北師大九年級下冊數(shù)學教案3.4 第1課時 圓周角和圓心角的關系1

PAGE3.4圓周角和圓心角的關系第1課時圓周角和圓心角的關系1．理解圓周角的概念，掌握圓周角的兩個特征、定理的內(nèi)容及簡單應用；(重點)2．能運用圓周角定理及其推論進行簡單的證明計算．(難點)一、情境導入在下圖中，當球員在B,D,E處射門時，他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC,∠ADC，∠AEC.這三個角的大小有什么關系？二、合作探究探究點：圓周角定理及其推論【類型一】利用圓周角定理求角的度數(shù)如圖，已知CD是⊙O的直徑，過點D的弦DE平行于半徑OA，若∠D的度數(shù)是50°，則∠C的度數(shù)是()A．25°B．30°C．40°D．50°解析：∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°.∵∠C＝eq\f(1,2)∠AOD，∴∠C＝eq\f(1,2)×50°＝25°.故選A.方法總結：解決問題的關鍵是熟練掌握圓周角定理．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第2題【類型二】利用圓周角定理的推論求角的度數(shù)如圖，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠A＝30°，則∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°解析：因為eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”得到∠B＝∠C，因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因為∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.故選B.方法總結：解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，相等的兩條弧所對的圓周角也相等．注意方程思想的應用．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題【類型三】圓周角定理與垂徑定理的綜合如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點C，交⊙O于點D，E在⊙O上．(1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度數(shù)；(2)若AC＝eq\r(7)，CD＝1，求⊙O的半徑．解析：(1)由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的推論可求得eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，再由圓周角定理及其推論求∠DEB的度數(shù)；(2)首先設⊙O的半徑為x，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠DEB＝eq\f(1,2)∠AOD＝eq\f(1,2)×52°＝26°；(2)設⊙O的半徑為x，則OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋(eq\r(7))2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半徑為4.方法總結：本題綜合考查了圓周角定理及其推論、垂徑定理以及勾股定理．注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題【類型四】圓周角定理的推論與圓心角、弧、弦之間的關系的綜合如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，點D在弧AB上，連接CD交AB于點E，點B是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中點，求證：∠B＝∠BEC.解析：由點B是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中點，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性質(zhì)，證得結論．證明：∵B是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中點，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180°－∠B－∠BCE，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BEC.方法總結：此題考查了圓周角定理的推論以及等腰三角形的性質(zhì)．解答時一定要結合圖形．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題【類型五】圓周角定理的推論與三角形知識的綜合如圖，A、P、B、C是⊙O上四點，且∠APC＝∠CPB＝60°.連接AB、BC、AC.(1)試判斷△ABC的形狀，并給予證明；(2)求證：CP＝BP＋AP.解析：(1)利用圓周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，從而可判斷△ABC的形狀；(2)在PC上截取PD＝AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP＝CD，即可證得．(1)解：△ABC是等邊三角形．證明如下：在⊙O中，∵∠BAC與∠CPB是eq\o(BC,\s\up8(︵))所對的圓周角，∠ABC與∠APC是eq\o(AC,\s\up8(︵))所對的圓周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形；(2)證明：在PC上截取PD＝AP，連接AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APB＝∠ADC，,∠ABP＝∠ACD，,AP＝AD，))∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝BP＋AP.方法總結：本題考查了圓周角定理的理論以及三角形的全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．【類型六】圓周角定理的推論與相似三角形的綜合如圖，點E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點，點A在⊙O上，AE交BC于D.求證：BE2＝AE·DE.解析：點E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點，根據(jù)圓周角定理的推論可得∠BAE＝∠CBE，可證得△BDE∽△ABE，然后由相似三角形的對應邊成比例得結論．證明：∵點E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點，即eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵))，∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E(公共角)，∴△BDE∽△ABE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.方法總結：圓周角定理的推論是和角有關系的定理，所以在圓中，解決相似三角形的問題常常考慮此定理．三、板書設計圓周角和圓心角的關系1．圓周角的概念2．圓周角定理3．圓周角定理的推論本節(jié)課的重點是圓周角與圓心角的關系，難點是應用所學知識靈活解題．在本節(jié)課的教學中，學生對圓