第二講盈虧問題

新世紀(jì)奧校內(nèi)部講義，金牌學(xué)員班絕密講義，嚴(yán)禁翻印PAGE5PAGE1盈虧問題思維基礎(chǔ)訓(xùn)練篇【思維引導(dǎo)】盈虧問題就是把一定數(shù)量的某一類物體分發(fā)給若干個(gè)對象，且在兩次分配中，出現(xiàn)多余（盈）、不足（虧）、剛好分完（足）三種不同的結(jié)果，而每個(gè)對象分的物品個(gè)數(shù)差叫分配差，要求物品數(shù)量和對象數(shù)量，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。解盈虧問題有一個(gè)重要的思想：轉(zhuǎn)化思想?；娟P(guān)系式：一盈一足：總?cè)藬?shù)=盈÷分配差一盈一虧：總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差雙盈：總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差雙虧：總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差一虧一足：總?cè)藬?shù)=虧÷分配差（一）簡單的盈虧問題一盈一足例1、小朋友分桃子，每人分8個(gè)，余8個(gè),每人10個(gè)，剛好分完。問：有多少個(gè)小朋友？【分析】：假如第一次分的時(shí)候，其中有一人分了10個(gè)，其余每人分8個(gè)，則余6個(gè)；假如有兩個(gè)人每人分10個(gè)，則余4個(gè)；以此類推，要把余下的8個(gè)桃子都分完，就需要4個(gè)人每人分10個(gè)，則總共有4個(gè)小朋友。解：8÷（10－8）=4（人）根據(jù)列式推出：總?cè)藬?shù)=盈÷分配差練習(xí)題：（1）某班少先隊(duì)員參加學(xué)校的搬磚勞動，若每人搬20塊還剩30塊，若每人搬22塊剛好搬完。問：有多少名少先隊(duì)員，共有多少塊磚？一盈一虧例2、小朋友分桃子，每人8個(gè)余8個(gè)，每人10個(gè)缺6個(gè)。問：有多少個(gè)小朋友？【分析】對比第一題觀察，第一題每人10個(gè)剛好分完，而本題每人10個(gè)還缺6個(gè)，如果送他們6個(gè)桃子剛好分完。第二次送了6個(gè)桃子，那第一次分也要送6個(gè)桃子。本題轉(zhuǎn)化：“每人8個(gè)余14個(gè)，每人10個(gè)剛好分完”。注：轉(zhuǎn)化后的余14個(gè)是由（余8個(gè)+缺6個(gè)）而來。解：（8+6）÷（10－8）=7(人)根據(jù)列式推出：總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差練習(xí)題：（2）猴媽媽采了一堆桃子，分給小猴吃，每個(gè)小猴分3個(gè)剩6個(gè)，每個(gè)小猴分5個(gè)缺4個(gè)。問：一共有多少個(gè)桃子？雙盈例3、小朋友分桃子，每人10個(gè)余1個(gè)，每人8個(gè)余7個(gè)。問：有多少個(gè)小朋友？【分析】：此題兩次都有剩余，根據(jù)第二題的轉(zhuǎn)換思想，假設(shè)把第一次余的1個(gè)拿走，那么第一次就變成剛好分完，因?yàn)閮纱畏值奶易拥目倲?shù)量要一樣多，那么第二次也要拿走1個(gè)，條件可轉(zhuǎn)化為“每人8個(gè)余6個(gè)，每人10個(gè)剛好分完”，根據(jù)第一題的公式可解。注：轉(zhuǎn)化后的余6個(gè)是由（余7個(gè)—余1個(gè)）而來。解：（7－1）÷（10－8）=3（人）根據(jù)列式推出：總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差練習(xí)題：（3）小明有一些糖分給小伙伴，每人分4塊還剩8塊，每人6塊還剩2塊，問：小明共有多少塊糖。雙虧例4、小朋友分桃子，每人8個(gè)缺9個(gè)，每人10個(gè)缺17個(gè)。問：有多少個(gè)小朋友？【分析】：此題兩次都要缺桃子，同樣根據(jù)第二題的轉(zhuǎn)換思想，第二次分的時(shí)候少17個(gè)，那么就再送他們17個(gè)，第二次就變成剛好分完了，因?yàn)閮纱畏值奶易拥目倲?shù)量要一樣多，那么第一次也要送17個(gè)，第一次就變成余8個(gè)，條件就轉(zhuǎn)化為“每人8個(gè)余8個(gè)，每人10個(gè)剛好分完”再根據(jù)第一題的公式可解。注：轉(zhuǎn)化后的余8個(gè)是由（缺17個(gè)—缺9個(gè)）而來。解：（17－9）÷（10－8）=4（人）根據(jù)列式推出：總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差練習(xí)題：（4）幼兒園阿姨給小朋友分餅干，若每人5塊還少1塊，若每人6塊還少8塊，問：阿姨共有多少塊餅干。一虧一足例5、小朋友分桃子，每人8個(gè)，剛好分完，每人10個(gè)缺8個(gè)。問：有多少個(gè)小朋友？【分析】：第二次分時(shí)缺8個(gè)桃子，假設(shè)送他們8個(gè)，那么第二次就變成就剛好分完，因?yàn)閮纱畏值奶易拥目倲?shù)量要一樣多，所以第一次也要送8個(gè)，此題條件就克轉(zhuǎn)化為“每人8個(gè)余8個(gè)，每人10個(gè)剛好分完?！?，再根據(jù)第一題的公式可解。注：轉(zhuǎn)化后的余8個(gè)是由“缺8個(gè)”而來。解：8÷（10－8）=4（人）根據(jù)列式推出：總?cè)藬?shù)=虧÷分配差練習(xí)題：（5）老師有一些作業(yè)本，每個(gè)學(xué)生發(fā)3本剛好發(fā)完，每人分4本還缺8本。問：老師共有多少本作業(yè)本？總結(jié)得出簡單盈虧問題的基本特點(diǎn)：①分配的次數(shù)為兩次②兩次分配的物品總數(shù)量要統(tǒng)一③分配的物品種類為一種④兩次分配的對象總數(shù)量要統(tǒng)一⑤兩次分配結(jié)果的單位都是物品的單位思維提高訓(xùn)練篇(二）復(fù)雜的盈虧問題【思維引導(dǎo)】解決復(fù)雜的盈虧問題，同樣需要采取轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜的盈虧問題轉(zhuǎn)化為簡單的盈虧問題，再利用公式可解。物品的總數(shù)量改變例1、小朋友分桃子，每人10個(gè)少11個(gè)，后來老師又多拿來了兩個(gè)桃子，現(xiàn)在每人8個(gè)多7個(gè)。問：有多少個(gè)小朋友？【分析】：兩次分配中桃子的總數(shù)量發(fā)生了變化，第二次多了兩個(gè)桃子。假如把多的兩個(gè)桃子“搶”了，就和第一次分配的桃子總量一樣?？捎梢挥惶澒娇山?。注：第二次分配時(shí)被“搶”了兩個(gè)桃子，則原來的“多7個(gè)”將轉(zhuǎn)化為“多5個(gè)”。解：（11+7－2）÷（10－8）=8（人）解法：將物品的總數(shù)量轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一練習(xí)題：（1）某校參加六一杯小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，原定考場若干個(gè)。每個(gè)考場坐24人，還有6人沒座位；后來增加了60名考生，每個(gè)考場坐30人，還有10人沒座位?？偣灿卸嗌賯€(gè)考場？物品的種類為兩種或多種例2、小朋友分一筐桃子和蘋果，蘋果是桃子的2倍，蘋果每人分10個(gè)多6個(gè)，桃子每人分8個(gè)少12個(gè)，問：有多少個(gè)小朋友？【分析】：分配的種類變?yōu)閮煞N，無法直接運(yùn)用公式。根據(jù)“蘋果是桃子的2倍”和“蘋果每人10個(gè)多6個(gè)”，若按蘋果的分法去分桃子可知“桃子每人5個(gè)多3個(gè)”，由此可轉(zhuǎn)化為都分桃子。注：兩類物品成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，轉(zhuǎn)化中每人分的個(gè)數(shù)和結(jié)果的個(gè)數(shù)都要成倍數(shù)變化。解：(12+6÷2)÷(8－10÷2)=5（人）解法：把多種物品轉(zhuǎn)化為一種練習(xí)題：（1）老師給同學(xué)分發(fā)課本和練習(xí)本，已知練習(xí)本比課本的3倍還多2本，課本每人1本剛好發(fā)完，練習(xí)本每人2本還剩17本，問：課本和練習(xí)本各多少本？對象的總數(shù)量改變例3、小朋友分桃子，每人10個(gè)少9個(gè)，后來又來了5個(gè)小朋友，重新分配，每人4個(gè)多7個(gè)，問小朋友原來有多少人？【分析】：兩次分配時(shí)總?cè)藬?shù)不同，無法直接運(yùn)用公式。假如后來的5個(gè)小朋友沒來，兩次次分配人數(shù)就統(tǒng)一了，但第二次分配的結(jié)果就會發(fā)生變化。由“多7個(gè)”轉(zhuǎn)化為“多27個(gè)”。注：“多27個(gè)”是由“5個(gè)小朋友每人分4個(gè)的和”加上“本來就多的7個(gè)”而來。解：(4×5+7+9)÷(10－4)=6（人）解法：把對象的數(shù)量轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一練習(xí)題：（3）幼兒園將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的小朋友，每人3個(gè)余20個(gè)；如果分給小班的小朋友，每人8個(gè)缺2個(gè)。已知大班的人數(shù)是小班的2倍。這一筐蘋果有多少個(gè)？分的次數(shù)不是兩次例4、小朋友分桃子，先給3個(gè)人每人分了8個(gè)，其余每人10個(gè)，還少9個(gè)，如果每人8個(gè)，就要多7個(gè)，問小朋友有多少人？【分析】：本題總共分了3次，無法直接運(yùn)用公式。如果把前面兩次分配轉(zhuǎn)化為一次分配，則可直接運(yùn)用公式。假設(shè)第一次的3個(gè)人每人也分10個(gè)，這樣就還少6個(gè)，則可把前面兩次分配轉(zhuǎn)化為“每人10個(gè)，還少15個(gè)”。注：“少15個(gè)”由“少9個(gè)”加上“少6個(gè)”而來。解：[(10－8)×3+9+7]÷(10－8)=11（人）解法：把多次轉(zhuǎn)化為兩次。練習(xí)題：（4）小紅家買來一籃桔子，分給全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，還多出4只，如果一人分6只，其余每人分4只，又缺12只，小紅家買來多少只桔子？小紅家共有多少人？單位不統(tǒng)一例5、小朋友分桃子，每人10個(gè)，就有兩個(gè)人沒有分到，每人8個(gè)，剩2個(gè)桃子，問共有多少個(gè)小朋友？【分析】第一次分配是兩人沒分到，第二次分配是剩2個(gè)桃子，單位不統(tǒng)一不能直接運(yùn)用公式。需要將第一次分配結(jié)果“兩人沒分到”轉(zhuǎn)化為“還缺20個(gè)桃子”，就能直接運(yùn)用公式了。注：“缺20個(gè)桃子”由“兩個(gè)人每人分10個(gè)”得來。解：(2×10+2)÷(10－8)=11（人）解法：把兩次分配結(jié)果的單位都要統(tǒng)一為物品的單位練習(xí)題：（5）育才小學(xué)學(xué)生乘汽車去春游，如果每車坐65人，則有15人不能乘車；如果每車多坐5人，恰好多余一輛車。問一共有幾輛汽車？有多少學(xué)生？思維拓展訓(xùn)練篇（3）盈虧問題拓展【思維引導(dǎo)】有些行程問題，工程問題和雞兔同籠問題等可轉(zhuǎn)化為盈虧問題。例1、李師傅加工一批零件，如果每天做50個(gè)，要比原計(jì)劃晚8天完成；如果每天做60個(gè)，就可以提前5天完成。這批零件共有多少個(gè)？【分析】：乍一看，這道題應(yīng)該是工程問題，但是仔細(xì)斟酌，其實(shí)是一道盈虧問題，用盈虧問題的解題方法來解更簡便。通過審題，我們可以把“零件”轉(zhuǎn)化為“物品”，把“天數(shù)”轉(zhuǎn)化為“對象”?！巴?天完成”可轉(zhuǎn)化為“還差400個(gè)零件”，“提前5天完成”轉(zhuǎn)化為“多做300個(gè)零件”。得到典型的盈虧問題。解：(8×50+5×60)÷(60－50)=70（天）70×60－60×5=3900（個(gè)）練習(xí)題：（1）鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，買8支圓珠筆多6角。小明帶了多少錢？例2、小明8點(diǎn)3分從家出發(fā)去上學(xué)，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，如果每分鐘走60米，就會提前2分鐘到校。問：小明上課時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？【分析】雖是行程問題，同樣可轉(zhuǎn)化為盈虧問題。把“路程”看作“物品”，把“時(shí)間”看作“對象”，則可轉(zhuǎn)化為“每分鐘走50米，還差150米，每分鐘走60米，就多120米”，注：所求出的時(shí)間是準(zhǔn)時(shí)上課需要的時(shí)間。解：（3×50+2×60）÷（60—50）=27（分鐘）8點(diǎn)3分+27分=8點(diǎn)30分練習(xí)題：（2）一個(gè)旅行社住旅館，如果每個(gè)房間住3個(gè)人，還有16個(gè)人沒法??；如果每個(gè)房間住5個(gè)人，還有兩個(gè)房間沒人住，問旅行社共有多少個(gè)人？思維競賽訓(xùn)練篇（四）綜合類的盈虧問題【思維引導(dǎo)】綜合類盈虧問題會同時(shí)根據(jù)多個(gè)特點(diǎn)來改變題型，增加難度。但只要找準(zhǔn)改變的特點(diǎn)，再一個(gè)一個(gè)特點(diǎn)逐步轉(zhuǎn)化，最后都能轉(zhuǎn)化為最簡單的盈虧問題。例1、小朋友分一筐桃和蘋果，蘋果每人5個(gè)，桃每人2個(gè)，只剩20個(gè)蘋果，后來人數(shù)有變，現(xiàn)重新分配，蘋果每人7個(gè)，桃每人2個(gè)，只剩12個(gè)桃，問小朋友原來有多少人？【分析】：通過審題，可知題中物品種類為兩種，對象數(shù)量發(fā)生變化，我們就根據(jù)這兩類變型題的解題方法，一步一步地轉(zhuǎn)換為最簡單的盈虧問題。（1）把物品種類轉(zhuǎn)化為一種“桃每人2個(gè)剛好分完，人數(shù)變動后，桃每人2個(gè)剩12個(gè)”兩次分配每人都是2個(gè)桃，但第二次還剩12個(gè)，說明人數(shù)少了6人（12÷2）。（2）把人數(shù)都轉(zhuǎn)化為原來小朋友的數(shù)量“蘋果每人5個(gè)，剩20個(gè)，每人7個(gè)，缺42個(gè)”解：（12÷2×7+20）÷（7—5）=31（人）練習(xí)題：（1）用一根繩子繞大樹3圈余3分米，用這根繩子繞小樹8圈還差8分米，已知大樹直徑是小樹直徑的2倍。問：這根繩子有多長？例2、王小明從家到學(xué)校上學(xué)。他以每分鐘50米的速度走了兩分鐘后，發(fā)覺如果這樣走下去要遲到8分鐘，于是他加快速度，每分鐘多走10米，結(jié)果會提前5分鐘到校。王小明家離學(xué)校多遠(yuǎn)？【分析】此題同樣需要兩次轉(zhuǎn)化。（1）將行程問題轉(zhuǎn)化為盈虧問題“若每分鐘走50米，少走400米（8分鐘），若前面兩分鐘每分鐘走50米，其余時(shí)間每分鐘走60米（多走10米），多出300米（提前5分鐘）?！保?）將次數(shù)轉(zhuǎn)化為兩次（把后面兩次轉(zhuǎn)化為一次）“若每分鐘走50米，少走400米，每分鐘走60米，就多出320米（300+10×2）”解：（5×60+10×2+50×8）÷（60—50）=72（分鐘）50×（72+8）=4000（米）練習(xí)題：（2）紅山小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游，如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；后來學(xué)校又調(diào)來一輛車，如果每車多坐1人，恰好多余余一輛車，問一共幾輛車，多少學(xué)生？課后練習(xí)題（1）學(xué)校為新生分配宿舍，每個(gè)房間住3人，則多出23人；每個(gè)房間住5人，則空出3個(gè)房間，問宿舍有多少間？新生有多少人？（2）少先隊(duì)員去植樹，如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完，問有多少少先隊(duì)員，一共種