熱點09相似三角形(原卷版+解析)

熱點09相似三角形考察方向考察方向中考中，相似三角形主要考察相似三角形的基本概念、性質(zhì)及判定三角形相似的證明及計算相似三角形與四邊形、圓的綜合運用相似三角形與函數(shù)的綜合運用滿分技巧滿分技巧相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.【注意】此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.【注意】要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。位似（1）位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．（2）位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上；

（2)位似圖形的對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中（如圖），點、分別為、的中點，則（

）A． B． C． D．2．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，于點，，，，則的長是（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．4．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，是的中點，，交于點，如果，那么菱形的周長是（）A． B． C． D．5．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，在中，，四邊形的面積為21，則的面積是（

）A． B．25 C．35 D．636．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，以下說法中錯誤的是（

）A． B．點C、點O、點C′三點在同一直線上C． D．7．（2015·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的長是(

)A． B． C． D．二、填空題8．(2023·湖南婁底·中考真題）若，則________．9．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．10．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．11．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點D，E分別為邊，上的點，試添加一個條件：_____，使得與相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）12．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩(wěn)固，在，間加綁一條安全繩（線段），量得，則________．13．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，連接BF，寫出圖中任意一對相似三角形：_____．14．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將以點為位似中心，為位似比作位似變換，得到．已知，則點的坐標(biāo)是__________．15．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點E，連接CF并延長，交AB于點D，過點F作FG∥BC，交AC于點G．設(shè)三角形EFG，四邊形FBCG的面積分別為S1，S2，則S1：S2＝_____．16．(2023·湖南岳陽·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是______步．三、解答題17．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，軸，O為坐標(biāo)原點，A的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象的一支過A點，反比例函數(shù)的圖象的一支過B點，過A作軸于H，若的面積為．（1）求n的值；（2）求反比例函數(shù)的解析式．18．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在半徑為5cm的中，AB是的直徑，CD是過上點C的直線，且于點D，AC平分，E是BC的中點，．（1）求證：CD是的切線；（2）求AD的長.19．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，內(nèi)接于是的直徑，與相切于點B，交的延長線于點D，E為的中點，連接．（1）求證：是的切線．（2）已知，求O，E兩點之間的距離．20．(2023·湖南湘西·中考真題）如圖，是⊙O的直徑，是⊙O的切線，交⊙O于點E．（1）若D為的中點，證明：是⊙O的切線；（2）若，，求⊙O的半徑的長．21．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，N是邊上的一點，D為的中點，過點A作的平行線交的延長線于T，且，連接．（1）求證：；（2）在如圖中上取一點O，使，作N關(guān)于邊的對稱點M，連接、、、、得如圖．①求證：；②設(shè)與相交于點P，求證：．難點突破難點突破B卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．82．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點是雙曲線上任意一點，連接，過點作的垂線與雙曲線交于點，連接．已知，則（）A． B． C． D．3．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰三角形中，，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（

）A．20 B．22 C．24 D．264．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知點在第一象限，且，點在軸上，當(dāng)為直角三角形時，點的坐標(biāo)為（

）A．，或 B．，或C．，或 D．，或5．（2015·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點C作CF∥AB，在CF上取一點E，使DE=CD，連接AE，對于下列結(jié)論：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE為⊙O的切線，一定正確的結(jié)論全部包含其中的選項是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④6．（2017·湖南長沙·中考真題）如圖，將正方形折疊，使頂點與邊上的一點重合（不與端點重合），折痕交于點，交于點，邊折疊后與邊交于點，設(shè)正方形的周長為，的周長為，則的值為（）A． B．C．D．隨點位置的變化而變化二、填空題7．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，于點，于點，于點，，則__________.8．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰的頂角的大小為，點D為邊上的動點（與、不重合），將繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度時點落在處，連接．給出下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有________（填結(jié)論對應(yīng)的序號）．9．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，連接，，則與的面積之比等于_______．10．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點、，，為的外接圓，過點作的切線交于點，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②；③若，則的長為；④；⑤若，則．11．（2011·湖南益陽·中考真題）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1；取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為_________________．12．(2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點C，CE交AB的延長線于點E，直徑AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足為點F，連接AC，OC，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②扇形OBC的面積為π；③△OCF∽△OEC；④若點P為線段OA上一動點，則AP?OP有最大值20.25．三、解答題13．(2023·湖南湘潭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，菱形的頂點的坐標(biāo)為．（1）求過點的反比例函數(shù)的解析式；（2）連接，過點作交軸于點，求直線的解析式．14．(2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點C在以為直徑的上，平分交于點D，過D作的垂線，垂足為E．（1）求證：與相切；（2）若，求的長；（3）請用線段、表示的長，并說明理由．15．(2023·湖南懷化·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，延長AB到點D，使CD=CA，且．（1）求證：是⊙O的切線．（2）分別過A、B兩點作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點，過C點作AB的垂線，垂足為點G．求證：．16．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A在以為直徑的⊙上，的角平分線與相交于點E，與⊙相交于點D，延長至M，連結(jié)，使得，過點A作的平行線與的延長線交于點N．（1）求證：與⊙相切；（2）試給出之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．17．(2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C，且過點．點P、Q是拋物線上的動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點P在直線OD下方時，求面積的最大值．(3)直線OQ與線段BC相交于點E，當(dāng)與相似時，求點Q的坐標(biāo)．18．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：經(jīng)過點和．（1）求拋物線的對稱軸．（2）當(dāng)時，將拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線．①求拋物線的解析式．②設(shè)拋物線與軸交于，兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，連接．點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點作于點．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．19．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點為的中點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，且交線段于點，的平分線交于點．（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關(guān)系是________，________；（2）如圖2，在（1）的條件下，過點作交于點，連接，．①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②求證：；如圖3，若，，過點作交于點，連接，，請直接寫出的值（用含的式子表示）．20．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）．①條邊成比例的兩個凸四邊形相似；（命題）②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；（命題）③兩個大小不同的正方形相似．（命題）（2）如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，，求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．

（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點O，過點O作EF∥AB分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFDE的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．熱點09相似三角形考察方向考察方向中考中，相似三角形主要考察相似三角形的基本概念、性質(zhì)及判定三角形相似的證明及計算相似三角形與四邊形、圓的綜合運用相似三角形與函數(shù)的綜合運用滿分技巧滿分技巧相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.【注意】此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.【注意】要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。位似（1）位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．（2）位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上；

（2)位似圖形的對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中（如圖），點、分別為、的中點，則（

）A． B． C． D．答案:D分析：證出是的中位線，由三角形中位線定理得出，，證出，由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)論．【詳解】解：點、分別為、的中點，是的中位線，，，，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．2．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，于點，，，，則的長是（

）A． B． C． D．答案:C分析：由題意易得，，則有，然后可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴；故選C．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．答案:B分析：設(shè)雕像的下部高為xm，由黃金分割的定義得求解即可．【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，∴

∴，即該雕像的下部設(shè)計高度約是1.24m，故選：B．【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．4．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，是的中點，，交于點，如果，那么菱形的周長是（）A． B． C． D．答案:D分析：由題意易得，則有，然后可得，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵是的中點，∴，即，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴；故選D．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，在中，，四邊形的面積為21，則的面積是（

）A． B．25 C．35 D．63答案:B分析：在中，，即可判斷，然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，難度不大，注意相似三角形的面積比等于相似比的平方．6．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，以下說法中錯誤的是（

）A． B．點C、點O、點C′三點在同一直線上C． D．答案:C分析：直接利用位似圖形的性質(zhì)進而分別分析得出答案．【詳解】∵以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，∴，點C、點O、點C′三點在同一直線上，，，∴C選項錯誤，符合題意．故選C．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2015·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的長是(

)A． B． C． D．答案:C分析：易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=,=，從而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【詳解】∵AB、CD、EF都與BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴，∴=,=，∴+=+==1.∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．(2023·湖南婁底·中考真題）若，則________．答案:分析：根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行化簡，代入求職即可．【詳解】由可得，，代入．故答案為．【點睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)化簡，準(zhǔn)確觀察分析是解題的關(guān)鍵．9．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．答案:∠ADE=∠B（答案不唯一）．分析：已知有一個公共角，則可以再添加一個角從而利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對應(yīng)成比例也可以判定．【詳解】解∶∵∠A=∠A，∴根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可添加條件證相似．故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【點睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．10．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．答案:8分析：根據(jù)三角形中位線定理求得DE∥BC，，從而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，則DE為中位線，所以DE∥BC，所以△ADE∽△ABC∴∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案為：8．【點睛】本題考查中位線及平行線性質(zhì)，本題難度較低，主要考查學(xué)生對三角形中位線及平行線性質(zhì)等知識點的掌握．11．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點D，E分別為邊，上的點，試添加一個條件：_____，使得與相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）答案:分析：根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊成比例，夾角相等解題．【詳解】解：根據(jù)題意，添加條件，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．12．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩(wěn)固，在，間加綁一條安全繩（線段），量得，則________．答案:1.2分析：根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，進而即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴3，故答案是：1.2．【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，掌握“平行線所截得的對應(yīng)線段成比例”，是解題的關(guān)鍵．13．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，連接BF，寫出圖中任意一對相似三角形：_____．答案:△ADF∽△ECF【詳解】分析：利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥CE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△ADF∽△ECF．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF，故答案為△ADF∽△ECF．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.14．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將以點為位似中心，為位似比作位似變換，得到．已知，則點的坐標(biāo)是__________．答案:．分析：直接利用位似圖形的性質(zhì)進而得出對應(yīng)點坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵將△AOB以點O為位似中心，為位似比作位似變換，得到△A1OB1，A（2，3），∴點A1的坐標(biāo)是：，即A1．故答案為：．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點E，連接CF并延長，交AB于點D，過點F作FG∥BC，交AC于點G．設(shè)三角形EFG，四邊形FBCG的面積分別為S1，S2，則S1：S2＝_____．答案:．分析：由三角形的重心定理得出BF=2EF，得出BE=3EF，由平行線得出△EFG∽△EBC，∴得出，即可得出結(jié)果．【詳解】∵點F是△ABC的重心，∴BF＝2EF，∴BE＝3EF，∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴，（）2，∴S1：S2；故答案為．【點睛】本題考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握三角形的重心定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．16．(2023·湖南岳陽·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是______步．答案:．分析：如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DE∥BC，則△ADE∽△ACB，列比例式可得結(jié)論.【詳解】如圖，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，設(shè)ED=x，則CD=x，AD=12-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴x=，故答案為.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，軸，O為坐標(biāo)原點，A的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象的一支過A點，反比例函數(shù)的圖象的一支過B點，過A作軸于H，若的面積為．（1）求n的值；（2）求反比例函數(shù)的解析式．答案:（1）1；（2）．分析：（1）將A的坐標(biāo)為代入,然后根據(jù)三角形的面積即可求出n的值；（2）過點B作BQ⊥x軸于點Q，利用△BOQ∽△OAH求出QO的值，再表示出B點坐標(biāo)，進而求出k2，即可求得y2的解析式．【詳解】解：（1）∵A，且軸∴AH=，OH=n又∵的面積為．∴,即解得，；（2）如圖：過點B作BQ⊥x軸于點Q，∵軸，∴BQ=AH=，又OH=1，則AO=2∵，∴∠AOH+∠BOQ=90°，又∠AOH+∠OAH=90°，∴∠OAH=∠BOQ，又∵∠OHA=∠BQO=90°，∴∴，即∴QO=3∵B位于第二象限∴B點的坐標(biāo)為（-3，）∵B在反比例函數(shù)的圖象上，∴∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及求反比例函數(shù)解析式，求出B(-3,)是解答此題的關(guān)鍵．18．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在半徑為5cm的中，AB是的直徑，CD是過上點C的直線，且于點D，AC平分，E是BC的中點，．（1）求證：CD是的切線；（2）求AD的長.答案:（1）證明見解析；（2）．分析：（1）連接OC，由題意知∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，據(jù)此得，根據(jù)AD⊥DC即可得證；（2）連接BC，證△ADC∽△ACB即可得．【詳解】解：（1）如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAO，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）如圖，連接BC，OE，∵E是BC的中點，，∴，∵AB是⊙O的直徑，AD⊥DC，半徑，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，，又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，則，∴．【點睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握切線的判定和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．19．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，內(nèi)接于是的直徑，與相切于點B，交的延長線于點D，E為的中點，連接．（1）求證：是的切線．（2）已知，求O，E兩點之間的距離．答案:（1）見解析；（2）分析：（1）連接，先推出，然后根據(jù)是斜邊上的中線，得出，從而可得，根據(jù)與相切，得到，可得，即，即可證明是的切線；（2）連接OE，先證明，可得，可求出AD，根據(jù)是的中位線，即可求出OE．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，則，∵是斜邊上的中線，∴，∴，∵與相切，∴，即，∴，即，∴，∴是的切線；（2）連接OE，∵，∴，∴，即，∴，∵是的中位線，∴．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定進而性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半，掌握知識點，結(jié)合現(xiàn)有條件靈活運用是解題關(guān)鍵．20．(2023·湖南湘西·中考真題）如圖，是⊙O的直徑，是⊙O的切線，交⊙O于點E．（1）若D為的中點，證明：是⊙O的切線；（2）若，，求⊙O的半徑的長．答案:（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑的長為4分析：（1）連接AE和OE，由直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切線；（2）在Rt△ACE中求得AE的長，證得Rt△ABERt△CAE，利用對應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】（1）連接AE，OE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵AC是圓⊙O的切線，∴AC⊥AB，在直角△AEC中，∵D為AC的中點，∴DE=DC=DA，∴∠DEA=∠DAE，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵∠DAE+∠OAE=90°，∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，∴OE⊥DE，∴DE

是⊙O的切線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ACE中，CA=6，CE=3.6=，∴AE=，∴∠B+∠EAB=90°，∵∠CAE+∠EAB=90°，∴∠B=∠CAE，∴Rt△ABERt△CAE，∴，即，∴，∴⊙O的半徑OA=．【點睛】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握切線的判定定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，N是邊上的一點，D為的中點，過點A作的平行線交的延長線于T，且，連接．（1）求證：；（2）在如圖中上取一點O，使，作N關(guān)于邊的對稱點M，連接、、、、得如圖．①求證：；②設(shè)與相交于點P，求證：．答案:(1)見解析；(2)①見解析，②見解析．分析：（1）先用，且證明出四邊形ATBN是平行四邊形，得到△TAD≌△CND，用對應(yīng)邊相等與等量代換，從而得出結(jié)論．（2）①連接AM、MN，利用矩形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，證明出△OCM是直角三角形，證明出Rt△OAT≌Rt△OCM，得到對應(yīng)角相等，則得到答案；②連接OP，由①中，得到∠OTM=∠OAP，點O、T、A、P共圓，由直徑所對的圓周角為直角，證明出∠OPT=90?，再根據(jù)等腰三角形的三線合一性得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵，且∴，且，∴四邊形ATBN是平行四邊形，∴，∴∠DTA=∠DCN，∵∠ADT=∠NDC，∵點D為AN的中點，∴AD=ND，∴△TAD≌△CND（AAS）∴TA=CN，∵，∴BN=CN，（2）①如圖所示，連接AM、MN，∵點N關(guān)于邊的對稱點為M，∴△ANC≌△AMC，∴∠ACN=∠ACM，∵AB=AC，點N為AC的中點，∴平行四邊形ATBN是矩形，∴∠TAB=∠ABN=∠ACN=∠ACM，∠BAN=∠MAC=∠CAN，AT=BN=NC=MC，∵OA=OC，∴∠CAN=∠ACO，∴∠TAB+∠BAN=∠ACM+∠ACO=90?，∴∠OAT=∠OCM=90?，在Rt△OAT和Rt△OCM中，∵AT=CM，∠OAT=∠OCM，OA=OC，∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS），∴∠AOT=∠COM，OT=OM，∴∠AOT+∠AOM=∠COM+∠AOM，∴∠TOM=∠AOC∵OA=OC，OT=OM，∵，∴；②如圖所示，連接OP，∵，∴∠OTM=∠OAP，∴點O、T、A、P共圓，∵∠OAT=90?，∴OT為圓的直徑，∴∠OPT=90?，∵OT=OM，∴點P為TM的中點，∵由（1）得△TAD≌△CND，∴TD=CD，∴點D為TC的中點，∴DP為△TCM的中位線，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、以及相似三角形的判定與性質(zhì)、圓中直徑的性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過等量代換，換出角相等，證明出直角三角形全等，再證明三角形相似．難點突破難點突破B卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8答案:B分析：證明△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可推導(dǎo)得出AC2=AD?AB，由此即可解決問題．【詳解】解：∵AD＝2，BD＝6，∴BA＝8，∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故選B．2．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點是雙曲線上任意一點，連接，過點作的垂線與雙曲線交于點，連接．已知，則（）A． B． C． D．答案:B分析：分別作AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，證明△AOE∽△OBF得到，結(jié)合反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義即可得到答案．【詳解】解：過A作AE⊥x軸，過B作BF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖，則∠AEO=∠BFO=90°，∴∠AOE+∠OAE=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BOF+∠AOE=90°，∴∠OAE=∠BOF，∴△AOE∽△OBF，∴，即，∴∵，，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，利用相似三角形的判定與性質(zhì)表示出是解題的關(guān)鍵．3．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰三角形中，，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（

）A．20 B．22 C．24 D．26答案:D分析：利用得到，所以則，解得，從而得到，然后計算兩個三角形的面積差得到四邊形DBCE的面積．【詳解】如圖，根據(jù)題意得，∴設(shè)，則，∴，解得，∴，∴四邊形DBCE的面積．故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了相似三角形的性質(zhì)．4．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知點在第一象限，且，點在軸上，當(dāng)為直角三角形時，點的坐標(biāo)為（

）A．，或 B．，或C．，或 D．，或答案:C分析：由題意可分當(dāng)時和當(dāng)時，然后根據(jù)題意進行分類求解即可．【詳解】解：由題意得：當(dāng)時，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∴；當(dāng)時，過點M作MB⊥x軸于點B，如圖所示：∴，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，解得：，∴當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，∴或；故選C．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及平面直角坐標(biāo)系點的坐標(biāo)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及平面直角坐標(biāo)系點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2015·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點C作CF∥AB，在CF上取一點E，使DE=CD，連接AE，對于下列結(jié)論：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE為⊙O的切線，一定正確的結(jié)論全部包含其中的選項是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④答案:D【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正確；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正確；∵△ABC不能確定為直角三角形，∴∠1不能確定等于45°，∴和不能確定相等，所以③錯誤；∵DA=DC=DE，∴點E在以AC為直徑的圓上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE為⊙O的切線，所以④正確．故答案為①②④．【點評】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定．6．（2017·湖南長沙·中考真題）如圖，將正方形折疊，使頂點與邊上的一點重合（不與端點重合），折痕交于點，交于點，邊折疊后與邊交于點，設(shè)正方形的周長為，的周長為，則的值為（）A． B．C．D．隨點位置的變化而變化答案:B【詳解】試題分析：設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，正方形的周長為m=8a，設(shè)CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，∵∠EMG=90°，∴∠DME+∠CMG=90°．∵∠DME+∠DEM=90°，∴∠DEM=∠CMG，又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，∴,即∴CG=△CMG的周長為CM+CG+MG=在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2即（2a-x）2+y2=（2a-y）2整理得4ax-x2=4ay∴CM+MG+CG==n．所以故選B．考點：1、正方形，2、相似三角形的判定與性質(zhì)，3、勾股定理二、填空題7．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，于點，于點，于點，，則__________.答案:6【詳解】分析：由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C＝∠ABC，BD=DC=BC，再根據(jù)∠BED=∠CFB=90°，可證△BED∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得.【詳解】∵AB=AC，∴∠C＝∠ABC，又∵AD⊥BC于D點，∴BD=DC=BC，又DE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BED=∠CFB=90°，∴△BED∽△CFB，∴DE：BF=BD：BC=1：2，∴BF=2DE=2×3=6cm，故答案為6.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，得到△BED∽△CFB是解本題的關(guān)鍵.8．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰的頂角的大小為，點D為邊上的動點（與、不重合），將繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度時點落在處，連接．給出下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有________（填結(jié)論對應(yīng)的序號）．答案:①②③分析：依題意知，和是頂角相等的等腰三角形，可判斷②；利用SAS證明，可判斷①；利用面積比等于相似比的平方，相似比為，故最小時面積最小，即，等腰三角形三線合一，D為中點時.【詳解】∵繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度得到∴，∴即∴∵得：（SAS）故①對∵和是頂角相等的等腰三角形∴故②對∴即AD最小時最小當(dāng)時，AD最小由等腰三角形三線合一，此時D點是BC中點故③對故答案為：①②③【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，手拉手模型，選項③中將面積與相似比結(jié)合是解題的關(guān)鍵.9．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，連接，，則與的面積之比等于_______．答案:分析：先根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：在中，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，在和中，，，，即與的面積之比等于，故答案為：．【點睛】本題考查了正切三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點、，，為的外接圓，過點作的切線交于點，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②；③若，則的長為；④；⑤若，則．答案:②④⑤分析：①根據(jù)線段垂直平分線定理，為的直徑，為的弦，即可得出結(jié)論；②根據(jù)段垂直平分線得出∠A+∠AED=90°，再證∠A+∠ABC=90°，等量代換即可；③根據(jù)已知條件先得出∠EBC的度數(shù)，再利用圓周角定理得∠EOC=2∠EBC，根據(jù)弧長公式計算即可；④根據(jù)角角相似證明△EFD∽△BFE即可得出結(jié)論；⑤先根據(jù)勾股定理得出BF的長，再根據(jù)等面積法得出ED，根據(jù)角角相似證明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可計算出結(jié)果．【詳解】解:①∵DE是的垂直平分線∴為的直徑，為的弦．故①不正確．②∵DE是的垂直平分線∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∴∠A+∠ABC=90°∴故②正確．③連接OD的長為．故③錯誤．④∵DE⊥AB，F(xiàn)是的切線∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴．故④正確．⑤∵，∴BF=∵∴在Rt△EDB中，，∵DE是的垂直平分線，∴，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽Rt△ACB∴∴∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24．故⑤正確．綜上所述：正確的有②④⑤．故答案為：②④⑤．【點睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及定理、勾股定理、切線的性質(zhì)、等面積法是常用的計算邊長的方法、靈活進行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵11．（2011·湖南益陽·中考真題）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1；取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為_________________．答案:【詳解】∵正六角星形A2F2B2D2C2E2邊長是正六角星形A1F1B1D1C1E邊長的，∴正六角星形A2F2B2D2C2E2面積是正六角星形A1F1B1D1C1E面積的．同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4邊長是正六角星形A1F1B1D1C1E邊長的，∴正六角星形A4F4B4D4C4E4面積是正六角星形A1F1B1D1C1E面積的．12．(2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點C，CE交AB的延長線于點E，直徑AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足為點F，連接AC，OC，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②扇形OBC的面積為π；③△OCF∽△OEC；④若點P為線段OA上一動點，則AP?OP有最大值20.25．答案:①③④．分析：利用垂徑定理對①進行判斷；利用圓周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，則利用扇形的面積公式可計算出扇形OBC的面積，于是可對②進行判斷；利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CE，然后根據(jù)相似三角形的判定方法對③進行判斷；由于AP?OP=-(OP-)2+，則可利用二次函數(shù)的性質(zhì)對④進行判斷．【詳解】∵弦CD⊥AB，AB是直徑，∴，所以①正確；∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，∴扇形OBC的面積=，所以②錯誤；∵⊙O與CE相切于點C，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，∴△OCF∽△OEC，所以③正確；∵AP?OP=(9-OP)?OP=-(OP-)2+，當(dāng)OP=時，AP?OP的最大值為=20.25，所以④正確，故答案為①③④．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形以及已知條件，熟練掌握和靈活運算相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.三、解答題13．(2023·湖南湘潭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，菱形的頂點的坐標(biāo)為．（1）求過點的反比例函數(shù)的解析式；（2）連接，過點作交軸于點，求直線的解析式．答案:（1）反比例函數(shù)解析式為；（2）直線的解析式為．分析：（1）由A的坐標(biāo)求出菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)確定出B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式即可．【詳解】過點A作軸，過B作軸，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖，，，∵四邊形OABC是菱形，，軸，，，，設(shè)過B點的反比例函數(shù)解析式為把B點坐標(biāo)代入得，k=32,所以，反比例函數(shù)解析式為；（2），，，，，又，，，，解得，，設(shè)BD所在直線解析式為，把，分別代入，得：解得，∴直線的解析式為．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．14．(2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點C在以為直徑的上，平分交于點D，過D作的垂線，垂足為E．（1）求證：與相切；（2）若，求的長；（3）請用線段、表示的長，并說明理由．答案:（1）詳見解析；（2）；（3），理由詳見解析分析：（1）連，據(jù)題意得，根據(jù)平分線的性質(zhì)，得，證明，再根據(jù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)為的直徑可得，證出，得到，代入數(shù)值求解即可；（3）由得，根據(jù)，得到，，聯(lián)立即可得到結(jié)果；【詳解】解：（1）連，據(jù)題意得，，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∴與相切．（2）為的直徑可得：，據(jù)（1）且，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．（3）．由得，∵，∴，，，由得，∴．【點睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，結(jié)合三角形相似的知識點進行求解是解題的關(guān)鍵．15．(2023·湖南懷化·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，延長AB到點D，使CD=CA，且．（1）求證：是⊙O的切線．（2）分別過A、B兩點作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點，過C點作AB的垂線，垂足為點G．求證：．答案:(1)見解析；(2)見解析．分析：(1)連接OC，∠CAD=∠D=30°，由OC=OA，進而得到∠OCA=∠CAD=30°，由三角形外角定理得到∠COD=∠A+∠OCA=60°，在△OCD中由內(nèi)角和定理可知∠OCD=90°即可證明；(2)證明AC是∠EAG的角平分線，CB是∠FCG的角平分線，得到CE=CG，CF=CG，再證明△AEC∽△CFB，對應(yīng)線段成比例即可求解．【詳解】解：(1)連接OC，如下圖所示：∵CA=CD，且∠D=30°，∴∠CAD=∠D=30°，∵OA=OC，∴∠CAD=∠ACO=30°，∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°，∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．(2)連接BC，如下圖所示：∵∠COB=60°，且OC=OB，∴△OCB為等邊三角形，∠CBG=60°，又CG⊥AD，∴∠CGB=90°，∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°，又∠GCD=60°，∴CB是∠GCD的角平分線，且BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF=BG，又BC=BC，∴△BCG≌△BCF，∴CF=CG.∵∠D=30°，AE⊥ED，∠E=90°，∴∠EAD=60°，又∠CAD=30°，∴AC是∠EAG的角平分線，且CE⊥AE，CG⊥AB∴CE=CG，∵∠E=∠BFC=90°，∠EAC=30°=∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴，即，又，∴．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等，屬于中考?？碱}型，熟練掌握切線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.16．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A在以為直徑的⊙上，的角平分線與相交于點E，與⊙相交于點D，延長至M，連結(jié)，使得，過點A作的平行線與的延長線交于點N．（1）求證：與⊙相切；（2）試給出之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．答案:（1）見詳解；（2）．分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為90°，，以及是的角平分線，推導(dǎo)出各個角度之間的關(guān)系，等量代換即可證出；（2）由圓周角相等推導(dǎo)出所對應(yīng)的弧相等進一步得到弦相等，據(jù)此得出為等腰三角形，再根據(jù)以及（1）中的，進一步通過推導(dǎo)角度關(guān)系得到，為等腰三角形，再根據(jù)子母型相似得到∽，最終根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出．【詳解】（1）如圖所示，∵,是的角平分線，∴，，又∵為直徑，∴，∴,∴，即與⊙相切．（2）∵，∴，∴,∴，∴為等腰三角形，又∵，∴，∴，又∵，且由（1）可得，，∴，即，∴為等腰三角形，在和中，，∴∽，∴，∴，又∵，故：．【點睛】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，切線的證明，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及判定以及相似三角形的性質(zhì)及判定等知識點，綜合運用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．(2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C，且過點．點P、Q是拋物線上的動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點P在直線OD下方時，求面積的最大值．(3)直線OQ與線段BC相交于點E，當(dāng)與相似時，求點Q的坐標(biāo)．答案:(1)拋物線的表達式為：；(2)有最大值，當(dāng)時，其最大值為；(3)或或或．分析：（1）函數(shù)的表達式為：y=a（x+1）（x-3），將點D坐標(biāo)代入上式，即可求解；（2）設(shè)點，求出，根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，兩種情況分別求解，通過角的關(guān)系，確定直線OQ傾斜角，進而求解．【詳解】解：(1)函數(shù)的表達式為：，將點D坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線的表達式為：…①；(2)設(shè)直線PD與y軸交于點G，設(shè)點，將點P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：并解得，直線PD的表達式為：，則，，∵，故有最大值，當(dāng)時，其最大值為；(3)∵，∴，∵，故與相似時，分為兩種情況：①當(dāng)時，，，，過點A作AH⊥BC與點H，，解得：，∴CH＝則，則直線OQ的表達式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點或；②時，，則直線OQ的表達式為：…③，聯(lián)立①③并解得：，故點或；綜上，點或或或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．18．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：經(jīng)過點和．（1）求拋物線的對稱軸．（2）當(dāng)時，將拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線．①求拋物線的解析式．②設(shè)拋物線與軸交于，兩點（點在點的右側(cè)