河北省衡水市高三年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷（理科） （含解析）

2015-2016學(xué)年河北省衡水市武邑中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

（理科）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x=3n+2,nGN},B={6,8,10,12,14},則集合AnB中元素的個數(shù)

為（）

A.5B.4C.3D.2

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)畀T■是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（）

2-1

A.-2B.2C.--D.—

22

3.已知M=p11N二JJcosxdx,由圖示程序框圖輸出的S為（）

Jox+l

2

2

4.已知等比數(shù)列{aj的公比為正數(shù)，＞a3a9=2a5,a2=2,則a[=（）

A.—B.返C.&D.2

22

5.已知圓*2+丫2+叱-乎0與拋物線y=9x2的準(zhǔn)線相切，則m的值等于（）

A.±72B.愿C.&D.±-/3

6.正方體ABCD-AiBiCiDi中E為棱BBi的中點（如圖），用過點A,E,Q的平面截去

該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為（）

7.下列命題正確的個數(shù)是()

(1)命題"若m>0,則方程x2+x-m=0有實根"的逆否命題為："若方程x2+x-m=0無實根,

則mWO”

(2)對于命題p：勺xGR使得x2+x+l<0",則Fp：“vxGR,均有x2+x+12O”

(3)"x=l"是僅2-3x+2=0”的充分不必要條件

(4)若pAq為假命題，則p,q均為假命題.

A.4B.3C.2D.1

8.對于數(shù)列&｝,定義數(shù)列｛an+i-aj為數(shù)列｛aj的"等差列"，若對=2,凡｝的"等差列”的

通項公式為2%則數(shù)列｛a?的前2015項和S2oi5=()

A.22016-1B.22016c.22016+lD.22016-2

_

9.已知xo是f&)=(4尸3的一個零點，xiG(-8,xo),x2e(xo，0),則()

2x

A.f(xi)<0,f(x2)<0B.f(xi)>0,f(x2)>0C.f(xi)>0,f(x2)<

0D.f(xi)<0,f(X2)>0

10.已知函數(shù)f(x)=cos3x(sin3x+J5coscox)(w>0),如果存在實數(shù)x(),使得對任意的

實數(shù)X,都有f(xo)Wf(x)Wf(xo+2O16n)成立，則3的最小值為()

A.--——B.--——C.——D.——

2016冗4032K20164032

x+y》2

11.已知O是坐標(biāo)原點，點A(-1,1),若點M(x,y)為平面區(qū)域，2X^1上

log2(y-1)40

的一個動點，則而?而的取值范圍是()

A.[-2,0]B.[-2,0)C.[0,2]D.(0,2]

12.正三角形ABC的邊長為2,將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為正，此時四

面體ABCD外接球表面積為()

A.7nB.19nC.—標(biāo)D.—0仔i

66

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.已知向量(cosB,sinQ),向量云(W，1)，且則tanS的值是.

14.若函數(shù)f(x)=x+alnx不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

15.若(4-?1)n的展開式的各項系數(shù)絕對值之和為1024,則展開式中x項的系數(shù)

為.

22

16.點P為雙曲線三一9l(a>0,b>0)右支上第一象限內(nèi)的一點，其右焦點為F2,

a2b2

若直線PF2的斜率為、巧，M為線段PF2的中點，且|OF21=|F2M|,則該雙曲線的離心率

為.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.已知△ABC的面積為S,且藤?菽=5.

⑴求tan2A的值；

(2)若|而-而|=3，求^ABC的面積S.

18.退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構(gòu)為了解某城

市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機抽取年齡段在20?80歲(含20歲和80歲)之間

的600人進行調(diào)查，并按年齡層次繪制頻率分布直方圖，如圖所示.若規(guī)定年齡分布在為"老

(1)若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點值來代替，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡；

(2)將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率.從該城市20

-80年齡段市民中隨機抽取3人,記抽到“老年人"的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

19.在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD，平面ABC,ZkACD與4ACB是邊長為2的

等邊三角形，BE=2,BE和平面ABC所成的角為60。，且點E在平面ABC上的射影落在N

ABC的平分線上.

(I)求證：DE〃平面ABC；

(n)求二面角E-BC-A的余弦值.

22

20.如圖，橢圓C：3T+號1(a>b>0)的右焦點為F,右頂點、上頂點分別為點A、B,

a?b2

且|AB|=近■|BF|.

2

(I)求橢圓C的離心率；

(H)若點M(-招，*)在橢圓C內(nèi)部，過點M的直線I交橢圓C于P、Q兩點，M

為線段PQ的中點，且OPLOQ.求直線1的方程及橢圓C的方程.

21.已知函數(shù)f(x)=3x"—Lx+ln(x+a)，其中常數(shù)a>0.

4a

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)已知0<%<去，f(x)表示f(x)的導(dǎo)數(shù)，若xi，X26(-a,a),xi#X2，且滿足f'

(Xl)+f(X2)=0,試比較f'(X1+X2)與f'(0)的大小，并加以證明.

請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.［選修4-1：

幾何證明選講］

22.如圖，己知PA與圓O相切于點A,經(jīng)過點O的割線PBC交圓。于點B,C,ZAPC

的平分線分別交AB,AC于點D,E.

(I)證明：ZADE=ZAED；

(II)若AC=AP,求g的值.

PA

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

半圓Ci的極坐標(biāo)方程為p=4sin&0€Dy.兀］

(1)求半圓Ci的參數(shù)方程；

(2)設(shè)動點A在半圓Ci上，動線段OA的中點M的軌跡為C2,點D在C2上，C?在點D

處的切線與直線尸?x+坪行，求點D的直角坐標(biāo).

［選修4-5：不等式選講］

24.已知m,n￡R+,f(x)=|x+m|+12x-n|.

(1)求f(x)的最小值；

2

(2)若f(x)的最小值為2,求1n2十亍的最小值.

2015-2016學(xué)年河北省衡水市武邑中學(xué)高三(上)期末數(shù)

學(xué)試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合人=收反=311+2,n￡N},B={6,8,10,12,14),則集合AnB中元素的個數(shù)

為()

A.5B.4C.3D.2

【考點】交集及其運算.

【分析】根據(jù)集合的基本運算進行求解.

【解答］解：A={x|x=3n+2,nGN}={2,5,8,11,14,17,...},

則ArB={8,14},

故集合AnB中元素的個數(shù)為2個，

故選：D.

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)聲r是純虛數(shù)，則實數(shù)a=()

2-1

A.-2B.2C.--D.—

22

【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出.

［解答］解：???復(fù)數(shù)=y中言.<=2a-*2+a)i2a;1庠是純虛數(shù),

2-1(2-1)(2+1)555

2a-1-o,2+a^Q

55

解得a=*.

故選：D.

JT

3.已知M=j1-^-dx,N=J/cosxdx'由圖示程序框圖輸出的S為()

ux+lU

A.1B.In2C.—D.0

2

【考點】定積分；程序框圖.

【分析】根據(jù)積分的定義，分別解出M和N,再判斷M與N的大小，代入程序圖進行求解.

1JTrr

【解答】解：???M=J(x+1)|O=ln2,N=p2cosxdx=sinx|

°x+lJ00

.?.ln2<l

由程序圖可知求兩個數(shù)的最大值，輸出的是最小的一個數(shù)，

S=ln2,

故選：B.

4.已知等比數(shù)列｛aj的公比為正數(shù)，且a3a9=2a5?,@2=2,則ai=（）

A.—B.返C.衣D.2

22

【考點】等比數(shù)列的通項公式.

【分析】設(shè)公比為q>0,由題意可得a［q2?a］q8=2aiq=2,由此求得ai的值.

【解答】解：設(shè)公比為q>0,由題意可得&］口2?&］口8=2（&］口4）2,aiq=2,

解得ai=&=q,

故選C.

5.已知圓xZ+yZ+mx-^O與拋物線丫=/*2的準(zhǔn)線相切，則m的值等于（）

A.±72B.yC.我D.±A/3

【考點】直線與圓的位置關(guān)系.

【分析】由拋物線的方程找出P,寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，因為準(zhǔn)線方程與圓相切，所以圓

心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的

解即可得到m的值.

【解答】解：由拋物線的方程得到p=2,所以拋物線的準(zhǔn)線為y=-寧-1,

22

將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（X垮）+y2=L泮，圓心坐標(biāo)為（-胃,0）,圓的半徑

圓心到直線的距離d=

化簡得：m2=3,解得m=±?.

故選D

6.正方體ABCD-AiBiCiDi中E為棱BBi的中點（如圖），用過點A,E,Q的平面截去

該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為（）

【考點】簡單空間圖形的三視圖.

【分析】根據(jù)剩余幾何體的直觀圖即可得到平面的左視圖.

【解答】解：過點A,E,Ci的平面截去該正方體的上半部分后，剩余部分的直觀圖如圖:

則該幾何體的左視圖為C.

故選：C.

7.下列命題正確的個數(shù)是（）

(1)命題"若m>0,則方程x2+x-m=0有實根"的逆否命題為："若方程x2+x-m=0無實根,

則mWO”

(2)對于命題p：勺xGR使得x2+x+l<0",則rp：“vxGR,均有x2+x+l20”

(3)"x=l"是僅2-3x+2=0”的充分不必要條件

(4)若pAq為假命題，則p,q均為假命題.

A.4B.3C.2D.1

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【分析】直接寫出命題的逆否命題判斷(1);寫出命題的否定判斷(2)；求出方程的解后利

用充分必要條件的判定方法判斷C；由復(fù)合命題的真假判斷判斷D.

【解答】解：對于(1),命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根"的逆否命題為："若方程

x2+x-m=0無實根，則mWO",故(1)正確；

對于(2),命題p：勺xGR使得x2+x+l<0",則rp：“vxGR,均有x2+x+l、0",故(2)

正確；

對于(3),由x2-3x+2=0,解得x=l或x=2,是3-3x+2=0"的充分不必要條件，

故(3)正確；

對于(4),若p/\q為假命題，則p,q中至少一個為假命題，故(4)錯誤.

正確命題的個數(shù)有3個.

故選：B.

8.對于數(shù)列出｝,定義數(shù)列4+「aj為數(shù)列｛aj的"等差列"，若即=2,a/的"等差列”的

通項公式為2%則數(shù)列3｝的前2015項和$2015=()

A.22016-1B,22°16c.22016+1D.22016-2

【考點】數(shù)列的求和.

【分析】利用“累加求和”及其等比數(shù)列的前n項和公式可得an，再利用等比數(shù)列的前n項和

公式即可得出.

【解答】解：：即=2,｛aj的"等差列”的通項公式為2%

an=(an-an一1)+(an_i-an_2)+…+(a2-ai)+ai

=2廣1+2n-2+...+2+2

2n-1

±----+l=2n.

2-1

20015-1)

數(shù)歹！J{aj的前2015項和SI5=2+22+...+22015=.=22016,2

20-_2^1

故選：D.

9.已知xo是￡&)=(［戶浩的一個零點，xiG(-8,xo),xo￡(xo，0),則()

2x

A.f(xi)<0,f(X2)<0B.f(xi)>0,f(x2)>0C.f(xi)>0,f(x2)<

0D.f(xi)<0,f(X2)>0

【考點】函數(shù)零點的判定定理.

【分析】已知X0是f(x)=(g)xj的一個零點，可令h(x)=&)x,g(x)=-L畫

2x2x

出h(x)與g(x)的圖象，判斷h(x)與g(x)的大小，從而進行求解；

【解答】解：:已知Xo是f(x)=(工)”?pL的一個零點，X1(-8,Xo),X2^(Xo，0),

2x

可令h(x)=(y)x

X

如下圖:

當(dāng)O>x>xo，時g(x)>h(x),h(x)-g(x)=f—<0；

當(dāng)x<xo時，g(x)<h(x),h(x)-g(x)=§)+『;

Vxie(-oo,xo),X2^(xo，0),

.,.f(X1)>0,f(X2)<0,

故選C；

10.已知函數(shù)f(x)=cosu)x(sin3x+J&os(jox)(u)>0),如果存在實數(shù)x0,使得對任意的

實數(shù)X,都有f(x0)Wf(x)Wf(xo+2016rO成立，則3的最小值為()

A.―-——B.--——C.——D.——

2016兀4032H20164032

【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù).

【分析】由題意可得區(qū)間［xo,xo+2016汨能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)區(qū)間，利用兩

角和的正弦公式求得f(x)=sin(23X+2)+返，再根據(jù)2016G三?三匚，求得3的最

32223

小值.

【解答】解：由題意可得，f(xo)是函數(shù)f(x)的最小值，f(xo+2O16n)是函數(shù)f(x)的

最大值.

顯然要使結(jié)論成立，只需保證區(qū)間［xo,XO+2O16H］能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)區(qū)間

即可.

又f(x)=cos3x(sincox+5/jcosLOx)=-^-sin2wx+<^2l+cos2Wx-sin(2wx+-^-)+^^~,

232

兀求得32/

故2016n21.2

2?西4032

故則3的最小值為熹■

4032

故選：D.

x+y》2

11.已知O是坐標(biāo)原點，點A(T,1),若點M(x,y)為平面區(qū)域，2X^1上

log2(y-1)4。

的一個動點，則而?而的取值范圍是()

A.[-2,0]B.[-2,0)C.[0,2]D.(0,2]

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)2=詬?誣，求出Z的表達式，利用Z的幾何意

義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

'x+y>2

【解答】解：不等式組等價為<x-l40,

0<y-1<1

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

設(shè)Z=A6*OM>

VA(-1,1),M(x,y),

?■-z=A6*0Fx-y-

即y=x-z,

平移直線丫=*-2,由圖象可知當(dāng)y=x-z,經(jīng)過點D(0,2)時，直線截距最大，此時z最

小為z=0-2=-2.

當(dāng)直線y=x-z,經(jīng)過點B(1,1)時，直線截距最小，此時z最大為z=l-1=0.

故-2Wz<0,

故選：B.

12.正三角形ABC的邊長為2,將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為此時四

面體ABCD外接球表面積為()

A.7nB.19HC.—ynD.---J]2^

66

【考點】球的體積和表面積.

【分析】三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BDLAD、DCXDA,底面是等腰三角形，它的外接

球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球

的半徑，然后求球的表面積即可.

【解答】解：根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BDLAD、DCXDA,底面是等腰

三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂

點的距離，就是球的半徑,

三棱柱中，底面△BDC,BD=CD=1,BC=?,.\ZBDC=120o,.?.△BDC的外接圓的半徑

為2Xsinl20°

由題意可得：球心到底面的距離為瓜,

2

...球的半徑為

外接球的表面積為：4nr2=7n

故選：A.

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.已知向量彳=(cos0,sin9),向量于(?，1)，且則tanB的值是-遮.

【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

【分析】由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可知，a?b=V3cose+sine=0,然后結(jié)合同角基本關(guān)系

，sin9-r-ix

tan0Q=------nJ求

cosU

【解答】解：由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可知，a-b=V3cos0+sin9=0

.?.tane=Si"J=

cosy

故答案為：-A/3

14.若函數(shù)f(x)=x+alnx不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(-8,0).

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值求解a的范圍.

【解答】解：函數(shù)f(x)=x+alnx的定義域為：x>0.

函數(shù)f(x)=x+alnx的導(dǎo)數(shù)為：f(x)=1+—,

x

當(dāng)a》0時，f(x)>0,函數(shù)是增函數(shù)，

當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)=x+alnx不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(-g,0).

故答案為：(-g,0).

15.若(4-g)n的展開式的各項系數(shù)絕對值之和為1024,則展開式中x項的系數(shù)為一二

15.

【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì).

【分析】根據(jù)（4一?）n展開式的各項系數(shù)絕對值之和為4n=1024,求得n=5.在

（五一子）5展開式的通項公式中，令x的幕指數(shù)等于1,求得r的值，可得展開式中x項

的系數(shù).

【解答】解：在（4一尸的展開式中，令x=l,

可得GG-g）n展開式的各項系數(shù)絕對值之和為4n=22n=1024=2】。，

n=5.

q5-3r

故（4-*）5展開式的通項公式為「+1=（_3）r■cJ、，二-

5

R—

令T,求得r=l,故展開式中x項的系數(shù)為-15.

2

故答案為：-15.

22

16.點P為雙曲線三一二廠1殳>0,b>0）右支上第一象限內(nèi)的一點，其右焦點為F2,

a2b2

若直線PF2的斜率為M為線段PF2的中點，且|OF21=|F2M|,則該雙曲線的離心率為

e+1

-2,

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】設(shè)|PF21=t,則I0F2UIF2M1=/t=c,求得直線PF2的傾斜角為60。，由三角函數(shù)的

定義，可得P（2c,遮c）,代入雙曲線的方程，運用a,b,c的關(guān)系和離心率公式，解方

程即可得到所求值.

【解答】解:設(shè)鵬|=3則解F21=|F2Ml=吳,

即t=2c,由直線PF2的斜率為可得

直線PF2的傾斜角為60。，

可得P（c+2ccos60°,2csin60°）,

即為P（2c,?c）,代入雙曲線的方程可得

由b2=c2-a2,e=—,可得4e2--------=1,

ae2-1

化為4e4-8e2+l=0,

解得e2=4+2?（4一%6舍去）,

44

即有e=wi.

2

故答案為：'也.

2

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.已知AABC的面積為S,且標(biāo)?菽=5.

（1）求tan2A的值；

（2）若|赤-演|=3，求^ABC的面積S.

【考點】平面向量數(shù)量積的運算；兩角和與差的正切函數(shù).

【分析】（1）由己知和三角形的面積公式可得cosA=,sinA，進而可得tanA=2,由二倍角

的正切公式可得答案；

（2）由（1）中的tanA=2,可得sinA,cosA,由兩角和的正弦公式可得sinC,結(jié)合正弦定

理可得邊b,代入面積公式可得答案.

【解答】解：（1）設(shè)AABC的角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c.

.?一一?1

?AB?AC=S，-?bccosA=_bcsinA，-

?**cosA=~~sinA^AtanA=2....

2tanA4

...tan2AH

1-tan2A

(2)|CB-CA|=3-即|AB|=c=3'

tanA=2，0<A<.，

2

▲sinA,

tanA=------=2

<cosA

.sin2A+coS2A=1

角軍得sinA二一：。，co

5

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-^^^-..

52工210

由正弦定理知:b’可推得喝會七出

sinCsinB

S=^-bcsinA:z-|V5-

18.退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構(gòu)為了解某城

市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機抽取年齡段在20?80歲（含20歲和80歲）之間

的600人進行調(diào)查，并按年齡層次繪制頻率分布直方圖，如圖所示.若規(guī)定年齡分布在為"老

年人

(1)若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點值來代替，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡；

(2)將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率.從該城市20

-80年齡段市民中隨機抽取3人，記抽到“老年人"的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

【考點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差.

【分析】(1)由頻率分布直方圖，能估算所調(diào)查的600人的平均年齡.

(2)由頻率分布直方圖可知，“老年人”所占頻率=，由題意知，X?B(3,3)，由此能求

55

出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖，估算所調(diào)查的600人的平均年齡為：

25X0.1+35X0.2+45X0.3+55X0.2+65X0.1+75X0.1=48(歲).

(2)由頻率分布直方圖可知，"老年人"所占頻率二，

5

該城市20-80年齡段市民中隨機抽取3人，抽到“老年人"的概率為

5

又題意知，X?B(3,—),

5

???P(x=0)=c消)。(式=黠,

「皿…消產(chǎn)電二蕊，

P(X=3)=Co(―)3=-1-,

隨機變量X的分布列如下表：

X0123

P6648121

125125125125

,隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX=0X程-+1X萼r+2X~^+3乂上尸堤.

1251251251255

19.在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD，平面ABC,ZXACD與4ACB是邊長為2的

等邊三角形，BE=2,BE和平面ABC所成的角為60。，且點E在平面ABC上的射影落在/

ABC的平分線上.

(I)求證：DE〃平面ABC；

(n)求二面角E-BC-A的余弦值.

【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜

合題.

【分析】(I)取AC中點O,連接BO,DO,由題設(shè)條件推導(dǎo)出DO,平面ABC,作EF

_L平面ABC,由已知條件推導(dǎo)出/EBF=60。，由此能證明DE〃平面ABC.

(II)法一：作FGLBC,垂足為G,連接EG,能推導(dǎo)出NEGF就是二面角E-BC-A的

平面角，由此能求出二面角E-BC-A的余弦值.

法二：以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用

向量法能求出二面角E-BC-A的余弦值.

【解答】(本小題滿分12分)

解：(I)由題意知，AABC,4ACD都是邊長為2的等邊三角形，

取AC中點O,連接BO,DO,

貝l」BO_LAC,DOXAC,...

又：平面ACD_L平面ABC,

；.DO_L平面ABC,作EF_L平面ABC,

那么EF〃DO,根據(jù)題意，點F落在BO上，

VBE和平面ABC所成的角為60。，

；./EBF=60。，

VBE=2,.-.EF=D0=V3，...

四邊形DEFO是平行四邊形，

；.DE〃OF,

VDE不包含于平面ABC,OFc平面ABC,

；.DE〃平面ABC.…

（II）解法一：作FGLBC,垂足為G,連接EG,

：EF_L平面ABC,；.EF_LBC,又EFnFG=F,

；.BC_L平面EFG,；.EG_LBC,

.^.NEGF就是二面角E-BC-A的平面角.…

比△EFG中，F(xiàn)G=FB-sin300,，EG=^p.

???cos/EG嚕嚕

即二面角E-BC-A的余弦值為1號...

13

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

B（0,炳,0）,C（-1,0,0）,E（0,V3-1，?），

,詔（-1，-°）,BE=（。，-1，M）,

平面ABC的一個法向量為$'=（0,0,1）

設(shè)平面BCE的一個法向量為E=（x,y,z）

f'一?.

n2*BC=0（-x->/3y=0

貝弘_「，

n2*BE=0-y+V3z=0

?.n2-（-3,y/~3，1）.…

p

）一一ntn2

所以cos<n］，~~—-.-1，

1J

In1|*|n2I

又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，

二面角E-BC-A的余弦值為'亙.…

22

20.如圖，橢圓C：三+工片1（a>b>0）的右焦點為F,右頂點、上頂點分別為點A、B,

ab2

且AB=喙BF.

（I）求橢圓C的離心率；

（II）若點M（-條，音）在橢圓C內(nèi)部，過點M的直線1交橢圓C于P、Q兩點，M

為線段PQ的中點，且OPLOQ.求直線1的方程及橢圓C的方程.

【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題.

【分析】（I）由已知得，7寶=恒人由此能求出小五

2a2

2222

（II）由（I）知a2=4b2,設(shè)橢圓C：x=1.設(shè)P（xi，yi）,Q（X2,y2），由x［十3■二］

4b2b24b2b2

22_32_

旦+工2=1，得-五(x「X2)4直線1的方程為2x-y+2=0.由

4b2b2----------4----------+T7(yl~y2)=0

2x-y+2=0

22222由此能求出橢圓的方程.

xv=>x+4(2x+2)-4b=0.C

V=1

,4b2

【解答】(本題滿分13分)

解：(I)由已知|AB|=^|BF|，

即式2+匕2=李a,

4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,

.cVs

??e=--

a2

(II)由(I)知a2=4b2,

22

xr_-

橢圓C：+b2-11-

4b2

設(shè)P(X1，yi),Q(X2，y2),

22222_22_

由2+二=1，上+”=1，得XlX2+±j

=0,

4b2b24b2b24b2b2

(xi+Xn)(x<Xn)(V[+V2)(V1y2

即——-——-~~/——+——-——-_L——=o

4b2b2

-32，_、

即-正(x「X2)一

----------4----------+京3一y2)=0

yi-y

從而k=----------9-二2,

pPQnx「X2

進而直線1的方程為y-導(dǎo)2[x-(一號)]，

即2x-y+2=0....

'2x-y+2二。

222

由4*22=>x+4(2x+2)-4b=0-

14b2b2

即17X2+32X+16-4b2=0.

22-

A=32+16X17(b4)〉0Ob>￥g.X]+x2=-普，x1x

VOP±OQ,/.OP*0Q=0,

即xiX2+yiy2=0,X1X2+(2xi+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(xi+x2)+4=0.

從而5(16-121^=0,解得b=l,

1717

2,

???橢圓C的方程為\_+y2=i.…

21.已知函數(shù)f(x)=《x'—1x+lnG+a)，其中常數(shù)a>0.

4a

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)已知f(x)表示f(x)的導(dǎo)數(shù)，若xi，xo￡(-a,a),xi#X2，且滿足？

(XI)+f(X2)=0,試比較f'(X1+X2)與f'(0)的大小，并加以證明.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)令g(X)=?(x),求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，得到g(x)的單調(diào)性，得到f7(X1+X2)的表

達式，通過換元法求出其最大值，從而判斷出與f'(0)的大小即可.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-a,+00),

11x(ax-2+a2)/、

—?<---=—---;---(x>—aa>0)

ax+a2a(x+a)

o.2

由f(x)=0,得xi=0,x二....-

2a

2

當(dāng)MY(x)=^y>0，

所以f(x)在(-&，+8)上為增函數(shù);

當(dāng)a>血時，一a<<0,

a

o_2Q_2

所以f(x)在(0,+8),(-a,__?_)上為增函數(shù)；在(上_0)上為減函數(shù);

aa

n_2

當(dāng)時，±->0，

a

Q-2o—2

所以f(x)在(....-,+8),(-a,0)上為增函數(shù)；在(0,---5_)上為減函數(shù);

aa

(2)令g(x)=(x)=-^-x-—+-7—("a<x<a)

，ax+a

則g，(x)于」^旦包W，

2(x+a)2(x+a)

-a<x<a,

.*.0<x+a<2a,

?e?(x+a)2<4&y1(<0<a<?,

.*.g*(x)<0,

???g(x)在(-a,a)上為減函數(shù)，即f(x)在(-a,a)上為減函數(shù)，

以題意，不妨設(shè)X1〈X2，又因為f(0)=0,f(X1)+f(X2)=0,...

所以，-aVxiV0Vx2〈a,所以，OVxi+aVa,且-aVxi+x2〈a,

Xi+XnO11

由f(XI)+f(X2)=0,Wn=---——，

2a町+ax2+a

尹(,-Xl+X2_1,1_11____I-

kX1XJ_a

22a,xi+xz+ax^xg+ax[+ax2+a

令t=x1+a,h(t)=%W

2tx2+a

22

11(t+x2)-t(2t+x2)x2

則h'(t)=

222222

(t+x2)t(t+x2)*t(t+x2)-t

所以，h(t)在(0,a)內(nèi)為增函數(shù)，又因為t=xi+ae(0,a)

所以，h(t)Vh(a)^0,

L1

即:—<0

aX[+x2+axI+ax2+a

所以，f(XI)+f(X2)<f(0).

請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.［選修4-1：

幾何證明選講］

22.如圖，已知PA與圓O相切于點A,經(jīng)過點O的割線PBC交圓。于點B,C,ZAPC

的平分線分別交AB,AC于點D,E.

(I)證明：ZADE=ZAED；

（II）若AC=AP,求生的值.

PA

【考點】弦切角；相似三角形的性質(zhì).

【分析】（I）根據(jù)弦切角定理，得到NBAP=/C,結(jié)合PE平分NAPC,可得/BAP+NAPD=

ZC+ZCPE,最后用三角形的外角可得NADE=NAED；

（n）根據(jù)AC=AP得到NAPC=/C,結(jié)合（I）中的結(jié)論可得NAPC=NC=NBAP,再在△

APC中根據(jù)直徑BC得到/PAC=9（T+NBAP,利用三角形內(nèi)角和定理可得

ZC=ZAPC=ZBAP4-X90°=30°.利用直角三角形中正切的定義，得到器Wj，最

3AB

后通過內(nèi)角相等證明出△APCS^BPA,從而■噂

【解答】解：（I）???PA是切線，AB是弦，

???NBAP=NC.

又?.?NAPD=NCPE,

ZBAP+ZAPD=ZC+ZCPE.

VZADE=ZBAP+ZA