對頁碼的使用總結(jié)

對頁碼的使用總結(jié)第1篇對頁碼的使用總結(jié)第1篇頁碼問題常見的主要有三種題型：一、一本書有N頁，求排版時用了多少個數(shù)字；或者反過來，一本書排版時用了N個數(shù)字，求這本書有多少頁；

二、已知一本N頁的書中，求某個數(shù)字出現(xiàn)多少次；

三、已知一本N頁的書中，求含有某個數(shù)字的頁碼有多少頁

1．編一本書的書頁，用了270個數(shù)字（重復(fù)的也算，如頁碼115用了2個1和1個5共3個數(shù)字），問這本書一共有多少頁？

方法一：l--9是只有9個數(shù)字，10--99是2*90=180個數(shù)字，那么剩下270-9-180=81，剩下81/3=27頁，則這本書是99+27-1=126頁。

方法二：假設(shè)這個頁數(shù)是A頁，則有A個個位數(shù)，每個頁碼除了1--9，其他都有十位數(shù)，則有A-9個十位數(shù)，同理：有A-99個百位數(shù)。則：A+(A-9)+(A-99)=2703A-110+2=2703A=378，A=126方法三：公式法：公式：一本書用了N個數(shù)字，求有多少頁：N/3+36。270/3+36=126。

2．一本小說的頁碼，在排版時必須用2211個數(shù)碼。問這本書共有多少頁？A．773解析：代入公式：N/3+36=737+36=773．王先生在編一本書，其頁數(shù)需要用6869個字，問這本書具體是多少頁？方法一：假設(shè)這個頁數(shù)是A頁，則：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869，求出A=1994方法二：6869>2889，所以，把所有的數(shù)字看作是4位數(shù)字，不足4位的添O補足4位，l,2,3,?9記為0001,0002,0003,..0009這樣增加了3*9=27個010,11,12,?99記為0010,0011,0012，..0099增加了180個0100,101，?999記為0100,0101，?0999增加了900個O(6869+27+180+900)/4=1994

總結(jié)：一本書排版時用了N個數(shù)字，求這本書有多少頁，N<2889時，用公式：N/3+36；N>2889時,用添加0計算。

4.在1-5000頁中，出現(xiàn)過多少次數(shù)字3？

解析：每十個數(shù)里的個位上有一個3，5000個數(shù)就有5000/10=500個3，每一百個數(shù)里的十位上會有30到39,10個3，所以(5000/100)乘10=500個3，每一千個數(shù)里的百位上會有300到399，100個3所以(5000/1000)乘100=500個3，在千位上的3就有3000到3999，1000個3，所以500+500+500+1000=2500個3

5.一本書有4000頁，問數(shù)字1在這本書里出現(xiàn)了多少次？解析：我們看4000分為千，百，十，個四個數(shù)字位置

千位是1的情況：那么百、十、個三個位置的選擇數(shù)字的范圍是0--9共計10個數(shù)字。就是10*10*10=1000百位是1的情況，千位是（0,1,2,3)4個數(shù)字可以選擇。十位，個位還是0--9，10個數(shù)字可以選擇即4*l0*10=400十位和個位都跟百位一樣。那么答案就是1000+400*3=2200

總結(jié)：因為在頁碼1-99中，l、2、3、4、5、6、7、8、9均會出現(xiàn)20次；在頁碼100-999中，l、2、3、4、5、6、7、8、9均會出現(xiàn)20*9+100次。

上面兩題均可以用公式,關(guān)于含“1”的頁數(shù)問題，總結(jié)出的公式就是：總頁數(shù)的1/10乘以（數(shù)字位-1)，再加上10的（數(shù)字位數(shù)-l）次方。如三位數(shù)：總頁數(shù)的1/10乘以（3一l)+1O的（3-1)次方四位數(shù)：總頁數(shù)的l/10乘以（4一l)+10的（4-l)次方

那么第4題：(5000/10)*3+1000=2500；第5題：(4000/10)*3+1000=22006．在1-5000頁中，含3的頁數(shù)有是多少？在頁碼1-99中，數(shù)字3出現(xiàn)了20次，即有19個含3的頁碼(33頁要去掉一次）；在頁碼100-999中，分兩種情況考慮：（1）首位數(shù)字是3，那么，后面兩位就不用管了，一共有含3的頁碼100頁；（2）首位數(shù)字不是3，那么必須考慮后兩位數(shù)字含3，而前面知道，1-99中，有19個含3的頁碼，由于首位數(shù)字這時有l(wèi)、2、4、5、6、7、8、9這么8種可能性，所以應(yīng)該是19*8個含3的頁碼。

本題，在1-999中，含3的頁碼一共19+19*8+100=19*9+100頁；再引申到1000-5000，也分兩種情況：(l)千位是3，則有1000頁：(2）千位不是3，則只可能是l、2、4，只考慮后3位，有（19*9+l00)*3個含3的頁碼。所以，合計是：19*9+100+(19*9+100)*3+1000=2084頁中含有多少個帶9的頁面？

答案是40951，排列組合學(xué)的不是特別好的同學(xué)可以牢記公式:[(19*9+100)*9+1000]*9+10000=40951

規(guī)律很簡單：19*9+100，代表l-999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的頁碼數(shù)；

(19*9+100)*9+1000，代表1-9999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的頁碼數(shù)；[(19*9+100)*9+1000]*9+10000，代表l-99999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的頁碼數(shù)。

2位數(shù)是19頁，然后每多一位數(shù)就乘以9，再加上10的N次方，N=位數(shù)減1。8.一本300頁的書中含“l(fā)”的有多少頁？19*2+100=138頁

9．將所有自然數(shù)，從1開始一次寫下去得到：***13??，試確定第206786個位置上出現(xiàn)的數(shù)字？解析：

方法一：9999*4<10000*4=40000<206786<99999*5,那么肯定是5位數(shù)了。

l,2,3,?9記位00001,00002,00003,..00009這樣增加了4*9=36個010,11,12,?99記為00010,00011,00012，..00099增加了270個0100,101，?999記為00100,00101，?00999增加了1800個O1000,1001，?,9999記為01000,01010，?09999增加了9000個O(206786+36+270+1800+9000)/5=217892/5=43578余2,說明206788位置上的數(shù)就是第43579的第2個數(shù)字3方法二

設(shè)有A頁，那么：A+(A-9)+（A-99）+（A-999）+（A-9999)=2067885A-(9+99+999+9999)=206786A=43578余數(shù)是2說明206786位置上的數(shù)就是第43579的第2個數(shù)字3

10、一本小說的頁碼，在印刷時必須用_個鉛字，在這一本書的頁碼中數(shù)字1出現(xiàn)多少次？

解析：共有_/3+36=699頁。

即出現(xiàn)：(700/10)*(3-1)+100=240次

11.印刷一本書用了1992個數(shù)字，在這本書中出現(xiàn)數(shù)字2的頁碼有多少頁？

解析：有1992/3+36=664+36=700頁，含有數(shù)字2的頁碼：6*19+100=214選A

對頁碼的使用總結(jié)第2篇一．頁碼問題

對多少頁出現(xiàn)多少1或2的公式

如果是X千里找?guī)?，公式?000+X00*3如果是X百里找?guī)?，就?00+X0*2，X有多少個0就*多少。依次類推！請注意，要找的數(shù)一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一類的了，比如，7000頁中有多少3就是1000+700*3=3100（個）

20000頁中有多少6就是2000*4=8000（個）

友情提示，如3000頁中有多少3，就是300*3+1=901，請不要把3000的3忘了

二．頁碼問題

(一)某數(shù)出現(xiàn)多少次問題

99中，某數(shù)（不含0）出現(xiàn)20次。999中，某數(shù)（不含0）出現(xiàn)20*9+120次。

(二)含某數(shù)的頁數(shù)有多少問題（就是出現(xiàn)次數(shù)減去重復(fù)次數(shù)）99中，含某數(shù)（不含0）19頁。999中，含某數(shù)（不含0）19*9+100頁。

9999中，含某數(shù)（不含0）(19*9+100)*9+1000頁。(三)A頁的書需要多少字符數(shù)問題A+A-9+A-99=B(字符數(shù))。

(四)頁碼數(shù)加減是否有誤（等差求和公式的運用）等差求和公式是：Sn=（a1+an）×n/2，對于書本來說，頁碼是從第一頁始，因此SN=（1+n）×n/2≈n^2/2

【解析】例題：一本故事書共121頁，在這本書的頁碼中數(shù)字“1”出現(xiàn)多少次？？

選D。0-99中20個，100-121中22+11+2=35個，20+35=55。

例題：老李有一本很舊的書，已知這本書最后一頁頁碼的第一個數(shù)字是3，其它的頁碼數(shù)都已模糊不清。這本書出現(xiàn)數(shù)字3的次數(shù)有180次。求這本書由多少個鉛字組成（1代表1個鉛字，11，代表2個鉛字）【解析】選B。20+20+20+120，推出399頁，399x3-9-99=1089。

例題：編一本書的書頁，用了270個數(shù)字（重復(fù)的也算，如頁碼115用了2個1和1個5，共3個數(shù)字），問這本書一共有多少頁？

【解析】選B。首先肯定是三位數(shù)，A+A-9+A-99=270，3A=378，A=126（頁）。例題：甲乙兩冊書的頁碼共777個數(shù)碼，其中甲比乙書多7頁，問甲書有多少頁？【解析】選D。1-9﹏9，10-99﹏180，甲乙都在百頁。多7頁就多21個數(shù)碼，可列X+Y=777,X-Y=21；解得，X=399。3A-9-99=399，A=169（頁）

例題：一本書的頁碼是連續(xù)的自然數(shù)，1，2，3，…，當(dāng)將這些頁碼加起來的時候，某個頁碼被加了兩次，得到不正確結(jié)果1997，則這個被加了兩次的頁碼是()【解析】選D。N*(N+1)/2<=1997，N最大是62時，即1953。則被多加的頁碼是1997-1953=44。估算運用：n*(n+1)/2<1997，n*（n+1)<3994，n^2<3994，n^2<4000。

例題：有一本書的中間被撕掉了一張，余下的各頁的頁碼數(shù)之和正好是1000，則被撕掉的那一張頁碼是（）和18和19和20和22【解析】選D。共45張，等差求和（1+45）*45/2=23*45=1035，1035-1000=35。

例題：如果把1到999些自然數(shù)按照從小到大的順序排成一排，這樣就組成了一個多位數(shù)：***——996997998999.那么在這個多位數(shù)里，從左到右第2000個數(shù)字是多少？？

【解析】1-9有9個數(shù)，10-99有180個數(shù)，求第2000個數(shù)字，減去前面的2000-189=1811。而100-999每個數(shù)值是3位數(shù)。那么1811/3可算出是第幾個數(shù)值（不是數(shù)字）1811/3=603……2，因起步為100，100+603...2=703....2。

二，握手問題

N個人彼此握手，則總握手?jǐn)?shù)

S＝（n-1）{a1+a(n-1)}/2=（n-1）{1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2=N×（N-1）/2例題：

某個班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握手，整個游戲一共握手152次，請問這個班的同學(xué)有（）人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的多邊形對角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3＝152但是在計算X時卻是相當(dāng)?shù)穆闊?。我們仔細來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x－3次手。每個人都是這樣。則總共握了x×（x-3）次手。但是沒2個人之間的握手都重復(fù)計算了1次。則實際的握手次數(shù)是x×（x-3）÷2＝152計算的x＝19人

三，鐘表重合公式

鐘表幾分重合，公式為：x/5=(x+a)/60a時鐘前面的格數(shù)

四，時鐘成角度的問題

設(shè)X時時，夾角為30X，Y分時，分針追時針，設(shè)夾角為A.（請大家掌握）

鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時針走度，能追度。

1.【30X－】或是360－【】【】表示絕對值的意義（求角度公式）

變式與應(yīng)用

2.【30X－】=A或360－【】=A（已知角度或時針或分針求其中一個角）

五，往返平均速度公式及其應(yīng)用（引用）

某人以速度a從A地到達B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。

證明：設(shè)A、B兩地相距S，則

往返總路程2S，往返總共花費時間s/a+s/b故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)六，空心方陣的總數(shù)

空心方陣的總數(shù)＝（最外層邊人(物)數(shù)－空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4＝最外層的每一邊的人數(shù)^２－（最外層每邊人數(shù)－2*層數(shù)）^２

＝每層的邊數(shù)相加×4－4×層數(shù)

空心方陣最外層每邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)/4/層數(shù)+層數(shù)

方陣的基本特點：①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同．每向里一層邊上的人數(shù)就少2；

②每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：

③中實方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=(每邊人（或物）數(shù))2=（最外層總?cè)藬?shù)÷4+1）2例：①某部隊排成一方陣，最外層人數(shù)是80人，問方陣共有多少官兵？（441人）

②某校學(xué)生剛好排成一個方隊，最外層每邊的人數(shù)是24人，問該方陣有多少名學(xué)生？（576名）解題方法：方陣人數(shù)＝（外層人數(shù)÷4+1）2＝（每邊人數(shù)）2

③參加中學(xué)生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？（289人）

解題方法：去掉的總?cè)藬?shù)＝原每行人數(shù)×2－1＝減少后每行人數(shù)×2+1

典型例題：某個軍隊舉行列隊表演，已知這個長方形的隊陣最外圍有32人，若以長和寬作為邊長排出2個正方形的方陣需要180人。則原來長方形的隊陣總?cè)藬?shù)是（）

A、64，B、72C、96D、100

【解析】這個題目經(jīng)過改編融合了代數(shù)知識中的平方和知識點。長方形的（長＋寬）×2＝32＋4得到長＋寬＝18?？赡苓@里面大家對于長＋寬＝18有些難以計算。你可以假設(shè)去掉4個點的人先不算。長＋寬（不含兩端的人）×2＋4（4個端點的人）＝32，則計算出不含端點的長＋寬＝14考慮到各自的2端點所以實際的長寬之和是14＋2＋2＝18。求長方形的人數(shù)，實際上是求長×寬。根據(jù)條件長×長＋寬×寬＝180綜合（長＋寬）的平方＝長×長＋寬×寬＋2×長×寬＝18×18帶入計算即得到B。其實

在我們得到長寬之和為18時，我們就可以通過估算的方法得到選項B七，青蛙跳井問題

例如：①青蛙從井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，這樣青蛙需跳幾次方可出井？（6）

②單杠上掛著一條4米長的爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下半米來，問小趙幾次才能爬上單杠？（7）

總解題方法：完成任務(wù)的次數(shù)＝井深或繩長-每次滑下米數(shù)（遇到半米要將前面的單位轉(zhuǎn)化成半米）

例如第二題中，每次下滑半米，要將前面的4米轉(zhuǎn)換成8個半米再計算。

完成任務(wù)的次數(shù)＝（總長-單長）/實際單長+1八，容斥原理

總公式：滿足條件一的個數(shù)＋滿足條件2的個數(shù)－兩個都滿足的個數(shù)＝總個數(shù)－兩個都不滿足的個數(shù)

【國2006一類-42】現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學(xué)實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有多少人？人人人人

上題就是數(shù)學(xué)運算試題當(dāng)中經(jīng)常會出現(xiàn)的“兩集合問題”，這類問題一般比較簡單，使用容斥原理或者簡單畫圖便可解決。但使用容斥原理對思維要求比較高，而畫圖浪費時間比較多。鑒于此類問題一般都按照類似的模式來出，下面華圖名師李委明給出一個通解公式，希望對大家解題能有幫助：

例如上題，代入公式就應(yīng)該是：40+31-x=50-4，得到x=25。我們再看看其它題目：【國2004A-46】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少？代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22九，傳球問題

這道傳球問題是一道非常復(fù)雜麻煩的排列組合問題。

【李委明解三】不免投機取巧，但最有效果（根據(jù)對稱性很容易判斷結(jié)果應(yīng)該是3的倍數(shù)，如果答案只有一個3的倍數(shù)，便能快速得到答案），也給了一個啟發(fā)----傳球問題核心公式

N個人傳M次球，記X=[（N-1）^M]/N，則與X最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù)，與X第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。大家牢記一條公式，可以解決此類至少三人傳球的所有問題。

四人進行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式：

種種種種

x=(4-1)^5/4x=60十，圓分平面公式：

N^2-N+2,N是圓的個數(shù)

十一，剪刀剪繩

對折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段

將一根繩子連續(xù)對折3次,然后每隔一定長度剪一刀，共剪6刀。問這樣操作后,原來的繩子被剪成了幾段?A．18段B．49段C．42段D．52段

十二，四個連續(xù)自然數(shù)，性質(zhì)一，為兩個積數(shù)和兩個偶數(shù)，它們的和可以被2整除，但是不能被4整除

性質(zhì)二，他們的積+1是一個奇數(shù)的完全平方數(shù)

十三，骨牌公式

公式是：小于等于總數(shù)的2的N次方的最大值就是最后剩下的序號

十四，指針重合公式

關(guān)于鐘表指針重合的問題，有一個固定的公式：61T=S（S為題目中最小的單位在題目所要求的時間內(nèi)所走的格書，確定S后算出T的最大值知道相遇多少次。）

十五，圖色公式

公式：（大正方形的邊長的3次方）—（大正方形的邊長—2）的3次方。

十六，裝錯信封問題

小明給住在五個國家的五位朋友分別寫信，這些信都裝錯的情況共有多少種44種

f（n）=n?。?-1/1！+1/2！-1/3!......+（-1）n（1/n?。?/p>

或者可以用下面的公式解答

裝錯1信0種

裝錯2信：1種249544

遞推公式是S(n)=(n-1)+(-1)^n~~~~~如果是6封信裝錯的話就是265~~~~十七，伯努利概率模型

某人一次涉及擊中靶的概率是3/5，設(shè)計三次，至少兩次中靶的概率是

集中概率3/5，則沒集中概率2/5，即為兩次集中的概率+三次集中的概率

公式為C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0]81/125

十八，圓相交的交點問題

N個圓相交最多可以有多少個交點的問題分析N*(N-1)十九，約數(shù)個數(shù)問題

M=A^X*B^Y則M的約數(shù)個數(shù)是

（X+1）（Y+1）

360這個數(shù)的約數(shù)有多少個？這些約數(shù)的和是多少？

解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一個約數(shù)都等于至多三個2（可以是零個，下同），至多兩個3和至多一個5的積。如果我們把下面的式子

（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）

展開成一個和式，和式中的每一個加數(shù)都是在每個括號里各取一個數(shù)相乘的積。由前面的分析不難看出，360的每一個約數(shù)都恰好是這個展開式中的一個加數(shù)。由于第一個括號里有4個數(shù)，第二個括號里有3個數(shù)，第三個括號里有2個數(shù)，所以這個展開式中的加數(shù)個數(shù)為4×3×2=24，而這也就是360的約數(shù)的個數(shù)。另一方面，360的所有約數(shù)的和就等于這個展開式的和，因而也就等于

（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）

=15×13×6=1，170

答：360的約數(shù)有24個，這些約數(shù)的和是1，170。

甲數(shù)有9個約數(shù)，乙數(shù)有10個約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？

解：一個整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個約數(shù)可以配成一對.只有配成對的兩個約數(shù)相同時，也就是這個數(shù)是完全平方數(shù)時，它的約數(shù)的個數(shù)才會是奇數(shù).因此，甲數(shù)是一個完全平方數(shù).2800＝24×52×7.在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有

1，22，24，52，22×52，24×52.在這6個數(shù)中只有22×52＝100，它的約數(shù)是（2＋1）×（2+1）＝9（個）.2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100＝22×52，因此乙數(shù)至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112.綜合起來，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112.二十，吃糖的方法

當(dāng)有n塊糖時，有2^(n-1)種吃法。

二十一，隔兩個劃數(shù)

1987=3^6+12581258÷2×3+1=1888即剩下的是1888

減去1能被3整除

二十二，邊長求三角形的個數(shù)

三邊均為整數(shù)，且最長邊為11的三角形有多少個？

[asdfqwer]的最后解答：

11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;11,10,10;11,10,9;...11,10,2;11,9,9;...11,9,3;11,8,8;...11,8,4;11,7,7,...11,7,5;11,6,6;

1+3+5+7+9+11=6^2=36如果將11改為n的話，n=2k-1時，為k^2個三角形；

n=2k時，為(k+1)k個三角形。

二十三，2乘以多少個奇數(shù)的問題

如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個2與1個奇數(shù)的積？

解：因2^10=1024，2^11=2048＞2000，每個不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個數(shù)不多于10個，而1024=2^10，所以，N等于10個2與某個奇數(shù)的積。

二十四，直線分圓的圖形數(shù)

設(shè)直線的條數(shù)為N則總數(shù)=1+{N（1+N）}/2

將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明．

〔解〕我們來一條一條地畫直線。畫第一條直線將圓形紙片劃分成2塊．畫第二條直線，如果與第一條直線在圓內(nèi)相交，則將圓形紙片劃分成4塊（增加了2塊），否則只能劃分成3塊．類似地，畫第三條直線，如果與前兩條直線都在圓內(nèi)相交，且交點互不相同（即沒有3條直線交于一點），則將圓形紙片劃分成7塊（增加了3塊），否則劃分的塊數(shù)少于7塊．下圖是畫3條直線的各種情形

由此可見，若希望將紙片劃分成盡可能多的塊數(shù)，應(yīng)該使新畫出的直線與原有的直線都在圓內(nèi)相交，且交點互不相同．這時增加的塊數(shù)等于直線的條數(shù)。（為什么？）這樣劃分出的塊數(shù)，我們列個表來觀察：

直線條數(shù)紙片最多劃分成的塊數(shù)1＋1

1＋1＋2

1+1+2+3

1+1＋2+3+451＋1＋2+3+4+5

不難看出，表中每行右邊的數(shù)等于1加上從1到行數(shù)的所有整數(shù)的和。（為什么？）我們把問題化為：自第幾行起右邊的數(shù)不小于50？我們知道

1+1+2+3＋…＋10＝56，1+1＋2＋3＋…＋9=46，可見

9行右邊還不到50，而第10行右邊已經(jīng)超過50了。答：至少要畫10條直線。

二十五，公交車超騎車人和行人的問題

一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？

此類題通解公式：

a=超行人時間，b=超自行車時間，m=人速，n=自行車速

則每隔t分鐘發(fā)車；t=（abn-abm）/(bn-am)，令M=1N=3，解得T=8。

二十六，公交車前后超行人問題

小明放學(xué)后,沿某公交路線以不變速度步行回家,該路公共汽車也以不變速度不停的運行,每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他,每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車,問該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一輛車?

此類題有個通解公式：如果a分鐘追上，b分鐘相遇，則是2ab/（a+b）分鐘發(fā)一次車

二十七，象棋比賽人數(shù)問題

象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局勝者記2分，負(fù)者記0分，和棋各記1分，四位觀眾統(tǒng)計了比賽中全部選手得分總數(shù)分別是:1979，1980，1984，1985，經(jīng)核實只有一位觀眾統(tǒng)計正確，則這次比賽的選手共有多少名?

解析：44*43=1892，45*44=1980，46*45=2070所以選B二十八，頻率和單次頻度都不同問題

獵犬發(fā)現(xiàn)在離它9米遠的前方有一只奔跑著的兔子，立刻追趕，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動作快，獵犬跑2步的時間，兔子跑3步。獵犬至少跑多少米才能追上兔子？（）

答案b

分析：獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動作快，獵犬跑2步的時間，兔子跑3步.可知獵犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=54二十九，上樓梯問題

一般來說上電梯有a1=1a2=2a3=4a4=a1+a2+a3所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)三十，牛吃草公式

核心公式:草場草量=(牛數(shù)-每天長草量)*天數(shù)

例如:10?？沙?0天,15?？沙?0天,則25?？沙远嗌偬?解:可用公式,設(shè)每天恰可供X頭牛吃一天,25?？沙訬天

則(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N，可得X=5,Y=5三十一，十字相乘法

十字相乘法使用時要注意幾點：

第一點：用來解決兩者之間的比例關(guān)系問題。

第二點：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。

第三點：總均值放中央，對角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對角線上。

（2007年國考）某班男生比女生人數(shù)多80%，一次考試后，全班平均成級為75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，則此班女生的平均分是：

A．84分分分分答案：A

分析：假設(shè)女生的平均成績?yōu)閄，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。

男生：Y975女生：X5

根據(jù)十字相乘法原理可以知道

X=84

6.（2007年國考）．某高校2006畢業(yè)學(xué)生7650名，比上增長2%.其中本科畢業(yè)生比上減少2%.而研究生畢業(yè)數(shù)量比上增加10%,那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：

A．3920人B．4410人C．4900人D．5490人

答案：C

分析：去年畢業(yè)生一共7500人。7650/（1+2%）=7500人。

本科生：-2%8%2%

研究生：10%4%

本科生：研究生=8%：4%=2：1。

7500*（2/3）=50005000*

此方法考試的時候一定要靈活運用

三十二，兔子問題

An=A(n-1)An(n-2)

已知一對幼兔能在一月內(nèi)長成一對成年兔子，一對成年兔子能在一月內(nèi)生出一對幼兔。如果現(xiàn)在給你一對幼兔，問一年后共有多少對兔子？

析：1月:1對幼兔

2月:1對成兔

3月;1對成兔.1對幼兔

4;2對成兔.1對幼兔

5;;3對成兔.2對幼兔

6;5對成兔.3對幼兔.......可看出規(guī)律:1,1,2,3,5,8(第三數(shù)是前兩數(shù)之和),可求出第12項

為:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔

三十三，稱重量砝碼最少的問題

例題：要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？

分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。

（1）稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故1克的一個砝碼是必須的。

（2）稱重2克，有3種方案：

①增加一個1克的砝碼；

②用一個2克的砝碼；

③用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。

（3）稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。

（4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰?？傊?，用1克、3克兩個砝碼就可以稱出（3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

（5）接著思索可以進行一次飛躍，稱重5克時可以利用

9-（3+1）=5，即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

而要稱14克時，按上述規(guī)律增加一個砝碼，其重為

14+13=27（克），可以稱到1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

總之，砝碼重量為1，3，32，33克時，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。

三十三，文示圖

紅圈：球賽。藍圈：電影綠圈：戲劇。

X表示只喜歡球賽的人；Y表示只喜歡電影的人；Z表示只喜歡戲劇的人

a表示喜歡球賽和電影的人。僅此2項。不喜歡戲劇

b表示喜歡電影和戲劇的人。僅此2項。不喜歡球賽

c表示喜歡球賽和戲劇的人。僅此2項不喜歡電影。

中間的陰影部分則表示三者都喜歡的。我們用T表示。

回顧上面的7個部分。X，y，z，a，b，c，T都是相互獨立?；ゲ恢貜?fù)的部分

現(xiàn)在開始對這些部分規(guī)類。

X＋y＋z＝是只喜歡一項的人我們叫做Aa+b+c＝是只喜歡2項的人我們叫做BT就是我們所說的三項都喜歡的人

x＋a＋c＋T＝是喜歡球賽的人數(shù)構(gòu)成一個紅圈

y＋a＋b＋T＝是喜歡電影的人數(shù)構(gòu)成一個藍圈

z＋b＋c＋T＝是喜歡戲劇的人數(shù)構(gòu)成一個綠圈

三個公式。

（1）A＋B＋T＝總?cè)藬?shù)

（2）A＋2B＋3T＝至少喜歡1個的人數(shù)和

（3）B＋3T＝至少喜歡2個的人數(shù)和

例題：學(xué)校教導(dǎo)處對100名同學(xué)進行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。

通過這個題目我們看因為每個人都至少喜歡三項中的一項。則我們用三個圈紅，綠，藍代表球賽。戲劇、和電影。

A＋B＋T＝100A＋2B＋3T＝148T＝12則可以直接計算只喜歡一項的和只喜歡兩項的A=64B=24

典型例題：甲,乙,丙三個人共解出20道數(shù)學(xué)題,每人都解出了其中的12道題,每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題,只有兩人解出的題叫做中等題,三人解出的題叫做容易題,難題比容易題多（）題?A、6B、5C、4D、3

【解析】第三題需要結(jié)合文氏圖來理解了，畫圖會很清楚的我們設(shè)a表示簡單題目，b表示中檔題目c表示難題

a＋b＋c＝20

c＋2b＋3a＝12×3這個式子式文氏圖中必須要記住和理解的將a＋b＋c＝20變成2a＋2b＋2c＝40減去上面的第2個式子

得到：c－a＝4答案出來了

可能很多人都說這個方法太耗時了，的確。在開始使用這樣方法的時候費時不少。當(dāng)當(dāng)完全了解熟練運用a＋2b＋3c這個公式時，你會發(fā)現(xiàn)再難的題目也不會超過1分鐘。

三十四，九宮圖問題

此公式只限于奇數(shù)行列

步驟1：按照斜線的順序把數(shù)字按照從小到大的順序，依次斜線填寫！

步驟2：然后將3×3格以外格子的數(shù)字折翻過來，最左邊的放到最右邊，最右邊的放到最左邊

最上邊的放到最下邊，最下邊的放到最上邊

這樣你再看中間3×3格子的數(shù)字是否已經(jīng)滿足題目的要求了呵呵！

三十五，用比例法解行程問題

行程問題一直是國家考試中比較重要的一環(huán)，其應(yīng)用之廣恐無及其右者。行程問題的計算量按照基礎(chǔ)做法不得不說非常大。所以掌握簡單的方法尤為重要。當(dāng)然簡單的方法需要對題目的基礎(chǔ)知識的全面了掌握和理解。

在細說之前我們先來了解如下幾個關(guān)系：

路程為S。速度為V時間為TS＝VTV＝S/TT＝S/V

S相同的情況下：V跟T成反比

V相同的情況下：S跟T成正比

T相同的情況下：S跟V成正比

注：比例點數(shù)差也是實際差值對應(yīng)的比例！理解基本概念后，具體題目來分析

一、甲乙2人分別從相距200千米的AB兩地開車同時往對方的方向行駛。到達對方始發(fā)點后返回行駛，按照這樣的情況，2人第4次相遇時甲比乙多行了280千米已知甲的速度為60千米每小時。則乙的速度為多少？

分析：這個題目算是一個相遇問題的入門級的題目。我們先從基礎(chǔ)的方法入手，要多給自己提問求乙的速度即要知道乙的行駛路程S乙，乙所花的時間T乙。這2個變量都沒有告訴我們，需要我們?nèi)ジ鶕?jù)條件來求出：

乙的行駛路程非常簡單可以求出來。因為甲乙共經(jīng)過4次相遇。希望大家不要嫌我羅嗦。我希望能夠更透徹的把這類型的題目通過圖形更清晰的展現(xiàn)給大家。

第一次相遇情況

A（甲）．。。。。。。。。。。（甲）C（乙）。。。。。。。。。。。B（乙）

AC即為第一次相遇甲行駛的路程。BC即為乙行駛的路程

則看出AC＋BC＝AB兩者行駛路程之和＝S第2次相遇的情況

A．。。。。。。。。。。（乙）D（甲）。。。C。。。。。。。。。。。。。B

在這個圖形中，我們從第一次相遇到第2次相遇來看甲從C點開始行駛的路線是C－B－D，其路程是BC＋BD乙行駛的路線則是C－A－D其行駛的路程是AC＋AD

可以看出第2次相遇兩者的行駛路程之和是BC＋BD＋AC＋AD＝（BC＋AC）＋（BD＋AD）＝2S，同理第3，4次相遇都是這樣。

則我們發(fā)現(xiàn)整個過程中，除第一次相遇是一個S外。其余3次相遇都是2S?？偮烦淌?×3S＋S＝7S根據(jù)題目，我們得到了行駛路程之和為7×200＝1400

因為甲比乙多行駛了280千米則可以得到乙是（1400－280）÷2＝560則甲是560＋280＝840

好，現(xiàn)在就剩下乙的行駛時間的問題了。因為兩個人的行駛時間相同則通過計算甲的時間得到乙的時間即840÷60＝14小時。

所以T乙＝14小時。那么我就可以求出乙的速度V乙＝S乙÷T乙＝560÷14＝40說道這里我需要強調(diào)的是，在行程問題中，可以通過比例來迅速解答題目。

比例求解法：

我們假設(shè)乙的速度是V則根據(jù)時間相同，路程比等于速度比，S甲：S乙＝V甲：V乙衍生出如下比例：（S甲＋S乙）：（S甲－S乙）＝（V甲＋V乙）：（V甲－V乙）

得出1400：280＝（60＋V）：（60－V）解得V＝40

二、甲車以每小時160千米的速度，乙車以每小時20千米的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車一次，甲車減速1/3，而乙車則增速1/3。問：在兩車的速度剛好相等的時刻，它們共行駛了多少千米？

【解析】我們先來看需要多少次相遇才能速度相等

160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方N代表了次數(shù)解得N＝3說明第三次相遇即達到速度相等

第一次相遇前：開始時速度是160：20＝8：1用時都一樣，則路程之比＝速度之比

我們設(shè)乙行駛了a千米則（a＋210）：a＝8：1解得a＝30

第二次相遇前：速度比是甲：乙＝4：1用時都一樣，則路程之比＝速度之比

我們設(shè)乙從第1次相遇到第2次相遇行駛了b千米則（b＋210）：b＝4：1解得a＝70第三次相遇前：速度比是甲：乙＝2：1用時都一樣，則路程之比＝速度之比

我們設(shè)乙從第2次相遇到第3次相遇行駛了c千米則（c＋210）：c＝2：1解得c＝210則三次乙行駛了210＋70＋30＝310千米

而甲比乙多出3圈則甲是210×3＋310＝940則兩人總和是940＋310＝1250

例三、一輛汽車以每小時40千米的速度從甲城開往乙城，返回時它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小時30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的時間比前往乙城的時間多用了10分鐘，甲、乙兩城相距多遠？

【解析】我們知道多出來的10分鐘即1/6小時是在最后1/4差5千米的路程里產(chǎn)生的，則根據(jù)路程相同

速度比等于時間比的反比

即T30：T40＝40：30＝4：3

所以30千米行駛的最后部分是用了1/6×（4－3）×4＝2/3小時

即路程是30×2/3=20千米

總路程是(20＋5)÷1/4=100

四、甲乙兩人各坐一游艇在湖中劃行,甲搖漿10次時乙搖漿8次,而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程,現(xiàn)甲先搖漿4次,則乙搖漿多少次才能追上?

【解析】甲搖漿10次時乙搖漿8次知道甲乙速度之比=5：4

而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程則可以得到每漿得距離之比是甲：乙＝7：9

所以，我們來看相同時間內(nèi)甲乙得距離之比，5×7：4×9＝35：36說明，乙比甲多出1個比例單位

現(xiàn)在甲先劃槳4次，每漿距離是7個單位，乙每漿就是9個單位，所以甲領(lǐng)先乙是4×7＝28個單位，事實上乙每4漿才能追上36-35＝1個單位，說明28個單位需要28×4＝112漿次追上！選C

五、甲乙兩個工程隊共100人,如果抽調(diào)甲隊人的1/4至乙隊,則乙隊比甲隊多了2/9,問甲隊原來多少人?

這個題目其實也很簡單，下面我說一個簡單方法

【解析】根據(jù)條件乙隊比甲隊多了2/9我們假設(shè)甲隊是單位1，則乙隊就是1＋2/9＝11/9，100人的總數(shù)不變

可見甲乙總數(shù)是1＋11/9=20/9（分母不看）

則100人被分成20分即甲是100÷20×9＝45乙是55

因為從甲隊掉走1/4則剩下的是3/4算出原來甲隊是45÷3/4＝60三十六，計算錯對題的獨特技巧

例題：某次考試有30道判斷題，每做對一道題得4分，不做的不得分，做錯一道題倒扣2分小明得分是96分，并且小明有題目沒做，則小明答對了幾道試題（）

A28B27C26D25正確答案是D25題

我們把一個答錯的和一個不答的題目看成一組，則一組題目被扣分是6＋4＝10解釋一下6跟4的來源

6是做錯了不但得不到4分還被扣除2分這樣里外就差4＋2＝6分

4是不答題只被扣4分，不倒扣分。

這兩種扣分的情況看著一組

目前被扣了30×4－96＝24分

則說明24÷10＝2組余數(shù)是4

余數(shù)是4表明2組還多出1個沒有答的題目

則表明不答的題目是2＋1＝3題，答錯的是2題

三十七，票價與票值的區(qū)別

票價是P（2，M）是排列票值是C（2，M）

三十八，兩數(shù)之間個位和十位相同的個數(shù)

1217到2792之間有多少個位數(shù)和十位數(shù)相同的數(shù)？

從第一個滿足條件的數(shù)開始每個滿足條件的數(shù)之間都是相差11方法一：

看整數(shù)部分1217～2792

先看1220～2790相差1570則有這樣規(guī)律的數(shù)是1570÷10＝157個

由于這樣的關(guān)系我總結(jié)了一個方法給大家提供一個全新的思路

方法二：

我們先求兩數(shù)差值2792－1217＝15751575中有多少11呢1575÷11＝143余數(shù)是2大家不要以為到這里就結(jié)束了其實還沒有結(jié)束

我們還得對結(jié)果再次除以11直到所得的商小于11為止

商+余數(shù)再除以11

（143＋2）÷11＝13余數(shù)是2

（13＋2）÷11＝1因為商已經(jīng)小于11，所以余數(shù)不管

則我們就可以得到個數(shù)應(yīng)該是143＋13＋1＝157

不過這樣的方法不是絕對精確的，考慮到起始數(shù)字和末尾數(shù)字的關(guān)系。誤差應(yīng)該會在1之間！不過對于考公務(wù)員來說誤差為1已經(jīng)可以找到答案了！

三十九，擱兩人握手問題

某個班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握手，整個游戲一共握手152次，請問這個班的同學(xué)有（）人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的對角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3＝152但是在計算X時卻是相當(dāng)?shù)穆闊?。我們仔細來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x－3次手。每個人都是這樣。則總共握了x×（x-3）次手。但是沒2個人之間的握手都重復(fù)計算了1次。則實際握手次數(shù)是x×（x-3）÷2＝152計算的x＝19人

四十，溶液交換濃度相等問題

設(shè)兩個溶液的濃度分別為A％，B％并且A＞B設(shè)需要交換溶液為X則有：（B－X）：X＝X：（A－X）

A：B=（A-X）：X

典型例題：兩瓶濃度不同得鹽水混合液。60％的溶液是40克，40％的溶液是60克。要使得兩個瓶子的溶液濃度相同，則需要相互交換（）克的溶液？

A、36B、32C、28D、24

【解析】答案選D我們從兩個角度分析一下，假設(shè)需要交換的溶液為a克。則我們來一個一個研究，先看60％的溶液相對于交換過來的a克40％的溶液可以采用十字交叉法來得出一個等式即（再設(shè)混和后的標(biāo)準(zhǔn)濃度是p）

40－a：a＝（P－40％）：（60％－P）

同理我們對40％的溶液進行研究采用上述方法也能得到一個等式：

60－a：a＝（60％－P）：（P－40％）

一目了然，兩者實際上是反比，即40－a：a＝a：60－a解得a＝24即選D

如果你對十字交叉法的原理理解的話那么這個題目中間的過程完全可以省去。所以說任何捷徑都是建立在你對基礎(chǔ)知識的把握上。

解法二：干脆把2個溶液倒在一起混和，然后再分開裝到2個瓶子里這樣濃度也是相等的。我們根據(jù)十字交叉法，60跟40的溶液混合比例其實跟交換的x克60％溶液與剩下60－x克40％的溶液比例成反比，則60：40＝60－x：x解X＝24克

四十一，木桶原理

一項工作由編號為1～6的工作組來單獨完成，各自完成所需的時間是：5天，7天，8天，9天，天，18天?，F(xiàn)在將這項工作平均分配給這些工作組來共同完成。則需要（）天？

A、B、3C、D、6

【解析】這個題目就是我們常說的“木桶效應(yīng)”類型的題目?！澳就靶?yīng)”概念來自于經(jīng)濟學(xué)中的稱呼。意思是一個木桶是由若干個木板拼湊起來的。其存水量取決于最短的那塊木板。這個題目我們看該項工作平均分配給了每個小組，則每個小組完成1/6的工作量。他們的效率不同整體的時間是取決于最慢的那個人。當(dāng)最慢的那個人做完了，其它小組早就完成了。18天的那個小組是最慢的。所以完成1/6需要3小時，選B

例題：一項工作，甲單獨做需要14天，乙單獨做需要18天，丙丁合做需要8天。則4人合作需要（）天？

A、4B、5C、6D、7

【解析】題目還是“木桶效應(yīng)”的隱藏運用。我們知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根據(jù)合做的情況并且最后問的也是合作的情況。我們不妨將其平均化處理。也就是說兩個人的平均效率是16天。那么這里效率最差的是18天。大家都是18天則4人合作需要18÷4＝天?？梢娮畈钜膊粫^天，看選項只有A滿足

四十二，壞鐘表行走時間判定問題

一個鐘表出現(xiàn)了故障，分針比標(biāo)準(zhǔn)時間每分鐘快6秒，時針卻是正常的。上午某一時刻將鐘表調(diào)整至標(biāo)準(zhǔn)時間。經(jīng)過一段時間發(fā)現(xiàn)鐘表的時刻為晚上9：00請問鐘表在何時被調(diào)整為標(biāo)準(zhǔn)時間？

A、10：30B、11：00C、12：00D、1：30

【解析】此題也是比較簡單的題目。我們看因為每分鐘快6秒則1個小時快60×6＝360秒即6分鐘。當(dāng)9：00的時候說明分針指在12點上?？催x項。其時針正常，那么相差的小時數(shù)是正常的，A選項差個小時即分針快了×6＝63分鐘。則分針應(yīng)該在33分上。錯誤！同理看B選項相差10個小時即10×6＝60分鐘，剛好一圈，即原在12上，現(xiàn)在還在12上選B，其它雷同分析。

四十三，雙線頭法則問題

設(shè)做題的數(shù)量為S做對一道得X分做錯一道扣Y分不答不得分

競賽的成績可能值為N令T=（X+Y）/Y

則N={[1+（1+S）]*（1+S）}/2-{[1+（S-T+1）]*（S-T+1）}/2

某次數(shù)學(xué)競賽共有10道選擇題，評分辦法是每一題答對得4分，答錯一道扣2分，不答不得分，設(shè)這次競賽最多有N種可能的成績，則N應(yīng)等于多少？

A、28B、30C、32D、36

【解析】該題是雙線段法則問題【（1＋11）×11÷2】－【（1＋8）×8÷2】＝30

所謂線段法則就是說，一個線段上連兩端的端點算在內(nèi)共計N個點。問這個線段一共可以行成多少線段。計算方法就是（N－1）×N÷2，我看這個題目。我們按照錯誤題目羅列大家就會很清楚了

答對題目數(shù)可能得分40936，34832，30，28728，26，24，22624，22，20，18，16520，18，16，14，12，10416，14，12，10，8，6，4312，10，8，6，4，2，0，－228，6，4，2，0，－2，－4，－6，－84，2，0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，00，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，－16，－18，－20

這樣大家就不難發(fā)現(xiàn)可能得分的情況隨著答對題目數(shù)量的減少，或者說答錯題目的增多。呈現(xiàn)等差數(shù)列的關(guān)系，也就是線段法則的規(guī)律。然后從第7開始出現(xiàn)了重復(fù)數(shù)字的產(chǎn)生。也是隨著題目的答錯數(shù)量的增加而等差增加。這是隱藏的線段法則。所以稱之為雙線段法則應(yīng)用。

回歸倒我一看的題目大家可能要問，后面【】里面的8從什么地方來的？這就是確定重復(fù)位置在哪里的問題。（得分分值＋扣分分值）÷扣分分值＝3即當(dāng)錯3題時開始出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字。也就是隱形線段法則的起始端。10－3＝7就是說從0～8之間有多少個間隔就有多少個重復(fù)組合。

四十四，兩人同向一人逆相遇問題

典型例題：在一條長12米的電線上,紅,藍甲蟲在8:20從左端分別以每分鐘13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黃蟲以每分鐘15厘米的速度從右端向左爬去,紅蟲在什么時刻恰好在藍蟲和黃蟲的中間?A8:55B9:00C9:05D9:10

公式總結(jié)；設(shè)同向的速度分別為AB逆向的為C時間為T則T=A+[（A-B）/2+C]*T=S四十五，往返行程問題的整體求解法

首先兩運動物體除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。

我們可以假設(shè)停留的時間沒有停留，把他計入兩者的總路程中

化靜為動巧求答

例題：1快慢兩車同時從甲乙兩站相對開出，6小時相遇，這時快車離乙站還有240千米，已知慢車從乙站到甲站需行15小時，兩車到站后，快車停留半小時，慢車停留1小時返回，從第一次相遇到返回途中再相遇，經(jīng)過多少小時？

解法：根據(jù)往返相遇問題的特征可知，從第一次相遇到返回途中再相遇，兩車共行的路程為甲乙兩站距離的2倍，假設(shè)快車不在乙站停留小時，慢車不在甲站停留1小時，則兩車從第一次相遇到第二次相遇所行總路程為600×2+60××1=1270（千米），故此期間所經(jīng)時間為1270÷（60+40）=（小時）甲乙兩人同時從東鎮(zhèn)出發(fā)，到相距90千米的西鎮(zhèn)辦事，甲騎自行車每小時行30千米，乙步行每小時行10千米，甲到西鎮(zhèn)用1小時辦完事情沿原路返回，途中與乙相遇。問這時乙走了多少千米？

解法：根據(jù)題意可知甲從東鎮(zhèn)到西鎮(zhèn)，返回時與乙相遇（乙未到西鎮(zhèn)，無返回現(xiàn)象），故兩人所行路程總和為（90×2=）180（千米），但因甲到西鎮(zhèn)用了1小時辦事。倘若甲在這1小時中沒有停步（如到另一地方買東西又回到西鎮(zhèn)，共用1小時），這樣兩人所行總路程應(yīng)為：

90×2+30=210（千米），又因兩人速度和為30+10=40（千米），故可求得相遇時間為：（210÷40=）（小時），則乙行了（10×）

（千米）。甲、乙兩人同時從東西兩鎮(zhèn)相向步行，在距西鎮(zhèn)20千米處兩人相遇，相遇后兩人又繼續(xù)前進。甲至西鎮(zhèn)、乙至東鎮(zhèn)后都立即返回，兩人又在距東鎮(zhèn)15千米處相遇，求東西兩鎮(zhèn)距離？

解法一設(shè)東西兩鎮(zhèn)相距為x千米，由于兩次相遇時間不變，則兩人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：

所以東西兩鎮(zhèn)相距45千米。

解法二緊扣往返行程問題的特征，兩人自出發(fā)至第二次相遇所走路程總和為東西兩鎮(zhèn)距離的3倍，而第一次相遇距西鎮(zhèn)20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，則從出發(fā)至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇時乙已從東鎮(zhèn)返回又走了15千米，所以，兩鎮(zhèn)的距離為（20×3-15=）45（千米）

四十六，行船問題快解

例題：一只游輪從甲港順流而下到乙港，馬上又逆水返回甲港，共用8小時，順?biāo)啃r比逆水每小時多行12千米，前4小時比后4小時多行30千米。甲、乙兩港相距多少千米？解析：30/12=5/2，8-5/2=11/2(12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55四十七，N條線組成三角形的個數(shù)

n條線最多能畫成幾個不重疊的三角形F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)如f（11）＝19四十七，邊長為ABC的小立方體個數(shù)

邊長為ABC的長方體由邊長為1的小立方體組成，一共有abc個小立方體，露在外面的小立方體共有abc－（a－2）（b－2）（c－2）

四十八，測井深問題

用一根繩子測井臺到井水面的深度，把繩子對折后垂到井水面，繩子超過井臺9米；把繩子三折后垂到井水面，繩子超過井臺2米。那么，繩子長多少米?解答：（2*9-3*2）/(3-2)=12

（折數(shù)*余數(shù)-折數(shù)*余數(shù)）/折數(shù)差=高度

繩長=（高度+余數(shù)）*折數(shù)=（12+9）*2=42四十九，分配對象問題

（盈+虧）/分配差=分配對象數(shù)

有一堆螺絲和螺母，若一個螺絲配2個螺母，則多10個螺母；若1個螺絲配3個螺母，則少6個螺母。共有多少個螺絲？()

解析：A，（10+6）/（3-2）=16

若干同學(xué)去劃船，他們租了一些船，若每船4人則多5人，若每船5人則船上空4個坐位，共有()位同學(xué)解析：D，（5+4）/（5-4）=9，4*9+5=41

對頁碼的使用總結(jié)第3篇第一章質(zhì)點運動學(xué)和牛頓運動定律

平均速度v=△r△t瞬時速度v=lim△r△t0△t=drdt速度v=lim△rds△t0△tlim△t0dt平均加速度a=△v△t瞬時加速度（加速度）a=lim△v△t=dvdt△t0a=瞬時加速度rdt=dt2

勻速直線運動質(zhì)點坐標(biāo)x=x0+vt變速運動速度v=v0+at變速運動質(zhì)點坐標(biāo)x=x0+v0t+12at2速度隨坐標(biāo)變化公式:v2-v02=2a(x-x0)自由落體運動

豎直上拋運動

vgty1atvv0gtyvt1gt2v222gy02v2v20拋體運動速度分量vxv0cosavyv0sinagt

拋體運動距離分量xv0cosat1yv0sinat射程X=v20sin2ag

射高Y=v20sin2a2g飛行時間y=xtga—

軌跡方程y=xtga—gx22v22向心加速度a=v2R

圓周運動加速度等于切向加速度與法向加速度矢量

和a=at+an

加速度數(shù)值a=a22tan

法向加速度和勻速圓周運動的向心加速度相同

v2an=R

切向加速度只改變速度的大小at=

dvdt

vdsdtRdΦdtRω角速度ωdφdt

角加速度αdωd2dtφdt2角加速度a與線加速度an、at間的關(guān)系

an=v2(Rω)2RRω2Rat=dvdtRdωdtRα

牛頓第一定律：任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，除非它受到作用力而被迫改變這種狀態(tài)。

牛頓第二定律：物體受到外力作用時，所獲得的加速度a的大小與外力F的大小成正比，與物體的質(zhì)量m成反比；加速度的方向與外力的方向相同。F=ma

牛頓第三定律：若物體A以力F1作用與物體B，則同

時物體B必以力F2作用與物體A；這兩個力的大小相等、方向相反，而且沿同一直線。

萬有引力定律：自然界任何兩質(zhì)點間存在著相互吸引力，其大小與兩質(zhì)點質(zhì)量的乘積成正比，與兩質(zhì)點間的距離的二次方成反比；引力的方向沿兩質(zhì)點的連線

F=Gm1m2r2G為萬有引力稱量=×10-11Nm2/kg2

重力P=mg(g重力加速度)重力P=GMmr2

有上兩式重力加速度g=GMr2(物體的重力加速度與物體本身的質(zhì)量無關(guān)，而緊隨它到地心的距離而變)胡克定律F=—kx(k是比例常數(shù)，稱為彈簧的勁度系數(shù))最大靜摩擦力f最大=μ0N（μ0靜摩擦系數(shù)）

滑動摩擦系數(shù)f=μN(μ滑動摩擦系數(shù)略小于μ0)第二章守恒定律動量P=mv牛頓第二定律F=d(mv)dtdPdt動量定理的微分形式Fdt=mdv=d(mv)F=ma=mdvdtt2v2tFdt＝1vd(mv)＝mv2－mv1

沖量I=t2tFdt

動量定理I=P2－P1

平均沖力F與沖量

t2tFdt=F(t2-t1)

平均沖力F＝ItFdt1mv2mv1t＝t＝

2t12t1t2質(zhì)點系的動量定理(F1+F2)△t=(m1v1+m2v2)—(m1v10+m2v20)

左面為系統(tǒng)所受的外力的總動量，第一項為系統(tǒng)的末動量，二為初動量質(zhì)點系的動量定理：

nnnFi△tmivimivi0

i1i1i作用在系統(tǒng)上的外力的總沖量等于系統(tǒng)總動量的增量

質(zhì)點系的動量守恒定律（系統(tǒng)不受外力或外力矢量和為零）

nnmivi=mivi0=常矢量

i1iLpRmvR圓周運動角動量R為半徑Lpdmvd非圓周運動，d為參考點o到p點的垂直距離

Lmvrsin同上

MFdFrsin

F對參考點的力矩MrF

力矩MdL

dt作用在質(zhì)點上的合外力矩等于質(zhì)點角動量的時間變化率0Ldt如果對于某一固定參考點，質(zhì)點（系）常矢量所受的外力矩的矢量和為零，則此質(zhì)點對于該參考點的角

動量保持不變。質(zhì)點系的角動量守恒定律I2mrii剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量i量Ek12mv物體的動能MI（剛體的合外力矩）剛體在外力矩M的作用下所獲得的角加速度a與外合力矩的大小成正比，并于轉(zhuǎn)動慣量I成反比；這就是剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律。Irdmrdv轉(zhuǎn)動慣量（dv為相應(yīng)質(zhì)元WEkEk0合力對物體所作的功等于物體動能的增量（動能定理）

Wabmg(hahb)重力做的功WabaFdr(b22GMmGMm)()萬有引rarbdm的體積元，p為體積元dv處的密度）LI角動量MIa力做的功

WabaFdrbdL物體所受對某給定軸的合外力矩等dt1122kxakxb彈性力做的功22于物體對該軸的角動量的變化量MdtdL沖量距

W保EpaEpbEp勢能定義

Epmgh重力的勢能表達式EpEpMdtt0tLL0dLLL0II0

GMm萬有引力勢能LI常量WFrcos

WFr力的功等于力沿質(zhì)點位移方向的分量與質(zhì)點位移大小的乘積Wabba(L)12kx彈性勢能表達式W外W內(nèi)EkEk0質(zhì)點系動能的增量等于所有外力的功和內(nèi)力的功的代數(shù)和（質(zhì)點系的動能定理）W外W保內(nèi)W非內(nèi)EkEk0保守內(nèi)力和不保守內(nèi)力

W保內(nèi)Ep0EpEp系統(tǒng)中的保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢能的減少量

W外W非內(nèi)(EkEp)(Ek0Ep0)

EEkEp系統(tǒng)的動能k和勢能p之和稱為系統(tǒng)的機械能

W外W非內(nèi)EE0質(zhì)點系在運動過程中，他的機械能增量等于外力的功和非保守內(nèi)力的功的總和（功能原理）dWbaFdrbaFcosds

(L)(L)Wba(L)Fdrba(L)(F1F2Fn)drW1W2Wn合力的功等于各分力功的代數(shù)和

N功率等于功比上時間

tWdWNlim

t0tdtsFcosvFv瞬時功率NlimFcost0t等于力F與質(zhì)點瞬時速度v的標(biāo)乘積

Wv0mvdvmvmv0功等于動能的增當(dāng)W外0、W非內(nèi)0時，有EEkEp常量如果在一個系統(tǒng)的運動過程中的任意一小段時間內(nèi)，外力對系統(tǒng)所作總功都為零，系統(tǒng)內(nèi)部又沒有非保守內(nèi)力做功，則在運動過程中系統(tǒng)的動能與勢能之和保持不變，即系統(tǒng)的機械能不隨時間改變，這就是機械能守恒定律。12mv2mgh12mv20mgh0重力作用下機械能守恒的一個特例12mv212kx212122mv02kx0彈性力作用下的機械能守恒

第三章氣體動理論

1毫米汞柱等于

1mmHg=1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓等戶760

毫米汞柱1atm=760mmHg=×105Pa熱力學(xué)溫度T=氣體定律P1V1TP2V2常量即PVT=常量

1T2阿付伽德羅定律：在相同的溫度和壓強下，1摩爾的任何氣體所占據(jù)的體積都相同。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，即壓強P0=1atm、溫度T0=時，1摩爾的任何氣體體積均為v0=L/mol羅常量Na=１０２３mol-1

普適氣體常量RP0v0T

國際單位制為：0J/()

壓強用大氣壓，體積用升×10-2()

理想氣體的狀態(tài)方程：PV=

MMRT

M(質(zhì)molMmol量為M，摩爾質(zhì)量為Mmol的氣體中包含的摩爾數(shù))(R為與氣體無關(guān)的普適常量，稱為普適氣體常量)理想氣體壓強公式P=1mnv2N3(n=

V為單位體積中的平均分字?jǐn)?shù)，稱為分子數(shù)密度；m為每個分子的質(zhì)量，v為分子熱運動的速率)

MRTMNmRTNRTnkT(nNmolVNAmVVNAV為氣體分子密度，R和NA都是普適常量，二者之比稱為波爾茲常量k=

RN1023J/K氣體動理論溫度公式：平均動能3t2kT(平均動能只與溫度有關(guān))

完全確定一個物體在一個空間的位置所需的獨立坐

標(biāo)數(shù)目，稱為這個物體運動的自由度。雙原子分子共有五個自由度，其中三個是平動自由度，兩個適轉(zhuǎn)動自由度，三原子或多原子分子，共有六個自由度）

分子自由度數(shù)越大，其熱運動平均動能越大。每個具有相同的品均動能

12kTti2kT

i為自由度數(shù)，上面3/2為一個原子分子自由度1摩爾理想氣體的內(nèi)能為：E0=NA12NiAkT2RT質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為Mmol的理想氣體能能為E=EMMi0ME0MRT

molmol2氣體分子熱運動速率的三種統(tǒng)計平均值

最概然速率(就是與速率分布曲線的極大值所對應(yīng)哦速率，物理意義：速率在p附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)百分比最大）p2kTm（溫度越高，p越大，分子質(zhì)量m越大p）

因為k=NA和mNA=Mmol所以上式可表示為RTp2kT2RTm2mNAM平均速率v8kTm8RTM方均根速率v23RTMmolMmol

三種速率，方均根速率最大，平均速率次之，最概速率最?。辉谟懻撍俾史植紩r用最概然速率，計算分子運動通過的平均距離時用平均速率，計算分子的平均平動動能時用分均根

第四章熱力學(xué)基礎(chǔ)

熱力學(xué)第一定律：熱力學(xué)系統(tǒng)從平衡狀態(tài)1向狀態(tài)2的變化中，外界對系統(tǒng)所做的功W’和外界傳給系統(tǒng)的熱量Q二者之和是恒定的，等于系統(tǒng)內(nèi)能的改變E2-E1

W’+Q=E2-E1

Q=E2-E1+W注意這里為W同一過程中系統(tǒng)對外

界所做的功（Q>0系統(tǒng)從外界吸收熱量；Q<0表示系統(tǒng)向外界放出熱量；W>0系統(tǒng)對外界做正功；W<0系統(tǒng)對外界做負(fù)功）

dQ=dE+dW（系統(tǒng)從外界吸收微小熱量dQ，內(nèi)能

增加微小兩dE,對外界做微量功dW

平衡過程功的計算dW=PSdl=PdV

V2VPdV

平衡過程中熱量的計算Q=

MMC(T2T1)(C為摩mol爾熱容量，1摩爾物質(zhì)溫度改變1度所吸收或放出的熱量)等壓過程：QpMCp(T2T1)定壓摩爾熱容量MmolMCv(T2T1)

定容摩爾熱容Mmol量

只有一部分用等容過程：Qv于增加系統(tǒng)的內(nèi)能，其余部分對于外部功）

內(nèi)能增量E2-E1=

MiR(T2T1)

CpCvR（1摩爾理想氣體在等壓過程溫度升

高1度時比在等容過程中要多吸收焦耳的熱量，用來轉(zhuǎn)化為體積膨脹時對外所做的功，由此可見，普適氣體常量R的物理意義：1摩爾理想氣體在等壓過程中升溫1度對外界所做的功。）

泊松比

MidERdTMmol2

等容過程常量或12

TMmolVT1T2MCv(T2T1)等容過程系統(tǒng)Mmol不對外界做功；等容過程內(nèi)能變化

等壓過程Qv=E2-E1=

CpCv

Cv

ii2RCpR22CpCvi2i溫

VVVMR常量或12TMmolPT1T2MR(T2T1)MmolPVMRT常量或P1V1P2V2WV2V1PdVP(V2V1)WP1V1lnV2VM或WRTln2QPE2E1W(等壓膨脹過程中，系統(tǒng)從外界

吸收的熱量中

等溫過程熱容量計算：QTW（全部轉(zhuǎn)化為功）

參數(shù)都變化PV常量或P1V1P2V2

絕熱過程的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系WP1V111(V1r1V)2WMMCv(T2T1)根據(jù)已知量求絕熱過程mol的功

W循環(huán)=Q1Q

2Q2為熱機循環(huán)中放給外界的熱量

熱機循環(huán)效率W循環(huán)Q（Q1一個循環(huán)從高溫?zé)?庫吸收的熱量有多少轉(zhuǎn)化為有用的功）Q1Q2Q1Q2

（不可能把所有的1Q<11熱量都轉(zhuǎn)化為功）制冷系數(shù)Q2QW'2循環(huán)Q(Q2為從低溫?zé)?Q2庫中吸收的熱量)第五章靜電場

庫侖定律：真空中兩個靜止的點電荷之間相互作用的靜電力F的大小與它們的帶電量q1、q2的乘積成正比，與它們之間的距離r的二次方成反比，作用力的方向沿著兩個點電荷的連線。F1q1q24

0r2基元電荷：e=1019C

；0真空電容率=1012;14=109

F1q1q242r?庫侖定律的適量形式場強EFqEFqQ4r

r為位矢電場強度疊加原理（矢量和）

電偶極子（大小相等電荷相反）場強E1P4r3電0偶極距P=ql

電荷連續(xù)分布的任意帶電體EdE1dq4?0r2r均勻帶點細直棒dExdEcosdx42cosdEdxydEsin42sin4r(sinsina)i(cosasos)j無限長直棒E2rj

EdEdS在電場中任一點附近穿過場強方向的單位面積的電場線數(shù)

電通量dEEdSEdScosdEEdSEdEsEdS

EsEdS

封閉曲面

高斯定理：在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意封閉曲面的電

通量等于該封閉曲面所包圍的電荷的電量的代數(shù)和的1

SEdS1q

若連續(xù)分布在帶電體上0=1Qdq

E1Q4r2r?（rR)均勻帶點球就像電荷都集0中在球心

E=0(r均勻帶點球殼內(nèi)部場強處處為零

E2無限大均勻帶點平面（場強大小與到帶0點平面的距離無關(guān)，垂直向外（正電荷））

4(1)電場力所作的功LEdl0

靜電場力沿閉合路徑所做的功為零（靜電場場強的環(huán)流恒等于零）

電勢差UbabUaUbaEdl

電勢Ua無限遠aEdl注意電勢零點

AabqUabq(UaUb)電場力所做的功UQ4r帶點量為Q的點電荷的電場中的電0r?勢分布，很多電荷時代數(shù)疊加,注意為rnUqia4電勢的疊加原理

i1UdqaQ4電荷連續(xù)分布的帶電體的0r電勢

UP40r3r?電偶極子電勢分布，r為位矢，P=ql

UQ半徑為R的均勻帶電Q圓

4220(Rx)12環(huán)軸線上各點的電勢分布

W=qU一個電荷靜電勢能，電量與電勢的乘積

E或0E靜電場中導(dǎo)體表面場強CqU孤立導(dǎo)體的電容U=

Q4孤立導(dǎo)體球

0RC40R孤立導(dǎo)體的電容CqUU兩個極板的電容器電容

1CqU0S平行板電容器電容

1CQ20LUln(R圓柱形電容器電容R2是大2R1)的

UU電介質(zhì)對電場的影響

CrCU相對電容率Cr0SrC0dd

=r0叫這種電介質(zhì)的電容率（介電系數(shù)）（充滿電解質(zhì)后，電容器的電容增大為真空時電容的r倍。）（平行板電容器）

EE0在平行板電容器的兩極板間充滿各項同

r性均勻電解質(zhì)后，兩板間的電勢差和場強都減小到板間為真空時的1r

E=E0+E/電解質(zhì)內(nèi)的電場（省去幾個）

DE32半徑為R的均勻帶點球放在相0rr對電容率r的油中，球外電場分布

WQ22C12QU12CU2電容器儲能第六章穩(wěn)恒電流的磁場

Idqdt

電流強度（單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體任一橫截面的電量）

jdIdS?j

電流密度（安/米2）

垂直ISjdcosSjdS電流強度等于通過S的電流密度的通量

SjdSdqdt電流的連續(xù)性方程SjdS=0電流密度j不與與時間無關(guān)稱穩(wěn)恒電流，電場稱穩(wěn)恒電場。

EKdl電源的電動勢（自負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到正極的方向為電動勢的正方向）

LEKdl電動勢的大小等于單位正電荷繞閉合回路移動一周時非靜電力所做的功。在電源外部Ek=0時，就成了

BFmaxqv磁感應(yīng)強度大小畢奧-薩伐爾定律：電流元Idl在空間某點P產(chǎn)生的磁感應(yīng)輕度dB的大小與電流元Idl的大小成正比，與電流元和電流元到P電的位矢r

之間的夾角的正弦成正比，與電流元到P點的距離r的二次方成反比。

dB0Idlsin4r204為比例系數(shù)，04107TmA為真空磁導(dǎo)率

B0Idlsin4r20I4R(con1cos2)載流直導(dǎo)線的磁場（R為點到導(dǎo)線的垂直距離）

B0I4R點恰好在導(dǎo)線的一端且導(dǎo)線很長的情況

B0I2R

導(dǎo)線很長，點正好在導(dǎo)線的中部B0IR22(R22)32圓形載流線圈軸線上的磁場分布

B0I2R在圓形載流線圈的圓心處，即x=0時磁場分布

B0IS2x3在很遠處時平面載流線圈的磁場也常用磁矩Pm，定義為線圈中的電

流I與線圈所包圍的面積的乘積。磁矩的方向與線圈的平面的法線方向相同。

PmISnn表示法線正方向的單位矢量。PmNISn線圈有N匝

B02Pm4x3圓形與非圓形平面載流線圈的磁場（離線圈較遠時才適用）

B0I4R扇形導(dǎo)線圓心處的磁場強度

LR為圓弧所對的圓心角（弧度）

IQ△tnqvS運動電荷的電流強度

B0qvr?4r2運動電荷單個電荷在距離r處產(chǎn)生的磁場

dBcosdsBdS磁感應(yīng)強度，簡稱磁通量（單位韋伯Wb）

mSBdS通過任一曲面S的總磁通量

SBdS0通過閉合曲面的總磁通量等于零

LBdl0I磁感應(yīng)強度B沿任意閉合路徑L的積分

LBdl0I內(nèi)在穩(wěn)恒電流的磁場中，磁感應(yīng)強度沿任意閉合路徑的環(huán)路積分，等于這