2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第一章第15節(jié)泰勒公式教師版

泰勒公式學(xué)問(wèn)與方法用簡(jiǎn)潔函數(shù)靠近困難函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種基本思想方法，泰勒公式就是利用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)靠近其他函數(shù)所得到的一個(gè)基本定理.1.泰勒公式：設(shè)函數(shù)在處存在n階導(dǎo)數(shù)，則，其中，是函數(shù)在處的n階導(dǎo)數(shù)值，是皮亞諾余項(xiàng)，它表示時(shí)，的高階無(wú)窮小.2.麥克勞林公式：當(dāng)時(shí)，泰勒公式變成，這個(gè)公式叫做麥克勞林公式，它是泰勒公式的特例.下面列出幾個(gè)常見(jiàn)的麥克勞林公式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.3.泰勒公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：（1）構(gòu)造不等式用于放縮：例如，我們?cè)谏厦娴柠溈藙诹止剑?）中將右側(cè)保留到一次項(xiàng)，其余全部丟掉，就可以得到一個(gè)常用的切線放縮不等式，若保留到二次項(xiàng)，則可以得到；類(lèi)似地，還可以得到，，，，，等不等式.（2）近似計(jì)算：泰勒公式綻開(kāi)的階數(shù)越高，計(jì)算的精度越高，但計(jì)算困難度也隨之上升，我們可以通過(guò)選擇恰當(dāng)?shù)木`開(kāi)階數(shù)，來(lái)達(dá)到我們須要的計(jì)算精度.4.提示：在高考數(shù)學(xué)中，我們放縮時(shí)運(yùn)用的以泰勒公式為背景的不等式，絕大多數(shù)都是一階的，也就是切線放縮；典型例題【例1】已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.【解析】，設(shè)，則，，，留意到，所以有端點(diǎn)效應(yīng)，而，所以，故，此時(shí)，，設(shè)，則，，，所以在上，又，所以，從而在上，因?yàn)椋?，故在上，易求得，所以恒成立，因?yàn)?，所以，即，滿意題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例2】若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】依據(jù)泰勒展式，，，所以當(dāng)時(shí)，，從而要使，只需，故，所以.【答案】【例3】（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【解析】解法1：依據(jù)泰勒綻開(kāi)式，，所以，，設(shè)，則，，，所以，，，，從而故，比較a、b、c的近似表達(dá)式簡(jiǎn)潔發(fā)覺(jué).解法2：，所以選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤，此時(shí)視察選項(xiàng)B、C知只需比較a和c的大小即可，設(shè)，則，，所以在上，所以，即，故，選B.解法3：，所以選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤，此時(shí)視察選項(xiàng)B、C知只需比較a和c的大小即可，留意到，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，從而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而在上，所以，即，所以，選B.解法4：設(shè)，，，則明顯、、在上都，且，，，，易證當(dāng)時(shí)，，所以，即三個(gè)函數(shù)在上的增長(zhǎng)速率是最大，居中，最小，而，，，所以必定有.【答案】B強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★★）若關(guān)于x的不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】解法1：,兩端同時(shí)加x得：，即①，設(shè)，則不等式①即為，明顯在R上，所以，從而，留意到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，因?yàn)椋?，從?解法2：，首先取得到，從而，其次，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又，所以，故a的取值范圍是.【答案】2.（★★★★）若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】解法1：，設(shè)，則恒成立，，設(shè)，則，，所以在上，又，所以，故在上，因?yàn)?，所以恒成立，從而，故在上，由洛必達(dá)法則，，所以.解法2：，由泰勒綻開(kāi)式，，所以當(dāng)時(shí)，，故，從而要使，只需，所以.【答案】3.（★★★★★）若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】解法1：明顯當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)隨意的實(shí)數(shù)a都成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在