第05講 角平分線的性質(zhì)（6大知識點+5大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學(xué)》銜接講義（解析版）

第第頁第05講角平分線的性質(zhì)（6大知識點+5大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）題型一角平分線性質(zhì)定理及證明題型二角平分線的性質(zhì)定理題型三角平分線的判定定理題型四角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用題型五作角平分線(尺規(guī)作圖)知識點01尺規(guī)作角平分線1）作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要熟練掌握.2）尺規(guī)作角平分線方法（重要）：已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.知識點02角平分線的性質(zhì)1）角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。2）證明角平分線的性質(zhì)（利用三角形全等證明即可）知識點03角平分線的性質(zhì)定理應(yīng)用1）理解角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.角平分線的性質(zhì)定理的作用是證明線段相等.2）一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即：（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.知識點04角平分線的判定定理1）定理語言表述：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。2）定理的幾何表述：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.3）應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.4）定理的作用：判斷點是否在角平分線上。知識點05三角形的內(nèi)角平分線結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.已知如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，則點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.(4)角平分線性質(zhì)定理的逆定理：①在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.②定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.，(5)關(guān)于三角形三條角平分線的定理：①三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.②定理的作用：a:用于證明三角形內(nèi)的線段相等；b:用于實際中的幾何作圖問題.(6)三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的內(nèi)部.知識點06常見角平分線的相關(guān)輔助線1）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．2）過邊上的點向角平分線作垂線（角平分線+內(nèi)垂直）：取被平分角邊上一點，向角平分線作垂線，并延長至與另一個邊相交；目的：構(gòu)造一組關(guān)于角平分線對稱的全等直角三角形；適用條件：往往題干中已有線段與角平分線垂直，只需延長垂線段即可。3）過平分線上的點作一條邊平行線構(gòu)造等腰三角形（角平分線+平行線）：=1\*GB3①有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。=2\*GB3②通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。4）利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長補(bǔ)短（角平分線+截線段等）：在角的兩邊上實施截長或補(bǔ)短；目的：構(gòu)造出已角平分線為對稱軸的全等三角形。因為角平分線已經(jīng)具備了全等三角形的兩個條件（角相等和公共邊），所以在處理角的平分線的問題時，常作出全等三角形的第三個條件，截兩邊相等（SAS）或向兩邊作垂線段（AAS）或延長線段等來構(gòu)造全等三角形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件?！镜湫屠}一角平分線性質(zhì)定理及證明】1．（22-23八年級上·河北邯鄲·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．三角形三條角平分線的交點是三角形的重心B．三角形的中線、角平分線、高都是線段C．三角形的一條角平分線把該三角形分成面積相等的兩部分D．三角形的三條高都在三角形內(nèi)部【答案】B【分析】根據(jù)三角形重心概念、三角形的中線、角平分線、高性質(zhì)判斷求解即可．【詳解】解：三角形三條中線的交點是三角形的重心，故A錯誤，不符合題意；三角形的中線、角平分線、高都是線段，故B正確，符合題意；三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，故C錯誤，不符合題意；銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，故D錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了三角形重心，熟練掌握三角形重心概念、三角形的中線、角平分線、高性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級上·北京西城·期末）如圖，三條公路把A、B、C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．在、兩邊高線的交點處 B．在、兩內(nèi)角平分線的交點處C．在、兩邊中線的交點處 D．在、兩邊垂直平分線的交點處【答案】B【分析】根據(jù)三角形三個內(nèi)角的角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等即可選擇．【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在、兩內(nèi)角平分線的交點處．故選：B．【點睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個內(nèi)角的角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級上·河北保定·期末）如圖，已知，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為①平分；②平分；③平分；④平分．【答案】2個【分析】根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】AD不一定平分∠BAF，①錯誤；AF不一定平分∠DAC，②錯誤；∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，③正確；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC，④正確；綜上，③④正確，共2個，故答案為：2個．【點睛】本題考查的是三角形的角平分線的概念和性質(zhì)，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級上·河北唐山·期末）如圖，的三邊，，的長分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點O，連接OA，OB，OC，將分成三個三角形，則等于．【答案】2：3：4【分析】過點O分別向三邊作垂線段，通過角平分線的性質(zhì)得到三條垂線段長度相等，再通過面積比等于底邊長度之比得到答案．【詳解】解：過點O分別向BC、BA、AC作垂線段交于D、E、F三點．∵CO、BO、AO分別平分∴∵，，∴故答案為：2：3：4【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，往三角形的三邊作垂線段并得到面積之比等于底之比是解題關(guān)鍵．5．（22-23七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，已知：BC是從直線AB上出發(fā)的一條射線，BE平分∠ABC，∠EBF=90°．求證：BF平分∠CBD．【答案】見解析【分析】由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠ABC，則∠CBF=90°-∠ABC，從而可得∠DBF=180°-∠ABC-∠CBF=180°-∠ABC-(90°-∠ABC)=90°-∠ABC=∠CBF，即可證得結(jié)論．【詳解】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC，∵∠EBF=90°，∴∠CBF=90°-∠ABC，∴∠DBF=180°-∠ABC-∠CBF=180°-∠ABC-(90°-∠ABC)=90°-∠ABC=∠CBF．∴BF平分∠CBD．【點睛】涉及到角的運(yùn)算時，充分利用已知條件和隱含條件（平角、余角、補(bǔ)角、對頂角等）是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，，是的中點，平分，求證：平分．

【答案】見解析【分析】過點M作于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及判定，即可證得．【詳解】證明：如圖：過點作，垂足為，平分，，，（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），又，，，，平分（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及判定，熟練掌握和運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定是解決本題的關(guān)鍵．【典型例題二角平分線的性質(zhì)定理】1．（22-23八年級·遼寧大連·期末）三條公路將A，B，C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿(mào)市場應(yīng)建的位置是（

）

A．三條高線的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)．根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可．【詳解】解：在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在、、的角平分線的交點處．故選：C．2．（23-24八年級下·湖南株洲·期中）如圖，已知點在的平分線上，于點，于點，若，則長（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此題考查了角平分線性質(zhì)性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，利用角平分線性質(zhì)定理即可得出．【詳解】解：平分，于點，于點，故選：C．3．（23-24八年級上·廣東江門·期末）如圖，平分，，如果，那么點到的距離等于【答案】6【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)推出．過作于，由角平分線的性質(zhì)推出，即可得到點到的距離等于6．【詳解】解：過作于，平分，，，點到的距離等于6．故答案為：6．4．（23-24八年級下·陜西寶雞·期中）如圖，在中，平分交于點D，于點E，于點F，且，，則的面積是．【答案】14【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得；最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵平分，于點E，于點F，∴，∴；故答案為：14．5．（22-23七年級下·四川成都·期末）把兩個同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放置，得到如圖2的和，設(shè)M是AD與BC的交點，則這時MC的長度就等于點M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請說明理由．【答案】見解析【分析】過點M作ME⊥AB于點E，根據(jù)題意可得根據(jù)題意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，從而得到∠CAD=∠BAD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解：如圖，過點M作ME⊥AB于點E，根據(jù)題意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，∴∠CAD=30°，∴∠CAD=∠BAD，∵M(jìn)E⊥AB，∴∠AEM=90°，∴CM=EM，即MC的長度就等于點M到AB的距離．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級上·福建泉州·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點F在邊AC上．（1）求證：DC=DE；（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面積等于6，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）中證得DC=DE，然后根據(jù)即可求出DE的長．【詳解】解：（1）∵∠C=90°，∴，又∵∠CAD=∠BAD，DE⊥AB∴DC=DE；（2）∵DC=DE，∴，∴，∴，解得：．【點睛】此題考查了角平分線性質(zhì)定理，三角形面積的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得DC=DE．【典型例題三角平分線的判定定理】1．（22-23八年級下·山西運(yùn)城·期中）到三角形各邊距離相等的點是三角形的（

）A．三條邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點C．三個內(nèi)角平分線的交點 D．三條高的交點【答案】C【分析】本題主要考查角平分線的判定定理，根據(jù)到角兩邊距離相等的點在角平分線上，熟練掌握角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”可知：到三角形三條邊距離相等的點是三個內(nèi)角平分線的交點．故選：C．2．（23-24八年級上·江蘇·周測）如圖，在上求一點P，使它到，的距離相等，則P點是（

）A．線段的中點 B．與的中垂線的交點C．與的平分線的交點 D．與的中垂線的交點【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的判定定理求解即可．【詳解】解：∵點P到，的距離相等，∴點P在的平分線上，又點P在上，∴P點是與的平分線的交點，故選：C．【點睛】本題考查角平分線的判定定理，熟知在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上是解答的關(guān)鍵．3．（22-23八年級上·上海虹口·期末）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的．【答案】角平分線【分析】根據(jù)角平分線的判定可知．【詳解】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線，故答案為：角平分線．【點睛】本題考查了角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確在角的內(nèi)部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．4．（22-23八年級上·福建廈門·期中）如圖，點為上任意一點，且于點，于點，，若，則．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的判定定理解答即可．【詳解】∵于點，于點，，∴是的平分線，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知，在中，，，，，求證：平分．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的判定定理；作于點E，由三角形的面積得，從而可得，由角平分線的判定定理即可得證；掌握角平分線的判定定理“在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點，在角的平分線上．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作于點E，又，，，

，，平分．6．（22-23八年級上·四川·期末）如圖，是的平分線，，點在上，連接、，分別過點作、的垂線、，垂足分別為、．（1）求證：；（2）求證：．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)SAS證明≌即可求解；（2）證明是的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】證明：（1）∵是的平分線∴在和中∴≌∴（2）由（1）可知：∴∴是的平分線∵，∴．【點睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與角平分線的性質(zhì)．【典型例題四角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用】1．（22-23八年級下·廣東深圳·期末）如圖，三條公路兩兩交叉，現(xiàn)計劃修建一個油庫，若要求油庫到三條公路的距離都相等，則滿足條件的油庫的位置有（

）

A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】D【分析】根據(jù)角平分的性質(zhì)，即可得出油庫的位置在角平分線的交點處，依此畫出圖形，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵三條公路兩兩相交，要求油庫到這三條公路的距離都相等，

∴油庫在角平分線的交點處，畫出油庫位置如圖所示．故選D．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級上·甘肅慶陽·期中）慶陽市是傳統(tǒng)的中藥材生產(chǎn)區(qū)，優(yōu)越的地理氣候條件形成了較獨(dú)特的資源稟賦，孕育了豐富的中藥植物資源和優(yōu)良品種，素有“天然藥庫”“中藥之鄉(xiāng)”的美稱．如圖，三條公路把A、B、C三個盛產(chǎn)中藥材的村莊連成一個三角形區(qū)域，此地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個中藥材批發(fā)市場，要使批發(fā)市場到三條公路的距離相等，則這個批發(fā)市場應(yīng)建在（

）A．三角形的三條中線的交點處 B．三角形的三條角平分線的交點處C．三角形的三條高的交點處 D．以上位置都不對【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解∶∵角平分上的點到角兩邊的距離相等，且批發(fā)市場到三條公路的距離相等，∴這個批發(fā)市場應(yīng)建在三角形的三條角平分線的交點處．故選：B【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級下·江西吉安·期末）在直角中，，平分交于點D，若，則點D到斜邊的距離為．

【答案】7【分析】根據(jù)點D在的平分線上則點D到角的兩邊距離相等即可求解．【詳解】解：作，則即為所求，

∵平分于點D，∴（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）．∵，∴，故答案為：7．【點睛】本題考查了角平分線上的點的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解點到兩邊的距離相等．4．（22-23八年級上·貴州遵義·期末）如圖，已知的周長是22，PB、PC分別平分和，于D，且，的面積是．【答案】33【分析】連接AP，過點P分別作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得PD=PE=PF=3，再根據(jù)三角形的面積等于三個小三角形的面積之和，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AP，過點P分別作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，∵PB、PC分別平分和，于D，∴PD=PE，PD=PF，∴PD=PE=PF=3，∵的周長是22，∴的面積是．故答案為：33【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（22-23九年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，中，，平分交于點，，，求到的距離．【答案】【分析】過點作于點，由，cm，求得cm，再由角平分線的性質(zhì)定理即可求得到的距離．【詳解】如圖，過點作于點，，cm，cm，又平分，∠C=90°，cm，即到的距離cm．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，某人有一塊三角形的土地，已知其面積為6m2，通過測量可知周長為12m，I為ABC的三條角平分線交點，求點I到每條邊的距離？【答案】1m【分析】先連接角平分線交點與各個定點，然后過交點作各個邊的高，根據(jù)三角形的面積和周長來求交點到各個邊的距離．【詳解】如圖，連接IA，IB，IC，作于一點D，于點E，于點F∵I為的三條角平分線的交點∴IA，IB，IC分別為三個內(nèi)角的角平分線∴ID=IE=IF∵，㎡∴即∴∵m∴∴m∴ID=IE=IF=1m即點I到每條邊的距離為1m．【點睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積聯(lián)系三角形的周長求得高．【典型例題五作角平分線(尺規(guī)作圖)】1．（23-24八年級上·廣東東莞·期中）下列尺規(guī)作圖中，屬于作一個銳角平分線的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】此題主要考查了基本作圖．作一個角的平分線．【詳解】解：選項A屬于作一個銳角平分線；故選：A．2．（22-23八年級上·吉林長春·期末）如圖的尺規(guī)作圖是作（）A．線段的垂直平分線 B．一個角等于已知角C．一條直線的平行線 D．一個角的平分線【答案】D【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，根據(jù)作法解答即可．【詳解】解：由圖形知，該尺規(guī)作圖的步驟依次是：以點O為圓心，任意長為半徑，交于點C，交于點D，再分別以點C、D為圓心的長度為半徑畫弧，則即為的平分線，故選：D．3．（22-23八年級上·湖北武漢·期中）已知村政府現(xiàn)要在如圖所示區(qū)域內(nèi)，修建到，，三條公路距離相等的加油站P，則加油站的選址共有種選擇．【答案】4【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，注意：三角形的外角平分線的交點不要漏掉，思考問題要全面．加油站到三條公路的距離相等，那么加油站應(yīng)該建在的內(nèi)角角平分線的交點處或外角的角平分線的交點處，故滿足要求的加油站位置共有4個，作出其中一個即可．【詳解】解：滿足要求的加油站位置共有4個，如圖所示，點即為所求．（答案不唯一，畫出，，也可以）故答案為：4．4．（22-23七年級上·山東煙臺·期中）用用直尺和圓規(guī)作一個角的角平分線示意圖如圖所示，則說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（填寫：SSS或SAS或ASA或AAS）．【答案】SSS【分析】根據(jù)角平分線的作法可知MO=NO，CO=CO，MC=NC，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可證△OMC≌△ONC，即證∠AOC=∠BOC．【詳解】解：由作法知MO=NO，CO=CO，MC=NC，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC=∠BOC．故答案為：SSS．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．要在作法中找已知條件．5．（2024·陜西榆林·三模）尺規(guī)作圖：如圖，在中，請用尺規(guī)作圖的方法在上找一點D，使得平分．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見詳解【分析】本題考查了作角平分線的尺規(guī)作圖，先以點B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交于，再以點為圓心，大于的一半長度為半徑畫弧，交于一點E，然后連接交于一點，即為點D，【詳解】解：點D如圖所示：

6．（23-24九年級下·廣東汕頭·階段練習(xí)）如圖，中，，．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線；（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若，直接寫出的面積為：．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握以上知識點并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的作法即可完成作圖；（2）作于，由角平分線的性質(zhì)定理得出，再由三角形面積公式計算即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，角平分線即為所作，；（2）解：如圖，作于，，∵平分，，∴，∴．【變式訓(xùn)練1角平分線性質(zhì)定理及證明】1．（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，已知，兩個完全一樣的三角板如圖擺放，它們的一組對應(yīng)直角邊分別在，上，且這組對應(yīng)邊所對的頂點重合于點M，點M一定在（

）A．邊的高上 B．的平分線上 C．的平分線上 D．邊的中線上【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的判定推出M在的角平分線上，即可得到答案．【詳解】解：如圖：，，，在的角平分線上，故選B．【點睛】本題主要考查對角平分線的判定定理的理解和掌握，能熟練地利用角平分線的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．2．（2023七年級下·河南周口·專題練習(xí)）如圖，平分，．填空：因為平分，所以．從而．因此．【答案】【分析】由AC平分∠DAB，∠1＝∠2，可得出∠CAB＝∠2，由內(nèi)錯角相等可以得出兩直線平行．【詳解】解：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠CAB．又∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠2，∴ABDC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：∠CAB，∠CAB，DC．【點睛】本題考查了平行線的判定定理以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是找出∠CAB＝∠2．解決該類題型只需牢牢掌握平行線的判定定理即可．3．（22-23八年級上·安徽合肥·期末）已知：如圖，ABC中，∠ABC的平分線BD與∠ACB的平分線CE交于點I，連接AI并延長交BC于點F．求證：AF平分∠BAC．【答案】見解析【分析】過點I分別向△ABC的邊BC、AC、AB作垂線，垂足分別為點G、H、K，然后由角平分線的性質(zhì)得到IG＝IH，IG＝IK，然后得到IH＝IK，再證明△IHA≌△IKA即可得到AF平分∠BAC．【詳解】證明：如圖所示，過點I分別作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分別G、H、K，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴IG＝IH，IG＝IK，∴IH＝IK，在Rt△IHA和Rt△IKA中，，∴Rt△IHA≌Rt△IKA（HL），∴∠IAH＝∠IAK，∴AF平分∠BAC．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2角平分線的性質(zhì)定理】1．（22-23八年級上·河南漯河·階段練習(xí)）三角形內(nèi)到三角形各邊的距離都相等的點必在三角形的（

）A．中線上 B．角平分線上 C．高線上 D．不能確定【答案】B【分析】此題考查的是角平分線的判定，掌握角平分線的判定定理是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵三角形內(nèi)的點到三角形各邊的距離都相等，∴該點在各內(nèi)角的角平分線上，故B正確．故選：B．2．（22-23八年級上·北京·期中）如圖，在中，，平分，則的面積是．

【答案】2【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，據(jù)此作，得出即可求解．【詳解】解：作，如圖所示：

∵平分，∴∵，∴的面積，故答案為：3．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，在中，是的角平分線，于點E，，，，求的面積．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，作于，則，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：如圖，作于，∵平分，，，∴，，，∴，∴的面積為．【變式訓(xùn)練3角平分線的判定定理】1．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，將兩個完全相同含角的三角尺與按圖示位置擺放，這兩個三角尺直角邊所在直線交于點，連接并延長，射線就是的角平分線，判斷的依據(jù)是（）A．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等B．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等D．以上均不正確【答案】B【分析】本題考查角平分線的判定，涉及“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”，掌握角平分線的判定是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知，本題判斷射線就是的角平分線的依據(jù)是“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”，故選：B．2．（22-23八年級上·江蘇徐州·期中）如圖，在的內(nèi)部取一點O，過點O作于點M，于點N，若，且，則°．【答案】15°/15度【分析】根據(jù)角平分線的判定可得答案．【詳解】解：∵，，且，∴平分，∴，故答案為：15°．【點睛】本題考查了角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）判斷下面的證明過程是否正確，并說明理由．已知：如圖，點是射線上的一點，點、分別在、上，且．求證：平分．證明：∵點是射線上一點，且（已知），∴平分（在一個角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）．【答案】證明見解析【分析】本題考查了角平分線的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的判定方法補(bǔ)充條件解答即可．【詳解】解：不正確．需添加條件，，，證明：∵點是射線上一點，且，，，（已知），∴平分（在一個角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）．【變式訓(xùn)練4角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用】1．（22-23八年級上·河南洛陽·期中）如圖，在中，是它的角平分線，cm，cm，則（）A．16：9 B．9：1 C．3：4 D．4：3【答案】D【分析】利用角平分線的性質(zhì)，可得出的邊上的高與的上的高相等，根據(jù)三角形的面積公式，即可得出與的面積之比等于對應(yīng)邊之比．【詳解】解：∵是的角平分線，∴設(shè)的邊上的高與的上的高分別為∴，∴與的面積之比=故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，直線a、b、c分別表示相互交叉的馬路，要建一個停車場要求到三條馬路的距離相等，那么符合條件的修建點有處．

【答案】4【分析】由三角形內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點滿足條件；然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，這樣的點有3個，可得可供選擇的地址有4個．【詳解】解：如圖所示，可供選擇的地址有4個．

故答案為：4．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，難點在于要考慮中轉(zhuǎn)站在△AOB內(nèi)部和外部兩種情況．3．（22-23八年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）太和中學(xué)校園內(nèi)有一塊直角三角形(RtABC)空地，如圖所示，園藝師傅以角平分線AD為界，在其兩側(cè)分別種上了不同的花草，在ABD區(qū)域內(nèi)種植了月季花，在△ACD區(qū)域內(nèi)種植了牡丹花，并量得兩直角邊AB＝10m，AC＝6m，分別求月季花與牡丹花兩種花草的種植面積．【答案】，【分析】過點分別作，是垂足，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)求得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求解可．【詳解】解：過點分別作，是垂足．由，得，，是的平分線，．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，理解角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5作角平分線(尺規(guī)作圖)】1．（23-24八年級上·河北滄州·期末）如圖，在中，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點A，交于點B，分別以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線，過點C作于點D，且，點E是射線上一點，則的長度不可能是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．5【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線上點到角兩端的距離相等可得，由點為邊上任意一點即可得出即可求解．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知：為的平分線，過點作，為的平分線且，，，，，點為邊上任意一點，，即，的長度不可能為，故選：A．2．（22-23七年級下·河南平頂山·期末）如圖，在中，．以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點，作射線交邊于點，若，的面積為，則線段的長為．

【答案】5【分析】先根據(jù)尺規(guī)作圖描述得出為的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點到的距離，進(jìn)而求出三角形的面積．【詳解】由作法得平分，如圖所示，過點D作于E，∵，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，的面積．∴，故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)并靈活應(yīng)用．3．（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，，交于點E，請用尺規(guī)作圖的方法在上求作一點P，使得點P到和的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，作出的平分線交于點P，則點P即為所作【詳解】解：如圖，點P即為所作，1．（22-23八年級上·河南周口·期中）如圖，的三邊，，長分別是20，30，40，其三條角平分線將分為三個三角形，則等于（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點分別作，，的垂線，可得，從而可證，即可求解．【詳解】解：如圖，過點分別作，，的垂線，垂足分別為點，，，

由角平分線的性質(zhì)定理得：，的三邊，，長分別是20，30，40，．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．2．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，平分，點P在上，，，則點P到的距離是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理．過點P作于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：過點P作于點E，∵平分，，，∴，故選：C．3．（23-24八年級上·河北滄州·期末）如圖，直線，，表示三條公路.現(xiàn)要建造一個中轉(zhuǎn)站，使到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站可選擇的點有（

）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并是解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點滿足條件;然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，這樣的點有3個，可得可供選擇的地址有4個．【詳解】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個內(nèi)角平分線的交點，共一處；（2）三角形外角平分線的交點，共三處．故選：D．4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，在中，．用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點，則點到的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖形信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．如圖，過點作于點．利用角平分線的性質(zhì)定理判斷出即可．【詳解】解：如圖，過點作于點．由作圖可知平分，，，，點到的距離為3．故選：B．5．（23-24九年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點P，則平分的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．角平分線的性質(zhì)D．角是軸對稱圖形【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．根據(jù)角平分線的判定定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵兩把相同的直尺寬度相同，∴點到射線的距離相等，∵在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，∴點在的平分線上，∴平分，故A正確．故選：A．6．（22-23七年級下·內(nèi)蒙古烏?！て谥校┤鐖D，ABCD，EFCD，CE平分∠ACD，∠A=110°，則∠CEF=【答案】145°【分析】首先利用求出的度數(shù)，然后利用角平分線的定義求出的度數(shù)，最后再利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】，．，．∵CE平分∠ACD，．，，，故答案為：145°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（23-24八年級下·福建三明·期末）如圖，在中，，平分，，則點D到邊的距離是．

【答案】4【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．過點D作于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解：過點D作于點E，

∵，平分，，∴，即點D到邊的距離是4，故答案為：4．8．（22-23八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，過點作于點，于點，若，，則的度數(shù)是．

【答案】/度【分析】根據(jù)，，，可得為的角平分線．【詳解】∵，，，∴為的角平分線．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查角平分線的