大學(xué)物理學(xué) 量子力學(xué)三

§20.1薛定諤方程(SchrodingerEquation)描述粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)和粒子所處條件的關(guān)系首先由薛定諤得出，稱(chēng)為薛定諤方程。一．動(dòng)量為P、能量為E的自由粒子的薛定諤方程的建立一維自由粒子物質(zhì)波的波函數(shù):第20章薛定諤方程分別對(duì)x和t求導(dǎo)

（算符表示）1對(duì)一維自由粒子：可得一維自由粒子的薛定諤方程：整理后得能量E和動(dòng)量p的算符表示：三維的：2一維自由粒子的薛定諤方程式中：稱(chēng)為拉普拉斯算符三維自由粒子的薛定諤方程二．薛定諤一般方程當(dāng)粒子處在勢(shì)場(chǎng)中時(shí)，粒子的能量：與上同樣推導(dǎo)：非自由粒子的薛定諤方程引入哈密頓算符：薛定諤一般方程3三．定態(tài)薛定諤方程（StationaryStateSchrodingerEquation）一般地勢(shì)場(chǎng)：當(dāng)勢(shì)場(chǎng)僅僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的波函數(shù)可分解為：此時(shí)微觀粒子所處的狀態(tài)稱(chēng)為定態(tài)；波函數(shù)稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)。滿(mǎn)足的方程即是定態(tài)薛定諤方程。薛定諤一般方程：4代入薛定諤一般方程：得（1）（2）兩邊同除=E5定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)

波函數(shù)必須是時(shí)間、坐標(biāo)的單值、有限、連續(xù)函數(shù)，這稱(chēng)為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。在整個(gè)空間粒子的概率分布是不隨時(shí)間變化的，這就是定態(tài)（穩(wěn)定的態(tài)）的含義。由(1)式可得：由(2)式可得：

6量子力學(xué)處理問(wèn)題的方法1.分析、找到粒子在勢(shì)場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)U，寫(xiě)出薛定諤方程。2.求解

，并根據(jù)初始條件、邊界條件和歸一化條件確定常數(shù)。3.由

2

得出粒子在不同時(shí)刻、不同區(qū)域出現(xiàn)的概率或具有不同動(dòng)量、不同能量的概率。72.定態(tài)薛定諤方程:令：得

阱內(nèi)：§20.2一維定態(tài)問(wèn)題一.一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子(ParticlesintheOne-dimensioninfinitepotentialwell)

阱外：

必有1.勢(shì)函數(shù)(Potentialenergy)

0xU(x)=0

aU83.分區(qū)求通解（B

0）

4.由波函數(shù)自然條件和邊界條件定特解0xU(x)=0

a

阱外：

阱內(nèi)：（這里：）(A和B系數(shù)待定)方程解：9(1)能量本征值（energyeigenvalues)得：

能量取分立值,每一個(gè)值對(duì)應(yīng)一個(gè)能級(jí)

當(dāng)時(shí)，量子化能量轉(zhuǎn)為連續(xù)能量

最低能量(零點(diǎn)能或基態(tài))En能量或能級(jí)是量子化的能量本征值主量子數(shù)波動(dòng)性(Principlequantumnumber)10(2)本征函數(shù)(eigenfunction)由歸一化波函數(shù)求系數(shù)B：能量的本征函數(shù)含時(shí)的能量本征函數(shù)由每個(gè)本征函數(shù)所描述的粒子的狀態(tài)稱(chēng)為粒子的能量本征態(tài)。歸一化條件：11(3)概率密度當(dāng)時(shí)，量子→經(jīng)典當(dāng)a為宏觀距離時(shí)，

En0,這也相當(dāng)于過(guò)渡到經(jīng)典物理學(xué)中連續(xù)能量的情況。

從能級(jí)上看：12(4)勢(shì)阱中粒子的動(dòng)量粒子的德布羅意波長(zhǎng)波長(zhǎng)也是量子化的無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)對(duì)應(yīng)于一個(gè)德布羅意駐波；并有相應(yīng)的特定波長(zhǎng)

n

。兩端是波節(jié)的情況——駐波(取實(shí)部）13例題設(shè)無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的一個(gè)量子態(tài)是基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)，而且粒子處于基態(tài)的概率為1/4，第一激發(fā)態(tài)的概率為3/4。求這一疊加態(tài)的概率分布。解：一維無(wú)限深勢(shì)阱的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為：由題處于各態(tài)的概率，可得疊加態(tài)的波函數(shù)為：此疊加態(tài)的概率分布為：141．梯形勢(shì)二、

隧道效應(yīng)(TunnelingEffect)定態(tài)薛定諤方程：0xU=U0U=0EU通解：通解：15特解：

電子逸出金屬表面的模型（E

U＝U0,衰減解）(E

U＝0,振動(dòng)解）通解：

162.隧道效應(yīng)（勢(shì)壘貫穿）(PotentialBarrierandTunneling)0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③入射能量E<U0

經(jīng)典理論：粒子不能進(jìn)入E<U0的區(qū)域（動(dòng)能<0）和穿過(guò)勢(shì)壘。將完全被彈回。量子理論：粒子可透入勢(shì)壘。一維定態(tài)薛定諤方程：①區(qū)：②區(qū)：③區(qū)：17穿透概率：0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③待定常數(shù)，由問(wèn)題的邊界條件和歸一化條件決定①區(qū):波動(dòng)形式②區(qū):指數(shù)衰減③區(qū):波動(dòng)形式區(qū)域③中的波函數(shù)不為零。量子隧穿效應(yīng)：在區(qū)域①中的粒子具有穿透勢(shì)壘進(jìn)入?yún)^(qū)域③的概率，這種現(xiàn)象稱(chēng)為量子隧穿效應(yīng)。當(dāng)U0?E=5eV，勢(shì)壘寬度a約50nm以上時(shí)，此時(shí)隧道效應(yīng)穿透系數(shù)會(huì)小于6個(gè)數(shù)量級(jí)以上。此時(shí)隧道效應(yīng)實(shí)際上已沒(méi)有意義了，量子概念過(guò)渡到了經(jīng)典。18怎樣理解粒子通過(guò)勢(shì)壘區(qū)?Δx=a很小時(shí)，ΔP很大，使ΔE也很大，以至可以有：

ΔE>U0

?E→

E+ΔE>U0經(jīng)典物理：從能量守恒角度看是不可能的。量子物理：粒子有波動(dòng)性，遵守不確定關(guān)系。只要?jiǎng)輭緟^(qū)寬度Δx=a不是無(wú)限大，粒子能量就有不確定量ΔE。0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③19201.測(cè)樣品表面：控制Ｓ，使I保持恒定；2.分辨樣品表面離散的原子，分辨率橫向0.1nm，縱向0.01nm，電子顯微鏡（0.3~0.5nm）3.重新排列原子（1990年用35個(gè)Xe原子在Ni表面拼綴出IBM——納米技術(shù)正式誕生）。3、掃描隧道顯微鏡(STM)(ScanningTunnelingMicroscopy)1982年IBM公司金屬樣品電子云Ub——微小電壓s隧道電流I電子云重疊4.放大倍數(shù)可達(dá)1億倍。21

為獲得單個(gè)的原子，科學(xué)家們?cè)谝徽婵帐覂?nèi)設(shè)置了一個(gè)“陷阱”，它們將6條激光束聚焦在一個(gè)點(diǎn)上，然后注入氣態(tài)銫。當(dāng)一個(gè)原子進(jìn)入激光束，便拍攝一張照片，需拍攝上百萬(wàn)張照片。每當(dāng)一個(gè)原子進(jìn)入陷阱，科學(xué)家便用光學(xué)鉗即兩條激光束將其抓住。這兩條光與上述用6條激光束組成的光陷阱不同，因?yàn)樽鳛楣鈱W(xué)鉗的兩條激光束的光子不僅作為微型球通過(guò)這一區(qū)域，在球內(nèi)還有一電場(chǎng)，靠電場(chǎng)的力抓住單個(gè)原子。但激光的抓力太弱，為提高抓力，科學(xué)家將激光束聚焦到1/30毫米的一個(gè)點(diǎn)上，這樣就可以準(zhǔn)確地在該點(diǎn)上抓住原子。1990年，IBM兩位科學(xué)家用顯微鏡探針移動(dòng)了吸附在金屬鎳表面上的氙原子，他們經(jīng)過(guò)22小時(shí)的操作，把35個(gè)氙原子排成了“IBM”的字樣。這幾個(gè)字母高度約是一般印刷用字母的二百萬(wàn)分之一，原子間間距只有1.3納米左右。這是人類(lèi)有目的、有規(guī)律地移動(dòng)和排布單個(gè)原子的開(kāi)端。2248個(gè)Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.Fe原子間距：0.95nm，圓圈平均半徑：7.13nm。1991年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個(gè)移動(dòng)氙原子，拼成了字母IBM，每個(gè)字母長(zhǎng)5納米。231991年2月IBM的“原子書(shū)法”小組又創(chuàng)造出“分子繪畫(huà)”藝術(shù)—“CO小人”圖中每個(gè)白團(tuán)是單個(gè)CO分子豎在鉑片表面上的圖象，上端為氧原子CO分子的間距：0.5nm“分子人”身高：5nm堪稱(chēng)世界上最小的“小人圖”移動(dòng)分子實(shí)驗(yàn)的成功，表明人們朝著用單一原子和小分子構(gòu)成新分子的目標(biāo)又前進(jìn)了一步，其內(nèi)在意義目前尚無(wú)法估量。2425三、一維諧振子(one-dimensionharmonicoscillator)1.勢(shì)函數(shù)m—振子質(zhì)量，

—固有頻率，x—位移2.哈密頓量3.定態(tài)薛定諤方程26

能量本征值