2023-2024學年四川省綿陽市高二下學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年四川省綿陽市高二下學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知首項為?1的數(shù)列{an}，滿足an+1A.a1=a4 B.a1<2.已知(x+1)7=a0A.32 B.64 C.127 D.1283.現(xiàn)有3名學生，每人從四大名著《水滸傳》、《三國演義》、《西游記》、《紅樓夢》中選擇一種進行閱讀，每人選擇互不影響，則不同的選擇方式有(

)A.34種 B.43種 C.C43種4.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a4A.32 B.64 C.84 D.1085.已知y=f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，如圖所示，則f(x)的大致圖象為(

)

A. B.

C. D.6.某市政道路兩旁需要進行綠化，計劃從甲，乙，丙三種樹木中選擇一種進行栽種，通過民意調(diào)查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為13.若從該地市民中隨機選取4人進行訪談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為(

)A.527 B.427 C.8817.某高校派出5名學生去三家公司實習，每位同學只能前往一家公司實習，并且每個公司至少有一名同學前來實習，已知甲乙兩名同學同時去同一家公司實習，則不同的安排方案有(

)A.48種 B.36種 C.24種 D.18種8.已知函數(shù)f(x)=x2?ax+1,x?0(a?1)x+lnx+1,x>0圖象與xA.[?2,+∞) B.(?1,0)

C.(?∞,?2]∪[0,+∞) D.(?1,+∞)∪{?2}二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.庚續(xù)綿延魚水情，軍民攜手譜新篇，綿陽市開展雙擁百日宣傳活動.某中學向全校學生征集“擁軍優(yōu)屬，擁政愛民”主題作文，共收到500篇作品，由專業(yè)評委進行打分，滿分100分，不低于60分為及格，不低于m分為優(yōu)秀，若征文得分X(單位：分)近似服從正態(tài)分布N(75,σ2)，且及格率為80%，則下列說法正確的是A.隨機取1篇征文，則評分在[60,90)內(nèi)的概率為0.6B.已知優(yōu)秀率為20%，則m=90

C.σ越大，P(X≥75)的值越小D.σ越小，評分在(70,80)的概率越大10.已知A，B分別為隨機事件A，B的對立事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列結論一定成立的是(

)A.P(B|A)=P(B|A)B.P(B|A)+P(B|A)=P(A)

C.若11.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項a1=1A.a3=?52 B.數(shù)列{a2n?2}三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?1213.已知隨機變量X的分布列如表：X?112Pm1n若E(X)=0，則σ(3X?1)=

．14.若存在非負實數(shù)a，b滿足ea+4b≤4eab(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)2024年7月將在法國巴黎舉行第33屆夏季奧林匹克運動會，首次把霹靂舞、沖浪、滑板和競技攀巖列入比賽項目，其中霹靂舞是一種節(jié)奏感強烈、動作炫酷的舞蹈.已知某校高一年級有2名女生1名男生、高二年級有1名女生3名男生擅長霹靂舞，實力相當，學校隨機從中選取4人組建校隊參加市級比賽.設校隊中女生人數(shù)為X．(1)求校隊中至少有2名高二年級同學的選法有多少種?(2)求X的分布列及均值．16.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論f(x)的極值點;(2)當0≤a≤2時，是否存在實數(shù)a，使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為0，且最大值為1?若存在，求出a的所有值;若不存在，請說明理由．17.(本小題15分)已知數(shù)列{an}滿足a13+a23(1)求數(shù)列{an}，(2)若cn=bnan，求數(shù)列{18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=lnx+(1)若a=2，求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)無零點，求實數(shù)a的取值范圍;(3)若存在x∈[1,+∞)，使得f(x)≥x?alnx?1成立，求實數(shù)a19.(本小題17分)已知新同學小王每天中午會在自己學校提供A、B兩家餐廳中選擇就餐，小王第1天午餐時隨機選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8;如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4，如此往復．(1)求小王第2天中午去A餐廳用餐的概率;(2)求小王第i天中午去B餐廳用餐的概率P(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P(Xi=1)=1?P(Xi=0)=qi，i=1，2，??，n，則E(i=1nXi)=i=1nqi.答案解析1.A

【解析】解：因為an+1=1?1an，a1=?1，

所以a2=1?1a1=2，

a32.D

【解析】解：在(x+1)7=a0+a1x+a23.B

【解析】解：每名同學都有4種不同的選擇，每人選擇互不影響，

所以3名同學不同的選擇方式有4×4×4=43種.

故選4.C

【解析】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，則2a3+a6=3a1+9d=3a5.D

【解析】解：由導數(shù)圖象可知，f′x≥0，所以函數(shù)單調(diào)遞增，故排除B；

并且f′0=0，故排除6.D

【解析】解：設建議栽種乙樹木的人數(shù)為隨機變量X，

由題意可知X～B(4,13)，

所以至少有3人建議栽種乙樹木的概率

P=C47.B

【解析】解：將5名學生分成三組，有兩種分類方法：

若按2，2，1分組，甲乙兩名同學同時去同一家公司實習，不同的安排方法有C31C32A22=18種；

若按3，1，1，分組，甲乙兩名同學同時去同一家公司實習，不同的安排方法有C38.C

【解析】解：設函數(shù)gx=a?1x+lnx+1，

因此要函數(shù)gx的圖象與x軸有交點，則直線y=a?1x+1與函數(shù)y=?lnx的圖象有交點．

設直線y=a?1x+1與函數(shù)y=?lnx的圖象相切于點Px0,y0，

則a?1=?1x0a?1x0+1=?lnx0，解得x0=1a=0,

因此由直線y=a?1x+1與函數(shù)y=?lnx的圖象知：

要直線9.ABD

【解析】解：X∽N(75,σ2)，

P(0?X<60)=1?P(X>60)=1?0.8=0.2，

P(60?x<90)=1?2P(0?X<60)=0.6，故A正確；

P(0?X<60)=P(90?X?100)=0.2，則m=90，故B正確；

根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可得無論σ為何值，P(X≥75)的值均為0.5，故C錯誤；

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線特點，數(shù)據(jù)集中在均值左右，σ越小，越穩(wěn)定，曲線越瘦高，數(shù)據(jù)越集中，評分在(70,80)10.CD

【解析】解：A中，若A，B相互獨立，則P(B|A)=P(B)，P(B|A)=P(B)，顯然P(B|A)=P(B|A)不一定成立，故A錯誤；

B中：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故B錯誤；

C中：若P(B|A)=P(B)，A，B獨立，則P(A|B)=P(AB)P(B)11.ABC

【解析】解：由已知可得an+1=14(3?cos?[(n+1)π])an?(?1)nn(2)1+cos(nπ)

={12an+n,n是奇數(shù)an?2n,n是偶數(shù)，所以a2=12a1+1=32，a3=a2?2×2=?52，故A正確；

a2n=12a2n?1+2n?1=12a12.?5【解析】解：展開式的通項為Tr+1=(?12)rC6rx3?r

令13.2【解析】解：由題意可得13+m+n=1?m+13+2n=0，解得m=59n=1914.4

【解析】解：由題意可知ab=0顯然不成立，所以ab>0，由ea+4b≤4eab，兩邊同時取以e為底的對數(shù)，得a+4b≤ln(4eab)，

即a+4b≤ln4+1+12lnab，因為a，b都是非負實數(shù)，所以a+4b≥2a?4b=4ab，當且僅當a=4b時取等號，

所以4ab≤ln4+1+12lnab，即8ab≤2ln4+2+lnab，即8ab?lnab≤2ln4+2，令15.解：(1)高二年級至少2名同學入選校隊包括以下情況：

高二年級僅2名同學入選校隊有C42?C32=18種;

高二年級僅3名同學入選校隊有C43?C31=12種;

高二年級4名同學入選校隊有C44?C30=1種;

高二年級至少2名同學入選校隊共有18+12+1=31種選法．

(2)由題意可知，隨機變量X的取值為0，1，2，3，

校隊由0個女生4個男生組成時，P(X=0)=C30C44C7X0123P112184

隨機變量X的均值為：135×0+【解析】(1)根據(jù)高二年級同學人數(shù)分幾種情況求解即可；

(2)易得隨機變量X的取值為0，1，2，3，得出對應概率，可得X的分布列及均值．16.解：(1)f′(x)=(3x?a)(x+a)，

令f′(x)=0，則x1=a3，x2=?a，

?①當a=0時，f′(x)=3x2≥0，所以f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點;

?②x(?∞,?a)?a(?a,a(f′(x)+0?0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由此表可知f(x)的極值小點為a3，其極大值點?a;

?③當a<0時，當x變化時，f′(x)及f(x)x(?∞,a(?a(?a,+∞)f′(x)+0?0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由此表可知f(x)的極值小點為?a，其極大值點a3．

綜上所述，當a=0時，f(x)無極值點;

當a>0時，f(x)的極值小點為a3，極大值點?a;

當a<0時，f(x)的極值小點為?a，其極大值點a3．

(2)假設存在實數(shù)a，使得在區(qū)間[0,1]的最小值為0，且最大值為1，

則?x∈[0,1]，0≤f(x)≤1;

由已知可得，a≠0，則?a<0<a3≤23≤1，

由(1)?②可知，f(x)在區(qū)間[0,a3]上單調(diào)遞減，在[a3,1]上單調(diào)遞增，

∴f(x)min=f(a3)=a327+a?a29?a2?【解析】

(1)先求導，分a=0、a>0和a<0三種情況研究極值即可；

(2)由(1)得f(x)min=017.解：(1)由a13+a232+a333+…+an3n=n2，

可知當n=1時，a1=3;

當n≥2時，an3n=n2?(n?1)2=2n?1，

即an=(2n?1)?3n，其中a1=3也滿足;

綜上，an=?(2n?1)?3n(n∈N?).

又數(shù)列bn滿足b1【解析】(1)分n=1和n?2兩種情況討論，當n?2時的等式與已知等式作差，可求得an3n=n2?(n?1)2=2n?1，檢驗n=1，即可求數(shù)列{18.解：(1)f(x)=lnx+2x?1，則f′(x)=1x?2x2=x?2x2，

∴切線斜率為：f′(1)=?1，

又f(1)=1，∴所求切線方程為x+y?2=0;

(2)令f(x)=0，則a=x?xlnx，

設g(x)=x?xlnx，則g′(x)=?lnx，

∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

∴g(x)的最大值為g(1)=1，且x>e，g(x)<0，

∴要使f(x)在定義域上無零點，則a>1．

(3)令?(x)=(a+1)lnx+ax?x(x≥1)，

則?′(x)=a+1x?ax2?1=?(x?a)(x?1)x2，

?①當a<1時，x?a>0，∴x∈[1,+∞)時，?′(x)<0，?(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

此時，?(x)max=?(1)=a?1<0，不符合題意;

?②當a=1時，∴x∈[1,+∞)時，?′(x)<0，?(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

∴?(x)≤?(1)=0【解析】

(1)寫出函數(shù)f(x)=lnx+2x?1，再利用導數(shù)求出切線的斜率，進而根據(jù)點斜式方程可得答案；

(2)令f(x)=0，則a=x?xlnx，設g(x)=x?xlnx，利用導數(shù)求出函數(shù)g(x)的最值，可得實數(shù)a19.解：設事件Ai表示：第i天中午去A餐廳用餐，

事件Bi:第i天中午去B餐廳用餐，其中i=1，2，??．

(1)小王第2天中午去A餐廳用餐的概率為：

P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.8+0.5×0.4=0.6;

(2)設P(Bi)=Pi，依題可知，P(Ai)=1?Pi，P1=0.5，