次數(shù)。由圖6-12(a)可知，梁AB是一次靜不定。

(2)選擇相當(dāng)系統(tǒng)。選拉桿BC的軸力FN作為多余約束力，這樣，得出AB梁的相當(dāng)系統(tǒng)為圖6-12(b)所示的懸臂梁。

習(xí)題圖6-2

6-1用積分法計算題6-1圖所示截面B的轉(zhuǎn)角與梁的最大撓度。

6-2用