2025屆北京四十四中學數學九上期末教學質量檢測模擬試題含解析

2025屆北京四十四中學數學九上期末教學質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與y軸的一個交點坐標為(0，3)，其部分圖象如圖所示，下列5個結論中，其中正確的是（）①abc＞0；②4a+c＞0；③方程ax2+bx+c=3兩個根是=0，=2；④方程ax2+bx+c=0有一個實數根大于2；⑤當x＜0，y隨x增大而增大A．4 B．3 C．2 D．12．已知二次函數，當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小，且滿足，則當時，的值為（）A． B． C． D．3．如圖，點，，均在⊙上，當時，的度數是（）A． B． C． D．4．設等邊三角形的邊長為x（x＞0），面積為y，則y與x的函數關系式是（）A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝5．若，設，，，則、、的大小順序為（）A． B． C． D．6．若點都是反比例函數的圖象上的點，并且，則下列各式中正確的是（（）A． B． C． D．7．將半徑為5的圓形紙片，按如圖方式折疊，若和都經過圓心，則圖中陰影部分的面積是()A． B． C． D．8．如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為（﹣3，2），則該圓弧所在圓心坐標是（）A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）9．如圖，是函數的圖像上關于原點對稱的任意兩點，軸，軸，的面積記為，則（）A． B． C． D．10．已知銳角∠AOB如圖，（1）在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作，交射線OB于點D，連接CD；（2）分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交于點M，N；（3）連接OM，MN．根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，則∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD11．“圓材埋壁”是我國古代著名的數學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長六寸，問徑幾何？”用現代的數學語言表述是：“CD為的直徑，弦，垂足為E，CE=1寸，AB=10寸，求直徑CD的長”，依題意得CD的長為（）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠C＝60°，則∠AOB的度數是（）A．30° B．60° C．120° D．150°二、填空題（每題4分，共24分）13．已知A(﹣4，y1)，B(﹣1，y2)是反比例函數y＝-（k＞0）圖象上的兩個點，則y1與y2的大小關系為_____．14．已知圓的半徑是，則該圓的內接正六邊形的面積是__________15．小勇第一次拋一枚質地均勻的硬幣時正面向上,他第二次再拋這枚硬幣時,正面向上的概率是.16．順次連接矩形各邊中點所得四邊形為_____．17．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則兩枚硬幣全部正面向上的概率是．18．如圖1，是一建筑物造型的縱截面，曲線是拋物線的一部分，該拋物線開口向右、對稱軸正好是水平線，，是與水平線垂直的兩根支柱，米，米，米.（1）如圖1，為了安全美觀，準備拆除支柱、，在水平線上另找一點作為地面上的支撐點，用固定材料連接、，對拋物線造型進行支撐加固，用料最省時點，之間的距離是_________.（2）如圖2，在水平線上增添一張米長的椅子（在右側），用固定材料連接、，對拋物線造型進行支撐加固，用料最省時點，之間的距離是_______________.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，，平分，且交于點，平分，且交于點，與相交于點，連接求的度數；求證：四邊形是菱形．20．（8分）如圖，內接于，直徑交于點，延長至點，使，且，連接并延長交過點的切線于點，且滿足，連接．(1)求證：；(2)求證：是的切線．21．（8分）如圖，雙曲線（）與直線交于點和，連接和．（1）求雙曲線和直線的函數關系式．（2）觀察圖像直接寫出：當時，的取值范圍．（3）求的面積．22．（10分）近期江蘇省各地均發(fā)布“霧霾”黃色預警，我市某口罩廠商生產一種新型口罩產品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現，每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關系滿足下表．銷售單價x（元/件）…20253040…每月銷售量y（萬件）…60504020…(1)請你從所學過的一次函數、二次函數和反比例函數三個模型中確定哪種函數能比較恰當地表示y與x的變化規(guī)律，并直接寫出y與x之間的函數關系式為__________；(2)當銷售單價為多少元時，廠商每月獲得的利潤為440萬元？(3)如果廠商每月的制造成本不超過540萬元，那么當銷售單價為多少元時，廠商每月獲得的利潤最大？最大利潤為多少萬元？23．（10分）在正方形中，點是直線上動點，以為邊作正方形，所在直線與所在直線交于點，連接．（1）如圖1，當點在邊上時，延長交于點，與交于點，連接．①求證：；②若，求的值；（2）當正方形的邊長為4，時，請直接寫出的長．24．（10分）如圖，AB=AC，CD⊥AB于點D，點O是∠BAC的平分線上一點⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N（1）求證：∠AOC=135°（2）若NC=3，BC=，求DM的長25．（12分）初中生對待學習的態(tài)度一直是教育工作者關注的問題之一．為此某市教育局對該市部分學校的八年級學生對待學習的態(tài)度進行了一次抽樣調查（把學習態(tài)度分為三個層級，A級：對學習很感興趣；B級：對學習較感興趣；C級：對學習不感興趣），并將調查結果繪制成圖①和圖②的統計圖（不完整）．請根據圖中提供的信息，解答下列問題：（1）此次抽樣調查中，共調查了名學生；（2）將圖①補充完整；（3）求出圖②中C級所占的圓心角的度數；（4）根據抽樣調查結果，請你估計該市近20000名初中生中大約有多少名學生學習態(tài)度達標（達標包括A級和B級）？26．如圖，一次函數（為常數，且）的圖像與反比例函數的圖像交于，兩點.（1）求一次函數的表達式；（2）若將直線向下平移個單位長度后與反比例函數的圖像有且只有一個公共點，求的值.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸位置、與x軸的交點坐標等知識，逐個判斷即可．【詳解】拋物線開口向下，a＜0，對稱軸為直線x＝1＞0，a、b異號，因此b＞0，與y軸交點為（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故結論①是不正確的；由對稱軸為直線x＝?＝1得2a＋b＝0，當x＝?1時，y＝a?b＋c＜0，所以a＋2a＋c＜0，即3a＋c＜0，又a＜0，4a＋c＜0，故結論②不正確；當y＝3時，x1＝0，即過（0，3），拋物線的對稱軸為直線x＝1，由對稱性可得，拋物線過（2，3），因此方程ax2＋bx＋c＝3的有兩個根是x1＝0，x2＝2；故③正確；拋物線與x軸的一個交點（x1，0），且?1＜x1＜0，由對稱軸為直線x＝1，可得另一個交點（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正確的；根據圖象可得當x＜0時，y隨x增大而增大，因此⑤是正確的；正確的結論有3個，故選：B．【點睛】考查二次函數的圖象和性質，掌握a、b、c的值決定拋物線的位置以及二次函數與一元二次方程的關系，是正確判斷的前提．2、A【分析】根據，求得m＝3或?1，根據當x＜?1時，y隨x增大而增大，當x＞0時，y隨x增大而減小，從而判斷m＝-1符合題意，然后把x＝0代入解析式求得y的值．【詳解】解：∵，∴m＝3或?1，∵二次函數的對稱軸為x＝m，且二次函數圖象開口向下，又∵當x＜?1時，y隨x增大而增大，當x＞0時，y隨x增大而減小，∴?1≤m≤0∴m＝-1符合題意，∴二次函數為，當x＝0時，y＝1．故選：A【點睛】本題考查了二次函數的性質，根據題意確定m＝-1是解題的關鍵．3、A【分析】先利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出的度數，然后根據圓周角定理可得到的度數．【詳解】，，，．故選A．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．4、D【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性質及勾股定理可得高，利用三角形的面積＝底×高，把相關數值代入即可求解．【詳解】解：作出BC邊上的高AD．∵△ABC是等邊三角形，邊長為x，∴CD＝x，∴高為h＝x，∴y＝x×h＝．故選：D．【點睛】此題主要考查了三角形的面積的求法，找到等邊三角形一邊上的高是難點，求出三角形的高是解決問題的關鍵.5、B【分析】根據，設x=1a，y=7a，z=5a，進而代入A，B，C分別求出即可．【詳解】解：∵，設x=1a，y=7a，z=5a，

∴=，

==1，

==1．

∴A＜B＜C．

故選：B．【點睛】本題考查了比例的性質，根據比例式用同一個未知數得出x，y，z的值進而求出是解題的關鍵．6、B【詳解】解：根據題意可得：∴反比例函數處于二、四象限，則在每個象限內為增函數，且當x＜0時y＞0，當x＞0時，y＜0，∴＜＜.7、B【解析】如圖（見解析），先利用翻折的性質、直角三角形的性質求出的度數，再根據垂徑定理、等腰三角形的性質得出度數，從而得出的度數，最后根據翻折的性質得出，利用扇形的面積公式即可得．【詳解】如圖，過點O作，并延長OD交圓O與點E，連接OA、OB、OC（垂徑定理）由翻折的性質得（等腰三角形的三線合一）同理可得故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理、翻折的性質、扇形的面積公式等知識點，利用翻折的性質得出的度數是解題關鍵．8、C【解析】如圖：分別作AC與AB的垂直平分線，相交于點O，則點O即是該圓弧所在圓的圓心．∵點A的坐標為（﹣3，2），∴點O的坐標為（﹣2，﹣1）．故選C．9、A【分析】根據反比例函數圖象上的點A、B關于原點對稱，可以寫出它們的坐標，則△ABC的面積即可求得.【詳解】解：設A(x?，y?)，根據題意得B(-x?，-y?)，BC=2x?，AC=2y?∵A在函數的圖像上∴x?y?=1

故選:

A【點睛】本題考查的是反比例函數的性質．10、D【分析】由作圖知CM=CD=DN，再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得．【詳解】解：由作圖知CM=CD=DN，

∴∠COM=∠COD，故A選項正確；

∵OM=ON=MN，

∴△OMN是等邊三角形，

∴∠MON=60°，

∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B選項正確；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，

∴∠OCD=∠OCM=，

∴∠MCD=，

又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，

∴MN∥CD，故C選項正確；

∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，

∴3CD＞MN，故D選項錯誤；

故選D．【點睛】本題主要考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是掌握圓心角定理和圓周角定理等知識點．11、D【分析】連接AO，設直徑CD的長為寸，則半徑OA=OC=寸，然后利用垂徑定理得出AE，最后根據勾股定理進一步求解即可.【詳解】如圖，連接AO，設直徑CD的長為寸，則半徑OA=OC=寸，∵CD為的直徑，弦，垂足為E，AB=10寸，∴AE=BE=AB=5寸，根據勾股定理可知，在Rt△AOE中，，∴，解得：，∴，即CD長為26寸.【點睛】本題主要考查了垂徑定理與勾股定理的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.12、C【分析】根據圓周角定理即可得到結論．【詳解】∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、y1＜y1【分析】根據雙曲線所在的象限，得出y隨x的增大而增大，即可判斷．【詳解】解：∵k＞0，∴﹣k＜0，因此在每個象限內，y隨x的增大而增大，∵﹣4＜﹣1，∴y1＜y1，故答案為：y1＜y1．【點睛】此題主要考查反比例函數的圖像與性質，解題的關鍵是熟知反比例函數在各象限的增減性．14、【分析】根據正六邊形被它的半徑分成六個全等的等邊三角形，再根據等邊三角形的邊長，求出等邊三角形的高，再根據面積公式即可得出答案．【詳解】解：連接、，作于，等邊三角形的邊長是2，，等邊三角形的面積是，正六邊形的面積是：；故答案為：．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的知識，解題的關鍵要記住正六邊形的特點，它被半徑分成六個全等的等邊三角形．15、【解析】∵拋擲一枚質地均勻的硬幣，有兩種結果：正面朝上，反面朝上，每種結果等可能出現，∴他第二次再拋這枚硬幣時，正面向上的概率是：16、菱形【詳解】解：如圖，連接AC、BD，∵E、F、G、H分別是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD邊上的中點，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位線等于第三邊的一半），∵矩形ABCD的對角線AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四邊形EFGH是菱形．故答案為菱形．考點：三角形中位線定理；菱形的判定；矩形的性質．17、．【解析】試題分析：畫樹狀圖為：共有4種等可能的結果數，其中兩枚硬幣全部正面向上的結果數為1，所以兩枚硬幣全部正面向上的概率=．故答案為．考點：列表法與樹狀圖法．18、【分析】（1）以點O為原點，OC所在直線為y軸，垂直于OC的直線為x軸建立平面直角坐標系，利用待定系數法確定二次函數的解析式后延長BD到M使MD=BD，連接AM交OC于點P，則點P即為所求；利用待定系數法確定直線M'A'的解析式，從而求得點P′的坐標，從而求得O、P之間的距離；（2）過點作平行于軸且，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求.【詳解】（1）如圖建立平面直角坐標系（以點為原點，所在直線為軸，垂直于的直線為軸），延長到使，連接交于點，則點即為所求.設拋物線的函數解析式為，由題意知旋轉后點的坐標為.帶入解析式得拋物線的函數解析式為：，當時，，點的坐標為，點的坐標為代入，求得直線的函數解析式為，把代入，得，點的坐標為，用料最省時，點、之間的距離是米.（2）過點作平行于軸且，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求.點的坐標為，點坐標為代入，，的坐標求得直線的函數解析式為，把代入，得，點的坐標為，用料最省時，點、之間的距離是米.【點睛】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出二次函數模型，利用二次函數的知識解決生活中的實際問題．三、解答題（共78分）19、(1)；(2)見解析.【分析】（1）已知C、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，根據角平分線的定義可得∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，又因AE?//?BF，根據平行線的性質可得∠DAB+∠CBA=180°，即可得∠BAC+∠ABD=90°，∠AOD=90°；（2）根據平行線的性質和角平分線的定義易證AB=BC，AB=AD，即可得AD=BC，再由AD?//?BC，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可判定四邊形ABCD是菱形．【詳解】∵、分別是、的平分線，∴，，∵，∴，∴，∴；證明：∵，∴，，∵、分別是、的平分線，∴，，∴，，∴，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的定義、等腰三角形的判定及性質、菱形的判定，證明四邊形ABCD是平行四邊形是解決本題的關鍵.20、（1）詳見解析；（2）詳見解析．【分析】（1）根據切線的性質得到∠GAF=90°，根據平行線的性質得到AE⊥BC，根據圓周角定理即可得到結論；

（2）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，由得到OC=OD=3OE，推出△COE∽△FOC，根據相似三角形的性質得到∠OCF=∠OEC=90°，于是得到CF是⊙O的切線．【詳解】解：(1)是的切線，是的直徑，，，，，，，；(2)，，，，，，是的切線．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，根據切線的判定和性質去分析所缺條件是解題的關鍵．21、（1），；（2）或；（3）【分析】（1）把點A坐標代入可求出雙曲線的關系式，進而可得點B坐標，再利用待定系數法即可求出直線的解析式；（2）找出圖象上雙曲線比直線高的部分對應的x的取值范圍即可；（3）過點作軸平行線交軸于點，過點作軸平行線交軸于點，所作兩直線相交于，如圖，利用代入數據計算即可．【詳解】解（1）∵點在雙曲線上上，∴，∴，∵點也在雙曲線，∴，∵點和點在直線上，∴，解得：，∴直線關系式為；（2）當時，的取值范圍是：或；（3）過點作軸平行線，交軸于點，過點作軸平行線，交軸于點，所作兩直線相交于，如圖，則點E（4，4），∴．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式、函數圖象上點的坐標特征和三角形的面積等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握一次函數與反比例函數的基本知識是解題的關鍵．22、（1）y=﹣2x+100；（2）當銷售單價為28元或1元時，廠商每月獲得的利潤為41萬元；（3）當銷售單價為35元時，廠商每月獲得的利潤最大，最大利潤為510萬元．【分析】（1）直接利用待定系數法求出一次函數解析式；（2）根據利潤=銷售量×（銷售單價﹣成本），代入代數式求出函數關系式，令利潤z=41，求出x的值；（3）根據廠商每月的制造成本不超過51萬元，以及成本價18元，得出銷售單價的取值范圍，進而得出最大利潤．【詳解】解：（1）由表格中數據可得：y與x之間的函數關系式為：y=kx+b，把（20，60），（25，50）代入得：解得：故y與x之間的函數關系式為：y=﹣2x+100；（2）設總利潤為z，由題意得，z=y（x﹣18）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800；當z=41時，﹣2x2+136x﹣1800=41，解得：x1=28，x2=1．答：當銷售單價為28元或1元時，廠商每月獲得的利潤為41萬元；（3）∵廠商每月的制造成本不超過51萬元，每件制造成本為18元，∴每月的生產量為：小于等于=30萬件，y=﹣2x+100≤30，解得：x≥35，∵z=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，∴圖象開口向下，對稱軸右側z隨x的增大而減小，∴x=35時，z最大為：510萬元．當銷售單價為35元時，廠商每月獲得的利潤最大，最大利潤為510萬元．【點睛】本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，關鍵是根據題意求出二次函數的解析式以及利用增減性求出最值．23、（1）①證明見解析；②；（2）或．【分析】（1）通過正方形的性質和等量代換可得到，從而可用SAS證明，利用全等的性質即可得出；（2）先證明，則有，進而可證明，得到，再利用得出，作交EH于點P，則，利用相似三角形的性質得出，則問題可解；（3）設，則，表示出EH,然后利用解出x的值，進而可求EH的長度；當E在BA的延長線上時，畫出圖形，用同樣的方法即可求EH的長度．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD，DEFG都是正方形∴∵在和中，②∵四邊形DEFG是正方形在和中，在和中，∵作交EH于點P，則（3）當點E在AB邊上時，設，則解得∴當E在BA的延長線上時，如下圖∵四邊形ABCD，DEFG都是正方形∴∵在和中，∴點G在BC邊上∵四邊形DEFG是正方形在和中，設，則解得∴綜上所述，EH的長度為或．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，正方形的性質，掌握全等三角形和相似三角形的判定及性質并分情況討論是解題的關鍵．24、（1）見解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要證明OC平分∠ACD，即可解決問題；(2)由切線長定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設DM=DN=x，在Rt△BDC中，根據，構建方程即可解決問題．【詳解】（1）證明：連接OM，ON，過O點做OE⊥AC，交AC于E，如圖所示，∵⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB∴OM=OE即：E為⊙O的切點；∴OE=ON，又∵OE⊥AC，ON⊥CD∴OC平分∠ACD∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠DAC+∠ACD=90°∴∠OAC+∠OCA=45°∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3