北師大版（2019）選修第二冊(cè)第一章數(shù)列全章綜合檢測(cè)（含解析）

北師大版(2019)選修第二冊(cè)第一章數(shù)列全章綜合檢

測(cè)

一、單選題

1.等比數(shù)列｛叫中，q+“4+%=6,%+%+4>=24.則｛4｝的前9項(xiàng)之和為

()

A.18B.42C.45D.18或42

2.已知等差數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和為5"，若怎=81,%=13,若邑，Sl7-Sl6,其成等

比數(shù)列，則k=()

A.11B.13C.15D.17

3.已知等比數(shù)列｛〃〃｝滿足％=3,4+4+4=21,則%+%+%=

A.21B.42C.63D.84

4.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，且公比4￡(O,l)u(l,+8),則()

A.=S〃S3nB.Sn+l>Sn

C.S2n=S“(l+/〃)D.率-1=^-l

(>37、6

5.ai,。2,的，44是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列且公差分0,若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到

的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列，則3的值為()

a

A.-4或1B.1C.4D.4或一1

6.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，若不等式4H4S,,.對(duì)任意的恒成立，則稱

數(shù)列｛4｝為“和保值數(shù)列若｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，且仇+〃｝為"和保值數(shù)

列“，則q的取值范圍為()

A.[0,+oo)B.[-2,+co)C.[-l,+oo)D.[1,-K?)

7.設(shè)加7“分別為等差數(shù)列｛4｝與也｝的前〃項(xiàng)和，若行=詬工，則,等于

()

13「27「25c23

A.—B.—C.—D.—

23444138

8.已知數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，4>0,且冊(cè)％4+2=26加，若p+q=6,則〃〃?%=

)

A.27B.28C.29D.2'°

二、多選題

9.下列命題中是真命題的是（）

A.是“/（x）=sin（2s-，的最小正周期為萬”的必要不充分條件

UUUuuuLILIU

B.在AABC中，點(diǎn)。是線段BC上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），若4￡>=?MB+〃AC，則

工+士的最小值是9

mn

4i

C.已知數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，4=2,.+”，則數(shù)列上+“j的

前24項(xiàng)和為2

D.函數(shù)/（幻是定義在R上的偶函數(shù)且在［0,”）上為減函數(shù)，/（-2）=1,則不等式

〃xT）<l的解集為何-1<3｝

10.已知數(shù)列｛q,｝各項(xiàng)均是正數(shù)，。4a是方程V-4x+a=0（0<a<4）的兩根，下列

結(jié)論正確的是（）

A.若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛4｝前9項(xiàng)和為18

B.若數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的公差為2"^

C.若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛4｝公比為。且a=1,則q4-14q+l=0

D.若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，則%+%的最小值為2G

11.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,0向=武］（"€^）,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.'+3：為等比數(shù)列B.｛%｝的通項(xiàng)公式為可=不，

lAJ2-3

C.｛4｝為遞增數(shù)列D.的前〃項(xiàng)和7；=2"+2-3〃一4

12.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“=33〃-〃2,則（）

A.=34-2〃B.〃“>0時(shí)，〃的最大值為17

C.同+同+…+|%|=272D.同+同+…+|%>|=450

三、雙空題

13.設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為5“，滿足5"=(一1)%-口”(〃€")，則％=

四、填空題

2,n=l

14.若數(shù)列｛4｝滿足q=」_」_〃>],則/=.

15.已知數(shù)列｛4｝的前，項(xiàng)和為5“，且2s“=3"-1,若％=晦?！埃瑒t

a+4+么+用的值為.

16.等比數(shù)列｛《,｝中，4=1,%?%=64,貝Ij%n9=.

五、解答題

17.已知數(shù)列｛4｝滿足，q=-ll,且勺“=22+2"“+15(〃wN*).

⑴設(shè)2=烏薩(〃eN"),求數(shù)列也｝前三項(xiàng)的值及數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)c?=|a?|,求｛g｝的前"項(xiàng)和T”.

18.設(shè)｛%｝為等比數(shù)列，S.為其前〃項(xiàng)和，已知q向=2S.+1,〃eN*.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式.

(2)求數(shù)列｝嗎,｝的前“項(xiàng)和

19.已知數(shù)列｛q｝滿足4=3,4=懸+；^高?

(1)證明：數(shù)列｛〃〃,,｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)2=(2-?！?(2—-),求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和S,.

20.已知數(shù)列｛%,｝是公差不為零的等差數(shù)列，4=2,且q,4,%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列出｝滿足々=孑，二一廠=4,,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S..

21.已知等差數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和為S“，％=-5,S6=-12.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S“，并求當(dāng)〃取何值時(shí)S,有最小值.

22.在下列條件：

①數(shù)列｛/｝的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，4=2,且數(shù)列為常數(shù)列；②

S,=：a+〃+D(〃GN')；③4=l,S,=2S,i+l(〃N2,〃eN*W，任選一個(gè)條件,補(bǔ)

充在橫線上，并回答下面問題.

己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和S,.

參考答案:

I.D

【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出等比，從而求出生+為+%=±12,進(jìn)而求出前9項(xiàng)之和.

【詳解】

解析設(shè)公比為4，則％+。6+偈=(4+%+%)/，即24=6q：所以q=±2,

所以％+%+%=(471+O4+?7)<7=±12,

所以4+%+…+佝=42或18.

故選：D

2.A

【解析】

先根據(jù)題意求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出S“，再由

邑，4F，既成等比數(shù)列,列出式子求解即可.

【詳解】

解:由$9=9%=81,

解得：%=9,

又=13,

《=%-4d=1,

S?=n",

vS3,517-S16,1成等比數(shù)列,

?e-S3sA=(，7-S]6)=*

即9妙=332,

解得：攵=11.

故選：A.

答案第1頁，共16頁

3.B

【解析】

【詳解】

由ai+a3+a5=21得《(l+q^+q4)=211+q2+q4=7q2=233+35+37=

q2(q+4+%)=2x21=42,選B.

4.D

【解析】

【分析】

利用特殊值法，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除.對(duì)正確選項(xiàng)進(jìn)行證明.

【詳解】

令

則E=-2,S2=(-2)+(-4)=-6,S3=(-2)+(-4)+(-8)=-14,

對(duì)ABC選項(xiàng)，令〃=1,貝IJ：

Si=36,5,-5,=28,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

$2<S],所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

S2=-6,￡X(1+22)=_2X5=-10,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)數(shù)列｛凡｝的首項(xiàng)為q，公比”(0,1)51，”)，

i-q

1-4

所以(2-1]=醍-1,故D選項(xiàng)正確.

?)Sh

故選：D

答案第2頁，共16頁

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等比數(shù)列前W項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

【分析】

先利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式分別表示出生,4,出，進(jìn)而分別看4、%、生成等比數(shù)列，

4、4、%成等比數(shù)列和4、/、?4成等比數(shù)列時(shí)，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，得出2=?！改芎?/p>

=Cl\,ClA和"3~=a\'a4,進(jìn)而求得“I和〃的關(guān)系.

【詳解】

aa2

根據(jù)題意，出=4+"3=i+2d?4=毋+d若4、出、4成等比數(shù)列,則?2=a,a,,

(4+d)2=at(at+2d),

2222

a,+2a,d+d=a,+2a}dd=0,得至Ij4=0與條件dH0矛盾；

若4、,、4成等比數(shù)列，則%2=a/q

2

(at+d)=a^at+3d),

a：+2qd+=a；+3atd,

得至id=〃小.乙0.a一則￡L=].

d

若q、/、4成等比數(shù)列，則〃3?=%?4,,

222

(q+2J)=4(q+3d)naJ+4〃/+4J+3〃〃=>4J=—a}d

?;dw0,..4d=-％,則4=-4；

d

若4、生、4成等比數(shù)列，則％2=外。，

(4+2d>=(q+d)(q+3d)naJ+4qd+4d2=a：+4qd+3d?n/=0,

得到"=O與條件d*0矛盾綜上所述：

2=1或B=<

aa

故選A.

答案第3頁，共16頁

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì).考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)的靈活

運(yùn)用.屬中檔題.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題中定義，根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由｛an+n｝為“和保值數(shù)列”可得.+1《叫+皿；應(yīng)+當(dāng)W對(duì)任意的〃wN“恒成

立，即4+溫+〃+1"叫+*^+當(dāng)由對(duì)任意的九￡“恒成立，即

當(dāng)匚/+(q-當(dāng)-—q-12()對(duì)任意的九$N*恒成立，當(dāng)〃=1時(shí)，可得dW-1；當(dāng)

時(shí)，不等式■九2+14一郎一;1〃一％一1之()恒成立，所以即〃之一1,故

乙乙乙)乙

d=-l.則（4+1）〃一q—lNO.即（4+1）（〃-1）20,故qZ-1,故4的取值范圍為

卜1收).

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得?=匯乎=等,代入計(jì)算求出結(jié)果.

【詳解】

13(4+%3)

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得詈;務(wù)?:正后/「黑二割三二今

b-,b[+bl313(4+%)Tl33X13+241

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，得到

答案第4頁，共16頁

y-=產(chǎn)乎=要是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

【分析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出??,+1,然后轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】

6

數(shù)歹IJ｛可｝為等比數(shù)列,??>0,且a,nam+lam+2=2?,

可得43=2""，所以％T=22",

:.a?=22'-2,

又p+q=6,

則ap-aq=22k2.22g=22(^)-4=2s.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.BC

【解析】

【分析】

A.根據(jù)“。=1”與"/(x)=sin(2Ox-J的最小正周期為乃”的互相推出情況判斷是何種條件

并判斷真假；

14

B.先根據(jù)向量共線分析得到〃z+〃=l,然后利用“1”的妙用求解出上+：的最小值并判斷

mn

真假；

C.先證明｛4｝是等差數(shù)列并求解出｛4｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求解出前24項(xiàng)的

和并判斷真假；

D.根據(jù)奇偶性和單調(diào)性判斷出“X)在(―,-2),(-2,2),(2,包)上的取值情況，然后再求不

等式/(x-l)<l的解集并判斷真假.

答案第5頁，共16頁

【詳解】

A.當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=sin(2x-［此時(shí)最小正周期為萬，所以充分性滿足；

當(dāng)/(x)=sin(20x-^)的最小正周期為"時(shí)，爵"，所以。=±1,所以必要性不滿足,

所以“。=1”是“/(x)=sin(2s-V的最小正周期為萬，，的充分不必要條件，故錯(cuò)誤;

B.不妨設(shè)麗=入前(2e(O,l)),貝IJ麗+而=2而+幾而，所以通=(1-4)荏+4衣,

UUUUlUUUI1m=\-X

又因?yàn)锳Q=〃7AB+〃AC，所以所以，"+"=1且加6（0,1）,〃6（0,1）,

n=A

/、I--------m=一

ljlijl+l=(/?z+?)fl+-L5+—+->5+2./—--=9,取等號(hào)時(shí)，:符合，

tnnn)nm\nm_

n~3

14

所以一+一的最小值為9,故正確；

mn

C.因?yàn)楱D―,所以*-d=4,。；=4,所以｛碼是首項(xiàng)為4,公差為4的

”〃+1+an

等差數(shù)列，

所以d=4〃,%=2&所以1=2(焉+4)劣內(nèi)一〃)，

所以\--—1的前24項(xiàng)和為:；［（&-1）+（6-&）+...+（后-0）］=2,故正確;

&i+%J

D.由題意可知：f(x)在(7,0)上單調(diào)遞增，且/⑵=/(-2)=1,

當(dāng)XG(T?,-2)時(shí)，；當(dāng)xw(-2,2)時(shí)，/(X)>1；當(dāng)x?2,+oo)時(shí)，,

又因?yàn)?X-1)<1,所以x—1<—2或x—1>2,解得｛小<-1或x>3｝,故錯(cuò)誤，

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：已知平面中A、B、C三點(diǎn)共線(。在該直線外)，若函=*麗+丫近，則必有

x+y=l.

10.AC

答案第6頁，共16頁

【解析】

【分析】

由已知可得知+%=4,a4a6=a,由等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷

選項(xiàng)A；由方程求出4,&，即可求得數(shù)列｛4｝的公差，從而判斷選項(xiàng)B；求出公比gt

即可判斷選項(xiàng)C；由△>(),可得4工1,再利用基本不等式即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

解：?4)牝是方程x2-4x+“=0(0<a<4)的兩根，

所以為+4,=4,a4a6=。，

對(duì)于A,若他，是等差數(shù)列，所以數(shù)列僅“｝的前9項(xiàng)和良=+/)=?(%+%)=gx4=18,

故A正確；

對(duì)于B,若｛《』是等差數(shù)列，已知數(shù)列各項(xiàng)均是正數(shù)，

所以公差d>0,

由〃4+4=4,〃4“6=〃,可得4=2—14-a,6=2+J4-〃,

所以d=?二?="工，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若｛七｝是等比數(shù)列，｛《,｝公比為g,a=l,

則。4，“6是方程/-4x+l=o的兩根，

所以a4=2+>/J,=2->/3,或%=2—G,a=2+石，

所以八8=(2-6)2=7-46，或以八8=(2+揚(yáng)2=7+46,

?4?4

方程爐-14才+1=0,解得但產(chǎn)I=7±4g,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?,必是方程x2-4x+a=0(0<a<4)的兩根，

所以A=16-4a=4(4-a)>0,所以gw4，即4#1，

若｛““｝是等比數(shù)歹U,則%%=%%="，

則出+%..2夜扃=20,當(dāng)且僅當(dāng)為=%時(shí)等號(hào)成立，

又“3H%，所以+%>2&,故D錯(cuò)誤.

答案第7頁，共16頁

故選：AC.

11.AD

【解析】

【分析】

將遞推公式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，再利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的定義可得出［2+3］為等比數(shù)

列可判斷A；求出一+3卜勺通項(xiàng)公式進(jìn)而可得｛叫的通項(xiàng)公式可判斷B；由通項(xiàng)公式直

接判斷｛4｝的單調(diào)性可判斷C；利用分組求和求的前“項(xiàng)可判斷D,進(jìn)而可得正確選

項(xiàng).

【詳解】

a12+2.

因?yàn)榉?|=7=n一，所以=------=—+3，

2+3a“an+lanan

i（i>1

所以——+3=2—+3,且一+3=4=0,

4向（4,）%

所以|，+3）是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即,+3=4x21,

所以，=2向-3,可得故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；

an2-3

因?yàn)楣?2向-3單調(diào)遞增，所以q=；；；/一；單調(diào)遞減，即｛%｝為遞減數(shù)列，

an2-3

故選項(xiàng)C不正確；

的前〃項(xiàng)和<=（22—3）+Q3—3）+…+（2""—3）=02+23+…+2的）—3〃

1_1yl

=22*L^-3〃=2-2-3"-4.故選項(xiàng)D正確；

1-2

故選：AD.

12.AC

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)列的求和公式可得通項(xiàng)公式，可判斷AB,根據(jù)求和公式和分類討論即可求出含絕對(duì)

答案第8頁，共16頁

值的前〃項(xiàng)和.

【詳解】

22

d1=s,=33-1=32,a,,=S?-S?_,=33n-n-33（n-l）+（n-l）=34-2n（n>2）,經(jīng)驗(yàn)證對(duì)

于”=1也成立，所以4,=34-2〃，故4正確：

當(dāng)〃<17時(shí)，??>0,當(dāng)〃=17時(shí)4,=。，當(dāng)”>17時(shí)，??<0,所以凡>0時(shí)，”的最大值

為16,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)楫?dāng)〃<17時(shí)，耳>0,所以|力+|七|+…+|aM=H6=33xl6-16=272,故C正確；

M+|生|+…+|"3o|=S]6+（如一《8——。30）=2sI6—SJO=2x272—（33x30—30-）=454,故D

錯(cuò)誤，

故選：AC.

13.」」

16256

【解析】

【分析】

再寫一個(gè)下標(biāo)減一的遞推式，兩式作差，表示出的關(guān)系式，再根據(jù)〃為奇數(shù)和偶數(shù)求解

具體數(shù)值即可

【詳解】

當(dāng)"=1時(shí)，S[=-4-；=>4=-：；

當(dāng)〃22時(shí)，

/.y-/,

?/、,_尸為=（一1）"（一（-1廣％-，+（5）=[1_（-1）[為=（-1）"%+（萬

加士成…出⑵'

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，

即〃為奇數(shù)時(shí)?！?一擊，所以%=-*4；

%=T，S7=（T）[-￡|-W=-一

【點(diǎn)睛】

答案第9頁，共16頁

本題考查根據(jù)遞推數(shù)列求解具體通項(xiàng)和S”的方法，涉及題設(shè)包含(-1)"這種形式時(shí)，一定要

分類討論奇偶性

14.-1

【解析】

【分析】

由遞推公式逐步求出4，%,%.

【詳解】

故答案為：-1

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.6

【解析】

【分析】

先由遞推關(guān)系2s求出/，進(jìn)而得出“，即可得出結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)〃=1時(shí),2?)=3-1=2,得q=1.

當(dāng)“22時(shí)，遞推2s2s“T=3"T-1,兩式相減，得2““=3"-3"'=2X3"T,即

%=3〃7，

N_,

當(dāng)〃=1時(shí)滿足，故％=log34=10g33=w-1,

則4+%+&+d=0+1+2+3=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)，以及由遞推關(guān)系求通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題型.

16.22018

【解析】

【分析】

答案第10頁，共16頁

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,由q=l,%q=64,可得q?的值，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可

得“2019的值.

【詳解】

解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

由4=1,a3嗎=64,可得％嗎=(4“3)2=64,可得g2=4,

故。刈,=/X/"=]X(/)""=4'""=220",

故答案為：22018.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

17.(1)4=2,b2=3,4=4,an=(n+l)2"-15

ll,n=l

(2)。=<14,n=2

nx2"+l-15n+28,n>3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)遞推關(guān)系直接求解得4=2,4=3,々=4,再根據(jù)遞推關(guān)系得｛"｝為等差數(shù)

列，公差為1,首項(xiàng)為4=2,再根據(jù)通項(xiàng)公式求解即可；

(2)由題知q=-11,1=-3,n>3,c?=\a,\=alt,進(jìn)而分情況，結(jié)合錯(cuò)位相減法求解

即可.

(1)

解：由題知4=T1,%=-3,%=17,

所以4=2,b2=3,4=4,

因?yàn)椋?=2%+2向+15,

所以巴吐+：§=2題+丁0+]=+1即%1半一殳土"=]

‘''CG”+l1,】+1r\n

答案第II頁，共16頁

所以即圾｝為等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為優(yōu)=2

所以2=4+(〃-1)x1="+1=,

所以4=5+1)2"-15,

⑵

解：?1=-11,4=-3,“3=17,故”23,c“=k，J=a”，

當(dāng)“23時(shí)，7；=11+3+(3+1)2,-15+(4+1)24-15+…+("+1)2"-15(*)

27；=22+6+(3+1)24-30+(4+1)2$-3()+…+(〃+l)2n+l-30(**)

作差得：-4=-14+32+15(〃-2)+24+2$+…+2"-("+1)2向

3-12+學(xué)>〃+叱

=15n-28-nx2,,+l

所以<=〃x2*'-15〃+28("23).

綜上7；=」4,〃=2

/?x2,,+1-15n+28,n>3

18.(1)%=3"，(2)%=(2〃?3"+；

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列前”項(xiàng)和S“與向的關(guān)系式求出公比，進(jìn)而求出首項(xiàng)，即可求出結(jié)果;

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果求出數(shù)列卜皿“｝的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)V??+1=25?+1,an=2S?+,+l(n>2),

?*-=2(S“-S,T)=2a?(n>2),

an+l=3an(n>2),：.q=3,

令〃=1,得g=2q+1=3q,解得a,=1,

答案第12頁，共16頁

(2)nan=n,

/7?=l+2-3+3-32+L+n-y'-',①

3H?=3+2-32+L+("-l>3"T+〃.3",(2)

1_

①■②得—2”“=l+3+32+L+3"T—〃,3〃=L^-—〃?3",

“1-3

42

n

19.(1)證明見解析；(2)S?=--

【解析】

a?,a?2.

(1)在等式寸=急+而用兩邊同時(shí)乘以〃(〃+l)，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)

列｛〃〃,,｝為等差數(shù)列；

(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論求出數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式，然后

利用裂項(xiàng)求和法求出數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和S“.

【詳解】

alt..an2/、

(1)由工得(〃+1)加一以=2,

又4=3,所以數(shù)列｛〃4｝首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列；

(2)由(1)得，〃?！?3+2(〃—1)=2〃+1,所以為=^±1=2+」.

nn

所以2-4=2-|2+—|=~—,所以2_。“+1=------,

kn)nn+l

所以2=(2-%”)(2-%)=^^71y=%-痛

所以S〃+..■+

nn+\72+1〃+1

【點(diǎn)睛】

本題考查定義證明等差數(shù)列，同時(shí)也考查了利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前”項(xiàng)和，考查推理

能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

n

20.(1)4,=2"；(2)Sn=-----.

【解析】

【分析】

答案第13頁，共16頁

(1)設(shè)｛%｝的公差為d,由等比中項(xiàng)的性質(zhì)有(2+24)2=2(2+8")可求d,進(jìn)而寫出｛4｝

的通項(xiàng)公式；

(2)應(yīng)用累加法求色｝的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求出｝的前〃項(xiàng)和5,.

【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列也,｝的公差為"，由4=2,吊=。凸有：(2+24)2=2(2+8"),解得d=2或

4=0(舍去)

q=2".

11-

(2)v-*-——加=2n,

---1-=c2n,-l----------1--=2c(/n!=2X2,將它們累加得:--l------1=n2+〃一2r.

b.*%*%b?瓦

-----貝l]S=------1F…4--------=1--------=------

n2+n'1x22x3-------n(n+l)九+1〃+1?

21.(1)a?=2n-9.(2)4.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)｛q｝的公差為d,