對(duì)頁(yè)碼的使用總結(jié)

對(duì)頁(yè)碼的使用總結(jié)第1篇對(duì)頁(yè)碼的使用總結(jié)第1篇頁(yè)碼問(wèn)題常見(jiàn)的主要有三種題型：一、一本書(shū)有N頁(yè)，求排版時(shí)用了多少個(gè)數(shù)字；或者反過(guò)來(lái)，一本書(shū)排版時(shí)用了N個(gè)數(shù)字，求這本書(shū)有多少頁(yè)；

二、已知一本N頁(yè)的書(shū)中，求某個(gè)數(shù)字出現(xiàn)多少次；

三、已知一本N頁(yè)的書(shū)中，求含有某個(gè)數(shù)字的頁(yè)碼有多少頁(yè)

1．編一本書(shū)的書(shū)頁(yè)，用了270個(gè)數(shù)字（重復(fù)的也算，如頁(yè)碼115用了2個(gè)1和1個(gè)5共3個(gè)數(shù)字），問(wèn)這本書(shū)一共有多少頁(yè)？

方法一：l--9是只有9個(gè)數(shù)字，10--99是2*90=180個(gè)數(shù)字，那么剩下270-9-180=81，剩下81/3=27頁(yè)，則這本書(shū)是99+27-1=126頁(yè)。

方法二：假設(shè)這個(gè)頁(yè)數(shù)是A頁(yè)，則有A個(gè)個(gè)位數(shù)，每個(gè)頁(yè)碼除了1--9，其他都有十位數(shù)，則有A-9個(gè)十位數(shù)，同理：有A-99個(gè)百位數(shù)。則：A+(A-9)+(A-99)=2703A-110+2=2703A=378，A=126方法三：公式法：公式：一本書(shū)用了N個(gè)數(shù)字，求有多少頁(yè)：N/3+36。270/3+36=126。

2．一本小說(shuō)的頁(yè)碼，在排版時(shí)必須用2211個(gè)數(shù)碼。問(wèn)這本書(shū)共有多少頁(yè)？A．773解析：代入公式：N/3+36=737+36=773．王先生在編一本書(shū)，其頁(yè)數(shù)需要用6869個(gè)字，問(wèn)這本書(shū)具體是多少頁(yè)？方法一：假設(shè)這個(gè)頁(yè)數(shù)是A頁(yè)，則：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869，求出A=1994方法二：6869>2889，所以，把所有的數(shù)字看作是4位數(shù)字，不足4位的添O補(bǔ)足4位，l,2,3,?9記為0001,0002,0003,..0009這樣增加了3*9=27個(gè)010,11,12,?99記為0010,0011,0012，..0099增加了180個(gè)0100,101，?999記為0100,0101，?0999增加了900個(gè)O(6869+27+180+900)/4=1994

總結(jié)：一本書(shū)排版時(shí)用了N個(gè)數(shù)字，求這本書(shū)有多少頁(yè)，N<2889時(shí)，用公式：N/3+36；N>2889時(shí),用添加0計(jì)算。

4.在1-5000頁(yè)中，出現(xiàn)過(guò)多少次數(shù)字3？

解析：每十個(gè)數(shù)里的個(gè)位上有一個(gè)3，5000個(gè)數(shù)就有5000/10=500個(gè)3，每一百個(gè)數(shù)里的十位上會(huì)有30到39,10個(gè)3，所以(5000/100)乘10=500個(gè)3，每一千個(gè)數(shù)里的百位上會(huì)有300到399，100個(gè)3所以(5000/1000)乘100=500個(gè)3，在千位上的3就有3000到3999，1000個(gè)3，所以500+500+500+1000=2500個(gè)3

5.一本書(shū)有4000頁(yè)，問(wèn)數(shù)字1在這本書(shū)里出現(xiàn)了多少次？解析：我們看4000分為千，百，十，個(gè)四個(gè)數(shù)字位置

千位是1的情況：那么百、十、個(gè)三個(gè)位置的選擇數(shù)字的范圍是0--9共計(jì)10個(gè)數(shù)字。就是10*10*10=1000百位是1的情況，千位是（0,1,2,3)4個(gè)數(shù)字可以選擇。十位，個(gè)位還是0--9，10個(gè)數(shù)字可以選擇即4*l0*10=400十位和個(gè)位都跟百位一樣。那么答案就是1000+400*3=2200

總結(jié)：因?yàn)樵陧?yè)碼1-99中，l、2、3、4、5、6、7、8、9均會(huì)出現(xiàn)20次；在頁(yè)碼100-999中，l、2、3、4、5、6、7、8、9均會(huì)出現(xiàn)20*9+100次。

上面兩題均可以用公式,關(guān)于含“1”的頁(yè)數(shù)問(wèn)題，總結(jié)出的公式就是：總頁(yè)數(shù)的1/10乘以（數(shù)字位-1)，再加上10的（數(shù)字位數(shù)-l）次方。如三位數(shù)：總頁(yè)數(shù)的1/10乘以（3一l)+1O的（3-1)次方四位數(shù)：總頁(yè)數(shù)的l/10乘以（4一l)+10的（4-l)次方

那么第4題：(5000/10)*3+1000=2500；第5題：(4000/10)*3+1000=22006．在1-5000頁(yè)中，含3的頁(yè)數(shù)有是多少？在頁(yè)碼1-99中，數(shù)字3出現(xiàn)了20次，即有19個(gè)含3的頁(yè)碼(33頁(yè)要去掉一次）；在頁(yè)碼100-999中，分兩種情況考慮：（1）首位數(shù)字是3，那么，后面兩位就不用管了，一共有含3的頁(yè)碼100頁(yè)；（2）首位數(shù)字不是3，那么必須考慮后兩位數(shù)字含3，而前面知道，1-99中，有19個(gè)含3的頁(yè)碼，由于首位數(shù)字這時(shí)有l(wèi)、2、4、5、6、7、8、9這么8種可能性，所以應(yīng)該是19*8個(gè)含3的頁(yè)碼。

本題，在1-999中，含3的頁(yè)碼一共19+19*8+100=19*9+100頁(yè)；再引申到1000-5000，也分兩種情況：(l)千位是3，則有1000頁(yè)：(2）千位不是3，則只可能是l、2、4，只考慮后3位，有（19*9+l00)*3個(gè)含3的頁(yè)碼。所以，合計(jì)是：19*9+100+(19*9+100)*3+1000=2084頁(yè)中含有多少個(gè)帶9的頁(yè)面？

答案是40951，排列組合學(xué)的不是特別好的同學(xué)可以牢記公式:[(19*9+100)*9+1000]*9+10000=40951

規(guī)律很簡(jiǎn)單：19*9+100，代表l-999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的頁(yè)碼數(shù)；

(19*9+100)*9+1000，代表1-9999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的頁(yè)碼數(shù)；[(19*9+100)*9+1000]*9+10000，代表l-99999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的頁(yè)碼數(shù)。

2位數(shù)是19頁(yè)，然后每多一位數(shù)就乘以9，再加上10的N次方，N=位數(shù)減1。8.一本300頁(yè)的書(shū)中含“l(fā)”的有多少頁(yè)？19*2+100=138頁(yè)

9．將所有自然數(shù)，從1開(kāi)始一次寫(xiě)下去得到：***13??，試確定第206786個(gè)位置上出現(xiàn)的數(shù)字？解析：

方法一：9999*4<10000*4=40000<206786<99999*5,那么肯定是5位數(shù)了。

l,2,3,?9記位00001,00002,00003,..00009這樣增加了4*9=36個(gè)010,11,12,?99記為00010,00011,00012，..00099增加了270個(gè)0100,101，?999記為00100,00101，?00999增加了1800個(gè)O1000,1001，?,9999記為01000,01010，?09999增加了9000個(gè)O(206786+36+270+1800+9000)/5=217892/5=43578余2,說(shuō)明206788位置上的數(shù)就是第43579的第2個(gè)數(shù)字3方法二

設(shè)有A頁(yè)，那么：A+(A-9)+（A-99）+（A-999）+（A-9999)=2067885A-(9+99+999+9999)=206786A=43578余數(shù)是2說(shuō)明206786位置上的數(shù)就是第43579的第2個(gè)數(shù)字3

10、一本小說(shuō)的頁(yè)碼，在印刷時(shí)必須用_個(gè)鉛字，在這一本書(shū)的頁(yè)碼中數(shù)字1出現(xiàn)多少次？

解析：共有_/3+36=699頁(yè)。

即出現(xiàn)：(700/10)*(3-1)+100=240次

11.印刷一本書(shū)用了1992個(gè)數(shù)字，在這本書(shū)中出現(xiàn)數(shù)字2的頁(yè)碼有多少頁(yè)？

解析：有1992/3+36=664+36=700頁(yè)，含有數(shù)字2的頁(yè)碼：6*19+100=214選A

對(duì)頁(yè)碼的使用總結(jié)第2篇一．頁(yè)碼問(wèn)題

對(duì)多少頁(yè)出現(xiàn)多少1或2的公式

如果是X千里找?guī)?，公式?000+X00*3如果是X百里找?guī)?，就?00+X0*2，X有多少個(gè)0就*多少。依次類推！請(qǐng)注意，要找的數(shù)一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一類的了，比如，7000頁(yè)中有多少3就是1000+700*3=3100（個(gè)）

20000頁(yè)中有多少6就是2000*4=8000（個(gè)）

友情提示，如3000頁(yè)中有多少3，就是300*3+1=901，請(qǐng)不要把3000的3忘了

二．頁(yè)碼問(wèn)題

(一)某數(shù)出現(xiàn)多少次問(wèn)題

99中，某數(shù)（不含0）出現(xiàn)20次。999中，某數(shù)（不含0）出現(xiàn)20*9+120次。

(二)含某數(shù)的頁(yè)數(shù)有多少問(wèn)題（就是出現(xiàn)次數(shù)減去重復(fù)次數(shù)）99中，含某數(shù)（不含0）19頁(yè)。999中，含某數(shù)（不含0）19*9+100頁(yè)。

9999中，含某數(shù)（不含0）(19*9+100)*9+1000頁(yè)。(三)A頁(yè)的書(shū)需要多少字符數(shù)問(wèn)題A+A-9+A-99=B(字符數(shù))。

(四)頁(yè)碼數(shù)加減是否有誤（等差求和公式的運(yùn)用）等差求和公式是：Sn=（a1+an）×n/2，對(duì)于書(shū)本來(lái)說(shuō)，頁(yè)碼是從第一頁(yè)始，因此SN=（1+n）×n/2≈n^2/2

【解析】例題：一本故事書(shū)共121頁(yè)，在這本書(shū)的頁(yè)碼中數(shù)字“1”出現(xiàn)多少次？？

選D。0-99中20個(gè)，100-121中22+11+2=35個(gè)，20+35=55。

例題：老李有一本很舊的書(shū)，已知這本書(shū)最后一頁(yè)頁(yè)碼的第一個(gè)數(shù)字是3，其它的頁(yè)碼數(shù)都已模糊不清。這本書(shū)出現(xiàn)數(shù)字3的次數(shù)有180次。求這本書(shū)由多少個(gè)鉛字組成（1代表1個(gè)鉛字，11，代表2個(gè)鉛字）【解析】選B。20+20+20+120，推出399頁(yè)，399x3-9-99=1089。

例題：編一本書(shū)的書(shū)頁(yè)，用了270個(gè)數(shù)字（重復(fù)的也算，如頁(yè)碼115用了2個(gè)1和1個(gè)5，共3個(gè)數(shù)字），問(wèn)這本書(shū)一共有多少頁(yè)？

【解析】選B。首先肯定是三位數(shù)，A+A-9+A-99=270，3A=378，A=126（頁(yè)）。例題：甲乙兩冊(cè)書(shū)的頁(yè)碼共777個(gè)數(shù)碼，其中甲比乙書(shū)多7頁(yè)，問(wèn)甲書(shū)有多少頁(yè)？【解析】選D。1-9﹏9，10-99﹏180，甲乙都在百頁(yè)。多7頁(yè)就多21個(gè)數(shù)碼，可列X+Y=777,X-Y=21；解得，X=399。3A-9-99=399，A=169（頁(yè)）

例題：一本書(shū)的頁(yè)碼是連續(xù)的自然數(shù)，1，2，3，…，當(dāng)將這些頁(yè)碼加起來(lái)的時(shí)候，某個(gè)頁(yè)碼被加了兩次，得到不正確結(jié)果1997，則這個(gè)被加了兩次的頁(yè)碼是()【解析】選D。N*(N+1)/2<=1997，N最大是62時(shí)，即1953。則被多加的頁(yè)碼是1997-1953=44。估算運(yùn)用：n*(n+1)/2<1997，n*（n+1)<3994，n^2<3994，n^2<4000。

例題：有一本書(shū)的中間被撕掉了一張，余下的各頁(yè)的頁(yè)碼數(shù)之和正好是1000，則被撕掉的那一張頁(yè)碼是（）和18和19和20和22【解析】選D。共45張，等差求和（1+45）*45/2=23*45=1035，1035-1000=35。

例題：如果把1到999些自然數(shù)按照從小到大的順序排成一排，這樣就組成了一個(gè)多位數(shù)：***——996997998999.那么在這個(gè)多位數(shù)里，從左到右第2000個(gè)數(shù)字是多少？？

【解析】1-9有9個(gè)數(shù)，10-99有180個(gè)數(shù)，求第2000個(gè)數(shù)字，減去前面的2000-189=1811。而100-999每個(gè)數(shù)值是3位數(shù)。那么1811/3可算出是第幾個(gè)數(shù)值（不是數(shù)字）1811/3=603……2，因起步為100，100+603...2=703....2。

二，握手問(wèn)題

N個(gè)人彼此握手，則總握手?jǐn)?shù)

S＝（n-1）{a1+a(n-1)}/2=（n-1）{1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2=N×（N-1）/2例題：

某個(gè)班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個(gè)圈，每個(gè)人都不能跟相鄰的2個(gè)人握手，整個(gè)游戲一共握手152次，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)班的同學(xué)有（）人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此題看上去是一個(gè)排列組合題，但是卻是使用的多邊形對(duì)角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3＝152但是在計(jì)算X時(shí)卻是相當(dāng)?shù)穆闊?。我們仔?xì)來(lái)分析該題目。以某個(gè)人為研究對(duì)象。則這個(gè)人需要握x－3次手。每個(gè)人都是這樣。則總共握了x×（x-3）次手。但是沒(méi)2個(gè)人之間的握手都重復(fù)計(jì)算了1次。則實(shí)際的握手次數(shù)是x×（x-3）÷2＝152計(jì)算的x＝19人

三，鐘表重合公式

鐘表幾分重合，公式為：x/5=(x+a)/60a時(shí)鐘前面的格數(shù)

四，時(shí)鐘成角度的問(wèn)題

設(shè)X時(shí)時(shí)，夾角為30X，Y分時(shí)，分針追時(shí)針，設(shè)夾角為A.（請(qǐng)大家掌握）

鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過(guò)一分鐘分針走6度，時(shí)針走度，能追度。

1.【30X－】或是360－【】【】表示絕對(duì)值的意義（求角度公式）

變式與應(yīng)用

2.【30X－】=A或360－【】=A（已知角度或時(shí)針或分針求其中一個(gè)角）

五，往返平均速度公式及其應(yīng)用（引用）

某人以速度a從A地到達(dá)B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。

證明：設(shè)A、B兩地相距S，則

往返總路程2S，往返總共花費(fèi)時(shí)間s/a+s/b故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)六，空心方陣的總數(shù)

空心方陣的總數(shù)＝（最外層邊人(物)數(shù)－空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4＝最外層的每一邊的人數(shù)^２－（最外層每邊人數(shù)－2*層數(shù)）^２

＝每層的邊數(shù)相加×4－4×層數(shù)

空心方陣最外層每邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)/4/層數(shù)+層數(shù)

方陣的基本特點(diǎn)：①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同．每向里一層邊上的人數(shù)就少2；

②每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：

③中實(shí)方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=(每邊人（或物）數(shù))2=（最外層總?cè)藬?shù)÷4+1）2例：①某部隊(duì)排成一方陣，最外層人數(shù)是80人，問(wèn)方陣共有多少官兵？（441人）

②某校學(xué)生剛好排成一個(gè)方隊(duì)，最外層每邊的人數(shù)是24人，問(wèn)該方陣有多少名學(xué)生？（576名）解題方法：方陣人數(shù)＝（外層人數(shù)÷4+1）2＝（每邊人數(shù)）2

③參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問(wèn)參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人？（289人）

解題方法：去掉的總?cè)藬?shù)＝原每行人數(shù)×2－1＝減少后每行人數(shù)×2+1

典型例題：某個(gè)軍隊(duì)舉行列隊(duì)表演，已知這個(gè)長(zhǎng)方形的隊(duì)陣最外圍有32人，若以長(zhǎng)和寬作為邊長(zhǎng)排出2個(gè)正方形的方陣需要180人。則原來(lái)長(zhǎng)方形的隊(duì)陣總?cè)藬?shù)是（）

A、64，B、72C、96D、100

【解析】這個(gè)題目經(jīng)過(guò)改編融合了代數(shù)知識(shí)中的平方和知識(shí)點(diǎn)。長(zhǎng)方形的（長(zhǎng)＋寬）×2＝32＋4得到長(zhǎng)＋寬＝18?？赡苓@里面大家對(duì)于長(zhǎng)＋寬＝18有些難以計(jì)算。你可以假設(shè)去掉4個(gè)點(diǎn)的人先不算。長(zhǎng)＋寬（不含兩端的人）×2＋4（4個(gè)端點(diǎn)的人）＝32，則計(jì)算出不含端點(diǎn)的長(zhǎng)＋寬＝14考慮到各自的2端點(diǎn)所以實(shí)際的長(zhǎng)寬之和是14＋2＋2＝18。求長(zhǎng)方形的人數(shù)，實(shí)際上是求長(zhǎng)×寬。根據(jù)條件長(zhǎng)×長(zhǎng)＋寬×寬＝180綜合（長(zhǎng)＋寬）的平方＝長(zhǎng)×長(zhǎng)＋寬×寬＋2×長(zhǎng)×寬＝18×18帶入計(jì)算即得到B。其實(shí)

在我們得到長(zhǎng)寬之和為18時(shí)，我們就可以通過(guò)估算的方法得到選項(xiàng)B七，青蛙跳井問(wèn)題

例如：①青蛙從井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，這樣青蛙需跳幾次方可出井？（6）

②單杠上掛著一條4米長(zhǎng)的爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下半米來(lái)，問(wèn)小趙幾次才能爬上單杠？（7）

總解題方法：完成任務(wù)的次數(shù)＝井深或繩長(zhǎng)-每次滑下米數(shù)（遇到半米要將前面的單位轉(zhuǎn)化成半米）

例如第二題中，每次下滑半米，要將前面的4米轉(zhuǎn)換成8個(gè)半米再計(jì)算。

完成任務(wù)的次數(shù)＝（總長(zhǎng)-單長(zhǎng)）/實(shí)際單長(zhǎng)+1八，容斥原理

總公式：滿足條件一的個(gè)數(shù)＋滿足條件2的個(gè)數(shù)－兩個(gè)都滿足的個(gè)數(shù)＝總個(gè)數(shù)－兩個(gè)都不滿足的個(gè)數(shù)

【國(guó)2006一類-42】現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)，如果物理實(shí)驗(yàn)做正確的有40人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做正確的有31人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的有4人，則兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有多少人？人人人人

上題就是數(shù)學(xué)運(yùn)算試題當(dāng)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的“兩集合問(wèn)題”，這類問(wèn)題一般比較簡(jiǎn)單，使用容斥原理或者簡(jiǎn)單畫(huà)圖便可解決。但使用容斥原理對(duì)思維要求比較高，而畫(huà)圖浪費(fèi)時(shí)間比較多。鑒于此類問(wèn)題一般都按照類似的模式來(lái)出，下面華圖名師李委明給出一個(gè)通解公式，希望對(duì)大家解題能有幫助：

例如上題，代入公式就應(yīng)該是：40+31-x=50-4，得到x=25。我們?cè)倏纯雌渌}目：【國(guó)2004A-46】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒(méi)有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少？代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22九，傳球問(wèn)題

這道傳球問(wèn)題是一道非常復(fù)雜麻煩的排列組合問(wèn)題。

【李委明解三】不免投機(jī)取巧，但最有效果（根據(jù)對(duì)稱性很容易判斷結(jié)果應(yīng)該是3的倍數(shù)，如果答案只有一個(gè)3的倍數(shù)，便能快速得到答案），也給了一個(gè)啟發(fā)----傳球問(wèn)題核心公式

N個(gè)人傳M次球，記X=[（N-1）^M]/N，則與X最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù)，與X第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。大家牢記一條公式，可以解決此類至少三人傳球的所有問(wèn)題。

四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人。開(kāi)始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式：

種種種種

x=(4-1)^5/4x=60十，圓分平面公式：

N^2-N+2,N是圓的個(gè)數(shù)

十一，剪刀剪繩

對(duì)折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段

將一根繩子連續(xù)對(duì)折3次,然后每隔一定長(zhǎng)度剪一刀，共剪6刀。問(wèn)這樣操作后,原來(lái)的繩子被剪成了幾段?A．18段B．49段C．42段D．52段

十二，四個(gè)連續(xù)自然數(shù)，性質(zhì)一，為兩個(gè)積數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，它們的和可以被2整除，但是不能被4整除

性質(zhì)二，他們的積+1是一個(gè)奇數(shù)的完全平方數(shù)

十三，骨牌公式

公式是：小于等于總數(shù)的2的N次方的最大值就是最后剩下的序號(hào)

十四，指針重合公式

關(guān)于鐘表指針重合的問(wèn)題，有一個(gè)固定的公式：61T=S（S為題目中最小的單位在題目所要求的時(shí)間內(nèi)所走的格書(shū)，確定S后算出T的最大值知道相遇多少次。）

十五，圖色公式

公式：（大正方形的邊長(zhǎng)的3次方）—（大正方形的邊長(zhǎng)—2）的3次方。

十六，裝錯(cuò)信封問(wèn)題

小明給住在五個(gè)國(guó)家的五位朋友分別寫(xiě)信，這些信都裝錯(cuò)的情況共有多少種44種

f（n）=n?。?-1/1！+1/2！-1/3!......+（-1）n（1/n?。?/p>

或者可以用下面的公式解答

裝錯(cuò)1信0種

裝錯(cuò)2信：1種249544

遞推公式是S(n)=(n-1)+(-1)^n~~~~~如果是6封信裝錯(cuò)的話就是265~~~~十七，伯努利概率模型

某人一次涉及擊中靶的概率是3/5，設(shè)計(jì)三次，至少兩次中靶的概率是

集中概率3/5，則沒(méi)集中概率2/5，即為兩次集中的概率+三次集中的概率

公式為C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0]81/125

十八，圓相交的交點(diǎn)問(wèn)題

N個(gè)圓相交最多可以有多少個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題分析N*(N-1)十九，約數(shù)個(gè)數(shù)問(wèn)題

M=A^X*B^Y則M的約數(shù)個(gè)數(shù)是

（X+1）（Y+1）

360這個(gè)數(shù)的約數(shù)有多少個(gè)？這些約數(shù)的和是多少？

解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一個(gè)約數(shù)都等于至多三個(gè)2（可以是零個(gè)，下同），至多兩個(gè)3和至多一個(gè)5的積。如果我們把下面的式子

（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）

展開(kāi)成一個(gè)和式，和式中的每一個(gè)加數(shù)都是在每個(gè)括號(hào)里各取一個(gè)數(shù)相乘的積。由前面的分析不難看出，360的每一個(gè)約數(shù)都恰好是這個(gè)展開(kāi)式中的一個(gè)加數(shù)。由于第一個(gè)括號(hào)里有4個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)里有3個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)里有2個(gè)數(shù)，所以這個(gè)展開(kāi)式中的加數(shù)個(gè)數(shù)為4×3×2=24，而這也就是360的約數(shù)的個(gè)數(shù)。另一方面，360的所有約數(shù)的和就等于這個(gè)展開(kāi)式的和，因而也就等于

（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）

=15×13×6=1，170

答：360的約數(shù)有24個(gè)，這些約數(shù)的和是1，170。

甲數(shù)有9個(gè)約數(shù)，乙數(shù)有10個(gè)約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？

解：一個(gè)整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個(gè)約數(shù)可以配成一對(duì).只有配成對(duì)的兩個(gè)約數(shù)相同時(shí)，也就是這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)時(shí)，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)才會(huì)是奇數(shù).因此，甲數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù).2800＝24×52×7.在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有

1，22，24，52，22×52，24×52.在這6個(gè)數(shù)中只有22×52＝100，它的約數(shù)是（2＋1）×（2+1）＝9（個(gè)）.2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100＝22×52，因此乙數(shù)至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個(gè)）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112.綜合起來(lái)，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112.二十，吃糖的方法

當(dāng)有n塊糖時(shí)，有2^(n-1)種吃法。

二十一，隔兩個(gè)劃數(shù)

1987=3^6+12581258÷2×3+1=1888即剩下的是1888

減去1能被3整除

二十二，邊長(zhǎng)求三角形的個(gè)數(shù)

三邊均為整數(shù)，且最長(zhǎng)邊為11的三角形有多少個(gè)？

[asdfqwer]的最后解答：

11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;11,10,10;11,10,9;...11,10,2;11,9,9;...11,9,3;11,8,8;...11,8,4;11,7,7,...11,7,5;11,6,6;

1+3+5+7+9+11=6^2=36如果將11改為n的話，n=2k-1時(shí)，為k^2個(gè)三角形；

n=2k時(shí)，為(k+1)k個(gè)三角形。

二十三，2乘以多少個(gè)奇數(shù)的問(wèn)題

如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？

解：因2^10=1024，2^11=2048＞2000，每個(gè)不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個(gè)數(shù)不多于10個(gè)，而1024=2^10，所以，N等于10個(gè)2與某個(gè)奇數(shù)的積。

二十四，直線分圓的圖形數(shù)

設(shè)直線的條數(shù)為N則總數(shù)=1+{N（1+N）}/2

將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫(huà)多少條直線？請(qǐng)說(shuō)明．

〔解〕我們來(lái)一條一條地畫(huà)直線。畫(huà)第一條直線將圓形紙片劃分成2塊．畫(huà)第二條直線，如果與第一條直線在圓內(nèi)相交，則將圓形紙片劃分成4塊（增加了2塊），否則只能劃分成3塊．類似地，畫(huà)第三條直線，如果與前兩條直線都在圓內(nèi)相交，且交點(diǎn)互不相同（即沒(méi)有3條直線交于一點(diǎn)），則將圓形紙片劃分成7塊（增加了3塊），否則劃分的塊數(shù)少于7塊．下圖是畫(huà)3條直線的各種情形

由此可見(jiàn)，若希望將紙片劃分成盡可能多的塊數(shù)，應(yīng)該使新畫(huà)出的直線與原有的直線都在圓內(nèi)相交，且交點(diǎn)互不相同．這時(shí)增加的塊數(shù)等于直線的條數(shù)。（為什么？）這樣劃分出的塊數(shù)，我們列個(gè)表來(lái)觀察：

直線條數(shù)紙片最多劃分成的塊數(shù)1＋1

1＋1＋2

1+1+2+3

1+1＋2+3+451＋1＋2+3+4+5

不難看出，表中每行右邊的數(shù)等于1加上從1到行數(shù)的所有整數(shù)的和。（為什么？）我們把問(wèn)題化為：自第幾行起右邊的數(shù)不小于50？我們知道

1+1+2+3＋…＋10＝56，1+1＋2＋3＋…＋9=46，可見(jiàn)

9行右邊還不到50，而第10行右邊已經(jīng)超過(guò)50了。答：至少要畫(huà)10條直線。

二十五，公交車(chē)超騎車(chē)人和行人的問(wèn)題

一條街上，一個(gè)騎車(chē)人和一個(gè)步行人相向而行，騎車(chē)人的速度是步行人的3倍，每個(gè)隔10分鐘有一輛公交車(chē)超過(guò)一個(gè)行人。每個(gè)隔20分鐘有一輛公交車(chē)超過(guò)一個(gè)騎車(chē)人，如果公交車(chē)從始發(fā)站每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車(chē)，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車(chē)？

此類題通解公式：

a=超行人時(shí)間，b=超自行車(chē)時(shí)間，m=人速，n=自行車(chē)速

則每隔t分鐘發(fā)車(chē)；t=（abn-abm）/(bn-am)，令M=1N=3，解得T=8。

二十六，公交車(chē)前后超行人問(wèn)題

小明放學(xué)后,沿某公交路線以不變速度步行回家,該路公共汽車(chē)也以不變速度不停的運(yùn)行,每隔9分鐘就有一輛公共汽車(chē)從后面超過(guò)他,每隔7分鐘就遇到迎面開(kāi)來(lái)的一輛公共汽車(chē),問(wèn)該路公共汽車(chē)每隔多少分鐘發(fā)一輛車(chē)?

此類題有個(gè)通解公式：如果a分鐘追上，b分鐘相遇，則是2ab/（a+b）分鐘發(fā)一次車(chē)

二十七，象棋比賽人數(shù)問(wèn)題

象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局勝者記2分，負(fù)者記0分，和棋各記1分，四位觀眾統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手得分總數(shù)分別是:1979，1980，1984，1985，經(jīng)核實(shí)只有一位觀眾統(tǒng)計(jì)正確，則這次比賽的選手共有多少名?

解析：44*43=1892，45*44=1980，46*45=2070所以選B二十八，頻率和單次頻度都不同問(wèn)題

獵犬發(fā)現(xiàn)在離它9米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的兔子，立刻追趕，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子跑3步。獵犬至少跑多少米才能追上兔子？（）

答案b

分析：獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子跑3步.可知獵犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=54二十九，上樓梯問(wèn)題

一般來(lái)說(shuō)上電梯有a1=1a2=2a3=4a4=a1+a2+a3所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)三十，牛吃草公式

核心公式:草場(chǎng)草量=(牛數(shù)-每天長(zhǎng)草量)*天數(shù)

例如:10牛可吃20天,15?？沙?0天,則25牛可吃多少天?解:可用公式,設(shè)每天恰可供X頭牛吃一天,25?？沙訬天

則(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N，可得X=5,Y=5三十一，十字相乘法

十字相乘法使用時(shí)要注意幾點(diǎn)：

第一點(diǎn)：用來(lái)解決兩者之間的比例關(guān)系問(wèn)題。

第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。

第三點(diǎn)：總均值放中央，對(duì)角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對(duì)角線上。

（2007年國(guó)考）某班男生比女生人數(shù)多80%，一次考試后，全班平均成級(jí)為75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，則此班女生的平均分是：

A．84分分分分答案：A

分析：假設(shè)女生的平均成績(jī)?yōu)閄，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。

男生：Y975女生：X5

根據(jù)十字相乘法原理可以知道

X=84

6.（2007年國(guó)考）．某高校2006畢業(yè)學(xué)生7650名，比上增長(zhǎng)2%.其中本科畢業(yè)生比上減少2%.而研究生畢業(yè)數(shù)量比上增加10%,那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：

A．3920人B．4410人C．4900人D．5490人

答案：C

分析：去年畢業(yè)生一共7500人。7650/（1+2%）=7500人。

本科生：-2%8%2%

研究生：10%4%

本科生：研究生=8%：4%=2：1。

7500*（2/3）=50005000*

此方法考試的時(shí)候一定要靈活運(yùn)用

三十二，兔子問(wèn)題

An=A(n-1)An(n-2)

已知一對(duì)幼兔能在一月內(nèi)長(zhǎng)成一對(duì)成年兔子，一對(duì)成年兔子能在一月內(nèi)生出一對(duì)幼兔。如果現(xiàn)在給你一對(duì)幼兔，問(wèn)一年后共有多少對(duì)兔子？

析：1月:1對(duì)幼兔

2月:1對(duì)成兔

3月;1對(duì)成兔.1對(duì)幼兔

4;2對(duì)成兔.1對(duì)幼兔

5;;3對(duì)成兔.2對(duì)幼兔

6;5對(duì)成兔.3對(duì)幼兔.......可看出規(guī)律:1,1,2,3,5,8(第三數(shù)是前兩數(shù)之和),可求出第12項(xiàng)

為:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔

三十三，稱重量砝碼最少的問(wèn)題

例題：要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？

分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡(jiǎn)單的情形開(kāi)始研究。

（1）稱重1克，只能用一個(gè)1克的砝碼，故1克的一個(gè)砝碼是必須的。

（2）稱重2克，有3種方案：

①增加一個(gè)1克的砝碼；

②用一個(gè)2克的砝碼；

③用一個(gè)3克的砝碼，稱重時(shí)，把一個(gè)1克的砝碼放在稱重盤(pán)內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤(pán)內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。

（3）稱重3克，用上面的②③兩個(gè)方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。

（4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰?？傊?克、3克兩個(gè)砝碼就可以稱出（3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

（5）接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時(shí)可以利用

9-（3+1）=5，即用一個(gè)9克重的砝碼放在砝碼盤(pán)內(nèi)，1克、3克兩個(gè)砝碼放在稱重盤(pán)內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

而要稱14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)砝碼，其重為

14+13=27（克），可以稱到1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

總之，砝碼重量為1，3，32，33克時(shí)，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。

三十三，文示圖

紅圈：球賽。藍(lán)圈：電影綠圈：戲劇。

X表示只喜歡球賽的人；Y表示只喜歡電影的人；Z表示只喜歡戲劇的人

a表示喜歡球賽和電影的人。僅此2項(xiàng)。不喜歡戲劇

b表示喜歡電影和戲劇的人。僅此2項(xiàng)。不喜歡球賽

c表示喜歡球賽和戲劇的人。僅此2項(xiàng)不喜歡電影。

中間的陰影部分則表示三者都喜歡的。我們用T表示。

回顧上面的7個(gè)部分。X，y，z，a，b，c，T都是相互獨(dú)立?；ゲ恢貜?fù)的部分

現(xiàn)在開(kāi)始對(duì)這些部分規(guī)類。

X＋y＋z＝是只喜歡一項(xiàng)的人我們叫做Aa+b+c＝是只喜歡2項(xiàng)的人我們叫做BT就是我們所說(shuō)的三項(xiàng)都喜歡的人

x＋a＋c＋T＝是喜歡球賽的人數(shù)構(gòu)成一個(gè)紅圈

y＋a＋b＋T＝是喜歡電影的人數(shù)構(gòu)成一個(gè)藍(lán)圈

z＋b＋c＋T＝是喜歡戲劇的人數(shù)構(gòu)成一個(gè)綠圈

三個(gè)公式。

（1）A＋B＋T＝總?cè)藬?shù)

（2）A＋2B＋3T＝至少喜歡1個(gè)的人數(shù)和

（3）B＋3T＝至少喜歡2個(gè)的人數(shù)和

例題：學(xué)校教導(dǎo)處對(duì)100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。

通過(guò)這個(gè)題目我們看因?yàn)槊總€(gè)人都至少喜歡三項(xiàng)中的一項(xiàng)。則我們用三個(gè)圈紅，綠，藍(lán)代表球賽。戲劇、和電影。

A＋B＋T＝100A＋2B＋3T＝148T＝12則可以直接計(jì)算只喜歡一項(xiàng)的和只喜歡兩項(xiàng)的A=64B=24

典型例題：甲,乙,丙三個(gè)人共解出20道數(shù)學(xué)題,每人都解出了其中的12道題,每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題,只有兩人解出的題叫做中等題,三人解出的題叫做容易題,難題比容易題多（）題?A、6B、5C、4D、3

【解析】第三題需要結(jié)合文氏圖來(lái)理解了，畫(huà)圖會(huì)很清楚的我們?cè)O(shè)a表示簡(jiǎn)單題目，b表示中檔題目c表示難題

a＋b＋c＝20

c＋2b＋3a＝12×3這個(gè)式子式文氏圖中必須要記住和理解的將a＋b＋c＝20變成2a＋2b＋2c＝40減去上面的第2個(gè)式子

得到：c－a＝4答案出來(lái)了

可能很多人都說(shuō)這個(gè)方法太耗時(shí)了，的確。在開(kāi)始使用這樣方法的時(shí)候費(fèi)時(shí)不少。當(dāng)當(dāng)完全了解熟練運(yùn)用a＋2b＋3c這個(gè)公式時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)再難的題目也不會(huì)超過(guò)1分鐘。

三十四，九宮圖問(wèn)題

此公式只限于奇數(shù)行列

步驟1：按照斜線的順序把數(shù)字按照從小到大的順序，依次斜線填寫(xiě)！

步驟2：然后將3×3格以外格子的數(shù)字折翻過(guò)來(lái)，最左邊的放到最右邊，最右邊的放到最左邊

最上邊的放到最下邊，最下邊的放到最上邊

這樣你再看中間3×3格子的數(shù)字是否已經(jīng)滿足題目的要求了呵呵！

三十五，用比例法解行程問(wèn)題

行程問(wèn)題一直是國(guó)家考試中比較重要的一環(huán)，其應(yīng)用之廣恐無(wú)及其右者。行程問(wèn)題的計(jì)算量按照基礎(chǔ)做法不得不說(shuō)非常大。所以掌握簡(jiǎn)單的方法尤為重要。當(dāng)然簡(jiǎn)單的方法需要對(duì)題目的基礎(chǔ)知識(shí)的全面了掌握和理解。

在細(xì)說(shuō)之前我們先來(lái)了解如下幾個(gè)關(guān)系：

路程為S。速度為V時(shí)間為T(mén)S＝VTV＝S/TT＝S/V

S相同的情況下：V跟T成反比

V相同的情況下：S跟T成正比

T相同的情況下：S跟V成正比

注：比例點(diǎn)數(shù)差也是實(shí)際差值對(duì)應(yīng)的比例！理解基本概念后，具體題目來(lái)分析

一、甲乙2人分別從相距200千米的AB兩地開(kāi)車(chē)同時(shí)往對(duì)方的方向行駛。到達(dá)對(duì)方始發(fā)點(diǎn)后返回行駛，按照這樣的情況，2人第4次相遇時(shí)甲比乙多行了280千米已知甲的速度為60千米每小時(shí)。則乙的速度為多少？

分析：這個(gè)題目算是一個(gè)相遇問(wèn)題的入門(mén)級(jí)的題目。我們先從基礎(chǔ)的方法入手，要多給自己提問(wèn)求乙的速度即要知道乙的行駛路程S乙，乙所花的時(shí)間T乙。這2個(gè)變量都沒(méi)有告訴我們，需要我們?nèi)ジ鶕?jù)條件來(lái)求出：

乙的行駛路程非常簡(jiǎn)單可以求出來(lái)。因?yàn)榧滓夜步?jīng)過(guò)4次相遇。希望大家不要嫌我羅嗦。我希望能夠更透徹的把這類型的題目通過(guò)圖形更清晰的展現(xiàn)給大家。

第一次相遇情況

A（甲）．。。。。。。。。。。（甲）C（乙）。。。。。。。。。。。B（乙）

AC即為第一次相遇甲行駛的路程。BC即為乙行駛的路程

則看出AC＋BC＝AB兩者行駛路程之和＝S第2次相遇的情況

A．。。。。。。。。。。（乙）D（甲）。。。C。。。。。。。。。。。。。B

在這個(gè)圖形中，我們從第一次相遇到第2次相遇來(lái)看甲從C點(diǎn)開(kāi)始行駛的路線是C－B－D，其路程是BC＋BD乙行駛的路線則是C－A－D其行駛的路程是AC＋AD

可以看出第2次相遇兩者的行駛路程之和是BC＋BD＋AC＋AD＝（BC＋AC）＋（BD＋AD）＝2S，同理第3，4次相遇都是這樣。

則我們發(fā)現(xiàn)整個(gè)過(guò)程中，除第一次相遇是一個(gè)S外。其余3次相遇都是2S?？偮烦淌?×3S＋S＝7S根據(jù)題目，我們得到了行駛路程之和為7×200＝1400

因?yàn)榧妆纫叶嘈旭偭?80千米則可以得到乙是（1400－280）÷2＝560則甲是560＋280＝840

好，現(xiàn)在就剩下乙的行駛時(shí)間的問(wèn)題了。因?yàn)閮蓚€(gè)人的行駛時(shí)間相同則通過(guò)計(jì)算甲的時(shí)間得到乙的時(shí)間即840÷60＝14小時(shí)。

所以T乙＝14小時(shí)。那么我就可以求出乙的速度V乙＝S乙÷T乙＝560÷14＝40說(shuō)道這里我需要強(qiáng)調(diào)的是，在行程問(wèn)題中，可以通過(guò)比例來(lái)迅速解答題目。

比例求解法：

我們假設(shè)乙的速度是V則根據(jù)時(shí)間相同，路程比等于速度比，S甲：S乙＝V甲：V乙衍生出如下比例：（S甲＋S乙）：（S甲－S乙）＝（V甲＋V乙）：（V甲－V乙）

得出1400：280＝（60＋V）：（60－V）解得V＝40

二、甲車(chē)以每小時(shí)160千米的速度，乙車(chē)以每小時(shí)20千米的速度，在長(zhǎng)為210千米的環(huán)形公路上同時(shí)、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車(chē)追上乙車(chē)一次，甲車(chē)減速1/3，而乙車(chē)則增速1/3。問(wèn)：在兩車(chē)的速度剛好相等的時(shí)刻，它們共行駛了多少千米？

【解析】我們先來(lái)看需要多少次相遇才能速度相等

160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方N代表了次數(shù)解得N＝3說(shuō)明第三次相遇即達(dá)到速度相等

第一次相遇前：開(kāi)始時(shí)速度是160：20＝8：1用時(shí)都一樣，則路程之比＝速度之比

我們?cè)O(shè)乙行駛了a千米則（a＋210）：a＝8：1解得a＝30

第二次相遇前：速度比是甲：乙＝4：1用時(shí)都一樣，則路程之比＝速度之比

我們?cè)O(shè)乙從第1次相遇到第2次相遇行駛了b千米則（b＋210）：b＝4：1解得a＝70第三次相遇前：速度比是甲：乙＝2：1用時(shí)都一樣，則路程之比＝速度之比

我們?cè)O(shè)乙從第2次相遇到第3次相遇行駛了c千米則（c＋210）：c＝2：1解得c＝210則三次乙行駛了210＋70＋30＝310千米

而甲比乙多出3圈則甲是210×3＋310＝940則兩人總和是940＋310＝1250

例三、一輛汽車(chē)以每小時(shí)40千米的速度從甲城開(kāi)往乙城，返回時(shí)它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小時(shí)30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的時(shí)間比前往乙城的時(shí)間多用了10分鐘，甲、乙兩城相距多遠(yuǎn)？

【解析】我們知道多出來(lái)的10分鐘即1/6小時(shí)是在最后1/4差5千米的路程里產(chǎn)生的，則根據(jù)路程相同

速度比等于時(shí)間比的反比

即T30：T40＝40：30＝4：3

所以30千米行駛的最后部分是用了1/6×（4－3）×4＝2/3小時(shí)

即路程是30×2/3=20千米

總路程是(20＋5)÷1/4=100

四、甲乙兩人各坐一游艇在湖中劃行,甲搖漿10次時(shí)乙搖漿8次,而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程,現(xiàn)甲先搖漿4次,則乙搖漿多少次才能追上?

【解析】甲搖漿10次時(shí)乙搖漿8次知道甲乙速度之比=5：4

而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程則可以得到每漿得距離之比是甲：乙＝7：9

所以，我們來(lái)看相同時(shí)間內(nèi)甲乙得距離之比，5×7：4×9＝35：36說(shuō)明，乙比甲多出1個(gè)比例單位

現(xiàn)在甲先劃槳4次，每漿距離是7個(gè)單位，乙每漿就是9個(gè)單位，所以甲領(lǐng)先乙是4×7＝28個(gè)單位，事實(shí)上乙每4漿才能追上36-35＝1個(gè)單位，說(shuō)明28個(gè)單位需要28×4＝112漿次追上！選C

五、甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共100人,如果抽調(diào)甲隊(duì)人的1/4至乙隊(duì),則乙隊(duì)比甲隊(duì)多了2/9,問(wèn)甲隊(duì)原來(lái)多少人?

這個(gè)題目其實(shí)也很簡(jiǎn)單，下面我說(shuō)一個(gè)簡(jiǎn)單方法

【解析】根據(jù)條件乙隊(duì)比甲隊(duì)多了2/9我們假設(shè)甲隊(duì)是單位1，則乙隊(duì)就是1＋2/9＝11/9，100人的總數(shù)不變

可見(jiàn)甲乙總數(shù)是1＋11/9=20/9（分母不看）

則100人被分成20分即甲是100÷20×9＝45乙是55

因?yàn)閺募钻?duì)掉走1/4則剩下的是3/4算出原來(lái)甲隊(duì)是45÷3/4＝60三十六，計(jì)算錯(cuò)對(duì)題的獨(dú)特技巧

例題：某次考試有30道判斷題，每做對(duì)一道題得4分，不做的不得分，做錯(cuò)一道題倒扣2分小明得分是96分，并且小明有題目沒(méi)做，則小明答對(duì)了幾道試題（）

A28B27C26D25正確答案是D25題

我們把一個(gè)答錯(cuò)的和一個(gè)不答的題目看成一組，則一組題目被扣分是6＋4＝10解釋一下6跟4的來(lái)源

6是做錯(cuò)了不但得不到4分還被扣除2分這樣里外就差4＋2＝6分

4是不答題只被扣4分，不倒扣分。

這兩種扣分的情況看著一組

目前被扣了30×4－96＝24分

則說(shuō)明24÷10＝2組余數(shù)是4

余數(shù)是4表明2組還多出1個(gè)沒(méi)有答的題目

則表明不答的題目是2＋1＝3題，答錯(cuò)的是2題

三十七，票價(jià)與票值的區(qū)別

票價(jià)是P（2，M）是排列票值是C（2，M）

三十八，兩數(shù)之間個(gè)位和十位相同的個(gè)數(shù)

1217到2792之間有多少個(gè)位數(shù)和十位數(shù)相同的數(shù)？

從第一個(gè)滿足條件的數(shù)開(kāi)始每個(gè)滿足條件的數(shù)之間都是相差11方法一：

看整數(shù)部分1217～2792

先看1220～2790相差1570則有這樣規(guī)律的數(shù)是1570÷10＝157個(gè)

由于這樣的關(guān)系我總結(jié)了一個(gè)方法給大家提供一個(gè)全新的思路

方法二：

我們先求兩數(shù)差值2792－1217＝15751575中有多少11呢1575÷11＝143余數(shù)是2大家不要以為到這里就結(jié)束了其實(shí)還沒(méi)有結(jié)束

我們還得對(duì)結(jié)果再次除以11直到所得的商小于11為止

商+余數(shù)再除以11

（143＋2）÷11＝13余數(shù)是2

（13＋2）÷11＝1因?yàn)樯桃呀?jīng)小于11，所以余數(shù)不管

則我們就可以得到個(gè)數(shù)應(yīng)該是143＋13＋1＝157

不過(guò)這樣的方法不是絕對(duì)精確的，考慮到起始數(shù)字和末尾數(shù)字的關(guān)系。誤差應(yīng)該會(huì)在1之間！不過(guò)對(duì)于考公務(wù)員來(lái)說(shuō)誤差為1已經(jīng)可以找到答案了！

三十九，擱兩人握手問(wèn)題

某個(gè)班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個(gè)圈，每個(gè)人都不能跟相鄰的2個(gè)人握手，整個(gè)游戲一共握手152次，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)班的同學(xué)有（）人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此題看上去是一個(gè)排列組合題，但是卻是使用的對(duì)角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3＝152但是在計(jì)算X時(shí)卻是相當(dāng)?shù)穆闊Ｎ覀冏屑?xì)來(lái)分析該題目。以某個(gè)人為研究對(duì)象。則這個(gè)人需要握x－3次手。每個(gè)人都是這樣。則總共握了x×（x-3）次手。但是沒(méi)2個(gè)人之間的握手都重復(fù)計(jì)算了1次。則實(shí)際握手次數(shù)是x×（x-3）÷2＝152計(jì)算的x＝19人

四十，溶液交換濃度相等問(wèn)題

設(shè)兩個(gè)溶液的濃度分別為A％，B％并且A＞B設(shè)需要交換溶液為X則有：（B－X）：X＝X：（A－X）

A：B=（A-X）：X

典型例題：兩瓶濃度不同得鹽水混合液。60％的溶液是40克，40％的溶液是60克。要使得兩個(gè)瓶子的溶液濃度相同，則需要相互交換（）克的溶液？

A、36B、32C、28D、24

【解析】答案選D我們從兩個(gè)角度分析一下，假設(shè)需要交換的溶液為a克。則我們來(lái)一個(gè)一個(gè)研究，先看60％的溶液相對(duì)于交換過(guò)來(lái)的a克40％的溶液可以采用十字交叉法來(lái)得出一個(gè)等式即（再設(shè)混和后的標(biāo)準(zhǔn)濃度是p）

40－a：a＝（P－40％）：（60％－P）

同理我們對(duì)40％的溶液進(jìn)行研究采用上述方法也能得到一個(gè)等式：

60－a：a＝（60％－P）：（P－40％）

一目了然，兩者實(shí)際上是反比，即40－a：a＝a：60－a解得a＝24即選D

如果你對(duì)十字交叉法的原理理解的話那么這個(gè)題目中間的過(guò)程完全可以省去。所以說(shuō)任何捷徑都是建立在你對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的把握上。

解法二：干脆把2個(gè)溶液倒在一起混和，然后再分開(kāi)裝到2個(gè)瓶子里這樣濃度也是相等的。我們根據(jù)十字交叉法，60跟40的溶液混合比例其實(shí)跟交換的x克60％溶液與剩下60－x克40％的溶液比例成反比，則60：40＝60－x：x解X＝24克

四十一，木桶原理

一項(xiàng)工作由編號(hào)為1～6的工作組來(lái)單獨(dú)完成，各自完成所需的時(shí)間是：5天，7天，8天，9天，天，18天。現(xiàn)在將這項(xiàng)工作平均分配給這些工作組來(lái)共同完成。則需要（）天？

A、B、3C、D、6

【解析】這個(gè)題目就是我們常說(shuō)的“木桶效應(yīng)”類型的題目?！澳就靶?yīng)”概念來(lái)自于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的稱呼。意思是一個(gè)木桶是由若干個(gè)木板拼湊起來(lái)的。其存水量取決于最短的那塊木板。這個(gè)題目我們看該項(xiàng)工作平均分配給了每個(gè)小組，則每個(gè)小組完成1/6的工作量。他們的效率不同整體的時(shí)間是取決于最慢的那個(gè)人。當(dāng)最慢的那個(gè)人做完了，其它小組早就完成了。18天的那個(gè)小組是最慢的。所以完成1/6需要3小時(shí)，選B

例題：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做需要14天，乙單獨(dú)做需要18天，丙丁合做需要8天。則4人合作需要（）天？

A、4B、5C、6D、7

【解析】題目還是“木桶效應(yīng)”的隱藏運(yùn)用。我們知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根據(jù)合做的情況并且最后問(wèn)的也是合作的情況。我們不妨將其平均化處理。也就是說(shuō)兩個(gè)人的平均效率是16天。那么這里效率最差的是18天。大家都是18天則4人合作需要18÷4＝天?？梢?jiàn)最差也不會(huì)超過(guò)天，看選項(xiàng)只有A滿足

四十二，壞鐘表行走時(shí)間判定問(wèn)題

一個(gè)鐘表出現(xiàn)了故障，分針比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每分鐘快6秒，時(shí)針卻是正常的。上午某一時(shí)刻將鐘表調(diào)整至標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)鐘表的時(shí)刻為晚上9：00請(qǐng)問(wèn)鐘表在何時(shí)被調(diào)整為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間？

A、10：30B、11：00C、12：00D、1：30

【解析】此題也是比較簡(jiǎn)單的題目。我們看因?yàn)槊糠昼娍?秒則1個(gè)小時(shí)快60×6＝360秒即6分鐘。當(dāng)9：00的時(shí)候說(shuō)明分針指在12點(diǎn)上。看選項(xiàng)。其時(shí)針正常，那么相差的小時(shí)數(shù)是正常的，A選項(xiàng)差個(gè)小時(shí)即分針快了×6＝63分鐘。則分針應(yīng)該在33分上。錯(cuò)誤！同理看B選項(xiàng)相差10個(gè)小時(shí)即10×6＝60分鐘，剛好一圈，即原在12上，現(xiàn)在還在12上選B，其它雷同分析。

四十三，雙線頭法則問(wèn)題

設(shè)做題的數(shù)量為S做對(duì)一道得X分做錯(cuò)一道扣Y分不答不得分

競(jìng)賽的成績(jī)可能值為N令T=（X+Y）/Y

則N={[1+（1+S）]*（1+S）}/2-{[1+（S-T+1）]*（S-T+1）}/2

某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有10道選擇題，評(píng)分辦法是每一題答對(duì)得4分，答錯(cuò)一道扣2分，不答不得分，設(shè)這次競(jìng)賽最多有N種可能的成績(jī)，則N應(yīng)等于多少？

A、28B、30C、32D、36

【解析】該題是雙線段法則問(wèn)題【（1＋11）×11÷2】－【（1＋8）×8÷2】＝30

所謂線段法則就是說(shuō)，一個(gè)線段上連兩端的端點(diǎn)算在內(nèi)共計(jì)N個(gè)點(diǎn)。問(wèn)這個(gè)線段一共可以行成多少線段。計(jì)算方法就是（N－1）×N÷2，我看這個(gè)題目。我們按照錯(cuò)誤題目羅列大家就會(huì)很清楚了

答對(duì)題目數(shù)可能得分40936，34832，30，28728，26，24，22624，22，20，18，16520，18，16，14，12，10416，14，12，10，8，6，4312，10，8，6，4，2，0，－228，6，4，2，0，－2，－4，－6，－84，2，0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，00，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，－16，－18，－20

這樣大家就不難發(fā)現(xiàn)可能得分的情況隨著答對(duì)題目數(shù)量的減少，或者說(shuō)答錯(cuò)題目的增多。呈現(xiàn)等差數(shù)列的關(guān)系，也就是線段法則的規(guī)律。然后從第7開(kāi)始出現(xiàn)了重復(fù)數(shù)字的產(chǎn)生。也是隨著題目的答錯(cuò)數(shù)量的增加而等差增加。這是隱藏的線段法則。所以稱之為雙線段法則應(yīng)用。

回歸倒我一看的題目大家可能要問(wèn)，后面【】里面的8從什么地方來(lái)的？這就是確定重復(fù)位置在哪里的問(wèn)題。（得分分值＋扣分分值）÷扣分分值＝3即當(dāng)錯(cuò)3題時(shí)開(kāi)始出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字。也就是隱形線段法則的起始端。10－3＝7就是說(shuō)從0～8之間有多少個(gè)間隔就有多少個(gè)重復(fù)組合。

四十四，兩人同向一人逆相遇問(wèn)題

典型例題：在一條長(zhǎng)12米的電線上,紅,藍(lán)甲蟲(chóng)在8:20從左端分別以每分鐘13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黃蟲(chóng)以每分鐘15厘米的速度從右端向左爬去,紅蟲(chóng)在什么時(shí)刻恰好在藍(lán)蟲(chóng)和黃蟲(chóng)的中間?A8:55B9:00C9:05D9:10

公式總結(jié)；設(shè)同向的速度分別為AB逆向的為C時(shí)間為T(mén)則T=A+[（A-B）/2+C]*T=S四十五，往返行程問(wèn)題的整體求解法

首先兩運(yùn)動(dòng)物體除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。

我們可以假設(shè)停留的時(shí)間沒(méi)有停留，把他計(jì)入兩者的總路程中

化靜為動(dòng)巧求答

例題：1快慢兩車(chē)同時(shí)從甲乙兩站相對(duì)開(kāi)出，6小時(shí)相遇，這時(shí)快車(chē)離乙站還有240千米，已知慢車(chē)從乙站到甲站需行15小時(shí)，兩車(chē)到站后，快車(chē)停留半小時(shí)，慢車(chē)停留1小時(shí)返回，從第一次相遇到返回途中再相遇，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)？

解法：根據(jù)往返相遇問(wèn)題的特征可知，從第一次相遇到返回途中再相遇，兩車(chē)共行的路程為甲乙兩站距離的2倍，假設(shè)快車(chē)不在乙站停留小時(shí)，慢車(chē)不在甲站停留1小時(shí)，則兩車(chē)從第一次相遇到第二次相遇所行總路程為600×2+60××1=1270（千米），故此期間所經(jīng)時(shí)間為1270÷（60+40）=（小時(shí)）甲乙兩人同時(shí)從東鎮(zhèn)出發(fā)，到相距90千米的西鎮(zhèn)辦事，甲騎自行車(chē)每小時(shí)行30千米，乙步行每小時(shí)行10千米，甲到西鎮(zhèn)用1小時(shí)辦完事情沿原路返回，途中與乙相遇。問(wèn)這時(shí)乙走了多少千米？

解法：根據(jù)題意可知甲從東鎮(zhèn)到西鎮(zhèn)，返回時(shí)與乙相遇（乙未到西鎮(zhèn)，無(wú)返回現(xiàn)象），故兩人所行路程總和為（90×2=）180（千米），但因甲到西鎮(zhèn)用了1小時(shí)辦事。倘若甲在這1小時(shí)中沒(méi)有停步（如到另一地方買(mǎi)東西又回到西鎮(zhèn)，共用1小時(shí)），這樣兩人所行總路程應(yīng)為：

90×2+30=210（千米），又因兩人速度和為30+10=40（千米），故可求得相遇時(shí)間為：（210÷40=）（小時(shí)），則乙行了（10×）

（千米）。甲、乙兩人同時(shí)從東西兩鎮(zhèn)相向步行，在距西鎮(zhèn)20千米處兩人相遇，相遇后兩人又繼續(xù)前進(jìn)。甲至西鎮(zhèn)、乙至東鎮(zhèn)后都立即返回，兩人又在距東鎮(zhèn)15千米處相遇，求東西兩鎮(zhèn)距離？

解法一設(shè)東西兩鎮(zhèn)相距為x千米，由于兩次相遇時(shí)間不變，則兩人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：

所以東西兩鎮(zhèn)相距45千米。

解法二緊扣往返行程問(wèn)題的特征，兩人自出發(fā)至第二次相遇所走路程總和為東西兩鎮(zhèn)距離的3倍，而第一次相遇距西鎮(zhèn)20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，則從出發(fā)至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇時(shí)乙已從東鎮(zhèn)返回又走了15千米，所以，兩鎮(zhèn)的距離為（20×3-15=）45（千米）

四十六，行船問(wèn)題快解

例題：一只游輪從甲港順流而下到乙港，馬上又逆水返回甲港，共用8小時(shí)，順?biāo)啃r(shí)比逆水每小時(shí)多行12千米，前4小時(shí)比后4小時(shí)多行30千米。甲、乙兩港相距多少千米？解析：30/12=5/2，8-5/2=11/2(12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55四十七，N條線組成三角形的個(gè)數(shù)

n條線最多能畫(huà)成幾個(gè)不重疊的三角形F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)如f（11）＝19四十七，邊長(zhǎng)為ABC的小立方體個(gè)數(shù)

邊長(zhǎng)為ABC的長(zhǎng)方體由邊長(zhǎng)為1的小立方體組成，一共有abc個(gè)小立方體，露在外面的小立方體共有abc－（a－2）（b－2）（c－2）

四十八，測(cè)井深問(wèn)題

用一根繩子測(cè)井臺(tái)到井水面的深度，把繩子對(duì)折后垂到井水面，繩子超過(guò)井臺(tái)9米；把繩子三折后垂到井水面，繩子超過(guò)井臺(tái)2米。那么，繩子長(zhǎng)多少米?解答：（2*9-3*2）/(3-2)=12

（折數(shù)*余數(shù)-折數(shù)*余數(shù)）/折數(shù)差=高度

繩長(zhǎng)=（高度+余數(shù)）*折數(shù)=（12+9）*2=42四十九，分配對(duì)象問(wèn)題

（盈+虧）/分配差=分配對(duì)象數(shù)

有一堆螺絲和螺母，若一個(gè)螺絲配2個(gè)螺母，則多10個(gè)螺母；若1個(gè)螺絲配3個(gè)螺母，則少6個(gè)螺母。共有多少個(gè)螺絲？()

解析：A，（10+6）/（3-2）=16

若干同學(xué)去劃船，他們租了一些船，若每船4人則多5人，若每船5人則船上空4個(gè)坐位，共有()位同學(xué)解析：D，（5+4）/（5-4）=9，4*9+5=41

對(duì)頁(yè)碼的使用總結(jié)第3篇第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律

平均速度v=△r△t瞬時(shí)速度v=lim△r△t0△t=drdt速度v=lim△rds△t0△tlim△t0dt平均加速度a=△v△t瞬時(shí)加速度（加速度）a=lim△v△t=dvdt△t0a=瞬時(shí)加速度rdt=dt2

勻速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)x=x0+vt變速運(yùn)動(dòng)速度v=v0+at變速運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)x=x0+v0t+12at2速度隨坐標(biāo)變化公式:v2-v02=2a(x-x0)自由落體運(yùn)動(dòng)

豎直上拋運(yùn)動(dòng)

vgty1atvv0gtyvt1gt2v222gy02v2v20拋體運(yùn)動(dòng)速度分量vxv0cosavyv0sinagt

拋體運(yùn)動(dòng)距離分量xv0cosat1yv0sinat射程X=v20sin2ag

射高Y=v20sin2a2g飛行時(shí)間y=xtga—

軌跡方程y=xtga—gx22v22向心加速度a=v2R

圓周運(yùn)動(dòng)加速度等于切向加速度與法向加速度矢量

和a=at+an

加速度數(shù)值a=a22tan

法向加速度和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度相同

v2an=R

切向加速度只改變速度的大小at=

dvdt

vdsdtRdΦdtRω角速度ωdφdt

角加速度αdωd2dtφdt2角加速度a與線加速度an、at間的關(guān)系

an=v2(Rω)2RRω2Rat=dvdtRdωdtRα

牛頓第一定律：任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除非它受到作用力而被迫改變這種狀態(tài)。

牛頓第二定律：物體受到外力作用時(shí)，所獲得的加速度a的大小與外力F的大小成正比，與物體的質(zhì)量m成反比；加速度的方向與外力的方向相同。F=ma

牛頓第三定律：若物體A以力F1作用與物體B，則同

時(shí)物體B必以力F2作用與物體A；這兩個(gè)力的大小相等、方向相反，而且沿同一直線。

萬(wàn)有引力定律：自然界任何兩質(zhì)點(diǎn)間存在著相互吸引力，其大小與兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)間的距離的二次方成反比；引力的方向沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線

F=Gm1m2r2G為萬(wàn)有引力稱量=×10-11Nm2/kg2

重力P=mg(g重力加速度)重力P=GMmr2

有上兩式重力加速度g=GMr2(物體的重力加速度與物體本身的質(zhì)量無(wú)關(guān)，而緊隨它到地心的距離而變)胡克定律F=—kx(k是比例常數(shù)，稱為彈簧的勁度系數(shù))最大靜摩擦力f最大=μ0N（μ0靜摩擦系數(shù)）

滑動(dòng)摩擦系數(shù)f=μN(yùn)(μ滑動(dòng)摩擦系數(shù)略小于μ0)第二章守恒定律動(dòng)量P=mv牛頓第二定律F=d(mv)dtdPdt動(dòng)量定理的微分形式Fdt=mdv=d(mv)F=ma=mdvdtt2v2tFdt＝1vd(mv)＝mv2－mv1

沖量I=t2tFdt

動(dòng)量定理I=P2－P1

平均沖力F與沖量

t2tFdt=F(t2-t1)

平均沖力F＝ItFdt1mv2mv1t＝t＝

2t12t1t2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理(F1+F2)△t=(m1v1+m2v2)—(m1v10+m2v20)

左面為系統(tǒng)所受的外力的總動(dòng)量，第一項(xiàng)為系統(tǒng)的末動(dòng)量，二為初動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：

nnnFi△tmivimivi0

i1i1i作用在系統(tǒng)上的外力的總沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律（系統(tǒng)不受外力或外力矢量和為零）

nnmivi=mivi0=常矢量

i1iLpRmvR圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量R為半徑Lpdmvd非圓周運(yùn)動(dòng)，d為參考點(diǎn)o到p點(diǎn)的垂直距離

Lmvrsin同上

MFdFrsin

F對(duì)參考點(diǎn)的力矩MrF

力矩MdL

dt作用在質(zhì)點(diǎn)上的合外力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率0Ldt如果對(duì)于某一固定參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)（系）常矢量所受的外力矩的矢量和為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)于該參考點(diǎn)的角

動(dòng)量保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律I2mrii剛體對(duì)給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量i量Ek12mv物體的動(dòng)能MI（剛體的合外力矩）剛體在外力矩M的作用下所獲得的角加速度a與外合力矩的大小成正比，并于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I成反比；這就是剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律。Irdmrdv轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（dv為相應(yīng)質(zhì)元WEkEk0合力對(duì)物體所作的功等于物體動(dòng)能的增量（動(dòng)能定理）

Wabmg(hahb)重力做的功WabaFdr(b22GMmGMm)()萬(wàn)有引rarbdm的體積元，p為體積元dv處的密度）LI角動(dòng)量MIa力做的功

WabaFdrbdL物體所受對(duì)某給定軸的合外力矩等dt1122kxakxb彈性力做的功22于物體對(duì)該軸的角動(dòng)量的變化量MdtdL沖量距

W保EpaEpbEp勢(shì)能定義

Epmgh重力的勢(shì)能表達(dá)式EpEpMdtt0tLL0dLLL0II0

GMm萬(wàn)有引力勢(shì)能LI常量WFrcos

WFr力的功等于力沿質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與質(zhì)點(diǎn)位移大小的乘積Wabba(L)12kx彈性勢(shì)能表達(dá)式W外W內(nèi)EkEk0質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于所有外力的功和內(nèi)力的功的代數(shù)和（質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理）W外W保內(nèi)W非內(nèi)EkEk0保守內(nèi)力和不保守內(nèi)力

W保內(nèi)Ep0EpEp系統(tǒng)中的保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少量

W外W非內(nèi)(EkEp)(Ek0Ep0)

EEkEp系統(tǒng)的動(dòng)能k和勢(shì)能p之和稱為系統(tǒng)的機(jī)械能

W外W非內(nèi)EE0質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，他的機(jī)械能增量等于外力的功和非保守內(nèi)力的功的總和（功能原理）dWbaFdrbaFcosds

(L)(L)Wba(L)Fdrba(L)(F1F2Fn)drW1W2Wn合力的功等于各分力功的代數(shù)和

N功率等于功比上時(shí)間

tWdWNlim

t0tdtsFcosvFv瞬時(shí)功率NlimFcost0t等于力F與質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)速度v的標(biāo)乘積

Wv0mvdvmvmv0功等于動(dòng)能的增當(dāng)W外0、W非內(nèi)0時(shí)，有EEkEp常量如果在一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任意一小段時(shí)間內(nèi)，外力對(duì)系統(tǒng)所作總功都為零，系統(tǒng)內(nèi)部又沒(méi)有非保守內(nèi)力做功，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和保持不變，即系統(tǒng)的機(jī)械能不隨時(shí)間改變，這就是機(jī)械能守恒定律。12mv2mgh12mv20mgh0重力作用下機(jī)械能守恒的一個(gè)特例12mv212kx212122mv02kx0彈性力作用下的機(jī)械能守恒

第三章氣體動(dòng)理論

1毫米汞柱等于

1mmHg=1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓等戶760

毫米汞柱1atm=760mmHg=×105Pa熱力學(xué)溫度T=氣體定律P1V1TP2V2常量即PVT=常量

1T2阿付伽德羅定律：在相同的溫度和壓強(qiáng)下，1摩爾的任何氣體所占據(jù)的體積都相同。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，即壓強(qiáng)P0=1atm、溫度T0=時(shí)，1摩爾的任何氣體體積均為v0=L/mol羅常量Na=１０２３mol-1

普適氣體常量RP0v0T

國(guó)際單位制為：0J/()

壓強(qiáng)用大氣壓，體積用升×10-2()

理想氣體的狀態(tài)方程：PV=

MMRT

M(質(zhì)molMmol量為M，摩爾質(zhì)量為Mmol的氣體中包含的摩爾數(shù))(R為與氣體無(wú)關(guān)的普適常量，稱為普適氣體常量)理想氣體壓強(qiáng)公式P=1mnv2N3(n=

V為單位體積中的平均分字?jǐn)?shù)，稱為分子數(shù)密度；m為每個(gè)分子的質(zhì)量，v為分子熱運(yùn)動(dòng)的速率)

MRTMNmRTNRTnkT(nNmolVNAmVVNAV為氣體分子密度，R和NA都是普適常量，二者之比稱為波爾茲常量k=

RN1023J/K氣體動(dòng)理論溫度公式：平均動(dòng)能3t2kT(平均動(dòng)能只與溫度有關(guān))

完全確定一個(gè)物體在一個(gè)空間的位置所需的獨(dú)立坐

標(biāo)數(shù)目，稱為這個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的自由度。雙原子分子共有五個(gè)自由度，其中三個(gè)是平動(dòng)自由度，兩個(gè)適轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，三原子或多原子分子，共有六個(gè)自由度）

分子自由度數(shù)越大，其熱運(yùn)動(dòng)平均動(dòng)能越大。每個(gè)具有相同的品均動(dòng)能

12kTti2kT

i為自由度數(shù)，上面3/2為一個(gè)原子分子自由度1摩爾理想氣體的內(nèi)能為：E0=NA12NiAkT2RT質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為Mmol的理想氣體能能為E=EMMi0ME0MRT

molmol2氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值

最概然速率(就是與速率分布曲線的極大值所對(duì)應(yīng)哦速率，物理意義：速率在p附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)百分比最大）p2kTm（溫度越高，p越大，分子質(zhì)量m越大p）

因?yàn)閗=NA和mNA=Mmol所以上式可表示為RTp2kT2RTm2mNAM平均速率v8kTm8RTM方均根速率v23RTMmolMmol

三種速率，方均根速率最大，平均速率次之，最概速率最??；在討論速率分布時(shí)用最概然速率，計(jì)算分子運(yùn)動(dòng)通過(guò)的平均距離時(shí)用平均速率，計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用分均根

第四章熱力學(xué)基礎(chǔ)

熱力學(xué)第一定律：熱力學(xué)系統(tǒng)從平衡狀態(tài)1向狀態(tài)2的變化中，外界對(duì)系統(tǒng)所做的功W’和外界傳給系統(tǒng)的熱量Q二者之和是恒定的，等于系統(tǒng)內(nèi)能的改變E2-E1

W’+Q=E2-E1

Q=E2-E1+W注意這里為W同一過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外

界所做的功（Q>0系統(tǒng)從外界吸收熱量；Q<0表示系統(tǒng)向外界放出熱量；W>0系統(tǒng)對(duì)外界做正功；W<0系統(tǒng)對(duì)外界做負(fù)功）

dQ=dE+dW（系統(tǒng)從外界吸收微小熱量dQ，內(nèi)能

增加微小兩dE,對(duì)外界做微量功dW

平衡過(guò)程功的計(jì)算dW=PSdl=PdV

V2VPdV

平衡過(guò)程中熱量的計(jì)算Q=

MMC(T2T1)(C為摩mol爾熱容量，1摩爾物質(zhì)溫度改變1度所吸收或放出的熱量)等壓過(guò)程：QpMCp(T2T1)定壓摩爾熱容量MmolMCv(T2T1)

定容摩爾熱容Mmol量

只有一部分用等容過(guò)程：Qv于增加系統(tǒng)的內(nèi)能，其余部分對(duì)于外部功）

內(nèi)能增量E2-E1=

MiR(T2T1)

CpCvR（1摩爾理想氣體在等壓過(guò)程溫度升

高1度時(shí)比在等容過(guò)程中要多吸收焦耳的熱量，用來(lái)轉(zhuǎn)化為體積膨脹時(shí)對(duì)外所做的功，由此可見(jiàn)，普適氣體常量R的物理意義：1摩爾理想氣體在等壓過(guò)程中升溫1度對(duì)外界所做的功。）

泊松比

MidERdTMmol2

等容過(guò)程常量或12

TMmolVT1T2MCv(T2T1)等容過(guò)程系統(tǒng)Mmol不對(duì)外界做功；等容過(guò)程內(nèi)能變化

等壓過(guò)程Qv=E2-E1=

CpCv

Cv

ii2RCpR22CpCvi2i溫

VVVMR常量或12TMmolPT1T2MR(T2T1)MmolPVMRT常量或P1V1P2V2WV2V1PdVP(V2V1)WP1V1lnV2VM或WRTln2QPE2E1W(等壓膨脹過(guò)程中，系統(tǒng)從外界

吸收的熱量中

等溫過(guò)程熱容量計(jì)算：QTW（全部轉(zhuǎn)化為功）

參數(shù)都變化PV常量或P1V1P2V2

絕熱過(guò)程的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系WP1V111(V1r1V)2WMMCv(T2T1)根據(jù)已知量求絕熱過(guò)程mol的功

W循環(huán)=Q1Q

2Q2為熱機(jī)循環(huán)中放給外界的熱量

熱機(jī)循環(huán)效率W循環(huán)Q（Q1一個(gè)循環(huán)從高溫?zé)?庫(kù)吸收的熱量有多少轉(zhuǎn)化為有用的功）Q1Q2Q1Q2

（不可能把所有的1Q<11熱量都轉(zhuǎn)化為功）制冷系數(shù)Q2QW'2循環(huán)Q(Q2為從低溫?zé)?Q2庫(kù)中吸收的熱量)第五章靜電場(chǎng)

庫(kù)侖定律：真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間相互作用的靜電力F的大小與它們的帶電量q1、q2的乘積成正比，與它們之間的距離r的二次方成反比，作用力的方向沿著兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線。F1q1q24

0r2基元電荷：e=1019C

；0真空電容率=1012;14=109

F1q1q242r?庫(kù)侖定律的適量形式場(chǎng)強(qiáng)EFqEFqQ4r

r為位矢電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理（矢量和）

電偶極子（大小相等電荷相反）場(chǎng)強(qiáng)E1P4r3電0偶極距P=ql

電荷連續(xù)分布的任意帶電體EdE1dq4?0r2r均勻帶點(diǎn)細(xì)直棒dExdEcosdx42cosdEdxydEsin42sin4r(sinsina)i(cosasos)j無(wú)限長(zhǎng)直棒E2rj

EdEdS在電場(chǎng)中任一點(diǎn)附近穿過(guò)場(chǎng)強(qiáng)方向的單位面積的電場(chǎng)線數(shù)

電通量dEEdSEdScosdEEdSEdEsEdS

EsEdS

封閉曲面

高斯定理：在真空中的靜電場(chǎng)內(nèi)，通過(guò)任意封閉曲面的電

通量等于該封閉曲面所包圍的電荷的電量的代數(shù)和的1

SEdS1q

若連續(xù)分布在帶電體上0=1Qdq

E1Q4r2r?（rR)均勻帶點(diǎn)球就像電荷都集0中在球心

E=0(r均勻帶點(diǎn)球殼內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零

E2無(wú)限大均勻帶點(diǎn)平面（場(chǎng)強(qiáng)大小與到帶0點(diǎn)平面的距離無(wú)關(guān)，垂直向外（正電荷））

4(1)電場(chǎng)力所作的功LEdl0

靜電場(chǎng)力沿閉合路徑所做的功為零（靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)流恒等于零）

電勢(shì)差UbabUaUbaEdl

電勢(shì)Ua無(wú)限遠(yuǎn)aEdl注意電勢(shì)零點(diǎn)

AabqUabq(UaUb)電場(chǎng)力所做的功UQ4r帶點(diǎn)量為Q的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中的電0r?勢(shì)分布，很多電荷時(shí)代數(shù)疊加,注意為rnUqia4電勢(shì)的疊加原理

i1UdqaQ4電荷連續(xù)分布的帶電體的0r電勢(shì)

UP40r3r?電偶極子電勢(shì)分布，r為位矢，P=ql

UQ半徑為R的均勻帶電Q圓

4220(Rx)12環(huán)軸線上各點(diǎn)的電勢(shì)分布

W=qU一個(gè)電荷靜電勢(shì)能，電量與電勢(shì)的乘積

E或0E靜電場(chǎng)中導(dǎo)體表面場(chǎng)強(qiáng)CqU孤立導(dǎo)體的電容U=

Q4孤立導(dǎo)體球

0RC40R孤立導(dǎo)體的電容CqUU兩個(gè)極板的電容器電容

1CqU0S平行板電容器電容

1CQ20LUln(R圓柱形電容器電容R2是大2R1)的

UU電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響

CrCU相對(duì)電容率Cr0SrC0dd

=r0叫這種電介質(zhì)的電容率（介電系數(shù)）（充滿電解質(zhì)后，電容器的電容增大為真空時(shí)電容的r倍。）（平行板電容器）

EE0在平行板電容器的兩極板間充滿各項(xiàng)同

r性均勻電解質(zhì)后，兩板間的電勢(shì)差和場(chǎng)強(qiáng)都減小到板間為真空時(shí)的1r

E=E0+E/電解質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)（省去幾個(gè)）

DE32半徑為R的均勻帶點(diǎn)球放在相0rr對(duì)電容率r的油中，球外電場(chǎng)分布

WQ22C12QU12CU2電容器儲(chǔ)能第六章穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)

Idqdt

電流強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體任一橫截面的電量）

jdIdS?j

電流密度（安/米2）

垂直ISjdcosSjdS電流強(qiáng)度等于通過(guò)S的電流密度的通量

SjdSdqdt電流的連續(xù)性方程SjdS=0電流密度j不與與時(shí)間無(wú)關(guān)稱穩(wěn)恒電流，電場(chǎng)稱穩(wěn)恒電場(chǎng)。

EKdl電源的電動(dòng)勢(shì)（自負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到正極的方向?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)的正方向）

LEKdl電動(dòng)勢(shì)的大小等于單位正電荷繞閉合回路移動(dòng)一周時(shí)非靜電力所做的功。在電源外部Ek=0時(shí)，就成了

BFmaxqv磁感應(yīng)強(qiáng)度大小畢奧-薩伐爾定律：電流元Idl在空間某點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)輕度dB的大小與電流元Idl的大小成正比，與電流元和電流元到P電的位矢r

之間的夾角的正弦成正比，與電流元到P點(diǎn)的距離r的二次方成反比。

dB0Idlsin4r204為比例系數(shù)，04107TmA為真空磁導(dǎo)率

B0Idlsin4r20I4R(con1cos2)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)（R為點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離）

B0I4R點(diǎn)恰好在導(dǎo)線的一端且導(dǎo)線很長(zhǎng)的情況

B0I2R

導(dǎo)線很長(zhǎng)，點(diǎn)正好在導(dǎo)線的中部B0IR22(R22)32圓形載流線圈軸線上的磁場(chǎng)分布

B0I2R在圓形載流線圈的圓心處，即x=0時(shí)磁場(chǎng)分布

B0IS2x3在很遠(yuǎn)處時(shí)平面載流線圈的磁場(chǎng)也常用磁矩Pm，定義為線圈中的電

流I與線圈所包圍的面積的乘積。磁矩的方向與線圈的平面的法線方向相同。

PmISnn表示法線正方向的單位矢量。PmNISn線圈有N匝

B02Pm4x3圓形與非圓形平面載流線圈的磁場(chǎng)（離線圈較遠(yuǎn)時(shí)才適用）

B0I4R扇形導(dǎo)線圓心處的磁場(chǎng)強(qiáng)度

LR為圓弧所對(duì)的圓心角（弧度）

IQ△tnqvS運(yùn)動(dòng)電荷的電流強(qiáng)度

B0qvr?4r2運(yùn)動(dòng)電荷單個(gè)電荷在距離r處產(chǎn)生的磁場(chǎng)

dBcosdsBdS磁感應(yīng)強(qiáng)度，簡(jiǎn)稱磁通量（單位韋伯Wb）

mSBdS通過(guò)任一曲面S的總磁通量

SBdS0通過(guò)閉合曲面的總磁通量等于零

LBdl0I磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任意閉合路徑L的積分

LBdl0I內(nèi)在穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的環(huán)路積分，等于這