第07講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（教師版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學銜接（新人教版）

第07講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【學習目標】1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程實根的存在性及實根個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．2.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義，能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系【基礎(chǔ)知識】一、一元二次不等式一般地，我們把只含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.二、二次函數(shù)的零點1.一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．2.二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標．3.一元二次方程的根是相應一元二次函數(shù)的零點．三、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關(guān)系【解讀】(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項系數(shù)是負數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．四、解一元二次不等式的一般步驟1.通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；2.計算對應方程的判別式；3.求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；4.根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．【解讀】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標．(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．五、解含參數(shù)的一元二次不等式1.若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；2.若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；3.若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論．六、簡單分數(shù)不等式的解法1.對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．2.對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立問題1.不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為空集的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【考點剖析】考點一：一元二次不等式的解法例1．(2022學年新疆喀什市普通高中高一上學期期末)解下列不等式：(1)；(2).【解析】(1)因為，所以方程有兩個不等實根x1＝－1，x2＝－3.所以原不等式的解集為或.(2)因為，所以方程有兩個相等實根x1＝x2＝所以原不等式的解集為.考點二：三個二次關(guān)系的應用例2．(2020-2021學年安徽省滁州市定遠中學高一上學期考試)已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是(

)A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】由題意得，即，所以即，解得．故選B考點三：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例3．解關(guān)于x的不等式【解析】關(guān)于x的不等式可化為(1)當時，，解得．(2)當，所以所以方程的兩根為-1和，當，即時，不等式的解集為或}，當，即時，不等式的解集為．當，即時，不等式的解集為或}，．(3)當時，因為方程的兩根為—1和，又因為，所以．即不等式的解集是，綜上所述：當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為或當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為或}，考點四：簡單分數(shù)不等式的解法例4．(多選)(2022學年湖南省懷化市高一上學期期末)集合也可以寫成(

)A． B．C．或 D．【答案】ABD【解析】對于集合，解不等式，即，解得，所以.對于A選項，，故A正確；對于B選項，解不等式，即，得，即，故B正確；對于C選項，與集合比較顯然錯誤，故C錯誤；對于D選項，等價于，故D正確.故選ABD考點五：一元二次不等式恒成立問題例5．(2020-2021學年廣東省江門市新會陳經(jīng)綸中學高一上學期期中)已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是(

)A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】當時，恒成立，符合題意；當時，由題意有，解得，綜上，.故選B.【真題演練】1．(2022學年浙江省強基聯(lián)盟高一下學期5月聯(lián)考)不等式的解集是(

)A． B．C．或 D．【答案】D【解析】原式化為，即，故不等式的解集為.故選D2.(2022學年浙江省“新高考名校聯(lián)盟”高一下學期5月檢測)一元二次不等式對一切實數(shù)恒成立，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由題，一元二次不等式對一切實數(shù)恒成立則，即，解得，故選B3.(2022學年重慶市石柱中學校高一上學期第一次月考)已知函數(shù)的圖象都在軸的上方，求實數(shù)的取值范圍(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】的圖象都在軸上方，①時，k＝－5或k＝1，k＝－5時，函數(shù)為一次函數(shù)，不滿足條件；k＝1時，y＝3滿足條件；故k＝1；②k≠－5且k≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，則，解得；綜上，.故選A.4.(多選)(2022學年江蘇省鹽城市大豐區(qū)新豐中學高一上學期期中)下列不等式的解集為R的有(

)A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1【答案】AC【解析】A中.滿足條件；B中，解集不為R；C中，滿足條件；D中不等式可化為2x2－3x＋3<0，所對應的二次函數(shù)開口向上，顯然不可能．故選AC5.(多選)(2022學年江蘇省南京市第一中學高一上學期10月月考)對于給定實數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集可能是(

)A． B． C． D．【答案】AB【解析】由，分類討論如下：當時，；當時，；當時，或；當時，；當時，或.故選AB.6.(2022學年湖南省衡陽市田家炳實驗中學高一上學期月考)已知二次函數(shù)圖象如圖所示.則不等式的解集為_________.【答案】【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，為方程的兩根，故，即，則即，也即，，解得或.故不等式解集為.7.(2020-2021學年浙江省衢州五校高一上學期11月期中聯(lián)考)(1)若不等式的解集為，求的值.(2)不等式的解集為A，求集合A.【解析】(1)由題意得：－1，3就是方程的兩根，∴，則，∴；(2)將不等式轉(zhuǎn)化為，∴或，∴或.8.(2022學年廣東省江門市廣雅中學高一上學期月考)求下列不等式的解集．(1)；(2)【解析】(1)即，故，解得，故的解集為(2)即，即，即，解得或，故解集為【過關(guān)檢測】1.(2022學年安徽省亳州市利辛縣第一中學高一下學期4月聯(lián)考)不等式的解集為(

)A． B．或C． D．或【答案】B【解析】依題意可得，故，解得或，所以不等式的解集為或，故選B．2.(2022學年陜西省西安市長安區(qū)高一下學期月考)若不等式對一切實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因為恒成立所以恒成立恒成立恒成立故解之得：故選A3.(2022學年廣東省化州市第三中學高一下學期3月考試)已知不等式的解集是，則的值為(

)．A．1 B． C．0 D．【答案】C【解析】因為不等式的解集是，所以，解得，所以，故選C．4.(2022學年甘肅省定西市高一下學期統(tǒng)一檢測)若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式，即，當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有3個整數(shù)，這3個整數(shù)只能是4，5，6，故；當時，不等式解集為，此時不符合題意；當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有3個整數(shù)，這3個整數(shù)只能是0，1，2，故；故實數(shù)m的取值范圍為．故選C5.(多選)(2022學年福建省晉江市第一中學高一上學期月考)已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是(

)A． B．不等式的解集為C．不等式的解集為或 D．【答案】AD【解析】對于A，由不等式的解集可知：且，，，A正確；對于B，，又，，B錯誤；對于C，，即，解得：，C錯誤；對于D，，D正確.故選AD.6.(多選)(2022學年安徽省皖西地區(qū)高一下學期期中大聯(lián)考)若不等式的解集為，則下列說法正確的是(

)A． B．C．關(guān)于的不等式解集為 D．關(guān)于的不等式解集為【答案】ABD【解析】因為不等式的解集為，所以，故，此時，所以A正確,B正確；，解得：或.所以D正確；C錯誤.故選ABD7.(2022學年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學高一上學期月考)若不等式在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】當時，不等式為滿足題意；當時，需滿足，解得綜上可得，a的取值范圍為8.(2022學年湖北省黃石市有色第一中學高一上學期期中)若不等式的解集為，則不等式的解集是________．【答案】【解析】的解集為，和是方程的兩根且，，即；則可化為，，解得：或，即不等式的解集為.故答案為：.9.(2019-2020學年天津市紅橋區(qū)高一上學期期中)求下列不等式的解集：(1)；(2).【解析】(1)其中，即，所以或，故的解集為