2025屆吉林省長春寬城區(qū)四校聯(lián)考數(shù)學九上期末聯(lián)考試題含解析

2025屆吉林省長春寬城區(qū)四校聯(lián)考數(shù)學九上期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．若∽，相似比為，則與的周長比為（）A． B． C． D．2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，則sinA的值為（）．A． B．C． D．3．下列運算正確的是（）A． B．C． D．4．下列二次根式能與合并的是（）A． B． C． D．5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C和點D是⊙O上位于直徑AB兩側的點，連接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半徑是13，BD＝24，則sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐標系中，將拋物線繞著原點旋轉(zhuǎn)，所得拋物線的解析式是（）A． B．C． D．7．一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點C與F重合，邊CA與邊FE重合，頂點B、C、D在一條直線上）．將三角尺DEF繞著點F按逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°后（0＜n＜180），如果BA∥DE，那么n的值是（）A．105 B．95 C．90 D．758．已知，則的值是（）A． B． C． D．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸的正半軸交于點C，下列結論：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0，其中正確的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．如圖，△ABC中AB兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是（﹣1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C′，且△A′B′C′與△ABC的位似比為2：1．設點B的對應點B′的橫坐標是a，則點B的橫坐標是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的圖像上兩點，，其中，則與的大小關系為（）A． B． C． D．無法判斷12．下面空心圓柱形物體的左視圖是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在邊長為的等邊三角形ABC中，以點A為圓心的圓與邊BC相切，與邊AB、AC相交于點D、E，則圖中陰影部分的面積為_______．14．如圖，函數(shù)y＝的圖象所在坐標系的原點是_______．15．若點A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函數(shù)的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是_________．16．足球從地面踢出后，在空中飛行時離地面的高度與運動時間的關系可近似地表示為，則該足球在空中飛行的時間為__________．17．如圖，△ABC中，AB＞AC，D，E兩點分別在邊AC，AB上，且DE與BC不平行．請?zhí)钌弦粋€你認為合適的條件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和線段；只填一個條件，多填不給分?。?8．如圖，點A（3，t）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα=，則t的值是______．三、解答題（共78分）19．（8分）青青草原上，灰太狼每天都想著如何抓羊，而且是屢敗屢試，永不言棄.（如圖所示）一天，灰太狼在自家城堡頂部A處測得懶羊羊所在地B處的俯角為60°，然后下到城堡的C處，測得B處的俯角為30°.已知AC=50米，若灰太狼以5米/秒的速度從城堡底部D處出發(fā)，幾秒鐘后能抓到懶羊羊？（結果保留根號）20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為（6,4），（4,0），（2,0）.（1）在軸左側，以為位似中心，畫出，使它與的相似比為1:2；（2）根據(jù)（1）的作圖，=.21．（8分）定義：在平面直角坐標系中，拋物線（）與直線交于點、（點在點右邊），將拋物線沿直線翻折，翻折前后兩拋物線的頂點分別為點、，我們將兩拋物線之間形成的封閉圖形稱為驚喜線，四邊形稱為驚喜四邊形，對角線與之比稱為驚喜度（Degreeofsurprise），記作.（1）如圖（1）拋物線沿直線翻折后得到驚喜線.則點坐標，點坐標，驚喜四邊形屬于所學過的哪種特殊平行四邊形？，為.（2）如果拋物線（）沿直線翻折后所得驚喜線的驚喜度為1，求的值.（3）如果拋物線沿直線翻折后所得的驚喜線在時，其最高點的縱坐標為16，求的值并直接寫出驚喜度.22．（10分）如圖，∠MAN=90°，，分別為射線，上的兩個動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接交于點．（1）當∠ACB=30°時，依題意補全圖形，并直接寫出的值；（2）寫出一個∠ACB的度數(shù)，使得，并證明．23．（10分）在平面直角坐標系xoy中，點A(-4,-2)，將點A向右平移6個單位長度，得到點B.（1）若拋物線y＝-x2＋bx＋c經(jīng)過點A,B，求此時拋物線的表達式；（2）在（1）的條件下的拋物線頂點為C，點D是直線BC上一動點（不與B，C重合），是否存在點D，使△ABC和以點A,B,D構成的三角形相似？若存在，請求出此時D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若拋物線y＝-x2＋bx＋c的頂點在直線y＝x＋2上移動，當拋物線與線段有且只有一個公共點時，求拋物線頂點橫坐標t的取值范圍．24．（10分）如圖，△ABC中，AB=8，AC=6.（1）請用尺規(guī)作圖的方法在AB上找點D，使得△ACD∽△ABC（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，求AD的長25．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點A（﹣1，6）．（1）求k的值；（2）已知點P（a，﹣2a）（a＜0），過點P作平行于x軸的直線，交直線y＝﹣2x﹣2于點M，交函數(shù)y＝（x＜0）的圖象于點N．①當a＝﹣1時，求線段PM和PN的長；②若PN≥2PM，結合函數(shù)的圖象，直接寫出a的取值范圍．26．已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+1．（1）在所給的平面直角坐標系中畫出它的圖象；（2）若三點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1．y1）且2＜x1＜x2＜x1，則y1，y2，y1的大小關系為．（1）把所畫的圖象如何平移，可以得到函數(shù)y＝x2的圖象？請寫出一種平移方案．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：周長之比等于相似比解答即可.【詳解】解：∵∽，相似比為，∴與的周長比為.故選：B.【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，屬于應知應會題型，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關鍵.2、C【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，并根據(jù)正弦公式：sinA=求解即可.【詳解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4∴∴故選C.【點睛】本題主要是正弦函數(shù)與勾股定理的簡單應用，正確理解正弦求值公式即可.3、D【分析】根據(jù)題意利用合并同類項法則、完全平方公式、同底數(shù)冪的乘法運算法則及冪的乘方運算法則，分別化簡求出答案.【詳解】解：A.合并同類項，系數(shù)相加字母和指數(shù)不變，，此選項不正確；B.，是完全平方公式，(a-b)2=a2-2ab+b2,此選項錯誤；C.，同底數(shù)冪乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，a2·a3=a5，此選項不正確；D.，冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，(-a)4=(-1)4.a4=a4，此選項正確．故選：D【點睛】本題考查了有理式的運算法則，合并同類項的關鍵正確判斷同類項，然后按照合并同類項的法則進行合并；遇到冪的乘方時，需要注意若括號內(nèi)有“-”時，其結果的符號取決于指數(shù)的奇偶性．4、C【分析】化為最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義解答．【詳解】解：的被開方數(shù)是3，而=、=2、是最簡二次根式，不能再化簡，以上三數(shù)的被開方數(shù)分別是2、2、15，所以它們不是同類二次根式，不能合并，即選項A、B、D都不符合題意，=2的被開方數(shù)是3，與是同類二次根式，能合并，即選項C符合題意．故選：C.【點睛】本題考查同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．5、D【解析】首先利用直徑所對的圓周角為90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD邊的長，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【詳解】∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半徑是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理及解直角三角形的知識，解題的關鍵是能夠得到直角三角形并利用銳角三角函數(shù)求得一個銳角的正弦值，難度不大．6、A【解析】試題分析：先將原拋物線化為頂點式，易得出與y軸交點，繞與y軸交點旋轉(zhuǎn)180°，那么根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可得旋轉(zhuǎn)后的拋物線的頂點坐標，即可求得解析式．解：由原拋物線解析式可變?yōu)椋海囗旤c坐標為（-1，2），又由拋物線繞著原點旋轉(zhuǎn)180°，∴新的拋物線的頂點坐標與原拋物線的頂點坐標關于點原點中心對稱，∴新的拋物線的頂點坐標為（1，-2），∴新的拋物線解析式為：．故選A．考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．7、A【分析】畫出圖形求解即可．【詳解】解：∵三角尺DEF繞著點F按逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°后（0＜n＜180），BA∥DE，∴旋轉(zhuǎn)角＝90°+45°﹣30°＝105°，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.8、A【解析】先把二次根式化簡變形，然后把a、b的值代入計算，即可求出答案.【詳解】解：∵，∴===；故選：A.【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式進行化簡.9、C【分析】由拋物線的開口方向判斷a與1的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與1的關系，進而判斷①；根據(jù)x=﹣2時，y＞1可判斷②；根據(jù)對稱軸x=﹣1求出2a與b的關系，進而判斷③．【詳解】①由拋物線開口向下知a＜1，∵對稱軸位于y軸的左側，∴a、b同號，即ab＞1．∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞1，∴abc＞1；故①正確；②如圖，當x=﹣2時，y＞1，則4a﹣2b+c＞1，故②正確；③∵對稱軸為x=﹣＞﹣1，∴2a＜b，即2a﹣b＜1，故③錯誤；故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握數(shù)形結合思想的應用，注意掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．10、D【解析】設點B的橫坐標為x，然后表示出BC、B′C的橫坐標的距離，再根據(jù)位似變換的概念列式計算．【詳解】設點B的橫坐標為x，則B、C間的橫坐標的長度為﹣1﹣x，B′、C間的橫坐標的長度為a+1，∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣（a+3），故選：D．【點睛】本題考查了位似變換，坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似變換的定義，利用兩點間的橫坐標的距離等于對應邊的比列出方程是解題的關鍵．11、B【分析】由二次函數(shù)可知，此函數(shù)的對稱軸為x＝2，二次項系數(shù)a＝?1＜0，故此函數(shù)的圖象開口向下，有最大值；函數(shù)圖象上的點與坐標軸越接近，則函數(shù)值越大，故可求解．【詳解】函數(shù)的對稱軸為x＝2，二次函數(shù)開口向下，有最大值，∵，A到對稱軸x＝2的距離比B點到對稱軸的距離遠，∴故選：B．【點睛】本題的關鍵是（1）找到二次函數(shù)的對稱軸；（2）掌握二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象性質(zhì)．12、A【解析】試題分析：找出從幾何體的左邊看所得到的視圖即可．解：從幾何體的左邊看可得，故選A．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】首先求得圓的半徑，根據(jù)陰影部分的面積＝△ABC的面積?扇形ADE的面積即可求解．【詳解】解：設以點A為圓心的圓與邊BC相切于點F，連接AF，如圖所示：

則AF⊥BC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，BC＝AB＝，

∴AF＝AB?sin60°＝×＝3，

∴陰影部分的面積＝△ABC的面積?扇形ADE的面積＝××3?＝．

故答案為：．【點睛】本題主要考查了扇形的面積的計算、三角函數(shù)、切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)；熟練掌握切線的性質(zhì)，由三角函數(shù)求出AF是解決問題的關鍵．14、M【分析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)關于y軸對稱，即可求解；【詳解】解：由已知可知函數(shù)y＝的圖象關于y軸對稱，所以點M是原點；

故答案為：M．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)的解析式與函數(shù)圖象的關系是解題的關鍵．15、y2＞y1＞y1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】∵反比例函數(shù)的比例系數(shù)k<0，∴在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵點A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y1）都在反比例函數(shù)的圖象上，∴y2＞y1>0，y1<0，∴y2＞y1＞y1．故答案是：y2＞y1＞y1．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的增減性，是解題的關鍵．16、9.8【分析】求當t=0時函數(shù)值，即與x軸的兩個交點，兩個交點之間的距離即足球在空中飛行的時間.【詳解】解：當t=0時，解得：∴足球在空中的飛行時間為9.8s故答案為：9.8【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用，利用數(shù)形結合思想球解題，求拋物線與x軸的交點是本題的解題關鍵17、∠B=∠1或【解析】此題答案不唯一，注意此題的已知條件是：∠A=∠A，可以根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似或有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，添加條件即可.【詳解】此題答案不唯一，如∠B=∠1或．∵∠B=∠1，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；故答案為∠B=∠1或【點睛】此題考查了相似三角形的判定：有兩角對應相等的三角形相似；有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角，根據(jù)判定定理解題.18、【分析】根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：∵點A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα=，∴，∴t=．故答案為：．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．三、解答題（共78分）19、灰太狼秒鐘后能抓到懶羊羊【分析】根據(jù)已知得出AC=BC，進而利用解直角三角形得出BD的長進一步可得到結果．【詳解】解；在Rt△BCD中∵∠BCD=90-30=60，∠CBD=30∴AC=BC=50m，在Rt△BCD中∴sin60=∴BD=BCsin60=m，設追趕時間為ts,由題意得：5t=∴t=s答：灰太狼秒鐘后能抓到懶羊羊．【點睛】此題考查解直角三角形的應用．注意能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形是解題的關鍵，注意數(shù)形結合思想的應用．20、（1）見解析；（2）-2【分析】（1）連接AO并延長至，使，同理作出點B，C的對應點，再順次連接即可；（2）先根據(jù)圖象找出三點的坐標，再利用正切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】（1）如圖；（2）根據(jù)題意可得出，，，設與x軸的夾角為，∴．【點睛】本題考查的知識點是在坐標系中畫位似圖形，掌握位似圖形的關于概念是解此題的關鍵．21、（1）；；菱形；2；（2）；（3），或，.【分析】（1）當y=0時可求出點A坐標為，B坐標為，AB=4，根據(jù)四邊形四邊相等可知該四邊形為菱形，由可知拋物線頂點坐標為（1，-4），所以B，AB=8，即可得到為2；（2）驚喜度為1即，利用拋物線解析式分別求出各點坐標，從而得到AC和BD的長，計算即可求出m；（3）先求出頂點坐標，對稱軸為直線，討論對稱軸直線是否在這個范圍內(nèi)，分3中情況分別求出最大值為16是m的值.【詳解】解：（1）在拋物線上，當y=0時，，解得，，，∵點在點右邊，∴A點的坐標為，B點的坐標為；∴AB=4，∵∴頂點B的坐標為，由于BD關于x軸對稱，∴D的坐標為，∴BD=8，通過拋物線的對稱性得到AB=BC，又由于翻折，得到AB=BC=AD=CD，∴驚喜四邊形為菱形；；（2）由題意得：的頂點坐標，解得：，∴∴，（3）拋物線的頂點為，對稱軸為直線：①即時，，得∴②即時，時，對應驚喜線上最高點的函數(shù)值，∴（舍去）；∴③即時形成不了驚喜線，故不存在綜上所述，，或，【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，需要熟練掌握二次函數(shù)的基礎內(nèi)容：頂點坐標、對稱軸以及各交點的坐標求法.22、（1）；（2）∠．【分析】（1）按照題意補全圖形即可，由已知可證△∽△，再由相似三角形的性質(zhì)可知，從而可得答案；（2）過點作于點，由已知可證△∽△，從而有，再利用∠ACB的度數(shù)可求出，從而可得出答案.【詳解】解：（1）正確補全圖形；∵∴△∽△∴∵∴．（2）解：∠．證明：∵，∴．∵，∴．過點作于點，∴∵，∴．∵，∴．∵∠．∴△∽△．∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似三角形的判定是解題的關鍵.23、（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D(,)；（2）-4≤t＜-2或0＜t≤1．【分析】（1）根據(jù)點A的坐標結合線段AB的長度，可得出點B的坐標，根據(jù)點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；（2）由拋物線解析式，求出頂點C的坐標，從而求出直線BC解析式，設D(d,-2d+4)，根據(jù)已知可知AD=AB=6時，△ABC∽△BAD，從而列出關于d的方程，解方程即可求解；（2）將拋物線的表達式變形為頂點時，依此代入點A，B的坐標求出t的值，再結合圖形即可得出：當拋物線與線段AB有且只有一個公共點時t的取值范圍．【詳解】（1）∵點A的坐標為（-4，-2），將點A向右平移6個單位長度得到點B，∴點B的坐標為（2，-2）．∵拋物線y＝-x2+bx＋c過點，∴,解得∴拋物線表達式為y＝-x2-2x＋6（2）存在.如圖由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，∴C(-1,7)設直線BC解析式為y＝kx＋b∴解之得，∴l(xiāng)BC：y＝-2x＋4設D(d,-2d+4)，∵在△ABC中AC=BC∴當且僅當AD=AB=6時，兩三角形相似即(-4-d)2+(-2+2d-4)2=26時，△ABC∽△BAD，解之得，d1=、d2=2(舍去)∴存在點D，使△ABC和以點A,B,D構成的三角形相似，此時點D(,)；（2）如圖：拋物線y＝-x2+bx＋c頂點在直線上∴拋物線頂點坐標為∴拋物線表達式可化為．把代入表達式可得解得．又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點，∴-4≤t＜-2．把代入表達式可得．解得，又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點，∴0＜t≤1．綜上可知的取值范圍時-4≤t＜-2或0＜t≤1．【點睛】本題考查了點的坐標變化、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形相似，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的變化，找出點B的坐標，根據(jù)點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式；（2）假設△ABC∽△BAD，列出關于d的方程，（2）代入點A，B的坐標求出t值，利用數(shù)形結合找出t的取值范圍．24、（1）見圖（2）AD=.【解析】（1）圖形見詳解,（2）根據(jù)相似列比例式即可求解.【詳解】解：（1）見下圖（2）∵△ACD∽△ABC,∴AC:AB=AD:AC,∵AB=8，AC=6,∴AD=.【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖和