高中數(shù)學(xué)講義100微專(zhuān)題042利用函數(shù)性質(zhì)與圖像比較大小

PAGE1-微專(zhuān)題42利用函數(shù)性質(zhì)與圖像比較大小一、基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)：（一）利用函數(shù)單調(diào)性比較大小1、函數(shù)單調(diào)性的作用：在單調(diào)遞增，則(在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁）2、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）（2）3、常見(jiàn)描述單調(diào)性的形式（1）導(dǎo)數(shù)形式：?jiǎn)握{(diào)遞增；單調(diào)遞減（2）定義形式：或：表示函數(shù)值的差與對(duì)應(yīng)自變量的差同號(hào)，則說(shuō)明函數(shù)單調(diào)遞增，若異號(hào)則說(shuō)明函數(shù)單調(diào)遞減4、技巧與方法：（1）此類(lèi)問(wèn)題往往條件比較零散，不易找尋入手點(diǎn)。所以處理這類(lèi)問(wèn)題要將條件與結(jié)論結(jié)合著分析。在草稿紙上列出條件能夠供應(yīng)什么，也列出要得出結(jié)論須要什么。兩者對(duì)接通?？梢源_定入手點(diǎn)（2）在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要依據(jù)條件的特點(diǎn)進(jìn)行猜想，例如出現(xiàn)輪番求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)系的函數(shù)。在構(gòu)造時(shí)多進(jìn)行試驗(yàn)與項(xiàng)的調(diào)整（3）在比較大小時(shí)，通常可利用函數(shù)性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性，周期性）將自變量放入至同一單調(diào)區(qū)間中進(jìn)行比較（二）數(shù)形結(jié)合比較大小1、對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性：若已知單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性，則可通過(guò)作出草圖視察得到諸如“距軸越近，函數(shù)值越……”的結(jié)論，從而只需比較自變量與坐標(biāo)軸的距離，即可得到函數(shù)值的大小關(guān)系（1）若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且單調(diào)增，則圖像可能以下三種狀況，可發(fā)覺(jué)一個(gè)共同點(diǎn)：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越?。?）若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且單調(diào)減，則圖像可能以下三種狀況，可發(fā)覺(jué)一個(gè)共同點(diǎn)：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越大2、函數(shù)的交點(diǎn)：假如所比較的自變量是一些方程的解，則可將方程的根視為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)。抓住共同的函數(shù)作為突破口，將其余函數(shù)的圖像作在同一坐標(biāo)系下，視察交點(diǎn)的位置即可推斷出自變量的大小三、例題精析：例1：對(duì)于上可導(dǎo)的隨意函數(shù)，若滿(mǎn)意，則必有（）A.B.C.D.思路：由可按各項(xiàng)符號(hào)推斷出與異號(hào)，即時(shí)，,時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而答案：C小煉有話(huà)說(shuō)：相乘因式與零比較大小時(shí)，可分別推斷每一個(gè)因式的符號(hào)，再推斷整個(gè)式子的符號(hào)。這樣做可以簡(jiǎn)化表達(dá)式的運(yùn)算。例2：已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，則下列關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.思路：視察所給不等式，左側(cè)呈現(xiàn)輪番求導(dǎo)的特點(diǎn)，所比較大小的的結(jié)構(gòu)均為的形式，故與不等式找到聯(lián)系。當(dāng)時(shí)，，即，令，由此可得在上單調(diào)遞增。為奇函數(shù)，可判定出為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。，作圖視察距離軸近的函數(shù)值小，與可作差比較大?。哼M(jìn)而可得：答案：D例3：函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.思路：由可推斷出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，再由，可得時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，由軸對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)可知：在單調(diào)遞減。作出草圖可得：距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越大。所以只需比較自變量距離的遠(yuǎn)近即可推斷出答案：B例4：已知是周期為的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.思路：的周期為，所以可利用周期性將自變量放置同一個(gè)周期內(nèi)：，而由偶函數(shù)及單調(diào)遞增，作圖可知在區(qū)間中，距離軸近的函數(shù)值小，所以有答案：C小煉有話(huà)說(shuō)：周期性的一大應(yīng)用就是可在已知區(qū)間中找到與所給自變量相同函數(shù)值的點(diǎn)。從而代替原來(lái)的自變量。例5：已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，設(shè)，，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.思路：本題依舊是利用對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性比較函數(shù)值大小，先分析的性質(zhì)，由為偶函數(shù)可得：，從而關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)，可計(jì)算，所以在單調(diào)遞減，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可得距離對(duì)稱(chēng)軸越近，函數(shù)值越大，所以答案：D小煉有話(huà)說(shuō)：本題的關(guān)鍵在于確定入手點(diǎn)是用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性單調(diào)性比較大小，從而對(duì)的處理才會(huì)想到選出單調(diào)性而不是將自變量代入解析式。所以說(shuō)題目中有的條件可以有多種用途，要依據(jù)所求及其他條件來(lái)選擇一個(gè)比較正確的方向。例6：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，令，，則大小關(guān)系為_(kāi)_______思路：由為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增可得距離軸越近，函數(shù)值越小。所以需比較自變量與軸距離：，則需比較的大小，因?yàn)椋?，所以答案：小煉有?huà)說(shuō)：本題實(shí)質(zhì)上是一道三角函數(shù)大小關(guān)系和函數(shù)性質(zhì)比較大小的綜合題，只需分解成這兩步分別處理即可。在比較三角函數(shù)時(shí)，本題有這樣兩個(gè)亮點(diǎn)：一是“求同存異”發(fā)覺(jué)涉及的角存在互補(bǔ)關(guān)系，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式和肯定值運(yùn)算將角統(tǒng)一，以便于比較；二是利用好“橋梁”，比較的關(guān)鍵之處在與這個(gè)角的選擇，這個(gè)角是兩條分界線，一條是正切值與1大小的分界線，而正余弦不大于1，所以的正切值最大；另一條是正余弦大小的分界線，時(shí)，；而時(shí)，。例7：已知函數(shù)，且，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.思路：本題具備同構(gòu)特點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)難于分析單調(diào)性，故無(wú)法比較的大小。換一個(gè)角度，可發(fā)覺(jué)的圖像可作，且具備幾何含義，即，即與原點(diǎn)連線的斜率。所以作出的圖像，可視察到圖像上的點(diǎn)橫坐標(biāo)越大，與原點(diǎn)連線的斜率越小，所以由可得：答案：B例8：已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿(mǎn)意：，則下列推斷肯定正確的是（）A．B．C．D．思路：聯(lián)系選項(xiàng)分析條件：當(dāng)時(shí)，，即令在單調(diào)遞增，而選項(xiàng)中均不在單增區(qū)間中，考慮利用進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先要讀懂說(shuō)的是與的關(guān)系，而與剛好在的兩側(cè)，所以達(dá)到一個(gè)將左側(cè)的點(diǎn)轉(zhuǎn)到右側(cè)的作用。在中令可得：，可代入B,C選項(xiàng)進(jìn)行比較，C正確。而A,D兩個(gè)選項(xiàng)也可以代入進(jìn)行驗(yàn)證。答案：C小煉有話(huà)說(shuō)：由于，所以在求導(dǎo)時(shí)此項(xiàng)不發(fā)生改變，有可能在化簡(jiǎn)時(shí)隱藏起來(lái)。所以對(duì)于形如等輪番求導(dǎo)的式子可猜想隱含項(xiàng)，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行變形例9：定義在上的函數(shù)，為它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則（）A.B.C.D.思路：盡管發(fā)覺(jué)存在輪番求導(dǎo)很難干脆發(fā)覺(jué)乘除關(guān)系?？催x項(xiàng)不難發(fā)覺(jué)規(guī)律：等，不等號(hào)兩側(cè)均為的形式，其導(dǎo)函數(shù)為于是考慮構(gòu)造條件中的不等式：即,在上單調(diào)遞增，依據(jù)單調(diào)性即可推斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確答案：D例10：設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.思路：本題單從指對(duì)數(shù)方面，不便于比較大小。進(jìn)一步可發(fā)覺(jué)均可視為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，且每一個(gè)等式的左側(cè)為同一個(gè)函數(shù)，而右側(cè)也都可作圖，所以考慮在同一個(gè)坐標(biāo)系下作圖，并視察交點(diǎn)的位置，進(jìn)而推斷出的大小答案：A三、歷年好題精選1、（2016，內(nèi)江四模）設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，在上，且，有，則以下大小關(guān)系肯定正確的是（）A.B.C.D.2、（2015，福建）若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)意，其導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)意，則下列結(jié)論中肯定錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.3、（2015，陜西文）設(shè)，若，則下列關(guān)系式中正確的是（）A.B.C.D.4、（2015，天津）已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，記，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.5、（2014，山東）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則下列關(guān)系式恒成立的是（）A.B.C.D.6、已知的導(dǎo)函數(shù)是，記，則（）A.B.C.D.7、定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8、（2014陜西省五校聯(lián)考10）已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且均有，則有（） A．B．C．D．習(xí)題答案：1、答案：C解析：由可得：設(shè)，則在單調(diào)遞減，可得關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)在上單調(diào)遞減且分別比較四個(gè)選項(xiàng)，可知在C選項(xiàng)中：再由可知2、答案：C解析：構(gòu)造函數(shù)，則，即在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，，所以可得：，C錯(cuò)誤。其它選項(xiàng)則無(wú)法推斷對(duì)錯(cuò)3、答案：C解析：，所以，由可得，從而4、答案：C解析：通過(guò)數(shù)形結(jié)合可知為偶函數(shù)時(shí)，即，作圖可知距離軸越近的點(diǎn)，其函數(shù)值越小?？紤]，所以5、答案：D解析：由可得：，視察到四個(gè)選項(xiàng)不等號(hào)兩側(cè)式子同構(gòu)，所以構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可推斷不等式是否成立：在單增，在單減，所以不恒成立。同理，均不單調(diào)，所以