2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)期中考試押題卷01測試范圍：第一章第二章3.1橢圓新人教A版選擇性必修第一冊

期中考試押題卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）留意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：人教A版2024選擇性必修第一冊第一章、其次章、3.1橢圓5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】∵，，三向量共面，∴存在實(shí)數(shù)，，使得，即，∴，解得，，．故選：B.2．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形．若，且，則的長為（

）A． B． C． D．5【答案】A【解析】依據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，易得，又因?yàn)?，?故選：A．3．經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】由于直線的傾斜角為，則該直線的斜率為，又因?yàn)?，，所以，解?故選：B.4．若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．至多有一個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)【答案】D【解析】因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.5．對(duì)于直線：（），現(xiàn)有下列說法：①無論如何改變，直線l的傾斜角大小不變；②無論如何改變，直線l肯定不經(jīng)過第三象限；③無論如何改變，直線l必經(jīng)過第一、二、三象限；④當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線：（），可化簡為：，即，則直線的斜率為，傾斜角為，故①正確；直線在軸上的截距為，可得直線經(jīng)過一二四象限，故②正確，③錯(cuò)誤；當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組斜率為的平行直線，故④正確；故選：C6．圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】表示以為圓心，以1為半徑的圓．設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，解得：，，所以：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為．故選：A．7．在棱長為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．四邊形是菱形 B．直線與所成的角的余弦值是C．直線與平面所成角的正弦值是 D．平面與平面所成角的正弦值是【答案】C【解析】分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，所以是平行四邊形，由正方體知，因此為菱形，A正確；，，，B正確；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得：，取，則，即，，，直線與平面所成的角正弦值是，C錯(cuò)；平面的一法向量是，，平面與面所成角的所以的余弦值為，其正弦值為，D正確．故選：C.8．橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，，又,，，，，則，即線段的長度的取值范圍是，故選：C第Ⅱ卷二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知向量，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，所以，故D正確.故選：BCD10．已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線必過定點(diǎn) B．與可能相離C．與可能相切 D．當(dāng)時(shí)，被截得的弦長為【答案】AC【解析】對(duì)于A，由可得，由,得，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓上，所以直線與不行能相離，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓上，所以直線與可能相切，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以被截得的弦長為：，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B．C的離心率為C．面積的最大值為 D．C上有且只有4個(gè)點(diǎn)P，使得是直角三角形【答案】ACD【解析】由題意，橢圓，可得，依據(jù)橢圓的定義，可得，所以A正確；依據(jù)離心率的定義，可得橢圓的離心率為，所以B不正確；由橢圓的幾何性質(zhì)，可得最大值為，所以C正確；因?yàn)橐詾橹睆降膱A的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，即方程組無解，所以以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的不存在；過作的垂線，交橢圓于兩點(diǎn)，此時(shí)可得直角和；過作的垂線，交橢圓于兩點(diǎn)，此時(shí)可得直角和，綜上可得，橢圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形，所以D正確.故選：ACD.12．在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B．存在點(diǎn)，使得平面C．的最小值D．頂點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】ABD【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，故，則，，對(duì)于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于_____________．【答案】【解析】三棱錐，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，則，所以等于．故答案為：.14．在線段上運(yùn)動(dòng)，已知，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】表示線段上的點(diǎn)與連線的斜率，因?yàn)樗杂蓤D可知的取值范圍是．故答案為：15．已知圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則______.【答案】【解析】因?yàn)閳A與圓相交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的方程為：，即，所以圓心到弦的距離為，所以弦，所以在中，，由余弦定理得，所以故答案為：16．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為_______．【答案】【解析】如圖，連接.設(shè)（），則.因?yàn)?，，所以?在中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為．故答案為：-2.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）在①過點(diǎn)，②圓E恒被直線平分，③與y軸相切這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知圓E經(jīng)過點(diǎn)，且______.(1)求圓E的一般方程；(2)設(shè)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】（1）方案一：選條件①.設(shè)圓的方程為，則，解得，則圓E的方程為.方案二：選條件②.直線恒過點(diǎn).因?yàn)閳AE恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又圓E經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑r＝1，所以圓E的方程為，即.方案三：選條件③.設(shè)圓E的方程為.由題意可得，解得，則圓E的方程為，即.（2）設(shè).因?yàn)镸為線段AP的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，所以M的軌跡方程為.18．（12分）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)，，.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【解析】（1）證明：連接DE，因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以，故，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）由題意得：均為等邊三角形且邊長為1，所以，，所以，設(shè)異面直線AG和CE所成角為，則19．（12分）已知兩點(diǎn)D（4，2），M（3，0）及圓C：，l為經(jīng)過點(diǎn)M的一條動(dòng)直線．(1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)D，求證：直線l與圓C相切；(2)若直線l與圓C相交于兩點(diǎn)A，B，從下列條件中選擇一個(gè)作為已知條件，并求△ABD的面積．條件①：直線l平分圓C；條件②：直線l的斜率為－3．【解析】（1）方法一：若直線l經(jīng)過點(diǎn)D，則直線l的方程為，即2x－y－6＝0．由題意，圓C的圓心為C（2，3），半徑，則圓心C（2，3）到直線l的距離為，所以直線l與圓C相切．方法二：由D（4，2）滿意C：，可知點(diǎn)D在圓C上，圓心為C（2，3）．若直線l經(jīng)過點(diǎn)D，則直線l的斜率，又，所以，所以l⊥CD．所以直線l與圓C相切．（2）選擇條件①：若直線l平分圓C，則直線l過圓心C（2，3），直線l的方程為，即3x＋y－9＝0．，點(diǎn)D（4，2）到直線l的距離，所以．選擇條件②：若直線l的斜率為－3，則直線l的方程為，即3x＋y－9＝0，此時(shí)圓心C（2，3）在直線l上，則，點(diǎn)D（4，2）到直線l的距離，所以．20．（12分）給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為．(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍，【解析】（1）由題意知，且，可得，故橢圓C的方程為，其“準(zhǔn)圓”方程為．（2）由題意，可設(shè)、，則有，又點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，所以，又，所以，所以的取值范圍是．21．（12分）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，平面平面，為線段的中點(diǎn).(1)證明：.(2)在直線BC上是否存在點(diǎn)，使得直線AF與平面ABP所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：作于，由平面平面ABC，且平面平面，得平面，∴.∵，，，由勾股定理得，所以，∴，，.在直角三角形中，由勾股定理可得.又.∴.（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，設(shè)，∴，.設(shè)是平面的法向量，∴，取，得，又.設(shè)直線與平面所成的角為，∴，化簡得，解得或.當(dāng)時(shí)，（在線段上）；當(dāng)時(shí)，（在線段的延長線上）∴存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或1.22．（12分）如圖所示，圓C的