十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項匯編（全國）專題10 三角恒等變換與解三角形小題綜合（教師卷）

10三角恒等變換與解三角形小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用（含拼湊角思想）（10年9考）2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國新Ⅰ卷2023·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·全國卷、2019·江蘇卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·江蘇卷2017·全國卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷2016·江蘇卷、2015·重慶卷、2015·全國卷2015·江蘇卷推導(dǎo)兩角差余弦公式，理解兩角差余弦公式的意義，能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，能推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運用公式解決相關(guān)的求值與化簡問題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式變形應(yīng)用和半角公式變形應(yīng)用，同時也需掌握升冪公式和降冪公式，掌握拼湊角思想，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用，會用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計算問題，會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題，會利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點進(jìn)行綜合考查，也常結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識點求解范圍及最值，需重點復(fù)習(xí)?？键c2二倍角公式的應(yīng)用（含升冪公式與降冪公式）（10年10考）2024·上海卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·北京卷2022·浙江卷、2021·北京卷、2021·全國乙卷2020·全國卷、2020·浙江卷、2020·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國卷、2018·全國卷2018·全國卷、2017·全國卷、2016·山東卷2016·全國卷、2016·四川卷、2016·全國卷2016·全國卷、2015·浙江卷、2015·上海卷考點3輔助角公式的應(yīng)用（10年10考）2024·全國甲卷、2022·北京卷、2021·全國乙卷2017·全國卷、2016·浙江卷考點4解三角形小題綜合之求角和求三角函數(shù)函數(shù)值（10年9考）2024·全國甲卷、2023·北京卷、2023·全國乙卷2021·浙江卷、2020·全國卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·全國卷、2019·浙江卷2018·全國卷、2017·浙江卷、2017·全國卷2017·全國卷、2017·全國卷、2016·山東卷2015·北京卷、2015·北京卷考點5解三角形小題綜合之求邊長或線段（10年7考）2023·全國甲卷、2021·全國乙卷、2021·全國甲卷2019·全國卷、2018·全國卷、2017·山東卷2016·上海卷、2016·北京卷、2016·天津卷2016·全國卷、2015·廣東卷、2015·重慶卷2015·重慶卷、2015·廣東卷、2015·天津卷2015·安徽卷、2015·福建卷考點6解三角形小題綜合之求面積（10年5考）2022·浙江卷、2021·浙江卷、2019·全國卷2018·全國卷、2017·浙江卷、2017·浙江卷考點7解三角形小題綜合之求最值或范圍（10年4考）2022·全國甲卷、2019·北京卷、2018·江蘇卷2018·北京卷、2015·全國卷考點8解三角形小題綜合之實際應(yīng)用（10年4考）2024·上海卷、2021·全國乙卷2017·浙江卷、2015·湖北卷考點01兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用（含拼湊角思想）1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.2．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【答案】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【詳解】法一：由題意得，因為，，則，，又因為，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因為為第一象限角，為第三象限角，則,，，則故答案為：.3．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因為，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.4．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因為，而，因此，則，所以.故選：B【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．5．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.6．（2020·全國·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.7．（2020·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.8．（2019·全國·高考真題）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【答案】D【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式計算求解．題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．【詳解】詳解：=【點睛】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運算求解能力．9．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是.【答案】.【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.，當(dāng)時，上式當(dāng)時，上式=綜上，【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.10．（2018·全國·高考真題）已知，則．【答案】【分析】方法一：利用兩角差的正切公式展開，解方程可得.【詳解】［方法一］：直接使用兩角差的正切公式展開因為，所以，解之得．故答案為：．［方法二］：整體思想＋兩角和的正切公式．故答案為：．［方法三］：換元法＋兩角和的正切公式令，則，且．．故答案為：．【整體點評】方法一：直接利用兩角差的正切公式展開，解方程，思路直接；方法二：利用整體思想利用兩角和的正切公式求出；方法三：通過換元法結(jié)合兩角和的正切公式求出，是給值求值問題的常用解決方式．11．（2018·全國·高考真題）已知，，則．【答案】【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】兩式兩邊平方相加得，．［方法二］：利用方程思想直接解出，兩式兩邊平方相加得，則．又或，所以．［方法三］：誘導(dǎo)公式＋二倍角公式由，可得，則或．若，代入得，即．若，代入得，與題設(shè)矛盾．綜上所述，．［方法四］：平方關(guān)系＋誘導(dǎo)公式由，得．又，，即，則．從而．［方法五］：和差化積公式的應(yīng)用由已知得，則或．若，則，即．當(dāng)k為偶數(shù)時，，由，得，又，所以．當(dāng)k為奇數(shù)時，，得，這與已知矛盾．若，則．則，得，這與已知矛盾．綜上所述，．【整體點評】方法一：結(jié)合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：通過平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個三角函數(shù)值，進(jìn)而解出；方法三：利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系，從而解出；方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關(guān)系的方式不同；方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關(guān)系，再一一驗證即可解出，該法稍顯麻煩．12．（2018·江蘇·高考真題）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.詳解：解：（1）因為，，所以．因為，所以，因此，．（2）因為為銳角，所以．又因為，所以，因此．因為，所以，因此，．點睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.13．（2017·全國·高考真題）已知，tanα=2，則cos(α?π4)【答案】【詳解】由得，又，所以，因為，所以，因為，所以．14．（2017·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則=.【答案】【詳解】試題分析：因為和關(guān)于軸對稱，所以，那么，（或），所以.【考點】同角三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦公式【名師點睛】本題考查了角的對稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于原點對稱，則.15．（2017·江蘇·高考真題）若,則.【答案】【詳解】故答案為.16．（2016·江蘇·高考真題）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是.【答案】8.【詳解】，又，因此即最小值為8.【考點】三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用【名師點睛】消元與降次是高中數(shù)學(xué)中的主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正、余弦定理，是一個關(guān)于切的等量關(guān)系，平時應(yīng)多總結(jié)積累常見的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問題能力，培養(yǎng)消元意識．此類問題的求解有兩種思路：一是邊化角，二是角化邊．17．（2015·重慶·高考真題）若,則A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，故選A.考點：兩角和與差的正切公式．18．（2015·全國·高考真題）(2015新課標(biāo)全國Ⅰ理科)=A． B．C． D．【答案】D【詳解】原式===，故選D.考點：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式.19．（2015·江蘇·高考真題）已知，，則的值為．【答案】3【詳解】，故答案為3.考點02二倍角公式的應(yīng)用（含升冪公式與降冪公式）1．（2024·上?！じ呖颊骖}）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對A，，周期，故A正確；對B，，周期，故B錯誤；對于選項C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；對于選項D，，周期，故D錯誤，故選：A．2．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選：D．3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】因為.對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.4．（2022·浙江·高考真題）若，則，．【答案】【分析】先通過誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來再求．【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.5．（2021·北京·高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時，取最大值.故選：D.6．（2021·全國乙卷·高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.7．（2020·全國·高考真題）若，則．【答案】【分析】直接利用余弦的二倍角公式進(jìn)行運算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．（2020·浙江·高考真題）已知，則；．【答案】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根據(jù)兩角差正切公式得【詳解】，，故答案為：【點睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．（2020·江蘇·高考真題）已知=，則的值是.【答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10．（2019·北京·高考真題）函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是．【答案】.【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.11．（2019·全國·高考真題）已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．12．（2018·全國·高考真題）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析:將函數(shù)進(jìn)行化簡即可詳解：由已知得的最小正周期故選C.點睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式，屬于中檔題13．（2018·全國·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由公式可得結(jié)果.詳解：故選B.點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.14．（2017·全國·高考真題）已知，則．A． B． C． D．【答案】A【詳解】.所以選A.【點睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15．（2016·山東·高考真題）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B．π C． D．2π【答案】B【分析】因為，根據(jù)輔助角公式可化簡為，根據(jù)正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.【詳解】,故最小正周期,故選：B.【點睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題較易，能較好地考查考生的運算求解能力及對復(fù)雜式子的變形能力等.16．（2016·全國·高考真題）若，則A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】試題分析：由，得或，所以，故選A．【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式．【方法點撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系．17．（2016·四川·高考真題）cos2–sin2=.【答案】【詳解】試題分析：原式．考點：余弦的二倍角公式.18．（2016·全國·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】.分子分母同時除以，即得：.故選D.19．（2016·全國·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：，且，故選D.【考點】三角恒等變換【名師點睛】對于三角函數(shù)的給值求值問題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：（1）已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和或差．（2）已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補”關(guān)系．20．（2015·浙江·高考真題）函數(shù)的最小正周期是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】，【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝sin2x+sinxcosx+1，則：，則函數(shù)的最小正周期T，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），單點遞增區(qū)間為：[]（k∈Z），故答案為π；[]（k∈Z），【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．21．（2015·上?！じ呖颊骖}）函數(shù)的最小正周期為.【答案】【分析】先由二倍角公式將化簡，再由，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)的周期，二倍角的余弦公式.考點03輔助角公式的應(yīng)用1．（2024·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，即時，.故答案為：22．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則；．【答案】1【分析】先代入零點，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計算即可.【詳解】∵，∴∴故答案為：1，3．（2021·全國乙卷·高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．4．（2017·全國·高考真題）函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，通過正弦函數(shù)的有界性求解即可．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，可知函數(shù)的最大值為：．故答案為．【點睛】通過配角公式把三角函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．一般可利用求最值．5．（2016·浙江·高考真題）已知，則，=．【答案】；1．【詳解】試題分析：由題意得，,所以.考點：1.二倍角公式；2.三角恒等變換.6．（附加）（2013·全國·高考真題）設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則.【答案】；【詳解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.考點04解三角形小題綜合之求角和求三角函數(shù)函數(shù)值1．（2024·全國甲卷·高考真題）在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計算即可.【詳解】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.2．（2023·北京·高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.3．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.4．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則，.【答案】【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.5．（2020·全國·高考真題）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．（2020·全國·高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.【答案】【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.7．（2020·全國·高考真題）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求【詳解】設(shè)故選：C【點睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=.【答案】.【分析】先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得.【詳解】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【點睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變化求角．9．（2019·浙江·高考真題）在中，，，，點在線段上，若，則；.【答案】【分析】本題主要考查解三角形問題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在、中應(yīng)用正弦定理，由建立方程，進(jìn)而得解.【詳解】在中，正弦定理有：，而,，，所以.【點睛】解答解三角形問題，要注意充分利用圖形特征.10．（2018·全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計算可得．詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理．11．（2017·浙江·高考真題）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是，cos∠BDC=．【答案】【詳解】取BC中點E，由題意：，△ABE中，，∴，∴．∵，∴，解得或（舍去）．綜上可得，△BCD面積為，．【名師點睛】利用正、余弦定理解決實際問題的一般思路：（1）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時需要設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解．12．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=.【答案】【詳解】由正弦定理，得，結(jié)合可得，則.【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.13．（2017·全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，若，則．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理將邊化為角，再根據(jù)兩角和正弦公式以及誘導(dǎo)公式化簡得cosB的值，即得B角.【詳解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.14．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.15．（2016·山東·高考真題）中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知,則A=A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由余弦定理得：，因為，所以，因為，所以，因為，所以，故選C.【考點】余弦定理【名師點睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，是高考常考知識內(nèi)容.本題難度較小，解答此類問題，注重邊角的相互轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵，本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等.16．（2015·北京·高考真題）在中，，，，則．【答案】【詳解】由正弦定理，得，即，所以，所以.考點：正弦定理.17．（2015·北京·高考真題）在中，，，，則．【答案】【詳解】試題分析：考點：正余弦定理解三角形考點05解三角形小題綜合之求邊長或線段1．（2023·全國甲卷·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．2．（2021·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.3．（2021·全國甲卷·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．4．（2019·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．5．（2018·全國·高考真題）在中，,BC=1,AC=5，則AB=A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因為所以，選A.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.6．（2017·山東·高考真題）在中，角的對邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】所以，選A.【名師點睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個隱含條件，不容忽視.7．（2016·上海·高考真題）已知的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于．【答案】【分析】利用余弦定理得到，進(jìn)而得到結(jié)合正弦定理得到結(jié)果.【詳解】，由正弦定理得.【點睛】本題考查解三角形的有關(guān)知識，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本關(guān)系式，考查恒等變形能力，屬于基礎(chǔ)題.8．（2016·北京·高考真題）在△ABC中，，a=c，則=.【答案】1【詳解】試題分析：由正弦定理知，所以，則，所以，所以，即．【考點】解三角形【名師點睛】①根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點，利用余弦定理將角化邊是迅速解答本題的關(guān)鍵．②熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用．9．（2016·天津·高考真題）在中，若

，則=A．1 B．2

C．3 D．4【答案】A【詳解】余弦定理將各值代入得解得或(舍去)選A.10．（2016·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=.【答案】【詳解】試題分析：因為，且為三角形的內(nèi)角，所以，，又因為，所以.【考點】正弦定理，兩角和、差的三角函數(shù)公式【名師點睛】在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．11．（2015·廣東·高考真題）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a=，sinB=，C=，則b=．【答案】1【詳解】試題分析：由sinB=，可得B=或B=，結(jié)合a=，C=及正弦定理可求b解：∵sinB=，∴B=或B=當(dāng)B=時，a=，C=，A=，由正弦定理可得，則b=1當(dāng)B=時，C=，與三角形的內(nèi)角和為π矛盾故答案為1點評：本題考查了正弦、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵12．（2015·重慶·高考真題）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，則．【答案】4【詳解】試題分析：由及正弦定理，得．又因為，所以．由余弦定理得：，所以．考點：正余弦定理．13．（2015·重慶·高考真題）在中，，，的角平分線，則.【答案】【詳解】試題分析：由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因為，所以．所以，所以＝，所以．考點：正余弦定理．【技巧點睛】（1）在三角形中處理邊角關(guān)系時，一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理，應(yīng)用正弦、余弦定理時，注意公式變形的應(yīng)用，解決三角形問題時，注意角的限制范圍．14．（2015·廣東·高考真題）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，且，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因為，所以，故選B．考點：余弦定理．15．（2015·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為，，則的值為．【答案】【詳解】試題分析：因,故,由題設(shè)可得,即,所以,所以,應(yīng)填.考點：余弦定理及三角形面積公式的運用．【易錯點晴】本題的設(shè)置將面積與余弦定理有機(jī)地結(jié)合起來,有效地檢測了綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.求解時先借助題設(shè)條件和三角形的面積公式及余弦定理探究出三邊的關(guān)系及,先求出,在運用余弦定理得到.16．（2015·安徽·高考真題）在中，，，，則.【答案】2【詳解】由正弦定理可知：考點：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用.【名師點睛】熟練掌握正弦定理的適用條件是解決本題的關(guān)鍵，本題考查了考生的運算能力.17．（2015·福建·高考真題）若中，，，，則．【答案】【詳解】由題意得．由正弦定理得，則，所以．考點：正弦定理．考點06解三角形小題綜合之求面積1．（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．【答案】.【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因為，所以．故答案為：.2．（2021·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則.【答案】25【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.3．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為.【答案】【分析】本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【點睛】本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯誤．解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計算．4．（2018·全國·高考真題）△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則△的面積為．【答案】.【分析】方法一：由正弦定理可得，化簡求得，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到，由為銳角，求得，，利用三角形面積公式即可解出.【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】邊化角因為，由正弦定理得，因為，所以．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.［方法二］：角化邊因為，由正弦定理得，即，又，所以，．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.【整體點評】方法一：利用正弦定理邊化角，求出，再結(jié)合余弦定理求出，即可求出面積，該法是本題的最優(yōu)解；方法二：利用正弦定理邊化角，求出，再結(jié)合余弦定理求出，即可求出面積．5．（2017·浙江·高考真題）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是，cos∠BDC=．【答案】【詳解】取BC中點E，由題意：，△ABE中，，∴，∴．∵，∴，解得或（舍去）．綜上可得，△BCD面積為，．【名師點睛】利用正、余弦定理解決實際問題的一般思路：（1）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時需要設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解．6．（2017·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，．【答案】【詳解】將正六邊形分割為6個等邊三角形，則．【名師點睛】本題粗略看起來文字量大，其本質(zhì)為計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，將正六邊形分割為6個等邊三角形，確定6個等邊三角形的面積即可，其中對文字信息的讀取及提取有用信息方面至關(guān)重要，考生面對這方面題目時應(yīng)多加耐心，仔細(xì)分析題目中所描述問題的本質(zhì)，結(jié)合所學(xué)進(jìn)行有目的的求解．考點07解三角形小題綜合之求最值或范圍1．（2022·全國甲卷·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．【答案】/【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.2．（2019·北京·高考真題）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【答案】B【分析】由題意首先確定面積最大時點P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點時，陰影部分的面積S取最大值，此時∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.【點睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.3．（2018·江蘇·高考真題）在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為．【答案】9【分析】方法一：先根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡得，即，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.故答案為：.［方法二］：角平分線性質(zhì)＋向量的數(shù)量積＋基本不等式由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得向量式．因為，所以，化簡得，即，亦即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號