新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)真題分類(lèi)1-3不等式練習(xí)含答案

1.3不等式考點(diǎn)1不等式性質(zhì)與解法1.(2022全國(guó)甲理,12,5分)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,則(A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b答案A解法一:當(dāng)x∈0,π2時(shí),sinx<x<tanx,又14∈0,π2,所以tan14>14.由cb=4tan14>4×14=1,可得c>b.當(dāng)x∈R時(shí),|x|≥|sinx|,即x2≥sin2x,所以x22≥sin2x2,所以x22≥2sin2x2=1-cosx解法二:當(dāng)x∈0,π2時(shí),sinx<x①比較a與b.b=cos14=cos2×18=1?2sin218,故b-a=132②比較b與c.當(dāng)x∈0,π2時(shí),由x<tanx可知∴cos14<4sin14綜上可知,c>b>a.故選A.2.(2014大綱全國(guó)文,3,5分)不等式組x(xA.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,所以不等式組的解集為{x|0<x<1},故選C.3.(2014浙江文,7,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,則()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9答案C由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,由①②,解得a=6,b=11,∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故選C.4.(2013重慶,7,5分)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=()A.52B.72C.15答案A解法一:∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系知x∴x2-x1=(x1+又∵a>0,∴a=52,故選解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(-2a,4a),又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(x1,x2),∴x1=-2a,x2=4a.∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得a=52,故選5.(2019課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是5?125?12≈0.618,稱為黃金分割比例,著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是5?12.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長(zhǎng)為105A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm答案B本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力,以及方程思想;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算.由人體特征可知,頭頂至咽喉的長(zhǎng)度應(yīng)小于頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度,故咽喉至肚臍的長(zhǎng)度應(yīng)小于260.618≈42cm,可得到此人的身高應(yīng)小于26+42+26+420.618≈178同理,肚臍至足底的長(zhǎng)度應(yīng)大于腿長(zhǎng)105cm,故此人的身高應(yīng)大于105+105×0.618≈170cm,結(jié)合選項(xiàng)可知,只有B選項(xiàng)符合題意,故選B.一題多解用線段代替人,如圖.已知ab=cd=5?12≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,設(shè)此人身高為hcm,則由c<26,c所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,由a<68.07,a整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,即169.89<h<178.22(單位:cm).故選B.6.(2015浙江文,6,5分)有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一種顏色,且三個(gè)房間顏色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位:元/m2)分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費(fèi)用(單位:元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz答案B用粉刷費(fèi)用最低的涂料粉刷面積最大的房間,且用粉刷費(fèi)用最高的涂料粉刷面積最小的房間,這樣所需總費(fèi)用最低,最低總費(fèi)用為(az+by+cx)元,故選B.7.(2015北京文,10,5分)2-3,312,log25三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是答案log25解析∵2-3=18<1,1<312<2,log2∴這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為log25.8.(2015江蘇,7,5分)不等式2x2?x答案{x|-1<x<2}解析不等式2x2?x<4可轉(zhuǎn)化為2x2?x<22,利用指數(shù)函數(shù)y=2x5.(2015廣東,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集為.(用區(qū)間表示)

答案(-4,1)解析不等式-x2-3x+4>0等價(jià)于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.10.(2014湖南文,13,5分)若關(guān)于x的不等式|ax-2|<3的解集為x-53<x<13,則a=.

答案-3解析依題意,知a≠0.|ax-2|<3?-3<ax-2<3?-1<ax<5,當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為?1從而有5a=13,?1a=?53,11.(2013廣東理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集為.

答案{x|-2<x<1}解析x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.考點(diǎn)2基本不等式1.(2015陜西,理9,5分)設(shè)f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(ab),q=fa+b2,r=1A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C由題意得p=lnab,q=lna+b2,r=12(lna+lnb)=lnab=p,∵0<a<b,∴a+b22.(2015福建理,5,5分)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),則a+bA.2B.3C.4D.5答案C因?yàn)橹本€xa+yb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以1a+1b=1.所以a+b=(a+b)·1a+1b=2+ab+ba≥2+23.(2015湖南文,7,5分)若實(shí)數(shù)a,b滿足1a+2b=ab,則abA.2B.2C.22D.4答案C依題意知a>0,b>0,則1a+2b≥22ab=22ab,當(dāng)且僅當(dāng)1a=2b,即b=2a時(shí),“=”成立.因?yàn)?a+2b=ab,所以ab≥22ab,即ab≥4.(2014重慶文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,則a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43答案D由log4(3a+4b)=log2ab,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=4bb?3,∴a+b=b+4bb?3=b+4(b?3)+12b?3=(b-3)+12b?35.(2014福建,9,5分)要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C設(shè)底面矩形的長(zhǎng)和寬分別為am、bm,則ab=4.容器的總造價(jià)為20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40ab=160(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立).故選C.6.(多選)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC因?yàn)閤2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤(x+y)24,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-34(x+y)2=14(x+y)2,故(x+y)2≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立,即-2≤x+y≤2,故A錯(cuò)誤,B正確.由xy≤x2+y22得1=x2+y2-xy≥x2+y2-x2+y22,即x2+y27.(多選)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,則()A.a2+b2≥12C.log2a+log2b≥-2D.a答案ABD∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a.ab≤a+對(duì)于A選項(xiàng),a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2a?122+12≥12,當(dāng)且僅當(dāng)a=對(duì)于B選項(xiàng),a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴12<22a-1<2,∴2a-b>12成立,B對(duì)于C選項(xiàng),∵0<ab≤14,a>0,b>0∴l(xiāng)og2a+log2b=log2(ab)≤log214=-2,C不正確對(duì)于D選項(xiàng),∵(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+a+b=2,∴a+8.(2019天津文,13,5分)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則(x+1)(2y答案9解析本題主要考查基本不等式的運(yùn)用.考查學(xué)生對(duì)基本不等式及其簡(jiǎn)單變形使用條件的掌握程度,以及學(xué)生的推理、運(yùn)算能力.(x+1)(2y+1)xy=2∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2x·2y,解得0<xy≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2,即x=2且y=1時(shí)“=”成立.此時(shí)1xy≥12,∴2+5xy≥2+52=思路分析首先將分子展開(kāi),并把已知條件x+2y=4代入,則原式化簡(jiǎn)為2+5xy,注意到x與2y的和為定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最終得到原式的最小值,在此應(yīng)特別注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”,注意等號(hào)是否成立9.(2018江蘇,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

答案9解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.依題意畫(huà)出圖形,如圖所示.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即12csin60°+12asin60°=12∴a+c=ac,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+c當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac,即a=32,c=3一題多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD為∠ABC的平分線,∴BABC=ADDC=∵DE∥CB,∴ADAC=AEAB=DEBC∴BE=aa+cBA,∴BD=aa+c∴BD2=a∴1=aa+cBA2+ca+cBC2+2·aa∴1=(ac)2(a∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,當(dāng)且僅當(dāng)ca=4a一題多解2以B為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴Ac2,3∵A,D,C三點(diǎn)共線,∴AD∥DC,∴1?c2?3∴ac=a+c,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,當(dāng)且僅當(dāng)ca=4a10.(2017山東,12,5分)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為答案8解析由題設(shè)可得1a+2∴2a+b=(2a+b)1a+2b=2+ba