高中數(shù)學第4講第1課時數(shù)學歸納法課件新人教A版選修4-5

第1課時數(shù)學歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)證明當_____________時，命題成立；(2)假設當___________________時，命題成立，證明當________時，命題也成立．綜上(1)，(2)知，對任意的正整數(shù)n≥n0，命題都成立．這種證明方法稱為____________．n＝n0

n＝k(k≥n0，k∈N*)

n＝k＋1

數(shù)學歸納法

3．(2017年合肥期中)一個關于自然數(shù)n的命題，如果驗證當n＝1時命題成立，并在假設當n＝k(k≥1且k∈N*)時命題成立的基礎上，證明了當n＝k＋2時命題成立，那么綜合上述，則(

)A．一切正整數(shù)命題成立 B．一切正奇數(shù)命題成立C．一切正偶數(shù)命題成立 D．以上都不對【答案】B

【解析】可以推出對n＝1,3,5,7，…，命題都成立，即命題對一切正奇數(shù)成立．故選B．用數(shù)學歸納法證明等式【解題探究】(1)這是一個與正整數(shù)有關的恒等式問題，用數(shù)學歸納法證明時，要嚴格按兩步來證明，缺一不可．(2)用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的一些等式，關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由n＝k到n＝k＋1時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項．

(1)在本例證明過程中，步驟①考慮“n取第一個值的命題形式”時，需認真對待，一般情況是把第一個值代入通項，考察命題的真假；步驟②在由n＝k到n＝k＋1的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法．

(1)在本例證明過程中，步驟①考慮“n取第一個值的命題形式”時，需認真對待，一般情況是把第一個值代入通項，考察命題的真假；步驟②在由n＝k到n＝k＋1的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法．(2)在步驟②的證明過程中，突出了兩個“湊”字，一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是明確n＝k＋1時證明的目標，充分考慮由n＝k到n＝k＋1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系．【例2】用數(shù)學歸納法證明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．【解題探究】這是一個與整除有關的命題，用數(shù)學歸納法證明時，第一步應該證n＝1時命題成立，第二步要明確目標，即在假設(3k＋1)·7k－1能被9整除的前提下，證明[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1也能被9整除．用數(shù)學歸納法證明整除問題

證明整除性問題的關鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出n＝k時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證．2．用數(shù)學歸納法證明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．【證明】(1)當n＝1時，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，顯然命題成立．(2)假設n＝k(k∈N*，k≥1)時，命題成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，則當n＝k＋1時，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3)．由假設可知上式可被x2＋3x＋3整除，即n＝k＋1時命題成立．由(1)(2)可知，原命題成立．【例3】平面內有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這n個圓將平面分成n2－n＋2個部分．【解題探究】這是一個與幾何有關的命題，用數(shù)學歸納法證明時，難點在于幾何元素從k個變成k＋1個時，所證的幾何量將增加多少．用數(shù)學歸納法證明幾何問題

用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k＋1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，可以先從有限個圓的情形中，歸納出所證幾何量的增加量．在實在分析不出來的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何命題的一大技巧．1．用數(shù)學歸納法證明時，要嚴格按兩步來證明，缺一不可．2．數(shù)學歸納法證明的原理為無限自動遞推，故證n＝k＋1時，須將假設結論作為條件，參與證明．3．運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等．4．數(shù)學歸納法證明的關鍵是明確n＝k＋1時證明的目標，充分考慮由n＝k到n＝k＋1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞

用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k＋1個時，所證