大二輪高考總復習文數(shù)自檢12直線與圓

自檢12：直線與圓A組高考真題集中訓練直線方程1．(2013·全國卷Ⅱ)已知點A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A．(0,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,y＝ax＋b))消去x，得y＝eq\f(a＋b,a＋1)，當a＞0時，直線y＝ax＋b與x軸交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))，結合圖形知eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))＝eq\f(1,2)，化簡得(a＋b)2＝a(a＋1)，則a＝eq\f(b2,1－2b).∵a＞0，∴eq\f(b2,1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考慮極限位置，即a＝0，此時易得b＝1－eq\f(\r(2),2)，故選B．答案：B2．(2013·全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C．y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D．y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)解析：法一：如圖所示，作出拋物線的準線l1及點A，B到準線的垂線段AA1，BB1，并設直線l交準線于點M.設|BF|＝m，由拋物線的定義可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知eq\f(|BB1|,|AA1|)＝eq\f(|MB|,|MA|)，即eq\f(m,3m)＝eq\f(|MB|,|MB|＋4m)，所以|MB|＝2m，則|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，結合選項知選C項．法二：由|AF|＝3|BF|可知eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，易知F(1,0)，設A(x1，y1)，B(x0，y0)，則(1－x1，－y1)＝3(x0－1，y0)從而可解得A的坐標為(4－3x0，－3y0)．因為點A，B都在拋物線上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1,y\o\al(2,0)＝4x0))解得x0＝eq\f(1,3)，y0＝±eq\f(2\r(3),3)，所以kl＝eq\f(y0－0,x0－1)＝±eq\r(3).答案：C直線與圓的方程1．(2015·全國卷Ⅱ)已知三點A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A．eq\f(5,3) B．eq\f(\r(21),3)C．eq\f(2\r(5),3) D．eq\f(4,3)解析：在坐標系中畫出△ABC(如圖)，利用兩點間的距離公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以△ABC為等邊三角形．設BC的中點為D，點E為外心，同時也是重心．所以|AE|＝eq\f(2,3)|AD|＝eq\f(2\r(3),3)，從而|OE|＝eq\r(|OA|2＋|AE|2)＝eq\r(1＋\f(4,3))＝eq\f(\r(21),3)，故選B．答案：B2．(2016·全國甲卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\r(3) D．2解析：因為圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).答案：A3．(2016·全國甲卷)設直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則圓C的面積為________．解析：圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程為x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圓心C(0，a)，半徑r＝eq\r(a2＋2)，因為|AB|＝2eq\r(3)，點C到直線y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距離d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.答案：4π4．(2017·浙江卷)我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術”，將π的值精確到小數(shù)點后七位，其結果領先世界一千多年．“割圓術”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________.解析：作出單位圓的內(nèi)接正六邊形，如圖，則OA＝OB＝AB＝1.S6＝6S△OAB＝6×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)5．(2017·天津卷)設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為__________________．解析：由y2＝4x可得點F的坐標為(1,0)，準線l的方程為x＝－1.由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點C的橫坐標為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因為∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝eq\r(3)，所以點C的縱坐標為eq\r(3).所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝16．(2016·全國丙卷)已知直線l：x－eq\r(3)y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|＝________.解析：如圖所示，∵直線AB的方程為x－eq\r(3)y＋6＝0，∴kAB＝eq\f(\r(3),3)，∴∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°.在Rt△BOD中，∵|OB|＝2eq\r(3)，∴|OD|＝2.取AB的中點H，連接OH，則OH⊥AB，∴OH為直角梯形ABDC的中位線，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.答案：4B組高考對接限時訓練(十二)(時間：35分鐘滿分70分)一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分．1．(2017·鄭州質(zhì)量預測)“a＝1”是“直線ax＋y＋1＝0與直線(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：∵ax＋y＋1＝0與(a＋2)x－3y－2＝0垂直，∴a(a＋2)－3＝0，∴a＝1或a＝－3.∴“a＝1”是兩直線垂直的充分不必要條件．答案：B2．經(jīng)過點(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點的圓的方程為()A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,x＋y＝2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))即所求圓的圓心坐標為(1,1)，又由該圓過點(1,0)，得其半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.答案：B3．設點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點的軌跡方程為()A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2解析：設P(x，y)，則由題意知，圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1,0)、半徑為1，∵PA是圓的切線，且|PA|＝1，∴|PC|＝eq\r(2)，即(x－1)2＋y2＝2，∴P點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝2.答案：D4．已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為()A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,4) D．2eq\r(3)解析：由兩圓外切，得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1，即(a＋b)2＝9，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4).答案：C5．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點恰有3個，則實數(shù)a的值為()A．2eq\r(2) B．eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．－2eq\r(2)或2eq\r(2)解析：因為圓上的點到直線l的距離等于1的點恰有3個，所以圓心到直線l的距離d＝1，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))＝1，解得a＝±eq\r(2).答案：C6．(2016·山東卷)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離解析：由題意知，圓M的圓心為(0，a)，半徑為a.∵圓M被直線x＋y＝0所截弦長為2eq\r(2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))2＋(eq\r(2))2＝a2.∴a＝2.∴|MN|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)<1＋2.∴圓M與圓N相交．答案：B7．已知圓C與直線y＝x及x－y－4＝0都相切，圓心在直線y＝－x上，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：由題意知x－y＝0和x－y－4＝0之間的距離為eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以r＝eq\r(2)；又因為y＝－x與x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0聯(lián)立得交點坐標為(0,0)，由y＝－x和x－y－4＝0聯(lián)立得交點坐標為(2，－2)，所以圓心坐標為(1，－1)，圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：D8．(2017·武漢模擬)已知直線l：mx＋y－1＝0(m∈R)是圓C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的對稱軸，過點A(－2，m)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|為()A．4 B．2eq\r(5)C．4eq\r(2) D．3解析：∵圓C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝4，表示以C(2，－1)為圓心、半徑等于2的圓．由題意可得，直線l：mx＋y－1＝0經(jīng)過圓C的圓心(2，－1)，故有2m－1－1＝0，∴m＝1，點A(－2,1)．∵AC＝eq\r(20)，CB＝R＝2，∴切線的長|AB|＝eq\r(20－4)＝4.故選A．答案：A9．(2017·蘭州二模)已知圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則當t取得最大值時，點P的坐標是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))解析：圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1，其圓心C(eq\r(3)，1)，半徑為1，∵圓心C到O(0,0)的距離為2，∴圓C上的點到點O的距離的最大值為3.再由∠APB＝90°，以AB為直徑的圓和圓C有交點，可得PO＝eq\f(1,2)AB＝t，故有t≤3，∴A(－3,0)，B(3,0)．∵圓心C(eq\r(3)，1)，直線OP的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，∴直線OP的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x，聯(lián)立：解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x,x－\r(3)2＋y－12＝1))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(3),2),y＝\f(3,2))).故選D．答案：D10．(2017·揭陽二模)已知直線x＋y－k＝0(k＞0)與x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則k的取值范圍是()A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)，2eq\r(2))C．[eq\r(2)，＋∞) D．[eq\r(3)，2eq\r(2))解析：由已知得圓心到直線的距離小于半徑，即eq\f(|k|,\r(2))＜2，又k＞0，故0＜k＜2eq\r(2).①如圖，作平行四邊形OACB，連接OC交AB于M，由|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|得|eq\o(OM,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(BM,\s\up6(→))|，即∠MBO≥eq\f(π,6)，因為|OB|＝2，所以|OM|≥1，故eq\f(|k|,\r(2))≥1，k≥eq\r(2).②綜合①②得，eq\r(2)≤k＜2eq\r(2).選B．答案：B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．共20分．11．直線l經(jīng)過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是________．解析：設直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－eq\f(2,k)，令－3<1－eq\f(2,k)<3，解不等式得k>eq\f(1,2)或k<－1.答案：(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))12．(2017·清遠一模)在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2＝5上有且僅有三個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的值是________．解析：如圖，由題意可知，原點到直線12x－5y＋c＝0的距離為eq\r(5)－1.由點到直線的距離公式可得：eq\f(|c|,\r(122＋－52))＝eq\r(5