甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆高三第三次診斷考試數(shù)學(xué)試題及答案

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.3.內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象大致為（）A. B. C. D.5.已知，則最小值是（）A.1 B. C. D.106.若，則等于（）.A. B. C. D.7.點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A B. C. D.8.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，都有，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A， B.，C.， D.方程的實根有三個10.下列等式中正確的是（）A. B.C. D.11.若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.412.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（）A.是函數(shù)圖象的一個對稱中心B.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖像可由的圖象向左平移個單位得到第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與曲線相切，則_________．14.若，則______．15.△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為，則______．16.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則不等式的解集為________.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（Ⅱ）若當(dāng)時，關(guān)于的不等式______，求實數(shù)的取值范圍．請選擇①和②中的一個條件，補全問題（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．18.如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面積；（2）求邊AC的長.19.已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若,且成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，若數(shù)列前n項和，證明.20.已知等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當(dāng)數(shù)列為正項數(shù)列時，若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，試比較與的大小．21.若函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的極值點并求出函數(shù)的極值.22.已知函數(shù)，其中．（1）討論單調(diào)性；（2）若，，求的最大值．2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的運算求解即可.【詳解】由解得：，得集合，又，，從而.故選:B．2.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出等式右側(cè)復(fù)數(shù)的模，然后表示出復(fù)數(shù)z，再化簡變形求得結(jié)果.【詳解】由已知，可得，∴.故選：C．3.內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理角化邊整理可得.【詳解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C4.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值的求解進(jìn)行判斷即可.【詳解】，，則故為偶函數(shù)，排除C、D；又時，，排除A故選：B5.已知，則的最小值是（）A.1 B. C. D.10【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：，即且，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6.若，則等于（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，利用誘導(dǎo)公式得到，再由，利用二倍角公式求解.【詳解】因為，所以，所以，故選：A7.點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】動點在曲線，則找出曲線上某點的斜率與直線的斜率相等的點為距離最小的點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域為：對求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時，，則此時該點到直線的距離為最小根據(jù)點到直線的距離公式可得：解得：故選：A8.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，都有，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)偶函數(shù)可得原不等式等價于，再根據(jù)單調(diào)性解不等式.【詳解】因為是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以不等式等價于，即，解得或，所以滿足的x的取值范圍是．故選：B．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.， B.，C.， D.方程的實根有三個【答案】CD【解析】【分析】利用命題的定義，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)求解即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，因為，所以，所以，故A錯誤；對于B，由反函數(shù)的性質(zhì)可知，由于與的圖象關(guān)于對稱，且的圖象恒在圖象的下方，所以恒成立，故B錯誤；對于C，，，即恒成立，故C正確；對于D，與有且僅有三個交點，故D正確.故選:CD.10.下列等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】A選項，逆用正弦倍角公式進(jìn)行求解；B選項，逆用余弦二倍角公式計算；C選項，逆用正切差角公式進(jìn)行求解；D選項，逆用正弦和角公式計算.【詳解】A選項，，A正確；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D錯誤.故選：ABC11.若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BCD【解析】【分析】分離參數(shù)，函數(shù)有2個零點等價于在時，有兩個解，判斷函數(shù)的圖像即可.【詳解】函數(shù)有2個零點等價于在時，直線與有2個交點，，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在x=1處，取得最小值=1，圖像如下：若與有2個交點，則；故選：BCD.12.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（）A.是函數(shù)圖象的一個對稱中心B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖像可由的圖象向左平移個單位得到【答案】AD【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)，的部分圖像，可得，結(jié)合五點法作圖可得，，故函數(shù)．令，求得，可得，是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故A正確；令，求得，不是最值，可得不是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B錯誤；在區(qū)間，上，，，函數(shù)沒有單調(diào)性，故C錯誤；由的圖象向左平移個單位，可得的圖象，故D正確，故選：AD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與曲線相切，則_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可推導(dǎo)得到，根據(jù)切點坐標(biāo)同時滿足直線與曲線方程可構(gòu)造方程求得，代入可得結(jié)果.詳解】設(shè)直線與曲線相切于點，由得：，，，又，，解得：，.故答案為：.14.若，則______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正余弦公式展開后，根據(jù)弦化切的思想求解.【詳解】因為，所以．故答案為：15.△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為，則______．【答案】##【解析】【分析】因本題求角，則△ABC的面積，整理得，代入計算．【詳解】由題意可得，則可得∴故答案為：．16.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則不等式的解集為________.【答案】【解析】【分析】令，對其求導(dǎo)，由時，，可知，從而在上單調(diào)遞減，由奇偶性，可得是定義域上的偶函數(shù)，從而可得出在上的單調(diào)性，再結(jié)合，可求出的解集.【詳解】由題意，令，則，因為時，，則，故在上單調(diào)遞減，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即是上的偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，可知在上單調(diào)遞增，且，所以時，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式的解集，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)的單調(diào)性.本題通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并結(jié)合當(dāng)時，，可求出函數(shù)在上的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性，可求出在定義域上的單調(diào)性.考查了學(xué)生的運算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（Ⅱ）若當(dāng)時，關(guān)于的不等式______，求實數(shù)的取值范圍．請選擇①和②中的一個條件，補全問題（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為：，；；（Ⅱ）答案見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先將函數(shù)整理，得到，利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，即可求出其單調(diào)遞增區(qū)間與最小正周期；（Ⅱ）若選①，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，即可得出結(jié)果；若選②，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在給定區(qū)間的最小值，即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）解：因為．所以函數(shù)的最小正周期；因為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，所以，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；（Ⅱ）解：若選擇①由題意可知，不等式有解，即；因為，所以，故當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為，所以；若選擇②由題意可知，不等式恒成立，即．因為，所以．故當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為．所以．【點睛】思路點睛：求解三角函數(shù)最值問題時，一般需要根據(jù)三角恒等變換將函數(shù)化簡整理，化為正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.18.如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面積；（2）求邊AC的長.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面積公式即可求解；（2）由正弦定理即可求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，則，；（2）在中，由正弦定理得，即，解得.19.已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若,且成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，若數(shù)列前n項和，證明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】【詳解】試題分析：(1)利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)及等差數(shù)列的前項和求出首項和公差,進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式;(2)利用裂項相消法求和,求得（Ⅰ）由題意知：解，故數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則點睛：本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和方法（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列加等比數(shù)列，（2）裂項相消法求和，一般如等的形式，（3）錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，（4）倒序相加法求和，一般距首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和和倒著寫和，兩式相加除以2得到數(shù)列求和,(5)或是具有某些規(guī)律求和.20.已知等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當(dāng)數(shù)列為正項數(shù)列時，若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，試比較與的大小．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列，，且成等差數(shù)列，利用“”求解；（2）由（1）題得，則，利用分組求和得到=，再利用作差法比較與的大?。拘?詳解】解：記的公比為，由可得，解得或，又由，可得，即，當(dāng)時，可解得，此時有當(dāng)時，可解得，此時有綜上，數(shù)列的通項公式為或.【小問2詳解】由（1）知：，則，從而，，由，故．21.若函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的極值點并求出函數(shù)的極值.【答案】（1）（2）當(dāng)時，有極大值，當(dāng)時，有極小值【解析】【分析】(1)先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),然后根據(jù),可求出的值,進(jìn)而確定函數(shù)的解析式.

(2)根據(jù)(1)中解析式然后求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出的值,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系,確定出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到函數(shù)的極值;【詳解】(1)因為，由題意知，解得，

所以所求的解析式為;

(2)由(1)可得，

令,得或,則當(dāng)或時,，在和單調(diào)遞增；當(dāng)時,，在單調(diào)遞減,

因此,當(dāng)時,有極大值,

當(dāng)時,有極小值;所以當(dāng)時，有極大值，當(dāng)時，有極小值?！军c睛】本題考查運用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，研究函數(shù)的極值和函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)的性質(zhì)，在求函數(shù)的極值，一定需得出在極值點兩旁的單調(diào)性是不一致的，