材料力學(xué)(第三版) 課件 第6、7章 彎曲變形、應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

第6章彎曲變形6.1引言6.2確定梁位移的積分法6.3確定梁位移的疊加法6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計(jì)6.5簡(jiǎn)單靜不定梁習(xí)題

6.1引言

1.工程中的彎曲變形問題工程中的很多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在工作時(shí)，對(duì)于彎曲變形都有一定的要求。一類是要求構(gòu)件的位移不得超過一定的數(shù)值。另一類是要求構(gòu)件能產(chǎn)生足量的變形?？梢?，彎曲變形分析在工程構(gòu)件設(shè)計(jì)中占有一定的地位。

2.撓度、轉(zhuǎn)角及其相互關(guān)系

在平面彎曲中，梁變形后的軸線是位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條連續(xù)光滑的平面曲線，稱為梁的撓曲線，如圖6-1所示。圖6-1

選取x-w平面坐標(biāo)系。x軸沿梁變形前的軸線，向右為正，表示梁橫截面的位置；w軸沿垂直于梁軸線的方向，向上為正，表示梁橫截面形心的橫向位移。橫截面的形心沿w軸方向的線位移稱為撓度，用w表示。不同橫截面的撓度一般不同，撓度是坐標(biāo)位置的函數(shù)，可表示為

上式稱為撓度方程。

彎曲變形時(shí)，軸線位于中性層上，梁軸的長(zhǎng)度保持不變，因此橫截面的形心沿梁軸方向也存在位移，但在小變形條件下，橫截面形心的軸向位移是二階微量，遠(yuǎn)小于其橫向位移，可忽略不計(jì)。所以撓度方程也稱為梁的撓曲線方程(或撓曲軸方程)。

橫截面的角位移稱為轉(zhuǎn)角，用θ表示。橫截面的轉(zhuǎn)角θ等于撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角，如圖6-1所示。撓度的正負(fù)規(guī)定為向上為正、向下為負(fù)；轉(zhuǎn)角的正負(fù)規(guī)定為逆時(shí)針為正、順時(shí)針為負(fù)。

工程中，梁的轉(zhuǎn)角一般都很小，例如不超過1°(0.075rad)，由圖示幾何關(guān)系可得

即在小變形情形下，梁的撓度對(duì)坐標(biāo)位置的一階導(dǎo)數(shù)等于轉(zhuǎn)角。

6.2確定梁位移的積分法

6.2.1撓曲線的近似微分方程由上一章知，用曲率表示的彎曲變形公式(51)為

這一公式是在純彎曲情況下得到的，若忽略剪力對(duì)梁變形的影響，則此式也可用于一般橫力彎曲，由于梁軸上各點(diǎn)的曲率和彎矩均是橫截面位置x的函數(shù)，因而上式可寫為

由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，平面曲線上任一點(diǎn)的曲率為

將式(b)代入式(a)可得

式(c)稱為撓曲線微分方程，是一個(gè)二階非線性常微分方程。

在小變形情形下，轉(zhuǎn)角θ=dw/dx?1，為一階微量，(dw/dx)2為高階微量，略去不計(jì)。式(c)可簡(jiǎn)化為

圖6-2

例6-1如圖6-3所示懸臂梁，承受集中力F與矩為Me=Fa/2集中力偶作用，試?yán)L制該梁的撓曲軸的大致形狀圖。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

解(1)繪制撓曲軸的基本依據(jù)。確定撓曲軸形狀的基本依據(jù)之一是：曲率表示的彎曲變形公式與撓曲線近似微分方程，即

可根據(jù)彎矩的正、負(fù)、零值點(diǎn)和零值區(qū)，確定撓曲軸的凹、凸、拐點(diǎn)或直線區(qū)。

繪制撓曲軸的基本依據(jù)之二是：在梁的約束處，應(yīng)滿足位移邊界條件；在分段點(diǎn)處，應(yīng)滿足位移連續(xù)光滑條件。

(2)繪制彎矩圖。繪制梁的彎矩圖如圖6-3(a)所示。

(3)繪制撓曲軸的大致形狀圖。截面A處為固定端，該截面的轉(zhuǎn)角與撓度均為零，AG段的彎矩為負(fù)，AG段撓曲線應(yīng)為凸曲線；GC段的彎矩為正，GC段撓曲線應(yīng)為凸曲線；CD段的彎矩為零，CD段撓曲線應(yīng)為直線。在截面G處存在拐點(diǎn)，在截面B與C處，撓曲軸應(yīng)滿足連續(xù)光滑條件。

繪制撓曲線如圖6-3(b)所示。A點(diǎn)為極值點(diǎn)。至于截面D處的撓度值為正或負(fù)，則需由計(jì)算具體確定。

圖6-3

6.2.2積分法求梁的變形

對(duì)式(6-3)積分一次，得轉(zhuǎn)角方程為

再積分一次，得撓曲線方程為

式中C、D為積分常數(shù)。積分常數(shù)可利用梁的邊界條件和撓曲線的連續(xù)光滑條件來確定。

例如，在固定端處，橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度均為零，即

在鉸支座處，橫截面的撓度為零，即

中間鉸鏈左右兩側(cè)截面的撓度相等，滿足連續(xù)條件，即

梁橫截面的已知位移條件或約束條件，稱為梁位移的邊界條件。

當(dāng)彎矩方程需要分段建立時(shí)，各段梁的撓度、轉(zhuǎn)角方程也將不同，但在相鄰梁段的交接處，左右兩鄰面應(yīng)具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角，即應(yīng)滿足連續(xù)光滑條件，稱為梁位移的連續(xù)

光滑條件，可表示為

一般來說，積分常數(shù)可由位移邊界條件和連續(xù)光滑條件共同確定。當(dāng)積分常數(shù)確定后，將其代入式(6-4)和式(6-5)，即得梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。這種通過兩次積分確定梁位移的方法稱為積分法。

例6-2有一支承管道的懸臂梁AB(見圖6-4)。管道的重量為W，梁長(zhǎng)為l，抗彎剛度為EI，求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。圖6-4

例6-3簡(jiǎn)支梁AB受力如圖6-5所示(圖中a>b)，梁的抗彎剛度EI為常量，求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并確定最大撓度值。圖6-4

解(1)求約束力。建立坐標(biāo)系如圖所示，求得約束力為

方向均豎直向上。

順便指出，如果用中點(diǎn)撓度代替最大撓度，引起的誤差將不超過3%。所以一般情況下，當(dāng)簡(jiǎn)支梁上承受若干個(gè)集中力作用時(shí)，只要其撓曲線朝一個(gè)方向彎曲，就可以用中點(diǎn)

撓度來代替最大撓度。

6.3確定梁位移的疊加法

如果因變量為各自變量的線性齊次式，即因變量表達(dá)式中僅包含自變量的一次方項(xiàng)，則各自變量獨(dú)立作用，互不影響，幾個(gè)自變量同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效應(yīng)，等于各個(gè)自變量單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生效應(yīng)的總和，此原理稱為疊加原理。表6-1給出了懸臂梁、簡(jiǎn)支梁及外伸梁在簡(jiǎn)單載荷作用下的撓度與轉(zhuǎn)角，以便計(jì)算時(shí)查閱。

例6-4某橋式起重機(jī)力學(xué)模型如圖6-6(a)所示，橫梁自重可視為均布載荷，集度為q，作用于跨度中點(diǎn)的載荷F=ql，梁的抗彎剛度為EI，試求B點(diǎn)處截面的轉(zhuǎn)角θB及C點(diǎn)處的撓度wC。圖6-6

解用疊加法求解此題。

將載荷分解為中點(diǎn)作用集中力、全梁作用均布載荷的簡(jiǎn)支梁兩種情況，查表6-1可得由集中力F引起的C處的撓度wCF和B處的轉(zhuǎn)角θBF分別為

由均布載荷q引起的C處的撓度wCq和B處的轉(zhuǎn)角θBq分別為

所以B截面處的轉(zhuǎn)角和C截面處的撓度分別為

例6-5圖6-7所示的簡(jiǎn)支梁受半跨度均布載荷作用，梁的抗彎剛度為EI。試求梁中點(diǎn)C處的撓度wC。圖6-7

解本題可用兩種方法求解。

解法一：均布載荷可視為作用在梁軸上的無數(shù)微小集中載荷。由表6-1(7)可知，在距梁左端為x(l/2<x<l)處的微小載荷qdx作用下(見圖6-7(b))，簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度為

所以半跨度均布載荷在簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處所引起的撓度為

解法二：將圖6-7(a)所示的梁上載荷分解為作用在整個(gè)梁上向下的均布載荷q(見圖6-7(c))和左半跨度上的均布載荷q(見圖6-7(d))。由表6-1(8)可查出，圖6-1(c)所示載荷作用下，梁中點(diǎn)的撓度為

由對(duì)稱性可知，在圖6-7(d)所示的半跨度均布載荷作用下，簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度與所要求的wC大小相等、方向相反，即

由疊加法可知，梁中點(diǎn)C的撓度為

所以有

例6-6-圖6-8(a)所示的組合梁由梁AB與梁BC用鉸鏈連接而成。在梁AB上作用有均布載荷q，梁BC的中點(diǎn)作用有集中力F=qa。試求截面B的撓度與截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)兩段梁的抗彎剛度均為EI。圖6-8

解梁AB與梁BC的受力分別如圖6-8(b)所示。由靜平衡條件可求得支座A及中間鉸鏈B處的約束力分別為

分析懸臂梁BC，查表6-1(1)、(2)可得

變形后撓曲線的大致形狀如圖6-8(c)中細(xì)實(shí)線所示。截面A的轉(zhuǎn)角等于因中間鉸鏈B處撓度所引起的截面A的轉(zhuǎn)角與均布載荷作用于簡(jiǎn)支梁AB所引起截面A的轉(zhuǎn)角的代數(shù)和，即

6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計(jì)

1.梁的剛度條件若許用撓度用[δ]表示，許用轉(zhuǎn)角用[θ]表示，梁的剛度條件可表示為式中wmax與θmax均取絕對(duì)值。剛度條件要求梁在工作時(shí)其最大撓度與最大轉(zhuǎn)角分別不超過各自的許用值。而在有些情況下，還會(huì)限制某些特定截面的撓度、轉(zhuǎn)角不超過其許用值。

許用撓度與許用轉(zhuǎn)角的數(shù)值由梁的工作條件決定。例如對(duì)跨度為l的橋式起重機(jī)梁，其許用撓度為

對(duì)于跨度為l一般用途的軸，其許用撓度為

跨度為l的架空管道的許用撓度為

對(duì)于高度為h的一般塔器的許用撓度為

在安裝齒輪或滑動(dòng)軸承處，軸的許用轉(zhuǎn)角則為

至于其他梁或軸的許用位移值，可從有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊(cè)中查得。

例6-7一簡(jiǎn)支梁由單根工字鋼制成，跨度中點(diǎn)承受集中載荷F，已知F=35kN，跨度l=3m，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，許用撓度[δ]=l/500，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號(hào)。

(2)剛度校核。

查型鋼表得，18號(hào)工字鋼對(duì)中性軸的慣性矩為

Iz=1.66×107mm4，最大撓度在梁跨度的中點(diǎn)，它的數(shù)值為

梁的許可撓度[δ]=l/500=6mm，wmax<[δ]所以滿足剛度條件。

2.提高彎曲剛度的措施

梁的撓度和轉(zhuǎn)角不僅與受力有關(guān)，而且與梁的抗彎剛度、跨度以及約束條件有關(guān)。據(jù)此，在梁的設(shè)計(jì)中可采取以下主要措施提高梁的剛度以減小其變形：增大梁截面的慣性矩；盡量減小梁的跨度或長(zhǎng)度；增加支承；改善梁的受力情況等。

(1)提高梁的抗彎剛度EI。

(2)改善梁的載荷。

(3)減小梁的跨度或合理增加梁的支承。

6.5簡(jiǎn)單靜不定梁

在工程中，為了提高梁的強(qiáng)度和剛度，或由于結(jié)構(gòu)上的需要，往往給靜定梁增加約束，于是，梁的約束力數(shù)目超過獨(dú)立靜平衡方程的數(shù)目，即成為靜不定梁。在靜定梁上增加的約束，對(duì)于維持構(gòu)件平衡來說是多余的，因此，習(xí)慣上常把這種約束稱為多余約束。與多余約束所對(duì)應(yīng)的支座約束力或約束力偶，統(tǒng)稱為多余約束反力。通常把梁具有的多余約束反力數(shù)目，稱為梁的靜不定次數(shù)，靜不定次數(shù)等于約束反力總個(gè)數(shù)減去獨(dú)立靜平衡方程數(shù)。

圖6-9(a)、(b)所示的兩個(gè)梁分別為一次靜不定梁與二次靜不定梁。圖6-9

為了求解靜不定梁，除需要列出靜力平衡方程式外，還需要根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件以及力與位移間的物理關(guān)系，建立補(bǔ)充方程，補(bǔ)充方程個(gè)數(shù)應(yīng)與靜不定次數(shù)相等，這樣才能解出全部約束力。下面以圖6-10(a)為例，說明靜不定梁的求解方法。

該梁具有一個(gè)多余約束，為一次靜不定梁。如以B處支座作為多余約束，則相應(yīng)的多余約束力為FB。

為了求解，假想地將支座B解除，而以約束力FB代替其作用，于是得到一個(gè)承受集中力F和未知力FB的靜定懸臂梁AB，如圖6-10(b)所示。

圖6-10

以上分析表明，求解靜不定梁的關(guān)鍵在于確定多余約束力，其方法和步驟可概述如下：

(1)根據(jù)約束力與獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，判斷梁的靜不定次數(shù)。

(2)解除多余約束，并以相應(yīng)的多余約束力代替其作用，得到原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。

(3)計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程，由此即可求出多余約束力。

例6-8一懸臂梁AB，承受集中載荷F作用，因其剛度不夠，用一短梁加固，兩梁在C處的連接方式為鉸鏈連接，如圖6-11(a)所示。試計(jì)算梁AB最大撓度的減少量。假設(shè)二梁橫截面的抗彎剛度均為EI。圖6-11

解(1)判斷靜不定次數(shù)。梁AB與梁AC均為靜定梁，但由于在C處用鉸鏈相連增加一約束，因而該結(jié)構(gòu)屬于一次超靜定結(jié)構(gòu)。

(2)確定相當(dāng)系統(tǒng)。選定鉸鏈C為多余約束，解除多余約束，并以相應(yīng)多余約束力FR代替其作用，得原靜不定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖6-11(b)、(c)所示。

(4)剛度比較。未加固時(shí)，梁AB端點(diǎn)B的最大撓度為

加固后該截面的撓度為

后者僅為前者的60.9%，可見經(jīng)加固后AB梁的撓度顯著降低。

例6-9求解圖6-12(a)所示BC桿的內(nèi)力。已知載荷集度q、尺寸l、AB梁的抗彎剛度EI和BC桿的抗拉(壓)剛度EA。圖6-12

解(1)判斷靜不定次數(shù)。由圖6-12(a)可知，梁AB是一次靜不定。

(2)選擇相當(dāng)系統(tǒng)。選拉桿BC的軸力FN作為多余約束力，這樣，得出AB梁的相當(dāng)系統(tǒng)為圖6-12(b)所示的懸臂梁。

習(xí)題圖6-2

6-1用積分法計(jì)算題6-1圖所示截面B的轉(zhuǎn)角與梁的最大撓度。

6-2用積分法計(jì)算題6-2圖所示各梁的變形時(shí),分別要分幾段積分?將出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù)?確定積分常數(shù)的條件如何?(圖(b)中右端B端支承在彈簧上,彈簧剛度為K。)題6-2圖

6-3題6-3圖所示各梁,試根據(jù)梁的彎矩圖及約束條件畫出梁撓曲線的大致形狀。題6-3圖

6-4試用疊加法計(jì)算題6-4圖所示各梁疊面B的轉(zhuǎn)角與截面C的撓度。題6-4圖

6-5用疊加法求題6-5圖所示外伸梁之外伸端截面C的撓度。題6-5圖

6-6

題6-6圖所示外伸梁,兩端承受載荷F作用,試問:

(1)當(dāng)x/l為何值時(shí),梁跨度中點(diǎn)與自由端撓度數(shù)值相等?

(2)當(dāng)x/l為何值時(shí),梁跨度中點(diǎn)撓度數(shù)值最大?題6-6-圖

6-7題6-7圖所示橫梁由梁AC、CB通過中間鉸鏈C連接而成。在梁CB上作用有均布載荷q,在梁AC上作用集中載荷F,且F=ql,試求截面C的撓度與截面A的轉(zhuǎn)角。題6-7圖

6-8題6-8圖所示階梯形梁,已知I2=2I1,試求截面C的撓度。題6-8圖

6-9試求題6-9圖所示各梁的約束力。題6-9圖

6-10題6-10圖所示結(jié)構(gòu)中,已知梁ABC的抗彎剛度為EI,桿CD的拉壓剛度為EA。試計(jì)算CD桿的軸力。題6-10圖第7章應(yīng)力態(tài)度與強(qiáng)度理論7.1引言7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的幾何法——應(yīng)力圓7.4三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力7.5廣義胡克定律7.6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能與畸變能7.7強(qiáng)度理論概述習(xí)題

7.1引言

工程中除了基本變形之外，還會(huì)有更為復(fù)雜的變形形式。圖7-1(a)所示的飛機(jī)螺旋槳桿，在工作時(shí)同時(shí)承受軸向拉力與扭轉(zhuǎn)外力偶矩，同時(shí)發(fā)生拉伸與扭轉(zhuǎn)變形，橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力；圖7-1(b)所示的內(nèi)壓容器，工作時(shí)同時(shí)承受軸向拉力與周向拉力的作用，除橫截面有拉應(yīng)力外，在縱截面上也存在拉應(yīng)力。對(duì)于這些復(fù)雜變形問題，不可能在實(shí)驗(yàn)室中通過試驗(yàn)直接建立其強(qiáng)度條件。

圖7-1

1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與單元體

基本變形研究表明，桿件內(nèi)不同位置的點(diǎn)，一般情況下具有不同的應(yīng)力，一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力是該點(diǎn)坐標(biāo)位置的函數(shù)。然而就一點(diǎn)來說，通過這個(gè)點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)截面，在不同方位的截面上，該點(diǎn)處的應(yīng)力也不同，即某點(diǎn)處的應(yīng)力還隨截面方位的不同而改變，是截面方位角的函數(shù)。

構(gòu)件受力后，構(gòu)件某一點(diǎn)各個(gè)截面上的應(yīng)力情況，統(tǒng)稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。要解決一個(gè)構(gòu)件的強(qiáng)度問題，就必須了解該構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，也就是了解構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)在不同截面上的應(yīng)力情況，據(jù)此解決構(gòu)件的強(qiáng)度問題。

描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常是圍繞該點(diǎn)做一個(gè)三對(duì)面相互垂直的小六面體，當(dāng)各邊邊長(zhǎng)充分小時(shí)，六面體便趨于宏觀上的點(diǎn)，這種六面體稱為單元體。在單元體的每個(gè)表面上標(biāo)出應(yīng)力，由于單元體各邊的長(zhǎng)度趨于無限小，因此可以認(rèn)為：

①單元體各面上的應(yīng)力是均勻分布的；

②單元體任意一對(duì)平行截面上的應(yīng)力大小相等，矢向相反。此時(shí)的單元體稱為應(yīng)力單元體，簡(jiǎn)稱為單元體。

圖7-2給出了直桿在軸向拉伸時(shí)表面附近A點(diǎn)的單元體。圍繞A點(diǎn)，用一對(duì)相距很近的橫截面、一對(duì)相距很近的水平縱向面及一對(duì)相距很近的豎直縱向面截取單元體，放大后如圖7-2(b)所示，前后、上下面上均無應(yīng)力，可用平面圖7-2(c)表示，其中

。圖7-2

圖7-3給出了圓軸在發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)表面附近A點(diǎn)的單元體。圍繞A點(diǎn)，用兩個(gè)相距很近的橫截面截出一薄圓盤，用兩個(gè)同心圓柱面截出一薄圓環(huán)，再用過軸線的兩個(gè)夾角很小的縱截面截出單元體，放大后如圖7-3(b)所示，前后面上沒有應(yīng)力，可用平面圖7-3(c)表示，其中最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力可由第3章式(39)求得，即圖7-3

圖7-4給出了矩形截面梁在彎曲時(shí)梁上任意一點(diǎn)A的單元體。圍繞A點(diǎn)，用兩個(gè)相距很近的橫截面、兩個(gè)豎直方向相距很近的縱截面、兩個(gè)水平方向相距很近的縱截面截取

單元體A，放大后如圖7-4(b)所示。由于前后面上沒有應(yīng)力，因此可用平面圖7-4(c)表示，其中正應(yīng)力、切應(yīng)力可由第5章式(52)和式(59)求得，即

圖7-4

2.主平面、主應(yīng)力、主單元體

理論分析表明，在構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)總可以取出一個(gè)特殊的單元體，其三個(gè)相互垂直的面上均無切應(yīng)力，這種切應(yīng)力為零的截面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。這種特殊的單元體稱為主單元體。主單元體上三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值大小排序，有σ1≥σ2≥σ3，σ1、σ2、σ3分別稱為第一、第二和第三主應(yīng)力。一般來說，受力構(gòu)件上的任意點(diǎn)都可以找到對(duì)應(yīng)的主單元體，因而每一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力。

3.應(yīng)力狀態(tài)的分類

按照主應(yīng)力是否為零，可以對(duì)應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分類，如圖7-5所示。若三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于零，則這種應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-5(a)所示；若三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不等于零，則這種應(yīng)力狀態(tài)稱為二向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-5(b)所示；若三個(gè)主應(yīng)力均不為零，則這種應(yīng)力狀態(tài)稱為三向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-5(c)所示。

單向應(yīng)力狀態(tài)又稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，二向應(yīng)力狀態(tài)又稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。

圖7-5

軸向拉伸時(shí)，桿件內(nèi)每一點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-2(b)所示；梁彎曲時(shí)上下邊緣各點(diǎn)也處于單向應(yīng)力狀態(tài)；蒸汽鍋爐等其他圓筒形薄壁容器在內(nèi)壓p作用下，筒壁外表面上各點(diǎn)均處于二向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-1(b)所示，受扭圓軸上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)也屬于二向應(yīng)力狀態(tài)；鐵路鋼軌頂部和火車車輪是在很小的范圍內(nèi)互相接觸，鋼軌受到車輪的壓力作用，如圖7-6(a)所示，鋼軌受壓部分的材料在壓力作用下將有向四處擴(kuò)張的趨勢(shì)，而周圍的材料阻止其向外擴(kuò)張，故受到周圍材料的壓力。如果從鋼軌的壓力中心，沿著平行及垂直于鋼軌軸線方向，截取一個(gè)單元體，單元體上將受到三個(gè)主應(yīng)力σ1、σ2、σ3作用，這樣鋼軌與車輪的接觸點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，在滾珠軸承工作時(shí)，外環(huán)與滾珠的接觸點(diǎn)A同樣也處于三向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-6(b)、(c)所示。圖7-6

7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

1.平面應(yīng)力狀態(tài)下單元體斜截面上的應(yīng)力分析方法：用一個(gè)假想的平面將單元體從所考察的斜面處截開，分為兩部分，考察其中任意一部分的平衡，由平衡條件可求得該斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這就是截面法，是分析單元體斜截面上應(yīng)力的基本方法。

公式推導(dǎo)：設(shè)單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)(見圖7-7(a))，圖7-7(b)是單元體的正投影。已知：σx、σy、τxy、τyx，斜面方位角為α。求斜面α上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα。

應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)定：規(guī)定正應(yīng)力拉為正，壓為負(fù)；切應(yīng)力對(duì)單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)切應(yīng)力為正，反之為負(fù)；斜面方位角α從x正向轉(zhuǎn)到斜截面外法線，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。按照上述規(guī)定，在圖7-7(b)中，σx、σy、τxy和α都取正值，而τyx取負(fù)值。圖7-7

2.主平面和主應(yīng)力

從式(7-1)和式(7-2)中可以看出，斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都是斜面傾角α的函數(shù)，通過函數(shù)求極值的方法，可以得到正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值，并確定它們所在平面的位置。令

可以得到

因?yàn)檎泻瘮?shù)的周期為180°，所以滿足上式的角度為α0和α0+90°，其中一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。比較式(a)和式(7-2)可以看出：正應(yīng)力的極大值和極小值對(duì)應(yīng)的平面恰好是切應(yīng)力為零的平面，即該平面是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力，這也證明了主平面是相互垂直的。

結(jié)論：在切應(yīng)力為零的平面上正應(yīng)力取極大值和極小值，即最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力就是主應(yīng)力，所在的平面為主平面。

式(7-4)是計(jì)算單元體主應(yīng)力大小的公式，單元體的三個(gè)主應(yīng)力可按下述規(guī)則排序：

3.最大和最小切應(yīng)力

用完全相同的求函數(shù)極值方法，由式(7-2)可以求出切應(yīng)力的最大值和最小值為

對(duì)應(yīng)的平面傾角為

例7-1分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。

例7-2受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖7-8所示。

(1)求45°斜截面上的應(yīng)力；

(2)求主應(yīng)力并確定主平面；

(3)求最大切應(yīng)力。圖7-8

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的幾何法———應(yīng)力圓

1.應(yīng)力圓的概念由上一節(jié)平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法可知，平面應(yīng)力狀態(tài)下，斜截面上的應(yīng)力可由式(7-1)、式(7-2)來確定，它們皆為α的函數(shù)。將α看作參數(shù)，為消去α，將兩式改寫成

將兩式等號(hào)兩邊平方，然后再相加，得

2.應(yīng)力圓的繪制

利用上述圓心和半徑畫應(yīng)力圓不是很方便?，F(xiàn)以圖7-9(a)所示平面應(yīng)力狀態(tài)為例來說明一種簡(jiǎn)便的應(yīng)力圓繪制方法。

(1)建立應(yīng)力坐標(biāo)系σ－τ，如圖7-9(b)所示。

(2)根據(jù)已知應(yīng)力σx、σy、τxy的大小，選取適當(dāng)比例尺，在σ－τ坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A(σx，τxy)和B(σy，τyx)。

(3)AB與σ軸的交點(diǎn)C便是圓心。

(4)以C為圓心，以AC為半徑畫圓，如圖7-9(b)所示。

因?yàn)镃點(diǎn)的坐標(biāo)為

半徑為

所以，這一圓周就是上面所提到的應(yīng)力圓。圖7-9

3.單元體中面上應(yīng)力與應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

從圖7-9(a)和7-9(b)可以看出，在單元體上相差90°的x和y兩個(gè)面上的應(yīng)力代數(shù)值正好與應(yīng)力圓上相差180°的兩個(gè)點(diǎn)A和B的坐標(biāo)值相對(duì)應(yīng)，由此可以證明應(yīng)力圓上的點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(1)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)：應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)單元體某一方位面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖7-9(b)上的D點(diǎn)的坐標(biāo)即為斜截面α面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。

(2)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)：應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)隨之改變，對(duì)應(yīng)地，斜截面外法線亦沿相同方向旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。

(3)二倍角對(duì)應(yīng)：應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的2倍。因?yàn)?，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差180°的兩個(gè)面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差360°時(shí)才能為同一點(diǎn)。

4.應(yīng)力圓的應(yīng)用

(1)應(yīng)用應(yīng)力圓能夠確定任意斜截面上應(yīng)力的大小和方向。

(2)確定主應(yīng)力的大小和方位。

(3)確定極值剪應(yīng)力及其作用面。

例7-3如圖7-10(a)所示單元體，試用應(yīng)力圓求：①α=30°斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力及其方位；③極值切應(yīng)力(圖中應(yīng)力單位為MPa)。圖7-10

例7-4討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析低碳鋼和鑄鐵試樣受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。

解(1)畫出危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力單元體。從扭轉(zhuǎn)試件表面任一點(diǎn)D處截取應(yīng)力單元體，單元體各表面上的應(yīng)力如圖7-11(a)所示，σx=σy=0，τxy=τ=T/WP。此應(yīng)力單元體所表示的應(yīng)力狀態(tài)是平面應(yīng)力狀態(tài)的一個(gè)特例，也就是第三章所述的純剪切應(yīng)力狀態(tài)。

圖7-11

(5)分析扭轉(zhuǎn)試件的破壞原因。由于一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)與試件的材料無關(guān)，故低碳鋼和鑄鐵試件在任一點(diǎn)處的最大應(yīng)力都可以根據(jù)圖7-11(c)來分析。扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時(shí)，低碳鋼試件沿橫截面破壞，這正好是τmax所在平面，可見是被剪斷的。因?yàn)棣觤ax=σmax，所以說明低碳鋼的抗剪能力低于其抗拉能力。鑄鐵試件是沿著與軸線約成α0=45°的螺旋面破壞的，這正好是σmax所在平面，可見是被拉斷的。由于σmax=τmax，因此說明鑄鐵的抗拉能力低于其抗剪能力。

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力

1.三向應(yīng)力圓設(shè)受力構(gòu)件上的某點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力單元體如圖7-12(a)所示?？梢詫⑦@種應(yīng)力狀態(tài)分解為三種平面應(yīng)力狀態(tài)，分析平行于三個(gè)主應(yīng)力的三組特殊方位面上的應(yīng)力。

圖7-12

在平行于主應(yīng)力σ1的任意斜截面上，正應(yīng)力和切應(yīng)力都與σ1無關(guān)。因此，當(dāng)研究平行于σ1的這一組方位面上的應(yīng)力時(shí)，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可以看作圖7-12(b)所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，其斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力可以由式(7-1)、式(7-2)計(jì)算。

可以利用平面應(yīng)力圓的繪制方法分別畫出由σ2和σ3、σ1和σ3、σ1和σ2所決定的應(yīng)力圓，這三個(gè)應(yīng)力圓如圖7-13所示，稱為三向應(yīng)力圓。

圖7-13

2.最大應(yīng)力

綜上所述，在σ－τ平面內(nèi)，代表任意斜截面的應(yīng)力的點(diǎn)或位于應(yīng)力圓上，或位于由三個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)。

由圖7-12可知，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，最大和最小正應(yīng)力分別為最大和最小主應(yīng)力，即

而最大切應(yīng)力為

最大切應(yīng)力位于σ1和σ3均成45°的截面上。

例7-5受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖7-14(a)所示，應(yīng)力單位是MPa。

(1)求主應(yīng)力。

(2)求最大切應(yīng)力。圖7-14

解(1)主應(yīng)力。這是一個(gè)三向應(yīng)力狀態(tài)，可以看出左、右面就是一對(duì)主平面，對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力σ'=50MPa就是一個(gè)主應(yīng)力。其余的應(yīng)力構(gòu)成一個(gè)平面應(yīng)力狀態(tài)，左視圖如圖7-14(b)所示。根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定可以看出：σx=30MPa，σy=-20MPa，τxy=-40MPa。

(2)最大切應(yīng)力。

7.5廣義胡克定律

1.廣義胡克定律前幾章介紹了軸向拉伸或壓縮和純剪切時(shí)的胡克定律。軸向拉壓時(shí)橫向線應(yīng)變?yōu)榧兗羟袝r(shí)：

現(xiàn)在介紹復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。設(shè)受力構(gòu)件上某點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，它的應(yīng)力單元體如圖7-15所示。圖7-15

理論及實(shí)驗(yàn)均表明，對(duì)于連續(xù)均質(zhì)各向同性小變形線彈性材料，正應(yīng)力不會(huì)引起切應(yīng)變，切應(yīng)力也不會(huì)引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦合。于是，就可以利用(a)、(b)、(c)三式求出各應(yīng)力分量各自對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，然后再進(jìn)行疊加。例如，σx、σy和σz分別單獨(dú)作用時(shí)在x方向引起的線應(yīng)變分別為σx/E、-μ(σy/E)和-μ(σz/E)，將這三項(xiàng)疊加即得：εx=[σx-μ(σy+σz)]/E，同理可以求出εy和εz。經(jīng)整理后即得

對(duì)于切應(yīng)變和切應(yīng)力之間的關(guān)系，仍然是式(c)所表示的關(guān)系，且與正應(yīng)力分量無關(guān)。由此可得，在xy、yz和zx三個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)變分量為

式(7-10)、式(7-11)稱為廣義胡克定律

如果單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，即有σz=0，如圖7-16所示，可得二向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系式：

式(7-12)稱為二向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律。圖7-16

2.主應(yīng)變與主應(yīng)力的關(guān)系

3.體積變化與應(yīng)力之間的關(guān)系

上式可以寫成圖7-17

例7-6直徑為d=20mm的實(shí)心軸(見圖7-18(a))，軸的兩端加扭力矩Me=126N·m，在軸的表面上某點(diǎn)A處用應(yīng)變儀測(cè)出與軸線成-45°方向的線應(yīng)變?chǔ)?5×10-4，求該圓軸材料的切變模量G。圖7-18

例7-7-在一個(gè)體積比較大的鋼塊上有一個(gè)直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一個(gè)直徑為50mm的鋼制圓柱(見圖7-19(a))，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，已知E=200GPa，μ=0.3。試求該圓柱一點(diǎn)處的主應(yīng)力。

解圓柱體橫截面上的壓應(yīng)力為

圖7-19

7.6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能與畸變能

1.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能單向拉壓時(shí)，如果應(yīng)力σ和應(yīng)變?chǔ)胖g的關(guān)系是線性的，那么根據(jù)功能關(guān)系，應(yīng)變能等于外力對(duì)彈性體做的功，根據(jù)式(219)可得，應(yīng)變能密度的計(jì)算公式為

2.畸變能密度

一般情況下，單元體變形時(shí)既有體積改變，也有形狀改變。對(duì)應(yīng)地，應(yīng)變能密度也可以看成由兩部分構(gòu)成：①因體積變化而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度，稱為體積應(yīng)變能密度，用vV表示。體積變化是指單元體的棱邊變形相等，變形后仍為正方體，只是體積發(fā)生變化而形狀不變。②單元體體積不變，但由正方體變?yōu)殚L(zhǎng)方體而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度，稱為畸變能密度，用vd表示。于是有

3.彈性常數(shù)E、G、μ之間的關(guān)系

材料有三個(gè)彈性常數(shù)，材料的拉壓彈性模量E、剪切彈性模量G和泊松比μ，這三個(gè)彈性常數(shù)不是彼此獨(dú)立的，式(35)給出了它們之間的關(guān)系，即

現(xiàn)對(duì)這一關(guān)系證明如下。

某單元體處于圖7-11(a)所示的純剪切應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)式(36)可知，此單元體的剪切應(yīng)變能密度為

該單元體的主應(yīng)力為

對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力單元體如圖7-11(c)所示。代入式(7-18)，可得應(yīng)變能密度為

式(a)與式(b)表示的是同一單元體的應(yīng)變能密度，二者應(yīng)該相等，即

將式(a)、(b)代入式(c)，可得

此即為式(35)，三個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系得證。

7.7-強(qiáng)度理論概述

1.強(qiáng)度理論概述1)材料的破壞形式在強(qiáng)度問題中，失效或破壞形式大致可以分為兩種，即脆性斷裂和塑性屈服。脆性斷裂是指在外力作用下，由于應(yīng)力過大而產(chǎn)生裂縫并導(dǎo)致斷裂，例如鑄鐵在拉伸和扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞屬于脆性斷裂。這種破壞的特點(diǎn)是在沒有明顯塑性變形的情況下突然發(fā)生斷裂，斷裂發(fā)生在最大正應(yīng)力的作用面上。塑性屈服是指在構(gòu)件上出現(xiàn)顯著的塑性變形，例如低碳鋼在拉伸和扭轉(zhuǎn)時(shí)的屈服失效。材料無論出現(xiàn)脆性斷裂或塑性屈服，構(gòu)件都會(huì)喪失正常的工作能力。

2)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度條件

在前面幾章中，我們?cè)诟骰咀冃螐?qiáng)度分析中，建立了相應(yīng)的強(qiáng)度條件，它們可以概括為

其中：n是安全系數(shù)，極限應(yīng)力σu或τu是通過試驗(yàn)測(cè)定出來的。

3)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度理論

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，σ1、σ2和σ3的比值可以有無數(shù)多種組合形式，即使對(duì)于同一種材料，在不同的主應(yīng)力比值下，材料的失效應(yīng)力值也各不相同。例如三向等拉時(shí)，在很小的應(yīng)力數(shù)值下材料就會(huì)失效；三向等壓(靜水壓力)時(shí)，應(yīng)力數(shù)值達(dá)到很大時(shí)材料都不會(huì)失效。所以根本不可能對(duì)每一種主應(yīng)力比值，一一通過試驗(yàn)來測(cè)定材料破壞時(shí)的極限應(yīng)力。

對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，一般是依據(jù)部分試驗(yàn)結(jié)果，經(jīng)過推理、分析來建立失效準(zhǔn)則。即將簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)看成復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，利用簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下試驗(yàn)得到的材料破壞時(shí)的極限應(yīng)力，根據(jù)材料的破壞規(guī)律，尋找同一種失效形式的共同因素，經(jīng)過推理來建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的破壞準(zhǔn)則和強(qiáng)度條件。于是對(duì)材料在不同應(yīng)力狀態(tài)下失效的共同原因提出了各種不同的假說，來推測(cè)材料失效的原因。這類假說稱之為強(qiáng)度理論。

2.最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)

這一理論認(rèn)為最大拉應(yīng)力是引起斷裂失效的主要因素。即應(yīng)力無論是什么狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂失效。既然該理論認(rèn)為斷

裂失效與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，我們就可以利用單向拉伸試驗(yàn)建立斷裂準(zhǔn)則，得到斷裂準(zhǔn)則為

將極限應(yīng)力σb除以安全因素得到許用應(yīng)力[σ]，所以第一強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為

討論：第一強(qiáng)度理論基本上能反映脆性材料失效的實(shí)際情況，適用于鑄鐵、磚石、陶瓷、玻璃等脆性材料有拉應(yīng)力存在的情況，當(dāng)一點(diǎn)在任何截面上都沒有拉應(yīng)力時(shí)，該理論就不適用。脆性材料扭轉(zhuǎn)也是沿拉應(yīng)力最大的斜截面發(fā)生斷裂，與此理論相符合。

3.最大拉應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)

這一理論認(rèn)為最大拉應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即應(yīng)力無論是什么狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)變?chǔ)?達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂失效。既然該理論認(rèn)為斷裂失效與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的最大拉應(yīng)變的試驗(yàn)結(jié)果來建立斷裂準(zhǔn)則，得到斷裂準(zhǔn)則為

利用廣義胡克定律得到

將上式代入式(a)就得到斷裂準(zhǔn)則為

將極限應(yīng)力σb除以安全因素得到許用應(yīng)力[σ]，所以第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為

4.最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)

這一理論認(rèn)為最大切應(yīng)力是引起屈服的主要因素。即應(yīng)力無論是什么狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力τmax達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服失效。既然該理論認(rèn)為屈

服失效與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力和試驗(yàn)結(jié)果來得到屈服準(zhǔn)則為

根據(jù)式(7-8)知

在單向應(yīng)力狀態(tài)下：

將式(c)、(d)代入式(b)就得到屈服準(zhǔn)則為

將極限應(yīng)力σs除以安全因素得到許用應(yīng)力[σ]，所以第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為

5.畸變能密度理論(第四強(qiáng)度理論)

畸變能密度理論認(rèn)為畸變能密度是引起屈服的主要因素。即應(yīng)力無論是什么狀態(tài)，只要畸變能密度νd達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服失效。既然該理論認(rèn)為屈服失效與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的畸變能密度和試驗(yàn)結(jié)果來得到屈服準(zhǔn)則為

在單向應(yīng)力狀態(tài)下：

將式(f)代入式(e)，整理后就得到屈服準(zhǔn)則為

將極限應(yīng)力σs除以安全因素得到許用應(yīng)力[σ]，所以第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為

6.強(qiáng)度條件的統(tǒng)一表達(dá)式

上面所述的四種強(qiáng)度理論可以用一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式表示為

式中σri稱為相當(dāng)應(yīng)力，它并不是實(shí)際存在的應(yīng)力，而是由強(qiáng)度理論得出的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下三個(gè)主應(yīng)力按照一定形式的組合值，相當(dāng)于把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度相當(dāng)?shù)膯蜗驊?yīng)力狀態(tài)，然后建立強(qiáng)度條件。

按照從第一強(qiáng)度理論到第四強(qiáng)度理論的順序，相當(dāng)?shù)膽?yīng)力分別為

7.材料的脆性狀態(tài)與塑性狀態(tài)

材料的失效形式不僅取決于材料的性質(zhì)，還與其所處的應(yīng)力狀態(tài)、溫度和加載速度等因素有關(guān)。即使是同一種材料，在不同的應(yīng)力狀態(tài)下也可能有不同的失效形式。例如，碳鋼在單向拉伸下以屈服的形式失效，但碳鋼制成的螺釘在受拉時(shí)，螺紋根部因應(yīng)力集中引起三向