適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)二十四平面新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE二十四平面(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．如圖所示，下列符號(hào)表示錯(cuò)誤的是()A．l∈αB．P?lC．l?αD．P∈α【解析】選A.視察圖知：P?l，P∈α，l?α，則l∈α是錯(cuò)誤的．2．下面四個(gè)說法(其中A，B表示點(diǎn)，a表示直線，α表示平面)：①因?yàn)锳?α，B?α，所以AB?α；②因?yàn)锳∈α，B?α，所以AB?α；③因?yàn)锳?a，a?α，所以A?α；④因?yàn)锳∈a，a?α，所以A∈α.其中表述方式和推理都正確的命題的序號(hào)是()A．①④B．②③C．④D．③【解析】選C.①錯(cuò)，應(yīng)寫為A∈α，B∈α；②錯(cuò)，應(yīng)寫為AB?α；③錯(cuò)，推理錯(cuò)誤，有可能A∈α；④推理與表述都正確．3．下列說法中正確的是()A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形肯定是平面圖形C．梯形肯定是平面圖形D．兩個(gè)不同平面α和β有不在同一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)【解析】選C.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A不正確；四邊形有時(shí)指空間四邊形，故B不正確；梯形的上底和下底平行，可以確定一個(gè)平面，故C正確；兩個(gè)平面假如相交，肯定有一條交線，全部這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)都在這條交線上，故D不正確．4．平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β，且B?l，點(diǎn)C∈α，又AC∩l＝R，過A，B，C三點(diǎn)確定的平面為γ，則β∩γ是()A．直線CRB．直線BRC．直線ABD．直線BC【解析】選B.如下圖所示：由題意可知，AC?γ，AC∩l＝R，則R∈γ，又平面α∩平面β＝l，則l?α，l?β，因?yàn)锳C∩l＝R，所以R∈β，因?yàn)锽∈β，B∈γ，因此，β∩γ＝直線BR.二、填空題(每小題5分，共10分)5．設(shè)平面α與平面β相交于直線l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l(用符號(hào)表示).【解析】因?yàn)閍∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.答案：∈6．如圖所示的正方體中，P，Q，M，N分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________(把正確圖形的序號(hào)都填上).【解析】圖形①中，連接MN，PQ(圖略)，則由正方體的性質(zhì)得MN∥PQ，依據(jù)兩條平行直線可以確定一個(gè)平面知①正確．分析可知③中四點(diǎn)共面，②④中四點(diǎn)均不共面．答案：①③三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P，求證：點(diǎn)P在直線DE上．【證明】因?yàn)镻∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直線DE.8．如圖，△ABC與△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求證：AA1，BB1，CC1交于一點(diǎn)．【證明】如圖所示，因?yàn)锳1B1∥AB，所以A1B1與AB確定一平面，記為平面α.同理，將B1C1與BC所確定的平面記為平面β，C1A1與CA所確定的平面記為平面γ.易知β∩γ＝C1C.又△ABC與△A1B1C1不全等，所以AA1與BB1相交，設(shè)交點(diǎn)為P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1?γ，BB1?β，所以P∈γ，P∈β，所以P在平面β與平面γ的交線上．又β∩γ＝C1C，所以P∈C1C，所以AA1，BB1，CC1交于一點(diǎn)．(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．給出以下四個(gè)命題：①不共面的四點(diǎn)中，其中隨意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【解析】選B.①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面沖突，故其中隨意三點(diǎn)不共線，所以①正確；②如圖，兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③明顯不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形．2．在空間，已知直線l及不在l上兩個(gè)不重合的點(diǎn)A，B，過直線l做平面α，使得點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，則這樣的平面α的個(gè)數(shù)不行能是()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．多數(shù)個(gè)【解析】選C.(1)如圖，當(dāng)直線AB與l異面時(shí)，則只有一種狀況；(2)當(dāng)直線AB與l平行時(shí)，則有多數(shù)種狀況，平面α可以圍著l轉(zhuǎn)動(dòng)；(3)如圖，當(dāng)l過線段AB的中垂面時(shí)，有兩種狀況．3．假如點(diǎn)A在直線l上，而直線l又在平面α內(nèi)，那么可以記作()A．A?l，l?αB．A?l，l∈αC．A∈l，l∈αD．A∈l，l?α【解析】選D.點(diǎn)A在直線l上記作A∈l，l在平面α內(nèi)，記作l?α.4．(多選題)用一個(gè)平面截正方體所得的截面圖形可能是()A．六邊形B．五邊形C．菱形D．直角三角形【解析】選ABC.正方體的截面圖形可能是六邊形、五邊形、菱形．5．(多選題)下面四個(gè)條件中，能確定一個(gè)平面的是()A．一條直線B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)C．兩條相交的直線D．兩條平行的直線【解析】選CD.對(duì)于選項(xiàng)A：一條直線不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：一條直線和直線外的一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，一條直線和直線上的一個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：兩條相交的直線可以確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：兩條平行的直線可以確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)D正確．6．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是()①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④【解析】選D.當(dāng)a∩α＝P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，所以①錯(cuò)；a∩β＝P時(shí)，②錯(cuò)；如圖，因?yàn)閍∥b，P∈b，所以P?a，所以由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α.又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點(diǎn)P，所以β與α重合，所以b?α，故③正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確．二、填空題(每小題5分，共10分)7．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．【解析】因?yàn)锳C∥BD，所以AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.因?yàn)閘∩α＝O，所以O(shè)∈α.又因?yàn)镺∈AB?β，所以O(shè)∈直線CD，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線．答案：共線8．下列說法：①空間三條直線兩兩平行，則三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；②空間三條直線兩兩相交，則三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；③空間四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H在同一平面內(nèi)，則直線EF與GH可能平行，也可能相交．其中正確的序號(hào)是________．【解析】三棱柱的三條側(cè)棱兩兩平行，但三條側(cè)棱所在直線不在同一平面內(nèi)，故①錯(cuò)；若三條直線交于同一點(diǎn)，則三條直線可能不在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò)；同一平面內(nèi)的兩條直線不平行，就相交，故③正確．答案：③三、解答題(每小題10分，共30分)9.如圖，在四面體A-BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，RQ，DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，RP，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K.求證：M，N，K三點(diǎn)共線．【證明】因?yàn)镸∈PQ，直線PQ?平面PQR，M∈BC，直線BC?平面BCD，所以M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)，所以M在平面PQR與平面BCD的交線上．同理可證，N，K也在平面PQR與平面BCD的交線上．所以M，N，K三點(diǎn)共線．10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l.(1)畫出直線l的位置；(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求線段PB1的長(zhǎng)．【解析】(1)延長(zhǎng)DM交D1A1的延長(zhǎng)線于E，連接NE，則NE即為直線l的位置．(2)因?yàn)镸為AA1的中點(diǎn)，AA1∥DD1，所以AD＝A1E＝A1D1＝a.因?yàn)锳1P∥D1N，且D1N＝eq\f(1,2)a，所以A1P＝eq\f(1,2)D1N＝eq\f(1,4)a，于是PB1＝A1B1－A1P＝a－eq\f(1,4)a＝eq\f(3,4)a.11．已知：a，b，c，d是兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線．求證：a，b，c，d共面．【證明】(1)有三線共點(diǎn)的狀況，如圖．設(shè)b，c，d三線相交于點(diǎn)K，與a分別交于N，P，M且K?a.因?yàn)镵?a，所以K和a確定一個(gè)平面，設(shè)為α.因?yàn)镹∈a，a?α，所以N∈α所以NK?α，即b?α.同理，c?α，d?α，所以a，b，c，d共面．(2)無三線共點(diǎn)狀況，如圖．設(shè)a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.因?yàn)閍∩d＝M，所以a，d可確定一個(gè)平面α.因?yàn)镹∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.所以NQ?α，即b?α.同理，c?α，所以a，b，c，d共面．由(1)(2)可知，a，b，c，d共面．【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E、H分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，G在AD上，且有DF∶FC＝DG∶GA＝1∶2.求證：直線EF、BD、HG交于一點(diǎn)．【解題指南】先證EF、HG肯定相交于一點(diǎn)，再證這一點(diǎn)在直線BD上．【證明】連接EH、AC、FG.因?yàn)镋、H分別為BC、AB的中點(diǎn)，所以EH＝eq