廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次階段考試試題

Page19廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次階段考試試題第一部分選擇題（共60分）一.單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由補集、交集的概念運算【詳解】，則．故選：B2.如圖，角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓O分別交于A，B兩點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用隨意角的三角函數(shù)定義寫出兩點的坐標(biāo)，再求向量數(shù)量積即可【詳解】由圖可知，所以，故選：A.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得的值，再由，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求解.【詳解】由，可得，因為，，可得，，所以.故選：A.4.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于y＝－x對稱的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)中的變?yōu)?，變?yōu)椋砜傻么鸢?【詳解】將函數(shù)中的變?yōu)?，變?yōu)榈谜淼茫磮D象與函數(shù)的圖象關(guān)于y＝－x對稱的是故選：D.5.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心的距離為，將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，依據(jù)余弦函數(shù)的周期性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象平移性質(zhì)以及單調(diào)性，可得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心的距離為，則函數(shù)的周期，則，則，由將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，可得，由，，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是增函數(shù)，故，解得，由，當(dāng)時，，故選：B.6.若過點與曲線相切的直線有兩條，則實數(shù)的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義列等式，把有兩條切線的問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個解的問題，再把方程有兩個解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像有兩個交點的問題，結(jié)合函數(shù)圖像求的范圍即可.【詳解】設(shè)切點為，的導(dǎo)函數(shù)為，可得切線的斜率，由切線經(jīng)過點，可得，化簡可得①，由題意可得方程①有兩解，設(shè)，可得，當(dāng)時，，所以在上遞減，當(dāng)時，，所以在上遞增，可得在處取得最大值，如圖所示，所以，解得.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且，則的值是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對函數(shù)化簡變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得結(jié)果【詳解】因為，其中，，由于函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，即，化簡得，所以，即，所以，故選：C.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：構(gòu)造，求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合可得，再構(gòu)造，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得，進而推斷出即可.【詳解】法一：若，令在上單調(diào)遞增，，即，比較與的大小，先比較與若令時單調(diào)遞減，.法二：秒殺另一方面由時，，.故選：B二.多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.的最小值為6 D.若與的夾角為銳角，則【答案】BC【解析】【分析】由平面對量垂直、平行以及模長的坐標(biāo)計算公式，對每個選項進行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】A：若，故可得，解得或，故A錯誤；B：當(dāng)時，，此時，則，故B正確；C：，故，當(dāng)時，取得最小值，故C正確；D：若與的夾角為銳角，則，解得；當(dāng)與共線時，，解得，故，故D錯誤；綜上所述，正確的選項是：.故選：BC.10.為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（）A.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍 B.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的C.向下平移兩個單位長度 D.向上平移兩個單位長度【答案】BD【解析】【分析】，可通過平移，也可通過伸縮得到.【詳解】,可將函數(shù)的圖象向上平移兩個單位長度得到，也可將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的得到.故選：BD11.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（）A.若a>b，則B.c＝10，a＝12，∠A＝60°，則有唯一解C.若a，b，c成等比數(shù)列，的取值范圍為D.若，則△ABC為銳角三角形【答案】ABC【解析】【分析】A選項利用三角形中大邊對大角即可推斷出.B，D選項利用正余弦定理可推斷.C選項，由a，b，c成等比數(shù)列，用等比中項的性質(zhì)，再結(jié)合三角形邊的性質(zhì)，兩邊之和大于第三邊列不等式組即可.【詳解】對于A：a>b可知A>B，由余弦函數(shù)單調(diào)性可知故A正確；對于B，在中，c＝10，a＝12，，得，所以△ABC有唯一解，故B正確；對于C，∵a，b，c成等比數(shù)列，設(shè)，q>0，則b＝aq，，∴，∴，∴，故C正確；對于D，若，則，故，由正弦定理得：，由余弦定理得，則，C為銳角，另外兩個角不能確定為銳角還鈍角，故D錯誤；故選：ABC12.已知數(shù)列滿意，，記數(shù)列的前n項和為，對恒成立，則下列說法正確的有（）A.若，則數(shù)列為遞減數(shù)列B.若，則數(shù)列為遞增數(shù)列C.若a＝3，則的可能取值為D.若a＝3，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，取特別狀況，可得答案；對于B，構(gòu)造函數(shù)，作圖，利用數(shù)形結(jié)合思想，可得答案；對于C、D，同B，可得數(shù)列的取值方程，整理求得數(shù)列相鄰兩項的大小關(guān)系，利用放縮法，解得裂項相消和等比數(shù)列求和，可得答案.【詳解】對于A，令，解得，即數(shù)列的不動點為2，所以當(dāng)a＝2時，，此時為常數(shù)列，A錯誤；對于B，作出函數(shù)與函數(shù)y＝x的圖像如圖：由圖可知B正確；對于C，作出函數(shù)與函數(shù)y＝x的圖像如圖：由圖可知：，∴，∴，即，又∵，∴，一方面，由得，∴，，∴∵，且當(dāng)n→＋∞，，∴，∵，∴另一方面，由，，得，，又∵，，，且，∴，所以CD正確.故選：BCD.其次部分非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系、設(shè)鐘表秒針針尖的坐標(biāo)為P（x，y），若秒針針尖的初始坐標(biāo)為當(dāng)秒針由點P0的位置（此時t＝0）起先走時，點P的縱坐標(biāo)y與時間t（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系為______.【答案】，【解析】【分析】確定對應(yīng)的角度，再依據(jù)點在單位圓上，寫出函數(shù)的解析式.【詳解】由題意，半徑，函數(shù)的周期，所以時刻秒針針尖經(jīng)過的圓弧對應(yīng)的角度為，以軸正半軸為始邊，所在射線為終邊，得對應(yīng)的角度為，秒針是順時針，則對應(yīng)的角度為，所以時刻的縱坐標(biāo)，.故答案為：，.14.等差數(shù)列前項和為，，則___________.【答案】【解析】【分析】由結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果【詳解】，即故答案為：5215.計算：_______.【答案】【解析】【分析】把化為，逆用二倍角的余弦公式和正弦公式，運用協(xié)助角公式，最終化簡求值.【詳解】原式【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)商關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、協(xié)助角公式.16.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)覺許多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點（x，f（x））處的曲率，則曲線在（1，1）處的曲率為______；正弦曲線（x∈R）曲率的平方的最大值為______.【答案】①②.1【解析】【分析】（1）由題意，求導(dǎo)，代入公式，可得答案；（2）由題意，整理曲率的函數(shù)解析式，換元求導(dǎo)，求最值，可得答案.【詳解】（1）由題意得，，則，，則.（2）由題意得，，，∴，令，則，令，則，明顯當(dāng)t∈[1,2]時，，p（t）單調(diào)遞減，所以，∴的最大值為1.故答案為：，1.四.解答題（本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可；（2）依據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可.【小問1詳解】由，故由正弦定理知：，所以.因為，所以A為銳角，故；【小問2詳解】由（1）及余弦定理知：，故，故.由，所以，所以的面積.18.已知等比數(shù)列的前n項和為（b為常數(shù)）．（1）求b的值和數(shù)列的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再依據(jù)等比數(shù)列前項和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯位相減法求和即可；【小問1詳解】解：由題設(shè)，明顯等比數(shù)列的公比不為1，若的首項、公比分別為、，則，∴且，所以，故的通項公式為．當(dāng)時，；【小問2詳解】解：令，，解得，所以數(shù)列在中的項的個數(shù)為，則，所以，∵，①∵②兩式相減得∴．∴19.如圖，三棱臺ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四邊形ACFD為等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.（1）求證：AB⊥CF；（2）求直線BD與平面ABC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)延長AD、BE、CF交于點P，由平面ABED⊥平面ACFD推導(dǎo)出CP⊥平面ABED，進而可得出CP⊥AB；(2)設(shè)DF＝a，可得出，，過點P作PM⊥BC于點M，計算出點到平面ABC的距離，即可求得直線BD與平面ABC所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：延長AD、BE、CF交于點P，∵四邊形ACFD為等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.【小問2詳解】由AC＝2AB＝2DF，可知D為PA的中點，設(shè)AB＝DF＝a，則，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，過點P作PM⊥BC于點M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D為PA的中點，∴D到平面ABC的距離，∴直線BD與平面ABC所成角的正弦值為.20.已知函數(shù)（，）．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)解析式的兩個合理條件作為已知，條件①：的最大值為1；條件②：的一條對稱軸是直線；條件③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．求：（1）函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)圖像上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若在區(qū)間上的最小值為，求的最大值．【答案】（1）選擇條件①③得；（2）【解析】【分析】（1）由題知，進而結(jié)合已知條件選擇①③能確定函數(shù)解析式，再求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)平移變換得，進而依據(jù)題意得，再解不等式即可得答案.【小問1詳解】解：，當(dāng)選條件②，的一條對稱軸是直線時，，即，明顯不成立，條件①③能確定函數(shù)解析式，因為的最大值為1，的相鄰兩條對稱軸之間的距離為所以，，解得，，所以，【小問2詳解】解：依據(jù)題意得，因為，所以，因為在區(qū)間上的最小值為所以，，解得.所以，的最大值為.21.已知函數(shù)是偶函數(shù).（I）證明：對隨意實數(shù)，函數(shù)的圖象與直線最多只有一個交點；（II）若方程有且只有一個解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（I）證明見解析；（II）.【解析】【分析】（I）先利用偶函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)求出的值，然后利用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可證明出所證結(jié)論；（II）由，得出，令，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有且只有一個正根，然后分三種狀況探討：①；②，；③，方程有一個正根一個負根.分析這三種狀況，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（I）由函數(shù)是偶函數(shù)可得：，，，即對一切恒成立，.由題意可知，只要證明函數(shù)在定義域上為單調(diào)函數(shù)即可.任取、且，則，，，，即，.函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù).對隨意實數(shù)，函數(shù)的圖象與直線最多只有一個交點；（II）若方程有且只有一解，也就是方程有且只有一個實根.令，問題轉(zhuǎn)化為方程：有且只有一個正根.（1）若，則，不合題意；（2）若時，由或，當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，；（3）若時，，若方程一個正根與一個負根時，則.綜上：實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、函數(shù)的零點問題，涉及函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的零點問題，解題時要留意將這些學(xué)問點進行等價轉(zhuǎn)化處理，屬于中等題.22.已知函數(shù)(為正有理數(shù))．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為，（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由于在單調(diào)遞減，所以，令，所以只要證即可，而，所以只要證明：當(dāng)時，，而，所以令，然后利用導(dǎo)數(shù)求的最大值小于等于零即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為．（為正有理數(shù))，當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以，所以在上單調(diào)遞增