《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)六版)教學(xué)課件第1章.函數(shù)與極限

《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)六版)第1章函數(shù)與極限本章導(dǎo)入了高等數(shù)學(xué)中的基本概念和基本性質(zhì),為后續(xù)章節(jié)打下了基礎(chǔ)。包括函數(shù)的概念與性質(zhì)、基本初等函數(shù)以及極限的概念和計(jì)算方法。ppbypptppt函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本和最重要的概念之一。本節(jié)將介紹函數(shù)的定義、表示方式以及函數(shù)的基本性質(zhì)。通過(guò)理解函數(shù)的基本概念,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。函數(shù)的定義1函數(shù)的定義2函數(shù)域3值域4映射關(guān)系函數(shù)是數(shù)學(xué)中基本的概念之一。一個(gè)函數(shù)是由一個(gè)非空集合（稱為函數(shù)域）到另一個(gè)非空集合（稱為值域）的映射關(guān)系。這種映射關(guān)系滿足任何函數(shù)域中的元素都對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值域中的元素。函數(shù)的表示方式1解析表達(dá)式用數(shù)學(xué)公式來(lái)表示函數(shù)2圖形表示利用坐標(biāo)系上的曲線表示函數(shù)3表格表示用數(shù)值表格的形式給出函數(shù)值函數(shù)可以有多種表示方式,包括用解析表達(dá)式、圖形表示和表格表示等。不同的表示方式各有優(yōu)缺點(diǎn),適用于不同的場(chǎng)合。對(duì)函數(shù)的理解需要靈活掌握這些表達(dá)方式。函數(shù)的性質(zhì)1映射性質(zhì)函數(shù)體現(xiàn)了從一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射關(guān)系,滿足任何輸入都對(duì)應(yīng)唯一的輸出。這是函數(shù)最基本的特性。2單調(diào)性函數(shù)可能是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的,即隨著自變量的增大,函數(shù)值要么總是增大,要么總是減小。這反映了函數(shù)變化的規(guī)律。3奇偶性函數(shù)可能具有奇函數(shù)或偶函數(shù)的性質(zhì),即函數(shù)值在某些區(qū)間上服從特定的對(duì)稱關(guān)系。這與函數(shù)的形狀密切相關(guān)。1.2基本初等函數(shù)本節(jié)將介紹高等數(shù)學(xué)中的一些基本初等函數(shù),包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等。了解這些函數(shù)的定義和性質(zhì)十分重要,因?yàn)樗鼈兪呛罄m(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。常數(shù)函數(shù)定義常數(shù)函數(shù)是一種最簡(jiǎn)單的函數(shù),其函數(shù)值在整個(gè)定義域上保持不變。性質(zhì)常數(shù)函數(shù)是最基礎(chǔ)的函數(shù)類(lèi)型,具有單調(diào)性和奇偶性等基本性質(zhì)。表示常數(shù)函數(shù)在坐標(biāo)平面上表示為一條水平直線,反映了函數(shù)值的不變性。冪函數(shù)定義冪函數(shù)是一種常見(jiàn)的初等函數(shù),其函數(shù)形式為f(x)=x^n。其中n可以是任意實(shí)數(shù)。冪函數(shù)廣泛用于各個(gè)學(xué)科中。性質(zhì)冪函數(shù)具有單調(diào)性,當(dāng)指數(shù)n大于0時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)n小于0時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)。它還具有奇偶性特征。應(yīng)用冪函數(shù)在物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用,如表示指數(shù)增長(zhǎng)曲線、冪律分布、規(guī)模經(jīng)濟(jì)等。理解冪函數(shù)性質(zhì)很重要。指數(shù)函數(shù)1定義指數(shù)函數(shù)是以e為底的冪函數(shù),形式為f(x)=e^x。其中e是自然常數(shù),約等于2.718。2性質(zhì)指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),且具有奇偶性。它可以反映指數(shù)增長(zhǎng)或衰減的規(guī)律。3應(yīng)用指數(shù)函數(shù)廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域,如人口增長(zhǎng)模型、利息計(jì)算、放射性衰變等。對(duì)數(shù)函數(shù)定義對(duì)數(shù)函數(shù)是以某一特定常數(shù)為底的冪函數(shù)倒數(shù),即f(x)=log_a(x)。其中a>0且a≠1。對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),具有奇偶性。性質(zhì)底數(shù)a越大,對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)越快當(dāng)x>0時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)值域?yàn)閷?shí)數(shù)集對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為倒數(shù)函數(shù)1/x三角函數(shù)定義三角函數(shù)是以角度為自變量的周期函數(shù),包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等。它們廣泛應(yīng)用于物理、工程等領(lǐng)域。性質(zhì)三角函數(shù)具有周期性、奇偶性等特點(diǎn),反映了角度變化與函數(shù)值之間的規(guī)律。理解這些性質(zhì)很重要。應(yīng)用三角函數(shù)可用于描述諸如振動(dòng)、電磁波、聲波等周期性物理現(xiàn)象,在幾何、力學(xué)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。反三角函數(shù)定義反三角函數(shù)是三角函數(shù)的逆函數(shù),它可以將給定的三角函數(shù)值映射回對(duì)應(yīng)的角度值。包括反正弦、反余弦和反正切等。性質(zhì)反三角函數(shù)具有單調(diào)性和奇偶性,并滿足一些特殊的換元公式。它們可以用來(lái)求解三角方程。應(yīng)用反三角函數(shù)在信號(hào)分析、電磁學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用,如可用于測(cè)量波形相位、計(jì)算子午線等。表示反三角函數(shù)在坐標(biāo)平面上呈現(xiàn)出S型曲線,反映了角度和三角函數(shù)值之間的非線性關(guān)系。極限的概念本節(jié)將介紹極限的基本概念,包括數(shù)列極限和函數(shù)極限。極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),理解它對(duì)于后續(xù)微積分的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。數(shù)列極限的概念極限的定義數(shù)列極限描述了一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)如何逐漸趨近于一個(gè)特定的數(shù)值。這個(gè)特定數(shù)值就稱為該數(shù)列的極限。極限的性質(zhì)數(shù)列極限具有唯一性、保號(hào)性和保序性等重要性質(zhì),為后續(xù)微積分理論的建立奠定基礎(chǔ)。極限的表達(dá)數(shù)列極限通常用極限符號(hào)lim來(lái)表示,并遵循特定的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和邏輯表達(dá)方式進(jìn)行定義和證明。函數(shù)極限的概念定義函數(shù)極限是描述一個(gè)函數(shù)在特定點(diǎn)附近的值如何趨近于某個(gè)常數(shù)的概念。它表示函數(shù)在某處的趨近行為。表示函數(shù)極限通常用lim符號(hào)表示,并附帶自變量的取值條件。它反映了函數(shù)在某處的趨近特性。意義理解函數(shù)極限對(duì)于學(xué)習(xí)微積分等高等數(shù)學(xué)概念至關(guān)重要。它為后續(xù)的極限運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)和積分的定義奠定基礎(chǔ)。極限的性質(zhì)唯一性每個(gè)數(shù)列或函數(shù)都最多有一個(gè)極限值,極限值是唯一的。保號(hào)性若數(shù)列或函數(shù)在某點(diǎn)極限存在且為正(負(fù)),則該點(diǎn)附近的函數(shù)值也為正(負(fù))。保序性若數(shù)列或函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在,則該極限值與該點(diǎn)附近的函數(shù)值之間保持大小關(guān)系。極限的計(jì)算本節(jié)將介紹幾種常用的計(jì)算極限的方法,包括直接計(jì)算法、利用極限性質(zhì)、夾逼定理和洛必達(dá)法則等,并通過(guò)具體例子說(shuō)明其應(yīng)用。直接計(jì)算法1簡(jiǎn)單函數(shù)對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，可以直接代入極限定義進(jìn)行計(jì)算。2代入計(jì)算通過(guò)將自變量代入函數(shù)表達(dá)式中，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算，即可得到函數(shù)的極限值。3適用條件這種直接代入計(jì)算法適用于函數(shù)表達(dá)式簡(jiǎn)單、極限存在且可得出明確結(jié)果的情況。利用性質(zhì)計(jì)算直接代入法不適用時(shí)當(dāng)直接代入法無(wú)法得出明確結(jié)果時(shí),可利用極限的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算。運(yùn)用極限性質(zhì)利用極限的唯一性、保號(hào)性、保序性等性質(zhì),通過(guò)合理拆分、等價(jià)代換等方法來(lái)計(jì)算極限。提高靈活性運(yùn)用極限性質(zhì)可以增強(qiáng)計(jì)算極限的靈活性,應(yīng)對(duì)更復(fù)雜的函數(shù)和表達(dá)式。夾逼定理夾逼原理如果一個(gè)數(shù)列或函數(shù)的上下界都收斂到同一個(gè)數(shù),那么該數(shù)列或函數(shù)本身也必定收斂到同一個(gè)數(shù)。夾逼定理如果函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)滿足f(x)≤g(x)≤h(x),且limf(x)=limh(x)=L,那么必有l(wèi)img(x)=L。應(yīng)用場(chǎng)景夾逼定理在計(jì)算一些復(fù)雜表達(dá)式的極限時(shí)非常有用,可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。洛必達(dá)法則微分法則洛必達(dá)法則是一種利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算極限的方法,適用于分母或分子無(wú)限接近0的情況。不定式形式當(dāng)函數(shù)的極限存在形式為0/0或∞/∞時(shí),可以通過(guò)洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算步驟先對(duì)分子和分母分別求導(dǎo),然后再計(jì)算極限,通常可以得到明確的結(jié)果。無(wú)窮小與無(wú)窮大本節(jié)將介紹無(wú)窮小和無(wú)窮大的基本概念及其性質(zhì),探討兩者之間的關(guān)系,并說(shuō)明其在數(shù)學(xué)分析中的重要地位。無(wú)窮小的概念和性質(zhì)無(wú)窮小的定義無(wú)窮小是一種趨近于0的量,它們無(wú)法被有限量精確描述,但又不等同于0。無(wú)窮小是數(shù)學(xué)分析中的基本概念之一。無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小具有可加性、可乘性和可比較性等特點(diǎn),可用于描述函數(shù)在特定點(diǎn)附近的變化規(guī)律。無(wú)窮小與極限無(wú)窮小是極限思想的具體體現(xiàn),兩者密切相關(guān),共同構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)理論。無(wú)窮大的概念和性質(zhì)無(wú)窮大的定義無(wú)窮大是一種遠(yuǎn)超有限量的數(shù)量,它們遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人類(lèi)能直接感知的范疇。無(wú)窮大不同于有限的實(shí)數(shù),而是一種抽象的數(shù)學(xué)概念,用于描述某些量的無(wú)限增大。無(wú)窮大的性質(zhì)無(wú)窮大具有可加性、可乘性和可比較性等特點(diǎn)。不同大小的無(wú)窮大之間存在序關(guān)系,且任何有限量都小于無(wú)窮大。無(wú)窮大還可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。無(wú)窮大與極限無(wú)窮大是極限思想的另一面,與無(wú)窮小密切相關(guān)。當(dāng)數(shù)列或函數(shù)的值趨近于無(wú)窮大時(shí),它們的極限也可能趨近于無(wú)窮大。無(wú)窮大是數(shù)學(xué)分析的基本概念之一。應(yīng)用與意義無(wú)窮大在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用,是描述和分析各種無(wú)限大量變化的關(guān)鍵工具。理解無(wú)窮大有助于深入認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)分析的核心概念。無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系相互依存無(wú)窮小和無(wú)窮大是相互依存的概念,描述事物變化的兩個(gè)不同側(cè)面。無(wú)窮小代表趨近于零的量,而無(wú)窮大則表示超出有限范圍的無(wú)限增長(zhǎng)。漸進(jìn)關(guān)系無(wú)窮小是通向無(wú)窮大的過(guò)渡,一個(gè)事物或量從有限變?yōu)闊o(wú)窮大,必然經(jīng)歷無(wú)窮小的過(guò)程。無(wú)窮小和無(wú)窮大是極限概念的兩個(gè)不同展現(xiàn)?；榈箶?shù)無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大,無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小。二者在數(shù)學(xué)分析中互為對(duì)偶概念,常常在極限運(yùn)算中同時(shí)出現(xiàn)。共同特性無(wú)窮小和無(wú)窮大都具有可加性、可乘性和可比較性等特點(diǎn),都是數(shù)學(xué)分析中的基本概念,在極限理論中扮演重要角色。連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的基本概念之一,它描述了函數(shù)在某一點(diǎn)或某個(gè)區(qū)間內(nèi)的平滑變化特性。理解連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)對(duì)于深入掌握微積分知識(shí)至關(guān)重要。連續(xù)函數(shù)的概念定義連續(xù)函數(shù)是一種在某個(gè)區(qū)間內(nèi)變化平滑連貫的函數(shù),沒(méi)有間斷點(diǎn)。它表示函數(shù)的值隨自變量的變化而連續(xù)變化,沒(méi)有突變。重要性連續(xù)函數(shù)是微積分的基礎(chǔ),描述了函數(shù)平滑變化的性質(zhì)。理解連續(xù)函數(shù)對(duì)于掌握極限、導(dǎo)數(shù)和積分等核心概念非常關(guān)鍵。幾何解釋連續(xù)函數(shù)在圖像上表現(xiàn)為平滑的曲線,沒(méi)有尖點(diǎn)或跳躍。函數(shù)圖像的連續(xù)性反映了函數(shù)值的平滑變化。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù),意味著函數(shù)值能連續(xù)地從一個(gè)數(shù)變到另一個(gè)數(shù),沒(méi)有突變。區(qū)間連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間連續(xù),說(shuō)明函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)變化平滑,沒(méi)有任何間斷。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合