河南省信陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期檢測(cè)三試題含解析

Page17河南省信陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期檢測(cè)（三）試題一、選擇題（本題每小題5分，共60分）1.已知直線不共面，那么與在平面上的投影不行能是（）A.兩條平行線 B.兩條相交直線C.始終線一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不在直線上） D.兩個(gè)點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】利用長(zhǎng)方體中的線段，可得A、B、C的正誤，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得D的正誤.【詳解】由題意，可作下圖：對(duì)于A，異面直線與在平面上的投影分別是與，明顯；對(duì)于B，異面直線與在平面上的投影分別是與，明顯；對(duì)于C，異面直線與在平面上的投影分別為與點(diǎn)，明顯；對(duì)于D，投影為點(diǎn)，說(shuō)明兩條直線垂直于同一平面，而這兩條直線平行，故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)意（i是虛數(shù)單位），則的模長(zhǎng)等于（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】給兩邊同除，然后依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再求出依據(jù)復(fù)數(shù)的模運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)樗运运怨实哪ｉL(zhǎng)為故選：D3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)條件可求出，然后依據(jù)投影向量的求法即可得出向量在向量上的投影向量．【詳解】向量，，向量在向量上的投影向量為：．故選：B4.歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺(jué)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)此公式可知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】干脆代入給定的公式即可求解.【詳解】由題知，，，，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.5.如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段的靠近的三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意依據(jù)平面對(duì)量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槭蔷€段的靠近的三等分點(diǎn)，所以，又是線段的中點(diǎn)，所以，所以．故選：A．6.設(shè)，為平面內(nèi)隨意兩個(gè)非零向量,則下列不正確的是（）A.的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得B.⊥的充要條件是C.充要條件是D.的充要條件是【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量的概念及運(yùn)算，推斷選項(xiàng)正誤.【詳解】?jī)蓚€(gè)非零向量，，的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使，A正確；，則，即，B正確；當(dāng)與共線，但方向相反時(shí)，，C錯(cuò)誤；設(shè)兩個(gè)非零向量，夾角為，，即，或，即，D正確.故選：C.7.納斯卡線條是一種巨型的地上繪圖，有著廣闊寬敞的直線，看起來(lái)就像機(jī)場(chǎng)跑道一樣，描繪的大多是動(dòng)植物，位于南美洲西部的秘魯南部的納斯卡荒原上，是存在了2000年的謎局：原委是誰(shuí)創(chuàng)建了它們并且為了什么而創(chuàng)建，至今仍無(wú)人能解，因此被列入“十大謎團(tuán)”.在這些圖案中，最清楚的圖案之一是一只身長(zhǎng)50米的大蜘蛛(如圖)，據(jù)說(shuō)這是一種學(xué)名為“節(jié)腹目”的蜘蛛的形態(tài).這種蜘蛛非常罕見(jiàn)，只有亞馬遜河雨林中最偏遠(yuǎn)隱秘的地區(qū)才能找到.現(xiàn)用視角為的攝像頭(注：當(dāng)攝像頭和所拍攝的圓形區(qū)域構(gòu)成一個(gè)圓錐時(shí)，該圓錐的軸截面的頂角稱(chēng)為該攝像頭的視角)在該蜘蛛的上方拍攝，使得整個(gè)蜘蛛圖案落在邊長(zhǎng)為50米的正方形區(qū)域內(nèi)，則該攝像頭距地面的高度的最小值是（）A.50米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】由題意要使整個(gè)蜘蛛圖案落在邊長(zhǎng)為50米的正方形區(qū)域內(nèi)，即拍攝區(qū)域的圓的直徑最小為，應(yīng)用余弦定理求圓錐母線長(zhǎng)，依據(jù)圓錐的高、母線、底面半徑的關(guān)系求高即可.【詳解】由題設(shè)知：要使整個(gè)蜘蛛圖案落在邊長(zhǎng)為50米的正方形區(qū)域內(nèi)，則拍攝區(qū)域的圓的直徑最小為，若所成圓錐的母線長(zhǎng)為a，∴由余弦定理知：，即，∴該攝像頭距地面的高度最小值米.故選：B.8.已知復(fù)數(shù)，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算，再依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算代數(shù)式的值.【詳解】由題，則，所以.故選：D.9.下列有五個(gè)命題：①若直線a平面，a平面，則am；②若直線a平面，則a與平面內(nèi)任何直線都平行；③若直線α平面，平面平面β，則α平面β；④假如ab，a平面，那么b平面；⑤對(duì)于異面直線a、b存在唯一一對(duì)平面、β使得a?平面，b?平面β，且β.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間中直線，平面間的位置關(guān)系推斷命題正誤.【詳解】對(duì)于①，直線平面，直線平面，，過(guò)a作平面交平面于c，作平面交平面于d，則，，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)?，所以，所以，①正確；對(duì)于②，直線平面，則直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，直線平面，平面平面，可能平面，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，直線平面，可能平面，所以④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，一對(duì)異面直線a，b，過(guò)a作與b平行的平面，過(guò)b作與a平行的平面，使得，所以⑤正確；故選：C.10.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列關(guān)于該多面體的說(shuō)法中不正確的是（）A.多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B.多面體的表面積為3C.多面體的體積為D.多面體有外接球（即經(jīng)過(guò)多面體全部頂點(diǎn)的球）【答案】B【解析】【分析】由題得該多面體各頂點(diǎn)為正方體每條棱的中點(diǎn)，推斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由題，連接正方體每條棱的中點(diǎn)可得到該多面體，共12個(gè)頂點(diǎn)，該多面體表面為有8個(gè)三角形面和6個(gè)正方形面，共14個(gè)面，A項(xiàng)正確；多面體表面每個(gè)三角形面積為，每個(gè)小正方形面積為，所以多面體表面積為，B項(xiàng)錯(cuò)誤；將多面體看作由正方體切去頂點(diǎn)處8個(gè)三棱錐得到，每個(gè)三棱錐體積為，所以多面體體積，C項(xiàng)正確；原正方體中心到多面體每個(gè)頂點(diǎn)（即正方體棱的中點(diǎn)）的距離都為，所以以該點(diǎn)為球心，為半徑的圓即多面體的外接圓，D項(xiàng)正確；故選：B.11.已知平面對(duì)量，，，，那么（）A. B.C. D.與夾角等于【答案】C【解析】【分析】由題意可知：點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，且，結(jié)合圓的性質(zhì)逐項(xiàng)分析推斷.【詳解】∵，則，∴點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖所示：對(duì)A：當(dāng)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)或重合時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)B：與不肯定垂直，故數(shù)量積不肯定為0，B錯(cuò)誤；對(duì)C：由垂徑定理可得，則，且當(dāng)點(diǎn)重合，即時(shí)也成立，C正確；對(duì)D：∵由圓的性質(zhì)可得與夾角，但題中沒(méi)有明確的范圍以及大小關(guān)系，故與夾角等于不肯定成立，D錯(cuò)誤.故選：C.12.正棱錐有以下四個(gè)命題:①全部棱長(zhǎng)都相等的三棱錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球（六條棱均與球相切）體積比是；②側(cè)面是全等的等腰三角形頂點(diǎn)在底面射影為底面中心的四棱錐是正四棱錐；③經(jīng)過(guò)正五棱錐一條側(cè)棱平分其表面積的平面必經(jīng)過(guò)其內(nèi)切球球心；④正六棱錐的側(cè)面不行能是正三角形，其中真命題是（）A.①④ B.③④ C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】對(duì)①：將三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體，結(jié)合正方體求三棱錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑，即可得結(jié)果；對(duì)②③④：依據(jù)正棱錐的定義與性質(zhì)分析推斷.【詳解】對(duì)①：如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體，設(shè)正方體的的邊長(zhǎng)為，則三棱錐的邊長(zhǎng)為，三棱錐的外接球即為正方體的外接球，故半徑，三棱錐的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故半徑，三棱錐的體積，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則有，解得，故三棱錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球的體積比是，①為假命題；對(duì)②：側(cè)面是全等的等腰三角形頂點(diǎn)在底面射影為底面中心的四棱錐是正四棱錐，②為真命題；對(duì)③：正五棱錐的內(nèi)切球的球心在頂點(diǎn)與底面中心的連線上，由對(duì)稱(chēng)可得，若平面經(jīng)過(guò)正五棱錐一條側(cè)棱且平分其正五棱錐的表面積，則該平面必過(guò)頂點(diǎn)與底面中心的連線，即過(guò)正五棱錐一條側(cè)棱平分其表面積的平面必經(jīng)過(guò)其內(nèi)切球球心，③為真命題；對(duì)④：如圖所示：為正六棱錐的中心，連接，則平面，且平面，故，若正六棱錐的側(cè)面是正三角形，則，故，此時(shí)不能構(gòu)成錐體，④為真命題.故選：C.二、填空題（本題每小題5分，共20分）13.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模是________.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，再求其模長(zhǎng).【詳解】由題意可得：，故.故答案為：.14.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意，那么的取值范圍為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】先得出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為復(fù)平面內(nèi)連接點(diǎn)(0,1)和(0,?1)的線段，依據(jù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出的范圍.【詳解】設(shè)，由可得即，表示點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為2.又點(diǎn)，之間的距離為2，所以表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以，為端點(diǎn)的線段表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與的距離，如圖在z取時(shí)有最小值3，z取或時(shí)有最大值，故取值范圍為.故答案為：15.已知為平面內(nèi)隨意兩個(gè)非零向量，且他們夾角等于，若存在使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合已知得出，參變分別依據(jù)二次函數(shù)值域得到，通過(guò)題意得出，即可得出答案.【詳解】為平面內(nèi)隨意兩個(gè)非零向量，且他們夾角等于，，，則，，，，，，，，，故答案為：.16.△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為a、b、c下有命題:，那么p是q的________條件.（從“充要條件”、“充分不必要”、“必要不充分”和“既不充分也不必要”中選一個(gè)寫(xiě)在橫線上）【答案】充分不必要【解析】【分析】利用正弦定理可化簡(jiǎn)命題得：；通過(guò)變形可化簡(jiǎn)命題得：；由此即可求解.【詳解】由題知，對(duì)于命題：由正弦定理可得：，整理得：，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，；對(duì)于命題：，，在三角形中，都為正數(shù)，；所以推出，但不能推出，所以是的充分不必要條件.故答案為：充分不必要條件.三、解答題17.已知復(fù)數(shù).（1）若z為純虛數(shù)，求m的值；（2）若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為14，求m的值.【答案】（1）5（2）1【解析】【分析】（1）先將復(fù)數(shù)進(jìn)整理，得出其實(shí)部和虛部，由條件可得實(shí)部為零，虛部不為零得出答案.(2)先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，得出實(shí)部與虛部，從而求出答案.【小問(wèn)1詳解】由z為純虛數(shù)，則，解得（舍去）【小問(wèn)2詳解】所以，解得18.，，為平面內(nèi)不同的三點(diǎn)，，，.（1）若，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，三點(diǎn)共線，可得，又，利用平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示即可求解；（2）由題意，，且與不共線，由平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示及平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋膴A角為鈍角，所以，且與不共線，所以，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知.（1）求B；（2）若△ABC的面積,a=10，求sinAsinC的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式和誘導(dǎo)公式變形可求得的值，即可求解；（2）利用面積公式求出，利用余弦定理求出，再用正弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題知，，，,解得：或（舍去），，.【小問(wèn)2詳解】△ABC的面積，，即，解得：，由余弦定理得：，即，，由正弦定理知：，.20.如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑，高，在其內(nèi)部有一個(gè)高為的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面圓周上的點(diǎn)都在圓錐的側(cè)面上）．（1）求圓錐的側(cè)面積；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？求出最大值．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大面積為【解析】【分析】(1)由條件求圓錐的母線長(zhǎng)，再依據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解；(2)由圓柱的側(cè)面積公式求圓柱的側(cè)面積的表達(dá)式，再依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求其最值.【小問(wèn)1詳解】圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓柱底面半徑為r，如圖可得，即，得．所以圓柱的側(cè)面積．所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值．即當(dāng)時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大面積為．21.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q、S分別是被AB、BC、C1D1、D1A1的中點(diǎn).（1）求證：MN//QS；（2）記MNQS確定的平面為α,作出平面α被該正方體所截的多邊形截面，寫(xiě)出作法步驟.并說(shuō)明理由，然后計(jì)算截面面積；（3）求證：平面ACD1//平面α.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）作法見(jiàn)解析，面積為；（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1），，，證得；（2）取、中點(diǎn)、，則為平面被該正方體所截的多邊形截面，求截面面積即可；（3）依據(jù)平面與平面平行的判定定理證明即可．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，，，如圖，正方體中，，四邊形為平行四邊形，則有，、、、分別是被、、、的中點(diǎn)，，，．【小問(wèn)2詳解】取、中點(diǎn)、，連接、、、、、，如圖，則正六邊形為平面被該正方體所截的多邊形截面，，．【小問(wèn)3詳解】，平面，平面，平面，又、分別、的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面．22.已知復(fù)數(shù)，集合，集合，（1）若使得（為虛單位），求的最小值；（2）若當(dāng)時(shí)，集合有兩個(gè)子集．①求的取值范圍；②求集合中復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)形成的復(fù)平面區(qū)域的面積．【答案】（1）3（2）①；②【解析】【分析】（1）計(jì)算得，則，探討的4種狀況即可得解；（2）①滿(mǎn)意條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓M，滿(mǎn)意條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓N，依據(jù)題意兩圓