2021屆黑龍江省佳木斯某中學(xué)高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)(含答案解析)

2021屆黑龍江省佳木斯一中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合A={%|y=log2。-1）}，B={y\y=Vx-1},則/nB=（）

A.。B.（l,+oo）C.[l,+8）D.[0,+8）

2.復(fù)數(shù)2=島。為虛數(shù)單位）的共舸復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知b,且cWO,則下列命題正確的是（）

A.如果a>b,那么巴>2B.如果ac<bc,那么a<匕

CC

C?如果a>b，那么評(píng)D.如果ac2Vbe2,那么a<b

4.sigm。汨函數(shù)/（t）=哀￡面是描述在資源有限的條件下種群增長(zhǎng)規(guī)律的一個(gè)最佳數(shù)學(xué)模型.某研究

所根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了一種病毒的sigm3d函數(shù)模型f（t）=]+e，（t_⑹，當(dāng)〃t*）=0,9K時(shí)，病

毒增長(zhǎng)達(dá)到最大，則t*約為（）（m9k2.2）

A.90B.83C.74D.63

5.對(duì)于向量a,b,定義axb為向量a,b的向量積，其運(yùn)算結(jié)果為一個(gè)

向量，且規(guī)定axb的模|axb\=|a||b|sinJ（其中。為向量a與b的夾

角），axb的方向與向量a,力的方向都垂直，且使得a,6,axb依

次構(gòu)成右手系.如圖所示，在平行六面體4BCZ）-EFGH中，NE4B=

/.EAD=/.BAD=60°,ABAD=AE=2,則(:蔡x：壽')?蒸=()

A.4B.8C.26D.4厘

6./是平面a外一條直線，過(guò)/作平面小使的"，這樣的0（）

A.只能作一個(gè)B.至少可以作一個(gè)

C.不存在D.至多可以作一個(gè)

7.設(shè)tana=：,COS（TT+0）=-“06（0,兀）），則tan（2a-/?）的值為（）

A.一三B.C.fD.三

24242424

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，最后執(zhí)行的i的值為（）

S=l,i=l

u___/^,H->,c/

結(jié)束■/干刖1-*-4D/

15.下列結(jié)論：①偶函數(shù)一定與丁軸相交;②奇函數(shù)丁=/。）在x=o處有定義，則/（0）=0

若且a>5,貝U（；『<（；）’；④若eR,且則<?>/.

正確的是一（寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論）.

2

16.12.與曲線y=-x相切于點(diǎn)P（e:e）處的切線方程是.

e

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.已知等差數(shù)列｛%｝，&3=4,a2+a6=10.

（1）求｛%J的通項(xiàng)公式；

（2）求償｝的前〃項(xiàng)和rn.

18.如圖，四棱錐P-H2CZ）中，F(xiàn)X_J底面,133），AC±.1D.底面,4BCD為梯形，

ABiiDC,.AB_BC,AB=BC=3，點(diǎn)E在棱尸8一上，且尸石=2EB-

（1）求證：平面p,48平面PCS；

（2）求證：PD〃：平面EAC.?

19.對(duì)于三次函數(shù)/(x)=a/+"2+以+d(a芋0),定義：設(shè)尸(尤)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)、=

f'(x)的導(dǎo)數(shù)，若/"(%)=0有實(shí)數(shù)解比,則稱點(diǎn)(xoJQo))為函數(shù)y=/(x)的“拐點(diǎn)”.己知函數(shù)

/(x)=x3-3x2+2x-2,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)求函數(shù)/(x)的“拐點(diǎn)”4的坐標(biāo)；

(2)求證f(x)的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱.

20.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等

于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和8配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件

這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：

A配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110)

頻數(shù)82042228

B配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106J10)

頻數(shù)412423210

(1)分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值，的關(guān)系式為y=

；'一居，&■：蝌，

1魅鼬士如4K蝮從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X(單位：元)，求X的分布列

14,喜里:M醒

及數(shù)學(xué)期望.(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組

的概率)

21.(本小題滿分13分)

已知.典U砥，盤(pán)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，,好到直線北&：=-：!上的射影為點(diǎn)嬲，且滿足

(I)求點(diǎn)孽的軌跡建的方程；

(n)過(guò)點(diǎn)豳悔L頸:作曲線線的兩條弦蹩.輜，設(shè).螞盤(pán)瀛?所在直線的斜率分別為，.，當(dāng)時(shí)，%變

化且滿足*評(píng)卷=r時(shí)，證明直線施■恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

22.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p=2sin。，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角

坐標(biāo)系xQy,直線/的參數(shù)方程是

。為參數(shù)).

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：

(2)設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)是M,N是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求MN的最大值.

23.已知函數(shù)/(%)=第.

(1)用定義證明函數(shù)/(%)在區(qū)間(-1,+8)上的單調(diào)性；

(2)求/(%)在區(qū)間［2,5］上的最大值和最小值.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：解：由A中y=log2(x-1),得到x-l>0,即％>1,

???A=(1,+co),

由8中丫=舊二1，得到久一120,即為21,

B=[1,+00),

則AClB=(l,+oo),

故選：B.

求出A與8中x的范圍，分別確定出A與8,求出A與B的交集即可.

此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.答案：D

解析:解：由于復(fù)數(shù)z=急=廣比),、=1+2i,故它的共軌復(fù)數(shù)為1-2i,共輒復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,-2),

故共舸復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

故選。.

利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)Z,可得它的共輛復(fù)數(shù)，從而得到共軌復(fù)數(shù)的坐標(biāo)，可

得共輾復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.

本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，虛數(shù)單位i的基運(yùn)算性質(zhì)，

復(fù)數(shù)與復(fù)平面

內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：D

解析：

本題主要考查了不等式的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

通過(guò)不等式的性質(zhì)和代入特值逐項(xiàng)分析即可.

解：當(dāng)c<0時(shí)，選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤，

C：例如a=2,6=1滿足。>兒但是三<；,故C錯(cuò)誤，

D：若ac2cbe2,則c?>0,由不等式的性質(zhì)可得a<b,故。正確，

故選。.

4.答案：C

解析：解：由/?*)=i+e-黑8=0-9K，得身E=0?9,

故e-o.2C-63)=a即一o.2(t*-63)=—》9X-2.2,所以廣=74,

故選：C.

/(t*)=0.9K時(shí)，解指數(shù)方程，即可求解.

本題考查了函數(shù)的方程問(wèn)題，涉及到解指數(shù)式方程的問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：。

解析：根據(jù)向量積定義知，向量久筋x瑟’垂直平面ABCD,且方向向上，設(shè):藕x：畫(huà)’與蠡所成

角為。.因?yàn)?48=^EAD=^BAD=60°,所以點(diǎn)E在底面ABC。上的射影在直線AC上.

鈍

作￡71AC于/,貝！|￡71平面ABCC,所以。+NE4=」.過(guò)/作〃_L/W于J,連接E/,由三垂線逆定

雪

理可得切JL4D.因?yàn)?E=2,Z.EAD=60°,所以4/=1-EJ=辰又乙CAD=30%1]LAD,所以4/=

富6..因?yàn)锳E=2,ElLAC,所以cosEA/=至=逆，

S?融爭(zhēng)

所以sinJ=sini--2'遙觸|=cosEAl=木',cosO=道.

最,S3

故(密；x：贏').國(guó)=\'^W'^\sinBAD\'^\.

cosd=8X71X7=4,故選D.

既作

6.答案：D

解析：

由平面與平面平行的性質(zhì)得這樣的平面夕有且只有1個(gè).

本題考查滿足條件的平面的個(gè)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).

解:當(dāng)a〃a時(shí)，過(guò)a作平面0,使得夕〃a,

由平面與平面平行的性質(zhì)得：

這樣的平面￡有且只有1個(gè).

。與a相交時(shí)，設(shè)平面為ea與a交點(diǎn)、為P,

根據(jù)題意Pe/7,P&a,則an/?=/且Pe/,這與。〃0矛盾，

???這樣的夕不存在.

綜上所述，過(guò)平面a外一條直線a與a平行的平面的個(gè)數(shù)為至多1個(gè).

故選：D.

7洛案：D

解析：解：:"加0:=9/。712&=^^=^7^=$85(乃+/5)=_。。5?=_*pG(0,Tr),

433

???cosp=-,sinp=-,tanp=

tan2a-tanp_7

???tan(2a—/?)=

l+tan2atan/?24'

故選：D.

根據(jù)題意可求得cos。=土sin￡=l，tanp=再利用正切的差角公式計(jì)算得到答案.

本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：D

解析：解：模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，如下；

S=1,i=1,

執(zhí)行第一次循環(huán)，5=2,1=2；

執(zhí)行第二次循環(huán)，S=5,i=3；

執(zhí)行第三次循環(huán)，S=26,i=4,

執(zhí)行第四次循環(huán)，S=21,i=5,

執(zhí)行第五次循環(huán)，S=16,i=6；

此時(shí)不滿足條件，終止循環(huán)，.??最后執(zhí)行的i值為6.

故選：D.

模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得出程序運(yùn)行后執(zhí)行的i值.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，在判斷程序框圖的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，模擬程序運(yùn)行是常用的方法.

9.答案：A

解析：解：：+6)=/(%),

.??/(x)的周期為6,

又y=/(x+3)為偶函數(shù)，

.-./(x+3)=/(-x+3),

???/(10)=/(4+6)=/(4)=/(I+3)=/(-I+3)=/⑵,

又1<￡<2，0<ln2<1,

1

???0<ln2<1<e2<2?

且/'(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，

1

???〃2)</(吟</(仇2)，

即f(10)<f(e為</(m2)，

故選：A.

利用/。+6)=〃%)得到函數(shù)的周期，結(jié)合丫=/。+3)為偶函數(shù)得到/(10)=/(2),從而將所求函

數(shù)的自變量放在了(0,3)范圍內(nèi)，利用單調(diào)性求得函數(shù)值的大小.

本題屬于基礎(chǔ)題，考查函數(shù)的性質(zhì)，能夠?qū)⒑瘮?shù)的性質(zhì)綜合運(yùn)用正確解題是我們高中數(shù)學(xué)的基本功.

10.答案：B

解析：解：???|曲+前|=|瓦？一前

:.BA-BF=0，

???Z.ABF=90°,

由射影定理得0依=OFxOA,

??.b2=ca,

又?“2=小+/,

.??c2=a2+ca,

???Q2+eq—=o,

2

A14-e—e=0,

解得e=U或e=U(舍)，

22k7

i+Vs

:.c=-----.

2

故選8.

先利用|瓦5+前|=|瓦？-麗I，推導(dǎo)出乙4BF=90。，再由射影定理得及=ca,由此能求出該雙曲

線的離心率.

本題考查雙曲線的離心率的求法，涉及到雙曲線性質(zhì)、向量、射影定理等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意函

數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.

11.答案：C

解析：試題分析：又負(fù)羯爛熨令口煲令=攬=媼域犀H?=胤⑴

又由茄!芻“二?鹿瞬=礴磷物樸咯雅Y威城罷物-H-礴=緘旗螂刖畫(huà)，（2）:“犀e（叫著就，由（1）、（2）可得

M

辭=一,

1部

"f球磁=巡城方叫馬，由噩錠一受士學(xué)麗書(shū)生，,圖工，得：,真含磁的單調(diào)增區(qū)間是

陶噂殿壇埠.

考點(diǎn)：1、由y=Asin（3%+0）的部分圖象確定其解析式；2、函數(shù)y=Asin（3%+?）的圖象變換.

12.答案：B

解析：解：,??四棱柱4BCD-&BiQDi的外接球體積為^兀,

.??四棱柱ABC。-&B1C1D1的外接球的半徑為1,

設(shè)四棱柱力BCD-41/小。1的高為h,則

???底面A8CD是邊長(zhǎng)為1的正方形，

:,V14-14-/i2=2，

???h=V2,

???四棱柱4BCD-4$傳也的側(cè)面積為4后.

故選：B.

利用四棱柱4BCD-481GD1的外接球體積為［兀，求出四棱柱4BCD-4B1GD1的外接球的半徑為

1,進(jìn)而求出四棱柱4BCD-&BiCiDi的高，即可求出四棱柱4BC0-4B1C1D1的側(cè)面積.

本題考查四棱柱4BC0-&&的。1的側(cè)面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出四棱柱4BC0-

力iBiG。］的高是關(guān)鍵.

13.答案：1

解析：解：根據(jù)題意，設(shè)尸為直線/的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸向圓C:（X+1）2+（y+l）2=1引切線，T

為切點(diǎn)，

圓C：（X+1）2+（y+1）2=1,圓心C為（一1,一1）,半徑r=l；

則|P7|=y/\PC\2-r2=J|PC|2-1，

當(dāng)PC的長(zhǎng)度最小時(shí)，切線長(zhǎng)|P7|最小，

而|PC|的最小值為圓心C到直線/的距離，則|PC|mm=d=bi需）+41=方，

則|P7|min=&』=l；

故答案為：1.

根據(jù)題意，設(shè)P為直線/的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C:（X+1）2+0+1）2=1引切線，T為切點(diǎn)，

由切線長(zhǎng)公式可得|PT|=,|PC|2_『=J|PC|2_1,分析可得當(dāng)PC的長(zhǎng)度最小時(shí)，切線長(zhǎng)|P7|最

小，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

本題考查圓的切線方程，涉及切線長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：叵

2

解析：

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了三角形內(nèi)角和定理，是基礎(chǔ)題.

直接由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得答案.

解：???乙4、乙B、NC成等差數(shù)列，

:*Z-A+z.6=2/.B,

又Z71+乙B+Z-C=7T,

:.34B=7T,

則NB=*可得sinB=叵.

32

故答案為立.

2

15.答案：②③④

解析：

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解命題涉及的函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的圖象特征.

解：①是一個(gè)錯(cuò)誤命題，因?yàn)橛械呐己瘮?shù)在％=0上沒(méi)有定義，就不可能相交，如函數(shù)y=x-2,此

函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，但與丫軸不相交；

②是一個(gè)正確命題，因?yàn)橐粋€(gè)奇函數(shù)如果在％=0有定義，則必有/（0）=0；

③是一個(gè)正確命題，因?yàn)楹瘮?shù),=（；）在定義域R上是減函數(shù)，所以若。力€及，且a>5,則

5<（異

④是一個(gè)正確命題，因?yàn)楹瘮?shù)事=<在定義域R上是增函數(shù),所以若且a>8,則a?

因此正確的是②③④.

故填②③④.

16.答案：y-2.X-e

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義即切線的斜率為導(dǎo)函數(shù)在自變量等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)的函數(shù)值，屬于

簡(jiǎn)單題.

2

解：切線斜率左二川口=一%」=2,

e

故切線方程是y-e=2(%-e),即y=2%-e.

故答案為：y=2x-e.

17.答案：解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛Q九｝公差為d,

由&+=I。，

可知2@4=10,=5,d—CI4—。3=1，

所以｛即｝其通項(xiàng)公式為：

冊(cè)=。3+(九―3)x1=n+l(nGN").

(2)7n=|+費(fèi)+,+…+箸①，

押=卷+/+盤(pán)+…+露②，

①-②得=1+*+套+…+點(diǎn)一普,

-T—1-L5—271+]n+1

2n-2日2兀+1'

1T_3n+3

2n^2~2n+1*

九+3

解析：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)及錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.

(1)由@2+。6=1。，得。4=5，求得(/=口4-03，由an=%+(九一3)Xd即可得解.

(2)利用錯(cuò)位相減法即可求和.

18.答案：證明：⑴由已知有乂g]_貿(mào)》[P41底面幺

PA1BO且為平面PAS內(nèi)兩條相交直線，

面71平面必小又RCu平面PRC，

?一平面P4P1平面PCS-

⑵連接在八交于點(diǎn)。，連接0月，

由已知有AB=BC=3yAB1SC，

-AC=3板，又就1版4?=45°，

?=又以"?得息"與加00相似，

,DODC,PE_DOPE

=

——=—=2,又由已知—=2...——o

ORARERORRR

,PDHOR，又PDu平面￡AC，。月u平面￡40，,PDM平面EAC.

解析：本題考查線面平行，面面垂直。

解題思路是：要想證面面垂直，先找出線面垂直，而要想證線面垂直先找出線線垂直，根據(jù)己知中

給出的條件和隱含的垂直條件找到線線垂直。要想證線面平行先找到線線平行，一般可采用找三角

形相似或中位線或平行四邊形等方法。

19.答案:解：(1)：/'(X)=3X2-6X+2,

/°(x)=6x—6,

令/〃(x)=6x-6=0,

得無(wú)=1,/(I)=-2

所以“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)為(1,一2)

(2)設(shè)P(x(),yo)是y=/(x)圖象上任意一點(diǎn)，則光=潟-3年+2x0-2

???P(Xo,yo)關(guān)于(1，-2)的對(duì)稱點(diǎn)P'(2-x0,-4-y0),

把P'(2—XQ,-4—y(j)代入y=f(x)，得左邊=-4~yo——x0+3就—2Ko—2

右邊=(2-%o)3—3(2-Xo)2+2(2—Xo)—2=一瑞+3XQ—2x()—2

???左邊=右邊，

???P'(2-&,-4-y0)在y=/(%)圖象上，

.??/(x)的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱.

解析：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的條件.

(1)根據(jù)“拐點(diǎn)”的定義求出/''(x)=0的根，然后代入函數(shù)解析式可求出“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo).

(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中心對(duì)稱的定義即可證明.

20.答案：(1)0.3,0.42(2)X的分布歹IJ為

X-224

P0.040.540.42

E(X)=2.68.

解析：(1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為左里=0.3,所以用A配方生產(chǎn)

颯

的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3.由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為匕上史=

0.42,所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42.

(2)用8配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90,94),[94,102),[102,110)的頻率分別

為0.04,0.54,0.42,因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列為

X-224

P0.040.540.42

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=-2x0.04+2x0.54+4x0.42=2.68.

21.答案：(1)『=直線48經(jīng)過(guò)(5,-6)這個(gè)定點(diǎn)

解析：試題分析：解：(I)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),又F(l,0),N(-l,y),從而:燕-利魏

__*!|*i|.[______11

磁'=修，[盛，燕丑、海=G況?一3,盛，懶樸三超.薜=0凱3—冥桿2、,=做

念罷罷塞

化簡(jiǎn)得好=，”即為所求的P點(diǎn)的軌跡C的對(duì)應(yīng)的方程............4分

(n)設(shè)超取就、鼠嗎㈤!：、血:所,蜥因=金-酶-期、蟒,：/=，鏘:-砥

將例B與解=到富聯(lián)立，得：％儲(chǔ)-噬)4%開(kāi)勤=期

?.?躺=二一獸①

峋

同理扇=丁一名②

而A8直線方程為：理一嬲=里二％［賽一磔，即期=」—需普號(hào)-③

演一同贏尚羯1M機(jī)時(shí)

.....................8分

由①②:乃+y=4^^-4=—=<--