2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第10章　§10.6　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布（原卷版）

第第頁(yè)§10.6二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布課標(biāo)要求1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．3．正態(tài)分布(1)定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝SKIPIF1<0，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；②曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；③當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.常用結(jié)論1．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理．2．超幾何分布有時(shí)也記為X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，方差D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形．()(2)若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．()(3)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布．()(4)當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．()2．如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為eq\f(2,3)，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是()A.eq\f(80,243)B.eq\f(80,81)C.eq\f(163,243)D.eq\f(163,729)3．某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,102)，則理論上在80分到90分的人數(shù)約是()A．32B．16C．8D．204．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個(gè)數(shù)，則P(X＝1)＝________.題型一二項(xiàng)分布例1某工廠車間有6臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是eq\f(1,4)，且一臺(tái)機(jī)器的故障能由一個(gè)維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2臺(tái)機(jī)器；方案二：由甲、乙兩人共同維護(hù)6臺(tái)機(jī)器．(1)對(duì)于方案一，設(shè)X為甲維護(hù)的機(jī)器同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，求X的分布列與均值E(X)；(2)在兩種方案下，分別計(jì)算機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率，并以此為依據(jù)來(lái)判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？跟蹤訓(xùn)練1第22屆世界杯足球賽在卡塔爾舉辦，各地中學(xué)掀起足球熱．甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行足球點(diǎn)球比賽，每人點(diǎn)球3次，射進(jìn)點(diǎn)球一次得50分，否則得0分．已知甲每次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為eq\f(2,3)，且每次是否射進(jìn)點(diǎn)球互不影響；乙第一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為eq\f(2,3)，從第二次點(diǎn)球開始，受心理因素影響，若前一次射進(jìn)點(diǎn)球，則下一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為eq\f(3,4)，若前一次沒有射進(jìn)點(diǎn)球，則下一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為eq\f(1,2).(1)設(shè)甲3次點(diǎn)球的總得分為X，求X的分布列和均值；(2)求乙總得分為100分的概率．題型二超幾何分布例2宿州號(hào)稱“中國(guó)云都”，擁有華東最大的云計(jì)算數(shù)據(jù)中心、CG動(dòng)畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟(jì)南之后的全國(guó)第5家量子通信節(jié)點(diǎn)城市．為了統(tǒng)計(jì)智算中心的算力，現(xiàn)從全市n個(gè)大型機(jī)房和6個(gè)小型機(jī)房中隨機(jī)抽取若干機(jī)房進(jìn)行算力分析，若一次抽取2個(gè)機(jī)房，全是小型機(jī)房的概率為eq\f(1,3).(1)求n的值；(2)若一次抽取3個(gè)機(jī)房，假設(shè)抽取的小型機(jī)房的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和均值．跟蹤訓(xùn)練2鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂、親近自然、尋味鄉(xiāng)愁的美好追求．某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機(jī)抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計(jì)得到各家的房間數(shù)如下表：民宿點(diǎn)甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品質(zhì)型民宿6164101110912(1)從這8家中隨機(jī)抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；(2)從這8家中隨機(jī)抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和均值．題型三正態(tài)分布例3(1)新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來(lái)備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號(hào)新能源汽車的耗電量(單位：kW·h/100km)情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號(hào)新能源汽車的耗電量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，則樣本中耗電量不小于14kW·h/100km的汽車大約有()A．180輛 B．360輛C．600輛 D．840輛(2)李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過(guò)統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都近似服從正態(tài)分布．繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車()A．有26min可用 B．有30min可用C．有34min可用 D．有38min可用跟蹤訓(xùn)練3(1)佛山被譽(yù)為“南國(guó)陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽(yù)海內(nèi)外．某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)X～N(800，σ2)，且P(X<801)＝0.6，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記Y表示800≤X<801的瓷磚片數(shù)，則E(Y)＝________.(2)某種食鹽的袋裝質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(400,16)，隨機(jī)抽取10000袋，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間(396,408]的約有________袋．(質(zhì)量單位：g)附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X＝0)＝eq\f(4,9)，則D(Y)等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(4,9)D.eq\f(8,9)2．甲、乙兩選手進(jìn)行羽毛球單打比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，采用三局兩勝制，則甲以2∶1獲勝的概率為()A.eq\f(8,27)B.eq\f(4,27)C.eq\f(4,9)D.eq\f(2,9)3．某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(72,82)，則數(shù)學(xué)成績(jī)位于(80,88]的人數(shù)約為()參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A．455B．2718C．6346D．95454．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為ξ，則均值E(ξ)為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(9,10)C．1D.eq\f(6,5)5．32名業(yè)余棋手組隊(duì)與甲、乙2名專業(yè)棋手進(jìn)行車輪挑戰(zhàn)賽，每名業(yè)余棋手隨機(jī)選擇一名專業(yè)棋手進(jìn)行一盤比賽，每盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少于10名，則業(yè)余棋手隊(duì)獲勝．已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為eq\f(1,3)，每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概率均為eq\f(1,4)，若業(yè)余棋手隊(duì)獲勝，則選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為()A．24B．25C．26D．27二、多項(xiàng)選擇題6．“50米跑”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)，某地區(qū)高三男生的“50米跑”測(cè)試成績(jī)?chǔ)?單位：秒)服從正態(tài)分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.從該地區(qū)高三男生的“50米跑”測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中成績(jī)?cè)?7,9)的個(gè)數(shù)記為X，則()A．P(7<ξ<9)＝0.8 B．E(X)＝1.8C．E(ξ)>E(5X) D．P(X≥1)>0.97．一個(gè)袋子有10個(gè)大小相同的球，其中有4個(gè)紅球，6個(gè)黑球，試驗(yàn)一：從中隨機(jī)地有放回摸出3個(gè)球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為X1，均值和方差分別為E(X1)，D(X1)；試驗(yàn)二：從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出3個(gè)球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為X2，均值和方差分別為E(X2)，D(X2)，則()A．E(X1)＝E(X2) B．E(X1)>E(X2)C．D(X1)>D(X2) D．D(X1)<D(X2)三、填空題8．某市中學(xué)舉辦了一次“亞運(yùn)知識(shí)知多少”的知識(shí)競(jìng)賽．參賽選手從7道題(4道多選題，3道單選題)中隨機(jī)抽題進(jìn)行作答，若某選手先隨機(jī)抽取2道題，再隨機(jī)抽取1道題，則最后抽取到的題為多選題的概率為________．9．近年來(lái)，理財(cái)成為了一種趨勢(shì)，老黃在今年買進(jìn)某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品．設(shè)該產(chǎn)品每個(gè)季度的收益率為X，且各個(gè)季度的收益之間互不影響，根據(jù)該產(chǎn)品的歷史記錄，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黃準(zhǔn)備在持有該理財(cái)產(chǎn)品4個(gè)季度之后賣出．則至少有3個(gè)季度的收益為正值的概率為________．10．一個(gè)盒子中裝有5個(gè)電子產(chǎn)品，其中有3個(gè)一等品，2個(gè)二等品，從中每次抽取1個(gè)產(chǎn)品．若抽取后不再放回，則抽取三次，第三次才取得一等品的概率為________；若抽取后再放回，共抽取10次，則平均取得一等品________次．四、解答題11．某家具城舉辦了一次家具有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)1萬(wàn)元(含1萬(wàn)元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種．方案一：從裝有10個(gè)形狀與大小完全相同的小