中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)構(gòu)觀

第一篇中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)觀的基本理論

第一章基本理論的結(jié)構(gòu)框架

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的結(jié)構(gòu)觀既不等同于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)觀，也不同于課堂教學(xué)的結(jié)構(gòu)觀。

它與知識(shí)的結(jié)構(gòu)、課堂的結(jié)構(gòu)都有著緊密的聯(lián)系。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，系統(tǒng)

化無疑是教學(xué)論中一條極其重要的原則。無論從知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、變化、演繹的過程來看，

還是從知識(shí)在運(yùn)用中從單一到綜合，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的辯證關(guān)系看，都始終存在著一種相對(duì)的

知識(shí)系統(tǒng)的關(guān)系，都必須以依附于一定的規(guī)律為前提，那么作為對(duì)知識(shí)講授的課堂教學(xué)，如

何將知識(shí)與方法的教學(xué)與課堂的結(jié)構(gòu)緊密的的結(jié)合在一起，使得我們的教學(xué)達(dá)到最優(yōu)化，這

是我們不得不考慮的問題。數(shù)學(xué)教師，對(duì)教學(xué)改革的重要之點(diǎn)，就是應(yīng)在實(shí)踐過程中，努力

去研究和探討這種知識(shí)與教學(xué)之間系統(tǒng)關(guān)系及規(guī)律性，以使我們?cè)诮虒W(xué)中，無論是從宏觀上

還是在每一個(gè)具體問題上，都能立于一種較高的觀點(diǎn)和較新的思想之下。

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下面，我們用集合論與系統(tǒng)論的觀點(diǎn)，對(duì)“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)”給予如下的描述：

設(shè)全集1=知識(shí)結(jié)構(gòu)，把I中的元素a（知識(shí)點(diǎn)）按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，劃分成不同系統(tǒng)，

記為Ai（i=l,2,3,…，且允許Ai存在子系統(tǒng)）.顯然Ayl，I=Ai|j2U…。我們有

（1）系統(tǒng)Ai具有把I中某些元素吸附到本系統(tǒng)之中的性質(zhì)，我們稱為系統(tǒng)的“可

凝聚性”。

（2）I中的元素具有依附到某些特定系統(tǒng)之中的性質(zhì)，我們稱為元素的“可從屬

性”。

（3）由于系統(tǒng)的可凝聚性及元素的可從屬性，顯然I中系統(tǒng)Ai并非孤立的，它們

可望通過元素出在不同系統(tǒng)中出現(xiàn)而形成特定的有機(jī)結(jié)合，我們稱為系統(tǒng)的

“可結(jié)合性:為了刻劃各系統(tǒng)結(jié)合的程度，我們用P=（AipAj）（n）表示

它們結(jié)合的度數(shù)，即兩系統(tǒng)間的共同知識(shí)越多（元素越多），則P值越大，

此時(shí)Ai與Aj結(jié)合的程度越高。

通過以上的描述，我們將要研究知識(shí)結(jié)構(gòu)及各類系統(tǒng)的功能作用這個(gè)重要問題。

無疑，知識(shí)點(diǎn)在相關(guān)的系統(tǒng)中都具有其特定的功能（例如一元二次方程根的判別式在代

數(shù)方程系統(tǒng)中，具有判定一元二次方程有無實(shí)根的功能）。顯然，知識(shí)點(diǎn)功能的大小取決于

它在各系統(tǒng)中出現(xiàn)的頻率，即其可從屬性越大，那么功能也越大，反之亦真。但我們卻不能

簡(jiǎn)單地認(rèn)為Ai的功能是其元素看的功能和。因?yàn)樗δ艿拇笮∵€取決于它與別系統(tǒng)的結(jié)合

度數(shù)。加之我們對(duì)問題探討的不斷深入和認(rèn)識(shí)的不斷提高，系統(tǒng)的功能與元素的功能也會(huì)不

斷的變化和加強(qiáng)。

為此，如何把知識(shí)歸類和系統(tǒng)化，以正確體現(xiàn)和深刻揭示系統(tǒng)的功能就成為教學(xué)中應(yīng)該

著意思考的問題之一。

1.加強(qiáng)對(duì)知識(shí)發(fā)生、演變、深化過程的教學(xué)，使新的知識(shí)點(diǎn)迅速地納入原有的知識(shí)網(wǎng)

絡(luò)以形成新的系統(tǒng)，這不僅是復(fù)習(xí)課應(yīng)考慮的問題，也是任何其它類型的課應(yīng)遵循的原則。

例如關(guān)于不等式性質(zhì)的教學(xué)，其理論是實(shí)數(shù)的性質(zhì)和實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)："a—b>Ooa>b。"

這里，a-b是實(shí)數(shù)運(yùn)算，a—b>0是實(shí)數(shù)的性質(zhì)，a>b是實(shí)數(shù)的大小比較，它們之間的銜

接是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。在不等式的教學(xué)中，立足于實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和實(shí)數(shù)的性質(zhì)，就可較為成

功地引出相關(guān)的不等式性質(zhì)。學(xué)生既不會(huì)感到突然和不易理解，同時(shí)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，系統(tǒng)化

也明顯地得以加強(qiáng)和擴(kuò)展。教學(xué)表明，用這樣的思想方法處理教材，是突破難點(diǎn)的有效手段。

當(dāng)然，對(duì)教師就有一個(gè)如何設(shè)計(jì)課堂結(jié)構(gòu)，如何抓住基礎(chǔ)的問題。

我們還需指出的是，任何知識(shí)點(diǎn)除具有可從屬性之外，也必然存在反映其本質(zhì)的特定性,

這也是不同的知識(shí)點(diǎn)（甚至同一系統(tǒng)中）相互有別的標(biāo)志.一個(gè)科學(xué)的完整的知識(shí)系統(tǒng)的建

立與此息息相關(guān)。例如反三角函數(shù)，它作為一種從屬于三角函數(shù)的系統(tǒng)，但又以其特定的“區(qū)

間性”區(qū)別于其它的角（這是反三角函數(shù)存在的條件）。這就是它的本質(zhì)特征。在教學(xué)中，

如果不從它的從屬性和特定性兩個(gè)方面充分地展示知識(shí)點(diǎn)的形成過程，那么又如何能夠有效

發(fā)揮它的功能呢？

2.加強(qiáng)對(duì)知識(shí)可從屬性的教學(xué)

在教學(xué)中如何體現(xiàn)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)會(huì)知識(shí)的可從屬性,不僅是教師能力強(qiáng)弱的重要

標(biāo)志，也是教師把握知識(shí)結(jié)構(gòu)能力高低的重要標(biāo)志，同時(shí)還會(huì)直接影響學(xué)生接受知識(shí)和運(yùn)用

知識(shí)的深刻性，如一元二次方程根的判別式及其根與系數(shù)的關(guān)系，在方程系統(tǒng)中的解決方程

的根的性質(zhì)為其功能。隨著教學(xué)的不斷深入，知識(shí)的不斷積累，其可從屬性也逐漸加強(qiáng)。在

代數(shù)中，函數(shù)的圖象，值域的有關(guān)問題，不等式的證明，解析幾何中曲線的位置關(guān)系，交點(diǎn)

的個(gè)數(shù)，弦長(zhǎng)，參數(shù)方程等均出現(xiàn)其滲透的例證。因而，教學(xué)的過程既是一個(gè)知識(shí)如何獲得

的過程，也是將知識(shí)不斷進(jìn)行分類、整理、歸并和發(fā)展的過程，這就對(duì)教師如何引導(dǎo)學(xué)生類

比、聯(lián)想、分析、綜合提出了較高的要求。因?yàn)橹R(shí)的可從屬性從根本上看，正是知識(shí)的內(nèi)

涵和外延深刻反映的表象。

3.加強(qiáng)知識(shí)系統(tǒng)間可結(jié)合性的教學(xué)

知識(shí)系統(tǒng)的可結(jié)合性正是系統(tǒng)中元素可從屬性的反映，它的結(jié)合度數(shù)的高低，實(shí)質(zhì)是其

元素橫向滲透能力的表現(xiàn)，一些看來孤立的知識(shí)點(diǎn)，由于不斷出現(xiàn)新的從屬關(guān)系而產(chǎn)生新的

功能，這些新的功能正是系統(tǒng)可結(jié)合性的反映，這些知識(shí)點(diǎn)由于它的多重屬性，作為連接知

識(shí)系統(tǒng)的橋梁，分別作用于其從屬系統(tǒng)，一方面使各知識(shí)系統(tǒng)不斷更新和發(fā)展，另一方面促

進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)向更高層次進(jìn)化。例如復(fù)數(shù)一章的教學(xué)，由于復(fù)數(shù)可用復(fù)平面上的點(diǎn)、有向線段

及三角形式、代數(shù)形式表示，因而就使得復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)緊密地從屬于平面幾何，解析幾何、

三角和代數(shù)的特定系統(tǒng)之中，反之，又產(chǎn)生復(fù)數(shù)在平幾、解幾、三角和代數(shù)等問題中應(yīng)用的

現(xiàn)象，這正是知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化鮮明而生動(dòng)的例證。

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前面我們已經(jīng)論述到知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)系統(tǒng)的形成和功能。作為對(duì)問題的進(jìn)一步探討，應(yīng)

該研究的是結(jié)構(gòu)中的知識(shí)點(diǎn)是通過什么樣的途徑和方式形成并產(chǎn)生從屬作用的？又是如何

相互發(fā)生關(guān)系而形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的呢？它們?cè)诮鉀Q問題的過程中是如何產(chǎn)生特定的功能作用

的呢?這里，不能不涉及到三個(gè)重要的問題：即學(xué)科思想、數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)方法。

1.它們互相間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系

學(xué)科思想，指的是對(duì)知識(shí)系統(tǒng)構(gòu)成的基本方式，和解決問題時(shí)的一般方式、原則的一種

指導(dǎo)思想。作為思想，它滲透到學(xué)科知識(shí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)之中。例如，解析幾何就是用代數(shù)方

法去研究平面幾何圖形的大小、位置關(guān)系及性質(zhì)的一門學(xué)科，這就是對(duì)解析幾何準(zhǔn)確理解和

把握的指導(dǎo)思想。其系統(tǒng)連接的基本方式是用方程和數(shù)式的變形去處理各種幾何圖形的性

質(zhì)、變化和相互關(guān)系。

關(guān)于數(shù)學(xué)思維方法與數(shù)學(xué)方法有人統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)方法。我們覺得這似乎不盡準(zhǔn)確，至少對(duì)

我們論述問題是不方便的。事實(shí)上，數(shù)學(xué)方法指的是解決數(shù)學(xué)問題的特定方法（如待定系數(shù)

法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、圖象法等）。其實(shí)質(zhì)為一種手段。而數(shù)學(xué)思維方法則屬于思維學(xué)

科的范疇，它實(shí)質(zhì)是尋找數(shù)學(xué)方法之“方法”，（如特殊與一般，猜想與論證，解題方法的策

略與原則等），它不是手段，而是手段產(chǎn)生前的一種更高層次的心智活動(dòng)。

為表明學(xué)科思想、知識(shí)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)思維方法及數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)系，我們給出的如下的

框圖展現(xiàn)它們間的網(wǎng)絡(luò)連接:

從圖可知，數(shù)學(xué)思維方法起到連接三者的樞紐作用，而學(xué)科思想則起到指導(dǎo)作用

2.學(xué)科思想和數(shù)學(xué)思維方法對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的作用

我們認(rèn)為不同知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的演變、發(fā)展并不都是同一條件下的模

式。它們完全取決于學(xué)科思想的確立及思維活動(dòng)展開的程度。例如，在解析幾何中，平面上

的點(diǎn)可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示，那么作為平面上點(diǎn)的特定集合一一直線，能否用數(shù)對(duì)

（x,y）的定量關(guān)系來描述呢？正是由于學(xué)科思想的指導(dǎo)性，萌動(dòng)了我們?nèi)パ芯恐本€方程的

動(dòng)機(jī)，而在直線方程的尋求過程中，通過了類比思維方式，即點(diǎn)在直線上，它必然滿足（存

在）某種特定的關(guān)系（反映在代數(shù)上，是點(diǎn)的坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系）。從而逐步完成了對(duì)直線

方程的研究，形成新的知識(shí)點(diǎn)，并從屬于已有的解析幾何知識(shí)系統(tǒng)，使系統(tǒng)得以擴(kuò)展和豐富。

而對(duì)二次曲線的研究也完全運(yùn)用同一思想。這充分說明一個(gè)準(zhǔn)確的學(xué)科思想對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)形成

的作用。而這個(gè)指導(dǎo)作用則是通過思維方法來實(shí)現(xiàn)的。

3.學(xué)科思想和數(shù)學(xué)思維方法對(duì)數(shù)學(xué)方法的作用

數(shù)學(xué)思維方法，在教學(xué)中，體現(xiàn)在對(duì)思維規(guī)律的充分揭示上。學(xué)科思想和思維方法不僅

僅對(duì)知識(shí)點(diǎn)的形成，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展起到指導(dǎo)和橋梁作用，同時(shí)，還在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，顯

示其無比活力和選擇最佳數(shù)學(xué)方法的決策功能。例如，在數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)中，處理平面圖

形的有關(guān)問題是一個(gè)難點(diǎn)。如，有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不

相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成茁一n+2個(gè)部分。

為突破難點(diǎn)，我們首先應(yīng)該聯(lián)想平幾的有關(guān)知識(shí)。平幾的基本元素是點(diǎn)和線。正是由于

點(diǎn)和線的位置、數(shù)量的變化，構(gòu)成了豐富多彩的幾何圖形，并引起幾何圖形性質(zhì)的變化，這

是平面幾何學(xué)科思想的體現(xiàn)，為此，當(dāng)圓的個(gè)數(shù)從k個(gè)增加到k+1個(gè)時(shí)，必然影響到平面

上點(diǎn)（交點(diǎn)）的數(shù)量變化，而交點(diǎn)的數(shù)量變化有引起所截得的弧的變化，進(jìn)而引起平面塊數(shù)

的變化。因而，考慮“增加一個(gè)圓后，交點(diǎn)個(gè)數(shù)的改變量和截得弧的條數(shù)的改變量就成為突

破難點(diǎn)的關(guān)鍵所在。為更直觀，更簡(jiǎn)便起見，不妨先看k=2（甚至是k=l）時(shí)，這樣情況

就十分明顯了。學(xué)生在引導(dǎo)下，通過觀察（情況簡(jiǎn)單，易于觀察），馬上發(fā)現(xiàn)增加的交點(diǎn)數(shù)

與增加的平面塊數(shù)完全一樣。由此抽象到k+1個(gè)時(shí)，問題也會(huì)迎刃而解。顯見，學(xué)科思想

和數(shù)學(xué)思維方法對(duì)問題的解決產(chǎn)生了決策性的作用。

需要一提的是，各類參考書都幾乎一致認(rèn)為，一題多解是溝通各種知識(shí)間的關(guān)系，使學(xué)

生掌握各種數(shù)學(xué)方法，訓(xùn)練思維靈活性的好途徑，誠然，我們不否認(rèn)它的作用，但僅僅是為

了尋找盡可能多的解法嗎？既然找到了解決問題的途徑，是什么原因促使你再去尋找別的解

法呢？這新的解法又是如何找到呢？看來,很有必要提及數(shù)學(xué)思維方法對(duì)數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生和對(duì)

最佳數(shù)學(xué)方法選擇的決策作用。也就是說，各種解法的介紹必須植根于數(shù)學(xué)思維方法的土壤

上。否則，寧可不講，也毋濫講，以免使學(xué)生發(fā)出數(shù)學(xué)高深莫測(cè)的感嘆。

例如，求直線x+2y-2=0被圓x2+y2=2所截得的弦長(zhǎng)。

由于弦長(zhǎng)實(shí)質(zhì)上是兩點(diǎn)間的距離，當(dāng)我們把命題寫出時(shí)，學(xué)生幾乎脫口而出：求交點(diǎn)，

再求弦長(zhǎng)。無疑，這不失為一種解題方法。然而，通過解方程組求交點(diǎn)比較麻煩，且易出錯(cuò),

從解題的美學(xué)原則分析，不符合“簡(jiǎn)潔美”的要求，能否找到一種簡(jiǎn)單的方法呢？以前解決

過的問題有否相似的類型呢？（這是等值思維）學(xué)生不難回憶起《解析幾何》教材中有關(guān)的

例子時(shí)，曾經(jīng)用韋達(dá)定理解決過拋物線的弦長(zhǎng)問題，于是用類比方法找到了新的解法。我們

再提示，解幾是用代數(shù)的方法研究幾何問題，它離不開幾何圖形特有的性質(zhì)這個(gè)前提，因而

對(duì)幾何圖形性質(zhì)研究的深刻程度往往決定著命題的解決思路及繁簡(jiǎn)（這事實(shí)上是學(xué)科思想的

作用）。于是學(xué)生就不難找到通過弦心距求弦長(zhǎng)這一簡(jiǎn)潔的方法。以上的分析表明，這道題

處理不僅是解決圓弦長(zhǎng)的幾種求法，更應(yīng)該揭示這兒種解法的出現(xiàn)是以等值思維、美學(xué)原則、

學(xué)科思想為前提的。如果更進(jìn)一步把命題改為已知弦長(zhǎng)，求直線方程或圓的方程，這對(duì)鍛煉

學(xué)生的逆向思維就更有幫助了.

從前面的論述使我們清楚地看到，學(xué)科思想與數(shù)學(xué)思維方法是教與學(xué)中最活躍的因素，

知識(shí)結(jié)構(gòu)的功能在其連接下充滿活力；數(shù)學(xué)方法在其指導(dǎo)上而更合理；課堂教學(xué)在其運(yùn)用下

而倍顯生機(jī)勃勃?？梢哉J(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)課堂改革的一個(gè)重要之點(diǎn)就是對(duì)學(xué)科思想的深刻領(lǐng)會(huì)

與數(shù)學(xué)思維方法的充分展示0

第二章對(duì)數(shù)學(xué)思想的界定及功能的認(rèn)識(shí)

第1節(jié)數(shù)學(xué)思想的哲學(xué)意義

在第一章中，我們提到了學(xué)科思想，而所謂的學(xué)科思想從本質(zhì)上來說，其實(shí)就是數(shù)學(xué)

思想.近年來，對(duì)數(shù)學(xué)思想的研究，已成為中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)熱門的話題。如前所述，作為一

種觀念，它要求滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)之中；作為對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考察，又貫穿串于高考命題的

整個(gè)過程；作為數(shù)學(xué)解題中思維規(guī)律的提示和方法的選擇，它起著調(diào)控和決策的作用；作為

知識(shí)結(jié)構(gòu)中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的連接，它又有著橋梁和樞紐功能。因而，研究數(shù)學(xué)思想在中學(xué)教育

中的作用及意義，已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的內(nèi)容,受到人們的廣泛注意和高度重視。

那么，什么是數(shù)學(xué)思想呢？所謂數(shù)學(xué)思想，系指人們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)的過程中，對(duì)其內(nèi)容、

方法、結(jié)構(gòu)、思維方法及其意義的基本看法和本體的認(rèn)識(shí)，是人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的觀念系統(tǒng)。它

既遵循一般意義上的認(rèn)識(shí)論的基本規(guī)律，同時(shí)又是一種更高層次上的方法論；它既有著形式

邏輯上的特點(diǎn)，更符合辨證思維的內(nèi)涵。它屬于辨證唯物主義哲學(xué)的范疇。因此，為著對(duì)數(shù)

學(xué)思想有更深層次的認(rèn)識(shí)，筆者力圖從哲學(xué)的角度，對(duì)其作一些理性的探討和考察。

我們知道；哲學(xué)是“關(guān)于普遍聯(lián)系的科學(xué)”（《自然辨證法》，第3頁）也就是說，一切

事物、現(xiàn)象之間都存在這互相聯(lián)系、互相補(bǔ)充?；ハ嘧饔??；ハ嘀萍s的關(guān)系，世界上沒有任

何事物、現(xiàn)象與其他事物、現(xiàn)象是無聯(lián)系的。這種聯(lián)系呈現(xiàn)五光十色的多姿多彩，有本質(zhì)聯(lián)

系，非本質(zhì)聯(lián)系，有內(nèi)在聯(lián)系，外在聯(lián)系；有必然聯(lián)系，偶然聯(lián)系；有一般聯(lián)系，特殊聯(lián)系；

還有互相補(bǔ)充、互相結(jié)合的聯(lián)系等。所以，我們?cè)跀?shù)學(xué)思想中談到的函數(shù)思想，不過是這種

哲學(xué)觀念在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，對(duì)事物現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系的一種本質(zhì)的描述，反映出事物或現(xiàn)象

聯(lián)系的一種方式。如果我們對(duì)函數(shù)概念的歷史變遷作一番巡視，就不難看出，每次的修正或

補(bǔ)充都比原來的概念更嚴(yán)密、更準(zhǔn)確、更合理地刻畫出事物地內(nèi)在聯(lián)系，從而更符合“聯(lián)系

的科學(xué)”這一深刻的本意。然而函數(shù)思想只不過是“聯(lián)系”的觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)中一種相互制約的

表現(xiàn)。當(dāng)我們的視野在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域上作更大范圍的俯視時(shí)，則不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科是一個(gè)不

可分割的整體，它的活力在于各部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學(xué)知識(shí)千差萬別，但可看到作為整

體的數(shù)學(xué)中使用相同的邏輯推理，有著概念的親緣關(guān)系，有著定理上的類比性和方法上的同

構(gòu)性，在它們不同部分之間也有著大量地相似之處?？梢姡奥?lián)系”的觀點(diǎn)貫串于數(shù)學(xué)知識(shí)

的發(fā)生、演變過程。例如，點(diǎn)和曲線既可以在直角坐標(biāo)系中加以研究，也可以在復(fù)平面上加

以審視，同時(shí)還可以在極坐標(biāo)系中加以考察。但是如果拋開非本質(zhì)的東西。則可以認(rèn)為極坐

標(biāo)中，點(diǎn)P的表示法與復(fù)平面上復(fù)數(shù)的三角形式時(shí)一樣的，（因?yàn)槎际?P的長(zhǎng)度與OP的

定向所確定）換言之，我們甚至可以把極坐標(biāo)系看作是去掉虛軸后的復(fù)平面。這種大膽的看

法不但揭示了這兩種平面形式上的聯(lián)系和一致性。也為我們?cè)诮虒W(xué)中極坐標(biāo)系的建立找到了

完美的理論注釋。

上面的分析給我們的啟示是，函數(shù)思想既然可以看作哲學(xué)中“聯(lián)系”的觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)中

的一個(gè)體現(xiàn)，那么數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間種種形式的聯(lián)系，正是知識(shí)可以構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，方法形成系統(tǒng)、

形成結(jié)構(gòu)的理論依據(jù)。只要我們善于挖掘，捕捉這種聯(lián)系。那么我們的課堂教學(xué)就可以在更

廣闊的時(shí)空范圍上得以延伸、變化和發(fā)展，這時(shí)培養(yǎng)學(xué)生全面看問題，以形成思維的廣闊性

是有益的。

馬克思主義的哲學(xué)同時(shí)還承認(rèn)，矛盾和轉(zhuǎn)化是現(xiàn)實(shí)世界的普遍規(guī)律，事物內(nèi)部始終存

在著對(duì)立統(tǒng)一的現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，這種矛盾的現(xiàn)象得到更為形象，更為深刻，因而也更

為本質(zhì)的反映。例如，從認(rèn)知規(guī)律上看，有已知和未知，熟悉和陌生，簡(jiǎn)單和繁雜的矛盾；

從知識(shí)結(jié)構(gòu)來看，有直線與曲線，相等與不等，有限與無限，常量與變量等矛盾；從表現(xiàn)形

態(tài)上來看，有數(shù)式與圖形，平面與空間，運(yùn)動(dòng)與靜止等矛盾。數(shù)學(xué)的發(fā)展正是在于人們不斷

地揭示這些矛盾，并力圖促進(jìn)這些矛盾的轉(zhuǎn)化而得以實(shí)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)解題的過程就是去發(fā)現(xiàn)條

件和結(jié)論的矛盾，并尋找實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法，達(dá)到條件與結(jié)論和諧統(tǒng)一的過程。由此可見，我

們?cè)跀?shù)學(xué)中談到變換思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，只不過是上述觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)

域中的典型應(yīng)用。

這里，留給我們的思考有：

1.解題過程的任何轉(zhuǎn)化，都應(yīng)該有強(qiáng)烈的目的性：即尋找條件和結(jié)論的差異(差異

就是矛盾)，分析差異，解決差異，達(dá)到條件和結(jié)論的統(tǒng)一為目的。這樣我們的思維才能有

明確的指向性，避免陷入變換的盲目性。正如恩格斯在《自然辯證法》中所說：“由這種形

式變到另一種形式，不是無聊的游戲，而是數(shù)學(xué)的杠桿，如果沒有它就不能走很遠(yuǎn)。”

2.這種對(duì)立統(tǒng)一的現(xiàn)象既然大量地存在于數(shù)學(xué)的知識(shí)及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程之中，那

么矛盾轉(zhuǎn)化的思想就理所當(dāng)然地成為指導(dǎo)我們認(rèn)識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題地基本觀點(diǎn)。善于在相同

的現(xiàn)象之中找它們不同之處，同時(shí)還要在不同的現(xiàn)象之間找到其相似之處，正是我們學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)時(shí)觀察能力高低的重要標(biāo)志，同時(shí)也是創(chuàng)造思維形成的先決條件。例如，求經(jīng)過點(diǎn)A(4,

-1)和直線2x—y=0相切于點(diǎn)M(l,2)的圓的方程。按照一般的解法，其計(jì)算量是頗大的。

可但是如果從辨證的眼光來看，把切點(diǎn)M看成是半徑為零的點(diǎn)圓；把直線2x—y=0看作是

半徑為無窮大的圓，將所求的圓與之納入共點(diǎn)圓系(x-I)2+(y-2)2+2(2x-j)=0之中，

則只須求出；I的值即可，此時(shí)將A(4,-l)的坐標(biāo)代入，求得；1=-2,故所求圓的方程為

(x—3y+(y-l)2=5.這里把點(diǎn)，直線，圓，完美地統(tǒng)一在同一個(gè)方程之中，找到問題簡(jiǎn)

潔的解法，這與其說是數(shù)學(xué)方法的成功，倒不如說是辨證法的勝利。

3.上述的分析還表明，變換的思想、數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想，只是矛盾轉(zhuǎn)化

的派生形式，數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，由于各門分支，各個(gè)章節(jié)知識(shí)是千差萬別的，都有其自身

的特點(diǎn)，其轉(zhuǎn)化的方式也是不盡相同的，教師必須善于挖掘和抽象出該章節(jié)的轉(zhuǎn)化方式，提

煉為數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生對(duì)該章的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、方法的深刻性、靈活性和批判性，這應(yīng)該是教

師更有意義，更富于研究性的工作。

通過上面粗淺的分析，固然每給我們思考的問題依然很多，但卻可以清晰的看到，數(shù)

學(xué)思想所以成為數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中最具有活力、最具功能性的因素，其原因就

是根植于哲學(xué)這塊博大精深、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的豐腴的土地上。只要我們認(rèn)真加以研究，悉心予以

培植，她就會(huì)開出燦爛的思維教育之花，結(jié)出豐碩的素質(zhì)教育之果。

第2節(jié)數(shù)學(xué)思想的“細(xì)分”及應(yīng)用

在上一節(jié)我們對(duì)數(shù)學(xué)思想給出了以下定義：所謂數(shù)學(xué)思想指的是人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程

之中，對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法、意義的本體的認(rèn)識(shí)，是屬于哲學(xué)的范疇。這是數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)

屬性，即是數(shù)學(xué)思想這一概念的內(nèi)含。由此可見，在考試大綱中所給出的函數(shù)與方程、分類

與討論、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與變換的思想均屬于數(shù)學(xué)思想的外延。然而，我們不難看出，既然

數(shù)學(xué)思想是屬于哲學(xué)的范疇，在哲學(xué)的概念中，轉(zhuǎn)化思想一一無疑是在研究事物的過程中最

重要的、最核心的思想。根據(jù)這一觀點(diǎn)，不管是函數(shù)與方程，分類與討論及數(shù)形結(jié)合，其實(shí)

都是轉(zhuǎn)化的思想在具體形式上的應(yīng)用。亦即在認(rèn)識(shí)和解決具體的數(shù)學(xué)問題上使我們對(duì)問題的

本質(zhì)看得更清楚。但是，在教學(xué)實(shí)踐中我們卻深切地感到，僅僅將數(shù)學(xué)思想分解為幾個(gè)這樣

的外延，還不足以使我們(包括教師和學(xué)生)更深刻的詮釋和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，由此，在教學(xué)的過

程當(dāng)中往往出現(xiàn)貼標(biāo)簽的情況，并不能夠使學(xué)生心悅誠服，遇到類似的問題，同樣無法找到

解決的途徑。由此，我們認(rèn)為有必要將數(shù)學(xué)思想進(jìn)行“細(xì)分”。

將數(shù)學(xué)思想進(jìn)行細(xì)分，就是結(jié)合每一章或每一單元的內(nèi)容，將數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用途徑與內(nèi)

容緊密地聯(lián)系起來，使數(shù)學(xué)思想具有一種鮮活與清晰可辯的形式，學(xué)生容易理解和掌握，這

對(duì)提高學(xué)生的能力將是一件有意義的工作。

例如，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)一章時(shí)，我們結(jié)合該章的內(nèi)容，將這一章的基本思想概括為：一、實(shí)數(shù)

化的思想。因?yàn)閺?fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的本質(zhì)就是通過有序的實(shí)數(shù)對(duì)來描述復(fù)數(shù)，這樣

就使得把復(fù)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的問題來處理成為可能，實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)化的途徑就是復(fù)數(shù)的三角

形式和代數(shù)形式，例如復(fù)數(shù)的相等，用復(fù)數(shù)求軌跡的問題；另一方面，實(shí)數(shù)化的思想還體現(xiàn)

在復(fù)數(shù)集中解決問題的方法與步驟和實(shí)數(shù)集中解決有關(guān)問題的方法與步驟的同構(gòu)性。第二、

數(shù)形結(jié)合的思想。由于復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就使得復(fù)數(shù)得概念、運(yùn)算、

性質(zhì)有著明顯的幾何意義，使得復(fù)數(shù)得問題有著直觀的幾何解釋，從而可以借助幾何圖形去

分析和解決問題。第三、整體的思想。它主要體現(xiàn)在模與共輛復(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。上述的三個(gè)

基本思想，是我們解決復(fù)數(shù)問題的基本出發(fā)點(diǎn)，也是理解教材的基本思想。我們可以通過以

下的問題來闡述以上基本思想的應(yīng)用。

例：

從本例中，我們的確可以看到，正是在三個(gè)基本思想的啟迪下，得出三種不同的解法，

從理論上來說，每個(gè)復(fù)數(shù)的問題應(yīng)該可以通過這幾條途徑得出相應(yīng)的解法，然而，從實(shí)際上

來說，有時(shí)由于變換的復(fù)雜性，或者由于條件與結(jié)論之間的關(guān)系在某條途徑上的隱蔽性，卻

又并不是每一條思路都能順利解決問題的，即便可以解決問題，卻又有繁簡(jiǎn)之分，這就需要

我們有一定的思維評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)能力，從實(shí)際問題的背景出發(fā)，選擇恰當(dāng)?shù)男问?，找到處理?/p>

題的正確思路和最優(yōu)解法，這正是靈活應(yīng)用基本思想的體現(xiàn)。

在“不等式的解法”中，由于涉及到整式不等式、分式不等式、絕對(duì)值不等式、無理不

等式、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式，等等。眾多形式不等式的解法，使學(xué)生疲于記憶。那么，如何使

學(xué)生免去記憶的痛苦，又能夠在更高的層次上把握住不等式的解法哪？事實(shí)上，高中階段不

等式的學(xué)習(xí)是在初中階段學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元二次不等式的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行對(duì)其它

不等式的學(xué)習(xí)，而一次函數(shù)與二次函數(shù)又正是解這兩種不等式的理論基礎(chǔ)。因此，我們把解

不等式的基本思想確定為：一、轉(zhuǎn)化為一次、二次或其它的整式不等式；二、轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)

系，利用函數(shù)的性質(zhì)或數(shù)形結(jié)合來解決問題。其實(shí)，我們只要留心一下，就不難發(fā)現(xiàn)，在高

中階段學(xué)習(xí)的所有不等式，都是通過這兩個(gè)基本思想找到解決問題的方法，不管是高次不等

式中的“以乘作除”“數(shù)軸標(biāo)根法”，或者絕對(duì)值不等式中的“平方法”與“零點(diǎn)討論法”，

又或者無理不等式中的“換元法”、“平方法”、“圖象法”等等，無一例外。以上的方法只不

過是實(shí)現(xiàn)這兩種轉(zhuǎn)化的具體途徑。學(xué)生在深刻理解以上的基本思想之后，不僅能達(dá)到從“自

由到必然”的認(rèn)識(shí)，而且還能從創(chuàng)新的角度對(duì)許多不等式提出一些充滿“詩意”的解法。例

如

上面的分析使我們看到，對(duì)數(shù)學(xué)思想的“細(xì)分”的確有助于教學(xué)，有助于解題思路的尋求,

有助于在更高的層次上深刻的理解數(shù)學(xué)。我們有理由認(rèn)為，對(duì)數(shù)學(xué)思想的“細(xì)分”是每一個(gè)

數(shù)學(xué)教師應(yīng)該做的一件工作。然而，應(yīng)該看到，如何“細(xì)分”卻不是一件輕而易舉的事情，

它必須植根于對(duì)教材刻骨銘心的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)有著高屋建瓶的獨(dú)到的見解，還應(yīng)有

著于細(xì)微處探幽的抽象能力，這樣，才能使我們的教學(xué)擺脫形式主義、人云亦云的糾纏，達(dá)

到一種理性的、充滿活力的境界。

第三章對(duì)設(shè)計(jì)思維過程的理解及認(rèn)識(shí)

第1節(jié)設(shè)計(jì)思維過程的若干原則

前面我們對(duì)數(shù)學(xué)思想這一概念的內(nèi)涵、外延、應(yīng)用及有關(guān)細(xì)分的問題作了比較詳盡的論

述,下面我們將要談到的是思維方法的問題。什么是思維方法？許多文獻(xiàn)都有了相應(yīng)的介紹，

這里就不作過多的解釋。我們知道能力培養(yǎng)的核心是思維能力。如何通過課堂教學(xué)，使學(xué)

生在接受數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，形成較強(qiáng)的思維能力，應(yīng)該是我們課堂教學(xué)中亟待解決的問題。

由于這一基本觀點(diǎn)的確立，近年來，人們?cè)跀?shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，已不滿足于一個(gè)定理，一

個(gè)公式介紹給學(xué)生，并使學(xué)生掌握為目的，而是力圖把定理及其公式發(fā)現(xiàn)的思維過程作出

合理模擬，以求在思維過程的合理模擬中，使學(xué)生成為發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的

參與者，并在參與的實(shí)踐中認(rèn)識(shí)自身的智力價(jià)值和促進(jìn)良好思維品質(zhì)的形成，這種思維過

程的合理模擬就是我們所說的設(shè)計(jì)思維過程。那么如何進(jìn)行思維過程的設(shè)計(jì)，才能達(dá)到所

期待的目的呢?我們認(rèn)為，應(yīng)該遵循如下的若干原則。

1、必要性原則

這里所說的必要性，我們指的是，提出或研究某個(gè)問題的必要性,愛因斯坦曾經(jīng)說過:“提

出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要?！币?yàn)橐粋€(gè)新問題的提出，不僅僅集中著人們的

觀察力、想象力、概括抽象能力和預(yù)見性，同時(shí)又由于問題的提出，它預(yù)兆著一種新的可能

性的產(chǎn)生，往往標(biāo)志著科學(xué)每次取得進(jìn)步的開端。因此，從某種角度來說，能否善于提出有

價(jià)值的問題應(yīng)該是比解決問題更為重要的。因此，我們應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，對(duì)一些重

要定理、公式提出的必要性作出精心的設(shè)計(jì)。

例如，在反三角函數(shù)的內(nèi)容中，利用數(shù)形結(jié)合研究反函數(shù)的性質(zhì)后，得到了反余弦函數(shù)

既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，即arccos6x)=±arcco院不成立。課本隨后給出了：“下面我

們來證明：對(duì)于任意xe[-1,1],有arccos(-x)=4-arccofix”

學(xué)生不禁要問，這個(gè)關(guān)系式是怎樣提出的?又是如何找到的？為了回答這一問題，在課堂教

學(xué)的設(shè)計(jì)上，我們做了如下的處理：當(dāng)我們得出了y=arccosr既不是奇函數(shù)也不是

偶函數(shù)的結(jié)論之后，緊接著就分析：由于反正弦函數(shù)的奇偶性非常明確，即有

arcsin(-x)=-arcsinx出于對(duì)事物和諧性及統(tǒng)一性的追求，我們極想

了解arccosGx)與arccosx究竟有什么關(guān)系呢？從圖象可知，y=arcco&r的

-rr

圖象雖不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，也不關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，但它關(guān)于點(diǎn)。(0,5)成中心對(duì)稱，

這一圖象性質(zhì)抽象成函數(shù)性質(zhì)即是公式arccos(-x)=^-arccosx，雖然寥寥數(shù)語，但卻

為這一公式出現(xiàn)的必要性提出了合乎邏輯的鋪墊(即問題)。

從對(duì)上面例子的分析，我們可以看到，一個(gè)問題的提出絕非是偶然的，有時(shí)是出于對(duì)統(tǒng)

一性的理解，有時(shí)是對(duì)完美性的追求，當(dāng)然，還有些是聯(lián)想的結(jié)果，歸納類比的產(chǎn)物，甚至

是直覺的猜想等等，但不管如何，學(xué)生只要能一個(gè)個(gè)地提出問題，才能一步步地探索真理，

進(jìn)而才能逐步地培養(yǎng)自己地創(chuàng)造能力。

2.合理性原則

設(shè)計(jì)思維過程的核心問題就是要回答解決問題的方法是怎樣找到的。具體地說，如回答

為什么要添加輔助線?為什么要用韋達(dá)定理?為什么要用換元法?……o使用這些數(shù)學(xué)方法的

原因是什么?或者說是把選擇運(yùn)用數(shù)學(xué)方法之前的心智活動(dòng)揭示出來，這就是我們所說的設(shè)

計(jì)思維過程。

由于數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)是通過書本隱蔽地提供的，我們無法，事實(shí)上也沒有必要對(duì)當(dāng)

時(shí)數(shù)學(xué)家地這種思維活動(dòng)作尋根問底的探究，但至少我們可以根據(jù)問題的條件和結(jié)論，對(duì)

解決問題的思維軌跡作一合乎邏輯的描述，這就是設(shè)計(jì)思維過程的合理性原則。合理性原則

有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。一是解決問題的思維過程應(yīng)符合馬克思主義認(rèn)識(shí)論的基本原理，二是符合形式

邏輯和辯證邏輯的一般規(guī)律，三是符合學(xué)生的心理傾向。

TT

例如，在反三角函數(shù)的最后部分出現(xiàn)了一個(gè)公式arctanx+arccotx=—,

2

它對(duì)解決反三角函數(shù)的有關(guān)問題起到了一定的作用，我們是這樣來分析的：

我們首先提出，前面曾孤立地研究了四種反三角函數(shù)，并且得出了它們相應(yīng)的性質(zhì)。然

而，任何事物都不是孤立的，那么這些函數(shù)之間是否也具有我們感興趣的那?緊接著又啟發(fā)

學(xué)生，前面四種函數(shù)性質(zhì)的研究，我們是充分地利用了函數(shù)的圖象，從數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去考

察它的各自的性質(zhì)，從而，對(duì)這一問題的研究是否也采取類似的方式呢?學(xué)生很快意識(shí)到應(yīng)

在同以坐標(biāo)系下作出y=arctanx和y=arccotx的圖象，通過對(duì)圖象的直觀考察，發(fā)現(xiàn)

它們具有一種優(yōu)美的對(duì)稱性一一即關(guān)于直線y=t對(duì)稱，再聯(lián)系到若點(diǎn)￡（當(dāng)，%）與點(diǎn)

￡區(qū)，乃）關(guān)于直線y對(duì)稱，則有必+必=2。的結(jié)論，學(xué)生們很快地得到了

7T

arctanx+arccotx=—的結(jié)論。再經(jīng)過幾個(gè)特殊值的驗(yàn)證，結(jié)論也是成立的。但是，任

2

何直觀的考察和特殊值驗(yàn)證都不能代替嚴(yán)格的形式邏輯的證明，那么如何去證明我們所發(fā)

現(xiàn)的式子是正確的呢?為了解決“觀察出來''與"證明出來”的認(rèn)識(shí)矛盾，我們先讓學(xué)生考察

等式的本質(zhì)問題是角的相等，再聯(lián)想到三角函數(shù)中角相等的證明是采用“同值同區(qū)間”的方

法，不難得出書本上的證法一。我們?cè)俑淖円幌掠^察的角度，聯(lián)系到反三角函數(shù)所特有的

區(qū)間性的性質(zhì)，可設(shè)a=arctanx,貝（Jtanc=x，且￡e（一鼻，9于是弓一a）e（0,兀）.

JI

又注意到x=tane=cot（----乃），

所以左邊=arctan（tanx）+arccot[cotg-a）]=a+]■從而得出證法二。

對(duì)這一問題的分析處理過程，顯然要比平鋪直敘地給出公式，而后照本宣科的證明要深

刻得多，同時(shí)在課堂教學(xué)中也精彩得多，活躍得多，這是因?yàn)?第一，學(xué)生沒有被動(dòng)地接受

這一現(xiàn)成的結(jié)論，而是參與公式的提出與發(fā)現(xiàn)過程，體現(xiàn)了主體作用；第二，從直觀到抽象,

從特殊到一般是符合馬克思主義認(rèn)識(shí)論的；第三，公式的證明是運(yùn)用了“功能性的思考''到

“特殊性的處理''這一形式邏輯的演繹推理規(guī)律；第四，哲學(xué)思考的最大價(jià)值在于教會(huì)人們從

不同的角度去觀察問題。證法二的產(chǎn)生正是這一觀點(diǎn)的體現(xiàn)，同時(shí)也是符合學(xué)生的心理傾向

的，因?yàn)檫@樣的思維過程設(shè)計(jì)，雖然不能說是最好的，但至少是合理的，它對(duì)啟迪學(xué)生的智

慧起著良好的促進(jìn)作用。

3.可接受性原則

可接受性原則是中學(xué)教學(xué)法中最基本的原則，思維過程的設(shè)計(jì)同樣要遵循這一原則。亦

即在思維設(shè)計(jì)的過程中，應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特征所決定的思維水平及其與學(xué)生當(dāng)時(shí)已掌握

的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能相適應(yīng)的，是力所能及的。這里我們想強(qiáng)調(diào)的是，傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為，

對(duì)難的問題統(tǒng)統(tǒng)化難為易就是好的方法，因而人為地設(shè)置種種橋梁和鋪墊，使得整個(gè)解題

的思維過程直觀化，簡(jiǎn)單化，似乎就是設(shè)計(jì)思維過程的可接受性原則。事實(shí)并非如此。因?yàn)?/p>

往往所謂的“難”，就是整個(gè)思維過程相當(dāng)隱蔽，或者對(duì)學(xué)生來說相當(dāng)陌生，然而正因?yàn)槿?/p>

此，它所蘊(yùn)涵的思想就更加深刻和豐富，其解決問題的思維過程就更為生動(dòng)和精彩，因而準(zhǔn)

確而合理地把解決問題的思維過程揭示出來，學(xué)生的思維水平就能得到一個(gè)質(zhì)的飛躍，提到

一個(gè)更高的水準(zhǔn)之上。

例如，已知平面上有2n+3個(gè)點(diǎn)（其中無三點(diǎn)共線，無四點(diǎn)共圓）那么必有一個(gè)圓過其中

三點(diǎn)，而其余2n個(gè)點(diǎn)各有一半分別在圓內(nèi)和圓外。

這個(gè)問題顯然有一定的難度，那么如何設(shè)計(jì)思維過程才能符合可接受性原則呢？

［分析］:由題設(shè)可知，平面上2n+3個(gè)點(diǎn)可確定C1+3個(gè)圓，這些圓幾乎是“雜亂無章'’地

分布在平面上。那么哪一個(gè)圓具有題設(shè)地要求呢?我們知道，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象都是尋找事物

變化中的某種不變的性質(zhì)，或者是在似乎無規(guī)律的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)有規(guī)律的現(xiàn)象。為此，無妨考

察過某一點(diǎn)A的圓系中，能否在這些圓中找到滿足條件的圓，很快發(fā)現(xiàn)，在這些有規(guī)則的

圓中，很難找到我們所需要的圓。無妨再增加一點(diǎn)，即過A,B兩點(diǎn)的圓系，從圖可知，

這些圓在線段AB的同旁問題豈不是解決了嗎?為此，關(guān)鍵是A,B這兩點(diǎn)的選擇能保證其

余各點(diǎn)在直線AB的同旁即可，而這兩個(gè)點(diǎn)顯然是存在的。（解法略）

這樣的思維設(shè)計(jì)顯然較難，但學(xué)生是可接受的，因?yàn)樗仙鲜龅暮侠硇栽瓌t。從我們

設(shè)計(jì)的主導(dǎo)思想來說，目的并不在于使學(xué)生占有解決本題的技巧和方法，而在于領(lǐng)悟解決這

個(gè)問題的思維活動(dòng)，通過這一問題的解決，學(xué)生得到的是化無規(guī)律為有規(guī)律，化無序?yàn)橛行颍?/p>

化一般為特殊的思想。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，深刻性應(yīng)該是有幫助的。

4、“復(fù)雜化”原則

在課堂教學(xué)實(shí)踐中，有一個(gè)貌似“悖論”的數(shù)學(xué)教學(xué)原則常常被人冷落，或者被視為奇

談怪論而遭人漠視，那就是一一“將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化和將簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化二其實(shí)，被人“歧

視”的倒不是“將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化”而是“將簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化”，因?yàn)榍罢卟贿^是循序漸進(jìn)、

化繁為簡(jiǎn)的教學(xué)原則的換一種說法，早就被人們所認(rèn)同，并付諸于教學(xué)實(shí)踐之中。而后者往

往被人視為“異端”、不可理喻，甚至在某些場(chǎng)合被大加勒伐。筆者認(rèn)為，有必要為“將簡(jiǎn)

單問題復(fù)雜化”正名，還其本來面目，并且充分重視它在數(shù)學(xué)教學(xué)上的應(yīng)用功能。

“最簡(jiǎn)單的同時(shí)也是最重要的?！眰€(gè)哲人如是說。所謂“將簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化”就

是利用知識(shí)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，將一個(gè)貌似簡(jiǎn)單的問題置于結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)中加以考慮，通過認(rèn)知結(jié)構(gòu)

的特點(diǎn)將其“最簡(jiǎn)單的”一面，利用演繹、變換、推理等方法將其“最重要的”一一其實(shí)就

是最深層次、最本質(zhì)的一一特征揭示出來，使得在認(rèn)識(shí)“最簡(jiǎn)單的”同時(shí)，認(rèn)識(shí)它“最重要

的”一面。從現(xiàn)代教育的觀點(diǎn)來看，它是以思維為主線去組織課堂教學(xué)，從而應(yīng)是更高層次

的一種教學(xué)方法。這不僅是提高課堂效益的需要，同時(shí)也是提高學(xué)生綜合素質(zhì)的要求。那么，

如何將簡(jiǎn)單的問題復(fù)雜化呢？筆者認(rèn)為可以有以下的基本途徑。

（1）、簡(jiǎn)單的問題置于特定的知識(shí)背景之下。

我們知道，任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是孤立的，它與其它的知識(shí)有著或縱或橫、或直接或間

接的聯(lián)系，這種聯(lián)系既有邏輯的也有非邏輯的，既有抽象的也有具體的。那么，我們只要把

這種聯(lián)系揭示出來，在理解和認(rèn)識(shí)一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，使得整體的層面和較為復(fù)雜的

知識(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)在我們心智面前。

例如，求證：=sa=l+sma（見高中《代數(shù)》上冊(cè)，pl011例⑺

l-sinacosa

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，筆者作了以下的處理：

首先，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得出課本上的三種證法。接著，帶領(lǐng)學(xué)生探索本題的背景,

即同角的平方關(guān)系sin2a+cos2a=1.既然此式可以構(gòu)造出上面的等式，那么，從這個(gè)等式我

們又可以得到什么命題呢？這樣一個(gè)如何構(gòu)造命題的問題就推到了同學(xué)的面前。有個(gè)學(xué)生

說：可以構(gòu)造1-sma=cosa.我立即追問一句:為什么？學(xué)生回答說利用了反比定理。

COS6Z1+sina

我順?biāo)浦壅f：比例還有其它性質(zhì)嗎？由這些性質(zhì)能否構(gòu)造出相應(yīng)的命題？同學(xué)們恍然大

悟，紛紛動(dòng)手，利用合比、分比、合分比以及等比定理等構(gòu)造出：Jsina+c°sa=

cosa

1+sina+cosacos?-l-sin?1+cosa-sin1+sina+cosa

--------------=---------------,---------------=---------------……，再進(jìn)一

cosa1+sinacosa-l+sina1+sina-cosa

步，既然從平方關(guān)系的一個(gè)公式就可以構(gòu)造這許多新穎的命題，那么平方關(guān)系的另外兩個(gè)公

式呢？請(qǐng)同學(xué)們下課后再設(shè)法構(gòu)造出一些新的命題，并給出這些新命題的證明方法。其實(shí)，

本例是將原命題置于有關(guān)三角函數(shù)比例式的證明方法的知識(shí)背景之下，通過比例有關(guān)性質(zhì)的

橫向聯(lián)系，使得一個(gè)孤立的、簡(jiǎn)單的問題變得豐富多彩，不僅使課堂的氣氛特別活躍，并延

續(xù)到課后。

一、將簡(jiǎn)單問題的解法置于科學(xué)方法論的背景之下。

任何一個(gè)問題的解法都是思維的結(jié)果,任何一個(gè)推理過程都是一種邏輯或非邏輯推理的

產(chǎn)物。如果我們能將這種思維的過程換一個(gè)方式去理解，換一個(gè)角度去觀察，那么所得到的

和所看到的就不是簡(jiǎn)單的思維結(jié)果了。所謂換一個(gè)方式去理解或者換一個(gè)方式角度去觀察，

事實(shí)上就是在科學(xué)方法論的背景下，將簡(jiǎn)單的問題進(jìn)行聯(lián)想、抽象、推廣、變式，使得簡(jiǎn)單

的問題以一種五彩繽紛的畫面出現(xiàn)在我們的視野之中。事實(shí)上，一題多解就是對(duì)這樣一種理

論的詮釋。有時(shí)我們找不到某個(gè)問題的解法，正是不善于換一個(gè)角度去觀察或換一種方法去

考慮所至。

例如，在講授組合數(shù)公式C：=---的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)時(shí)，筆者安排了這樣的教學(xué)過程：

教師首先提出，組合與排列一樣，都是解決完成某件事情的方法，以及對(duì)這種方法的計(jì)

算。既然排列的問題已有公式可解決，對(duì)組合的問題我們也理所當(dāng)然要找到相應(yīng)的計(jì)算公式,

那么，該如何尋找呢？這時(shí)，學(xué)生從排列數(shù)公式的發(fā)現(xiàn)過程，通過類比的方法自然就考慮利

用特殊到一般的思維方法進(jìn)行研究。然而，驗(yàn)算了幾個(gè)特殊的數(shù)值，如c；=3,c；=3,c；=l,

c；=4,c：=6,…….，卻難以對(duì)上面數(shù)的規(guī)律進(jìn)行一般性的概括。這種學(xué)生熟悉的方法已無法

解決目前的問題，怎么辦呢？這時(shí)，老師啟發(fā)說：排列與組合都是計(jì)數(shù)的方法，不管是從概

念的提出抑或是概念的形成，排列與組合都是極其相似的，那么，它們之間有無內(nèi)在的聯(lián)系

呢？既然排列數(shù)的公式己經(jīng)得出，我們能否從聯(lián)系的觀點(diǎn)，重新審視排列的過程，并借助于

對(duì)這種過程的再認(rèn)識(shí)，找出組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系呢？這既是一種思維方法的啟迪，也

是哲學(xué)觀念的引導(dǎo)。這時(shí)學(xué)生再重新對(duì)排列事件的過程作分析，發(fā)現(xiàn)從n個(gè)元素取m個(gè)元

素進(jìn)行排列的過程可分兩步完成:即首先從n個(gè)元素取出m個(gè)元素進(jìn)行組合,其組合數(shù)有或

個(gè)；再將m個(gè)元素進(jìn)行全排列，有式；種排法，由乘法原理得p：=c：p'：,從而有

%=吧,因此得出了組合數(shù)公式，其證明就不難了。

Pm

（2）、簡(jiǎn)單問題的條件或結(jié)論加以變換或引申。

我們知道，人類科學(xué)的進(jìn)步就是在不斷提出問題和解決問題的探索之中前進(jìn)的。一

個(gè)簡(jiǎn)單的問題后面常常隱藏著變化的空間（越是簡(jiǎn)單的越是如此），它借助于知識(shí)之間的聯(lián)

系，方法之間的借鑒，思維過程的類比（甚至是逆向類比），形式之間的相似，進(jìn)行由此及

彼的變換及引申，使問題以一種新的形式出現(xiàn)在我們面前。加以變換后的這種形式往往以復(fù)

雜的、陌生的面貌使我們對(duì)問題的解法處于新的探索之中。而這種探索的背后常常預(yù)示著一

種新的方法的出現(xiàn)，一種新的知識(shí)的產(chǎn)生，甚至于一個(gè)新的領(lǐng)域的誕生一一數(shù)學(xué)發(fā)展史常常

這樣告訴我們。因此，條件、結(jié)論的變換和引申就不是一種無聊的游戲（包括形式的變換）,

而是人類科學(xué)進(jìn)步的階梯。例如，在講授極坐標(biāo)系的時(shí)候，我們先復(fù)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式，

發(fā)現(xiàn)復(fù)平面上的點(diǎn)的表示方法，其實(shí)與y軸一點(diǎn)關(guān)系也沒有，它只與op的長(zhǎng)度和op的方向

有關(guān)，數(shù)學(xué)本身的簡(jiǎn)潔性無法容忍y軸的存在，我們干脆把y軸去掉，可這樣一來，它再也

不是直角坐標(biāo)系了，但同樣可以表示平面上的點(diǎn)，也就是說，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的坐標(biāo)系，我們

把這個(gè)坐標(biāo)系稱為極坐標(biāo)系。換言之，極坐標(biāo)系事實(shí)上是去掉虛軸后的復(fù)平面。我們不知道

當(dāng)年極坐標(biāo)系是否這樣發(fā)現(xiàn)的，但至少有理由認(rèn)為，這種大膽的看法不但揭示了這兩種平面

形式上的一致性，也為我們?cè)诮虒W(xué)中極坐標(biāo)系的建立找到了完美的理論注解。

又如，在講復(fù)數(shù)向量形式的時(shí)候，我想作為教師至少要考慮這樣幾個(gè)問題：有了復(fù)數(shù)的

代數(shù)形式和點(diǎn)的形式，為什么還要講向量形式？這是其一；向量形式是怎樣被發(fā)現(xiàn)的？此其

-；第三，復(fù)數(shù)的向量形式有什么用？否則，學(xué)生的學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)完全處于一種被動(dòng)和盲從之

中。為此，筆者安排了這樣的教學(xué)過程：

首先復(fù)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和點(diǎn)的形式以后，老師指出：數(shù)和點(diǎn)是兩種不同的事物，它

們之可以發(fā)生關(guān)系，其實(shí)它們都是數(shù)對(duì)（a,b）的一種外在的形式，換言之，數(shù)對(duì)才是本質(zhì)。

也就是說，一個(gè)事物如果有不同的表達(dá)形式，那么這些形式之間必然有某種聯(lián)系。既然如此,

那么數(shù)對(duì)還有什么表達(dá)形式呢？學(xué)生馬上就想到了向量。老師緊接著就追問，如果我們建立

了復(fù)數(shù)和向量的關(guān)系之后，有什么用呢？學(xué)生就可以回答，我們可以借助向量的理論和方法

來解決復(fù)數(shù)的問題。此時(shí)，老師可以作一個(gè)小結(jié)性的發(fā)言：數(shù)學(xué)問題的解決，常常將一個(gè)陌

生的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的問題來解決，這正是我們數(shù)學(xué)解題中的熟悉化原則。

這寥寥數(shù)語的課題引入使我們清楚地回答了以上提出地三個(gè)問題，更重要的是，使

學(xué)生明白了事物之間的本質(zhì)聯(lián)系，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)基本思想，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的領(lǐng)悟提高到一個(gè)更

新的層面上。

（3）將簡(jiǎn)單的問題向一般化問題轉(zhuǎn)化。

由于簡(jiǎn)單的問題往往是事物某種特殊的狀態(tài)，常常處于一種孤立的、靜止的、表面的、

非本質(zhì)的形態(tài)之中，而一般化則是事物整體的、運(yùn)動(dòng)的、深刻的、本質(zhì)現(xiàn)象的反映。從''簡(jiǎn)

單”向“一般”的轉(zhuǎn)化，既是人們認(rèn)識(shí)事物的需要，也是思維深刻程度的體現(xiàn)。這種轉(zhuǎn)化有

時(shí)還是雙向的。我們看一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子。

一個(gè)五年級(jí)的小學(xué)生曾經(jīng)問過筆者這樣一個(gè)問題：如圖的AABC中，M、N將AB三

等分，P將AC平分，試問△AMP的面積是AA6C面積的幾分之幾？

這個(gè)問題對(duì)中學(xué)生來說當(dāng)然是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，但對(duì)小學(xué)生而言就不知道如何處理了。

這時(shí)我啟發(fā)他說,如果AC邊上沒有點(diǎn)P,那么△AMC的面積是△ABC面積的幾分之幾呢？

他很快回答是三分之一。于是再進(jìn)一步啟發(fā)他：那么將AC邊上點(diǎn)P將AC平分后，AAMP

是△AMC的幾分之幾呢？他馬上明白是二分之一，繼而他就回答出△AMP的面積是△ABC

面積的六分之一。我更進(jìn)一步，如果將AB邊m等分，再將AC邊n等分，那么以A為頂

點(diǎn)的最上面的小三角形又是原三角形面積的凡分之幾呢？這時(shí)，他已經(jīng)毫無困難地、高興地

回答是mn分之一。

這個(gè)問題雖然簡(jiǎn)單，但對(duì)一個(gè)小學(xué)生來說他不但知道了這個(gè)問題的一般性結(jié)論，他還經(jīng)

歷了一次先退后進(jìn)，先簡(jiǎn)單后復(fù)雜的思維過程，雖然不能說深刻，但誰又能說對(duì)他以后的學(xué)

習(xí)不無幫助呢？在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，這樣的例子俯拾皆是，只要我們處處留心，將'’簡(jiǎn)單

問題復(fù)雜化”并不是一件困難的事情，但對(duì)活躍與豐富我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提高學(xué)生的能

力將是一件有意義的事情。

第2節(jié)課堂教學(xué)中的再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維

如何在課堂教學(xué)中，把所授知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、演變的過程納入學(xué)生的思維活動(dòng)之中，

充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，使學(xué)生在生動(dòng)、活潑和積極地參與教學(xué)的過程中，形成

良好的思維品質(zhì)，這是我們課堂教學(xué)的目的之一。

在這里，我們認(rèn)為有兩種不同類型、但又密切相關(guān)的思維形式是值得我們?cè)诶碚撋虾蛯?shí)

踐中認(rèn)真予以探究的。這就是教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生的再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維。

什么是再現(xiàn)性思維呢？蘇聯(lián)教育學(xué)博士3.U卡爾梅科娃認(rèn)為：“再現(xiàn)性思維的特征是思

維較少創(chuàng)造性，”“在這種思維活動(dòng)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)著對(duì)主體來說熟悉的結(jié)構(gòu)的課題的解決?！?/p>

而教學(xué)過程,即學(xué)生的認(rèn)知過程,實(shí)際上都必須遵循在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上向未知引渡和發(fā)展，

所以，再現(xiàn)性思維是學(xué)生所以能接受老師講授知識(shí)的必要條件。它主要以學(xué)生回憶和運(yùn)用已

有知識(shí)于學(xué)習(xí)新知或?qū)?shí)際問題處理為目的，這種思維不但是教學(xué)中學(xué)生思維的重要形式，

而且也是運(yùn)用最廣泛和最基本的形式，而創(chuàng)造性思維是一種特殊的思維活動(dòng)。它的結(jié)果“會(huì)

產(chǎn)生對(duì)主體來說某種獨(dú)特的、原則上新的內(nèi)容，亦即新穎的程度是高的。"我們完全可以認(rèn)

為，它的出現(xiàn)意味著思維活動(dòng)的轉(zhuǎn)折和高潮，它是再現(xiàn)性思維的一種從量到質(zhì)的變化和反映，

它區(qū)別于再現(xiàn)性思維的顯著之處就在于獲得知識(shí)的新穎性和處理方法上的奇異性。

數(shù)學(xué)教學(xué)過程，一般的總是從復(fù)習(xí)舊的知識(shí)，進(jìn)而引出新的知識(shí)，或運(yùn)用已有知識(shí)解決

新的問題。從思維過程來看，它應(yīng)該遵循從再現(xiàn)性思維（低級(jí)）到創(chuàng)造性思維（高級(jí)）的程

序。甚至可以說，創(chuàng)造性思維是再現(xiàn)性思維發(fā)展到“極點(diǎn)”的狀況。對(duì)我們老師來說，必

須研究的是這兩者之間的相互關(guān)系以及誘發(fā)的因素。

無疑，在處理一個(gè)新的問題時(shí)，原有的知識(shí)與客觀所提出問題的“不協(xié)調(diào)性”及主體

所熟悉的知識(shí)和方法不足以保證他成功，就可以促使創(chuàng)造性思維活躍起來。這種思維能促進(jìn)

新知識(shí)、新方法的誕生，形成特定的結(jié)果。

1、氛圍與情境是創(chuàng)造性思維產(chǎn)生的土壤

一個(gè)善于啟發(fā)和誘導(dǎo)的教師，往往十分注重在教學(xué)中為學(xué)生的創(chuàng)造性活動(dòng)設(shè)置最佳的情

境和最能調(diào)動(dòng)積極因素的氛圍，以助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由已知向新知過渡和跳躍，沖破固有習(xí)慣、經(jīng)

驗(yàn)所筑成的屏障，在相對(duì)“獨(dú)立”的條件下，誘發(fā)創(chuàng)造的欲望，達(dá)到“發(fā)現(xiàn)”和掌握知識(shí)的

目的。

例如，在復(fù)數(shù)三角形式的概念教學(xué)中，我們可以設(shè)計(jì)如下的教學(xué)過程：

復(fù)數(shù)的三角形式是在復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，向量形式和復(fù)平面上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及四則運(yùn)算

之后出現(xiàn)的內(nèi)容。這些知識(shí)即是學(xué)習(xí)三角形式的已有基礎(chǔ)和起點(diǎn)。為了引出課題，可以讓學(xué)

I-、3

，進(jìn)而計(jì)算（顯然，第一個(gè)問題，學(xué)生根據(jù)代數(shù)形式及運(yùn)算

生計(jì)算---Z1-

/

法則不難得出結(jié)果；第二個(gè)問題同樣可以計(jì)算，但已經(jīng)較繁了。而如果指數(shù)改得再大一些（如

100）,那么學(xué)生就有力不從心之感了。此時(shí)，學(xué)生自然會(huì)考慮有無準(zhǔn)確和簡(jiǎn)捷的計(jì)算方法呢？

顯然，己有知識(shí)無法解決這個(gè)問題，因?yàn)閺?fù)數(shù)的代數(shù)形式造成了其運(yùn)算上的局限性。那么能

否突破已有形式的局限，為運(yùn)算上的合理和簡(jiǎn)捷找到新的反映出其本質(zhì)特征的形式，就迅速

地推到學(xué)生的面前。這就是為學(xué)生思維上的創(chuàng)造性的誘發(fā)設(shè)置的情境，我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生考慮

到復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：在確定點(diǎn)時(shí)，除坐標(biāo)形式外，還可以采用什么其他

形式呢？此時(shí)，學(xué)生的思維角度迅速在原有基礎(chǔ)上發(fā)生轉(zhuǎn)折，成為創(chuàng)造性（構(gòu)造新形式）的

定向活動(dòng)，課堂空前活躍。他們?cè)谟^察和思考后發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離與射線OP的

定向是另一確定點(diǎn)P的形式。我們不能否認(rèn)，學(xué)生的這一創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)正是前述的氛圍與

教師“畫龍點(diǎn)睛”作用下的特定產(chǎn)物。由此，通過復(fù)數(shù)三角形式的概念教學(xué)，使學(xué)生的思維

經(jīng)歷了一個(gè)由再現(xiàn)性到創(chuàng)造性的過程，對(duì)學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)起到了積極的促進(jìn)

作用。

從這里我們可以看出，教師在課堂教學(xué)中的引導(dǎo)和情境的設(shè)置的適當(dāng)與否，是教學(xué)活動(dòng)

開展深入與否的標(biāo)志，也是學(xué)生創(chuàng)造性思維得以誘發(fā)的必要條件。

2、直覺與猜想是創(chuàng)造性思維活動(dòng)的直接顯示

設(shè)置創(chuàng)造性思維活動(dòng)的氛圍與情境，只是創(chuàng)造性思維產(chǎn)生的必要條件。對(duì)于學(xué)生來說，

他們的思維活動(dòng)在新的情境下，往往是多變和突發(fā)的，特別是再現(xiàn)性思維發(fā)展到''極點(diǎn)”時(shí),

更易誘發(fā)成“突變”的情況。這就要求教師隨時(shí)注意控制和調(diào)節(jié)課堂，注意誘導(dǎo)的方向性與

合理性。同時(shí)，必須注意學(xué)生在創(chuàng)造性思維活動(dòng)中萌發(fā)的火花，而直覺與猜想往往是創(chuàng)造性

思維活動(dòng)的直接顯示.

例如，在立體幾何“三垂線定理”一節(jié)的教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三垂線定理”，

直覺與猜想起到了關(guān)鍵的作用。因?yàn)槿咕€定理實(shí)質(zhì)為平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的判

定定理。在講述了直線與平面垂直的知識(shí)之后，我們可以提出問題：平面a的斜線/能與面

e的任一直線垂直嗎？根據(jù)已有知識(shí)，學(xué)生會(huì)馬上否定。又問，在a內(nèi)存在與/垂直的直線

嗎？（教師可出示教具），學(xué)生憑直覺肯定：有。教師再問，這樣的直線有多少條？這些直

線有什么關(guān)系，有什么特點(diǎn)呢？（目的是從直覺的啟發(fā)及特定形態(tài)，引出直覺的判斷）。在

經(jīng)過有目的、有方向的引導(dǎo)后，學(xué)生的創(chuàng)造性思維達(dá)到高潮，不再受形象或教具的限制，迅

速上升到理性的猜想：這些直線均應(yīng)與/在a內(nèi)的射影垂直。這樣三垂線定理的核心也就完

整地展現(xiàn)于學(xué)生面前。隨著教學(xué)的不斷深入,學(xué)生亦為自己的猜想被證實(shí)而感到興奮和喜悅。

作為教師，要十分珍惜與重視學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)過引導(dǎo)而出現(xiàn)的直覺與猜想.因?yàn)檫@

往往是再現(xiàn)性思維向創(chuàng)造性思維跳躍的直接反映。盡管有時(shí)他們的猜想還顯得很不成熟或是

幼稚，甚至是錯(cuò)誤，也不應(yīng)一概排斥或否定。愛因斯坦曾經(jīng)說過：“我相信直覺思維和靈感”。

而凱德洛夫則用更鮮明的語言表示：直覺是“創(chuàng)造性思維的一個(gè)重要組成部分，”“沒有任何

一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開直覺活動(dòng)?！比绻覀冚^經(jīng)常地借助于課堂教學(xué)，使學(xué)生從小參與創(chuàng)

造性的思維活動(dòng)，不是對(duì)培養(yǎng)三個(gè)面向的人才更有裨益嗎？

3、克服思維惰性是再現(xiàn)性思維過渡到創(chuàng)造性思維的橋梁

在前面我們已經(jīng)論及再現(xiàn)性思維對(duì)創(chuàng)造性思維的積極作用?但我們認(rèn)為有必要指出，再

現(xiàn)性思維又由于人們心理上的“功能固定性”和思維習(xí)慣性形成的一種思維上的惰性，會(huì)把

我們的理智局限于原有的范圍內(nèi)活動(dòng)，這是再現(xiàn)性思維對(duì)創(chuàng)造性思維的消極的抑制性。客觀

地說，再現(xiàn)性思維在對(duì)創(chuàng)造性思維的作用上具有二重性。

例如：（3La,yLa,。cy=a。求證a_La。

設(shè)戶ca=A8,yca=BC。—

些學(xué)生在處理此題時(shí)，會(huì)明顯地產(chǎn)生

習(xí)慣性：證明a_LAB,arBC（由

線面垂直的判定定理產(chǎn)生的觸發(fā)）。而

這樣做正是失敗之所在。事實(shí)上，若

a±AB,'：aLp,=則必

有a，。。這樣，此題的本質(zhì)就被遮蓋

了.因?yàn)椤Ｊ窍εc/的交線。證題時(shí)必

然要同時(shí)涉及/?_La，yLa的條件。

而另一些學(xué)生由于既敢于運(yùn)用已有知

識(shí)（線面垂直的判定），又不受習(xí)慣的

影響，在a內(nèi)另取一點(diǎn)P（如圖）過P

在a內(nèi)引兩條垂直于AB,CB的相交直線

PD,PE,則問題得解。

上例說明，如果把既有的知識(shí)結(jié)構(gòu)看作一張網(wǎng)絡(luò)，那么我們既可以在這張網(wǎng)絡(luò)上繼續(xù)識(shí)

結(jié)新的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)，這張網(wǎng)絡(luò)亦可以把我們的思維按照一定的框圖和模式束縛起來。因而,

擺脫習(xí)慣性思維的羈絆，克服思維惰性的影響，才能在情境和氛圍的作用下，擺渡到創(chuàng)造性

思維的彼岸。作為數(shù)學(xué)教師，一方面要利用已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)去解決問題和發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)

時(shí)的正遷移作用，另一方面又要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)情境和氛圍，引導(dǎo)學(xué)生從迷惘之中走向清醒，

激發(fā)出創(chuàng)造性思想的火花,為最終由必然王國走向自由王國作出自己最大的努力一一這正是

我們所希望和期待的

第三節(jié)數(shù)學(xué)解題中的雅努斯思維

雅努斯相傳是古羅馬中的一尊門神，它有著截然相反的兩副面孔。在思維理論中，人們

把對(duì)兩種截然相反情況的同時(shí)考慮，稱為雅努斯思維或兩面神思維。

雅努斯思維是美國學(xué)者A羅森堡于1979年率先提出來的，他認(rèn)為所謂雅努斯思維，不

過是對(duì)直接對(duì)立、似乎是互相排斥的思想、形象或表象的同時(shí)認(rèn)識(shí)，并且這種對(duì)立，不僅能

被人們所認(rèn)識(shí)，而且還作為同樣真實(shí)、同樣起作用的對(duì)立現(xiàn)象，存在于人們的意識(shí)之中。思

維對(duì)立，乃是進(jìn)行科學(xué)思維最重要的手段之一。創(chuàng)造心理學(xué)家吉爾福特指出：創(chuàng)造性思維是

“相似思考”與“相異思考”相互作用的結(jié)果。數(shù)學(xué)最基本的概念，幾乎都是哲學(xué)的范疇，

對(duì)立的現(xiàn)象大量地存在于數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域之中。因而運(yùn)用雅努斯思維對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析和

研究，不但是必要的，而且也是可能的。下面我們將通過具體例子，來闡述雅努斯思維在數(shù)

學(xué)解題中的應(yīng)用。

例1平面上給定2n個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不共線，如果紅、藍(lán)顏色的點(diǎn)各有n個(gè)，證明：

可將一紅一藍(lán)連成互不相交的線段。

分析不妨將一紅一藍(lán)連成互不相交的線段看作問題的正面，

問題的反面是連成相交的線段。把這兩種相反的情況同時(shí)加以

比較和考慮。為了把情況看得更清楚，我們先研究最簡(jiǎn)單的情

況，假定n=2,即平面上有四個(gè)點(diǎn)，記A%,4At4(i=l,2)

為紅點(diǎn),B,(i=l,2)為藍(lán)點(diǎn)。如圖,從與與相交,

4用與4員不相交，由三角形兩邊之和大于第三邊可知，+耳+4打。這意

味著，在所有將一紅一藍(lán)的有限連接之中，互不相交的應(yīng)是n條線段長(zhǎng)度之和的最小者。事

實(shí)上，如果不管n條線段是否相交，就有有限種方法將2n個(gè)點(diǎn)一紅一藍(lán)連成n條線段，計(jì)

算出各種方法連接的線段之和為生,其中為為最小者。如果有MN和PQ相交，則該連MQ

和NP,就可以使MQ+NP〈用N+PQ,這樣所得到的q就小于小,這與劣的最小性矛

盾。

例2平面上有997個(gè)點(diǎn)，如果每?jī)牲c(diǎn)連一線段，并把中點(diǎn)涂成紅色，證明：平面上至少有

1991個(gè)紅點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出恰好有1991個(gè)紅點(diǎn)的例子。

分析因?yàn)槠矫嫔嫌?97個(gè)點(diǎn)，如果每?jī)牲c(diǎn)連成一條線段，則有C