專(zhuān)題01數(shù)與式及方程中的計(jì)算問(wèn)題(原卷版+解析)

專(zhuān)題01：數(shù)與式及方程中的計(jì)算問(wèn)題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】實(shí)數(shù)和根式的計(jì)算【題型二】代數(shù)式的混合運(yùn)算【題型三】化簡(jiǎn)求值【題型四】解方程（組）相關(guān)問(wèn)題【題型五】解一元一次不等式（組）二、最新?？碱}組練【題型一】實(shí)數(shù)和根式的計(jì)算【典例分析】1．(2023·內(nèi)蒙古·中考真題）計(jì)算：．

2.已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．

【提分秘籍】（1）正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)：（2）；（3）負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)，只需要在改數(shù)（式）前添加“-”號(hào)再運(yùn)算即可；不會(huì)改變?cè)瓟?shù)的正負(fù)性；（4）特殊的三角函數(shù)值要記牢【變式演練】1．(2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．

2.(2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：(1)；(2)若，求的值．

3.已知點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)，，的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：．

4.表示實(shí)數(shù)a，b的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)代數(shù)式的值．

【題型二】代數(shù)式的混合運(yùn)算【典例分析】1.(2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．

2.(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．

3.(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）因式分解：

【提分秘籍】?jī)绲倪\(yùn)算：①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n；②冪的乘方：(am)n=amn；③積的乘方：(ab)n=anbn；④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；②完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的，先算括號(hào)內(nèi)的，去括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中大括號(hào)因式分解：口訣：一提（提公因式）二套（套公式）三檢查（檢查是否分解徹底）。【變式演練】1.(2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：．

2.計(jì)算：．

3.計(jì)算．

4.已知，求的值．5.已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．

【題型三】化簡(jiǎn)求值【典例分析】1.(2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．

2.(2023·內(nèi)蒙古·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．

【提分秘籍】能用公式進(jìn)行分解的先用公式計(jì)算或分解因式；整式中能合并的先合并，分式中能約分的要先約分；分式中要注意：①一般先算括號(hào)內(nèi)的通分合并，再算括號(hào)外的；②選擇的代入值應(yīng)使出現(xiàn)過(guò)的分母或除數(shù)不為0。【變式演練】1.(2023·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）(1)計(jì)算．(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．

2.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知T=(1)化簡(jiǎn)T；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求T的值．

3.(2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．

4.(2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，從-3，-1，2中選擇合適的a的值代入求值．

5.(2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）（1）解不等式組，并寫(xiě)出該不等式組的最小整數(shù)解．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（+1）÷，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．

【題型四】解方程（組）相關(guān)問(wèn)題【典例分析】1.解方程：（1）.

（2）．

2.(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算求解：解方程組

3.解方程：（1）

（2）(2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）解方程；

4.(2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【提分秘籍】解方程的一般步驟是：去分母-移項(xiàng)-合并同類(lèi)項(xiàng)-系數(shù)化為1；解一元二次方程時(shí)，靈活選擇解方程的方法（配方法、公式法、因式分解法等）；解分式方程需要記得檢驗(yàn)?！咀兪窖菥殹?.解方程：．

2.(2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）解方程組：

3.解方程組

4.（1）解方程：

（2）(2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）x2－2x－3＝0

5.(2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）解方程：

【題型五】解一元一次不等式（組）【典例分析】1.解不等式組：，并寫(xiě)出它的正整數(shù)解．

【提分秘籍】（1）不等式的其他性質(zhì)：①若a＞b，則b＜a；②若a＞b，b＞c，則a＞c；③若a≥b，且b≥a，則a=b；④若a2≤0，則a=0；⑤若ab＞0或，則a、b同號(hào)；⑥若ab＜0或，則a、b異號(hào).（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小關(guān)系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．不等號(hào)具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但a＜b可轉(zhuǎn)換為b＞a，c≥d可轉(zhuǎn)換為d≤c.（3）由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表．不等式組（其中a＞b）圖示解集口訣（同大取大）（同小取小）（大小取中間）無(wú)解（空集）（大大、小小找不到）【變式演練】1.(2023·寧夏·中考真題）解不等式組：．

2.(2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）解不等式組并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

3.(2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：并寫(xiě)出該不等式組的最大整數(shù)解．1．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）計(jì)算：

2．（2023·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．

3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校聯(lián)考一模）（1）計(jì)算：；（2）分解因式：．

4．（2023·廣東珠海·?？家荒＃┫然?jiǎn)，再求值：，其中．

5．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┯?jì)算：

6．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）分解因式：

7．（2023·陜西西安·?？既＃┮蚴椒纸猓?/p>

8．(2023·四川廣元·統(tǒng)考二模）解方程．

9．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）解方程組：

10．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考一模）解方程：(1)(2)

11．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）解方程：．

12．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）計(jì)算：(1)解方程：．(2)關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

13．（2023·江蘇無(wú)錫·?？级＃?）解方程：；

（2）解不等式組：

14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）（1）解方程：1；（2）解不等式組：

15．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A，B，C，其中，，如圖所示．設(shè)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)數(shù)的和是p．(1)若以B為原點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)A，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)，并計(jì)算p的值；若以C為原點(diǎn)，p又是多少？(2)若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且，求p．

16．(2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）老師在黑板上出示了下面的5個(gè)未計(jì)算完的有理數(shù)．，，，，(1)求這5個(gè)數(shù)的和，并直接寫(xiě)出這5個(gè)數(shù)的中位數(shù)．(2)在這5個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是，最小的數(shù)是n．求的值．

17．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？家荒＃┮阎?1)化簡(jiǎn)；(2)若點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，求的值．

18．（2023·西藏·校聯(lián)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：；從中任選一個(gè)代入求值

19．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值，其中．

20．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．

21．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中．22．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．

23．（2023·吉林·一模）先化簡(jiǎn)，再求值：其中，．

24．（2023·新疆阿克蘇·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程的解．

25．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）化簡(jiǎn)求值：，其中，．

專(zhuān)題01：數(shù)與式及方程中的計(jì)算問(wèn)題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】實(shí)數(shù)和根式的計(jì)算【題型二】代數(shù)式的混合運(yùn)算【題型三】化簡(jiǎn)求值【題型四】解方程（組）相關(guān)問(wèn)題【題型五】解一元一次不等式（組）二、最新模考題組練【題型一】實(shí)數(shù)和根式的計(jì)算【典例分析】1．(2023·內(nèi)蒙古·中考真題）計(jì)算：．答案:分析：根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、30°角的余弦值、零次冪以及開(kāi)立方的知識(shí)計(jì)算每一項(xiàng)，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含特殊角的三角函數(shù)值的實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，牢記30°角的余弦值是解答本題的基礎(chǔ)．2.已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．答案:分析：先由數(shù)軸確定a、b的大小，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行去絕對(duì)值即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸及絕對(duì)值，代數(shù)式求值，整式的加減混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握絕對(duì)值的意義及數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】（1）正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)：（2）；（3）負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)，只需要在改數(shù)（式）前添加“-”號(hào)再運(yùn)算即可；不會(huì)改變?cè)瓟?shù)的正負(fù)性；（4）特殊的三角函數(shù)值要記牢【變式演練】1．(2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．答案:3分析：先計(jì)算乘方和化簡(jiǎn)二次根式，并把特殊三角函數(shù)值代入，再合并同類(lèi)二次根式，即可求解．【詳解】解：原式=2+4×-2+1=2+2-2+1=3．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整指數(shù)冪與零指數(shù)冪運(yùn)算法則，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2.(2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：(1)；(2)若，求的值．答案:(1)13(2)1分析：（1）先計(jì)算乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再計(jì)算加法即可得；（2）先根據(jù)偶次方的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性可求出的值，再代入計(jì)算即可得．（1）解：原式．（2）解：，，解得，則．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、代數(shù)式求值、算術(shù)平方根的非負(fù)性等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3.已知點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)，，的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：．答案:分析：根據(jù)數(shù)軸可知，則可知，，即可根據(jù)平方根，立方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】根據(jù)數(shù)軸可知，則可知，【點(diǎn)睛】此題主要考查平方根立方根的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸得出其與0的大小關(guān)系．4.表示實(shí)數(shù)a，b的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)代數(shù)式的值．答案:0分析：先根據(jù)數(shù)軸判斷出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和立方根的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可．【詳解】由圖可知：，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和立方根的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．【題型二】代數(shù)式的混合運(yùn)算【典例分析】1.(2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．答案:2x+2分析：利用完全平方，以及平方差計(jì)算，再合并即可求出值．【詳解】＝＝2x+2．【點(diǎn)睛】此題考查了乘法公式，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算涉及的知識(shí)有：零指數(shù)公式，負(fù)指數(shù)公式，絕對(duì)值的代數(shù)意義，以及平方根的定義．2.(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．答案:分析：按照分式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：===．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分式的混合運(yùn)算、負(fù)整數(shù)次冪等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則成為解答本題的關(guān)鍵．3.(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）因式分解：答案:分析：先提公因式，再根據(jù)完全平方公式因式分解即可．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值以及因式分解，熟知各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】?jī)绲倪\(yùn)算：①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n；②冪的乘方：(am)n=amn；③積的乘方：(ab)n=anbn；④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；②完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的，先算括號(hào)內(nèi)的，去括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中大括號(hào)因式分解：口訣：一提（提公因式）二套（套公式）三檢查（檢查是否分解徹底）。【變式演練】1.(2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：．答案:分析：先去括號(hào)和計(jì)算乘法運(yùn)算，然后合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】原式==．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2.計(jì)算：．答案:1分析：首先對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行因式分解，然后約分，最后得到的兩個(gè)分式相減即可得到答案．【詳解】=

==1【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)，理解并掌握分式的計(jì)算法則，注意在解題過(guò)程中需注意的事項(xiàng)，仔細(xì)計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．3.計(jì)算．答案:分析：先把除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后計(jì)算減法運(yùn)算即可.【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，掌握“分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵.4.已知，求的值．答案:-4分析：根據(jù)已知求出xy=-2，再將所求式子變形為，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運(yùn)算法則和因式分解的應(yīng)用．5.已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．答案:2x2﹣2xy=28．分析：先求出x﹣y=4，進(jìn)而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出結(jié)論．【詳解】∵x2﹣y2=12，∴（x+y）（x﹣y）=12，∵x+y=3①，∴x﹣y=4②，①+②得，2x=7，∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，代數(shù)值求值，二元一次方程組的特殊解法等，求出x-y=4是解本題的關(guān)鍵.【題型三】化簡(jiǎn)求值【典例分析】1.(2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．答案:分析：直接利用完全平方公式、平方差公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并同類(lèi)項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【詳解】解：原式＝；a＝-，b＝+，∴原式【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算與整式的混合運(yùn)算——化簡(jiǎn)求值，正確掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2.(2023·內(nèi)蒙古·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．答案:，分析：分式的混合運(yùn)算，根據(jù)加減乘除的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式，代入求值即可求出答案．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則即可，包括完全平方公式，能約分的要約分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法則是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】能用公式進(jìn)行分解的先用公式計(jì)算或分解因式；整式中能合并的先合并，分式中能約分的要先約分；分式中要注意：①一般先算括號(hào)內(nèi)的通分合并，再算括號(hào)外的；②選擇的代入值應(yīng)使出現(xiàn)過(guò)的分母或除數(shù)不為0?！咀兪窖菥殹?.(2023·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）(1)計(jì)算．(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．答案:(1)1(2)4x；2分析：（1）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先利用平方差公式，完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）解：原式===；（2）解：==；當(dāng)時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，銳角三角形函數(shù)，零指數(shù)冪，絕對(duì)值及二次根式的性質(zhì)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知T=(1)化簡(jiǎn)T；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求T的值．答案:(1)；(2)T=分析：(1)根據(jù)整式的四則運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可；(2)由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得到判別式△=4a2-4(-ab+1)=0即可得到，整體代入即可求解．【詳解】（1）解：T==；（2）解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，則T=．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的四則運(yùn)算法則、一元二次方程的實(shí)數(shù)根的判別、整體思想，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握運(yùn)算法則及一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．3.(2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．答案:，-9分析：根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【詳解】解：原式．，，原式【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡(jiǎn)求值的方法．4.(2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，從-3，-1，2中選擇合適的a的值代入求值．答案:；分析：先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵且，∴且，∴，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．5.(2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）（1）解不等式組，并寫(xiě)出該不等式組的最小整數(shù)解．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（+1）÷，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．答案:（1）﹣2≤x＜1，最小整數(shù)解為﹣2；（2），4分析：（1）根據(jù)不等式組的解法求出x的范圍，然后根據(jù)x的范圍即可求出該不等式組的最小整數(shù)解．（2）根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將a的值代入原式即可求出答案．【詳解】解：（1）由①得：x＜1，由②得：x≥﹣2，∴不等式組的解集為：﹣2≤x＜1，∴該不等式組的最小整數(shù)解為x＝﹣2．（2）原式＝，當(dāng)a＝4sin30°﹣（π﹣3）0＝4×﹣1＝2﹣1＝1時(shí)，原式＝4．【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的解法、分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵【題型四】解方程（組）相關(guān)問(wèn)題【典例分析】1.解方程：（1）.答案:分析：按照去分母，去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)，移項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟進(jìn)行求解即可．【詳解】解：去分母得：去括號(hào)得：移項(xiàng)得：合并得：系數(shù)化為1得：．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解法，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．（2）．答案:x=3分析：方程去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：方程去括號(hào)得：即3x+2=8+x，移項(xiàng)合并得：2x=6，系數(shù)化為1得：x=3．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解題的關(guān)鍵．2.(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算求解：解方程組答案:分析：直接解二元一次方程組即可．【詳解】整理方程組得：，由①得：y＝5-4x③，將③代入②得：-5x＝5，解得：x＝-1，將x＝-1代入③得：y＝9，則方程組得解為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算和解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)3.解方程：（1）答案:，分析：直接開(kāi)方可得或，然后計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵∴或解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?）(2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）解方程；答案:x1=1+，x2=1-；分析：方程利用配方法求出解即可；【詳解】解：（1）方程移項(xiàng)得：x2-2x=5，配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，開(kāi)方得：x-1=±，解得：x1=1+，x2=1-；4.(2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）解方程：．答案:分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：方程兩邊同乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以，原分式方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程一定要驗(yàn)根．【提分秘籍】解方程的一般步驟是：去分母-移項(xiàng)-合并同類(lèi)項(xiàng)-系數(shù)化為1；解一元二次方程時(shí)，靈活選擇解方程的方法（配方法、公式法、因式分解法等）；解分式方程需要記得檢驗(yàn)。【變式演練】1.解方程：．答案:分析：左右同乘6進(jìn)行去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)合并求解即可．【詳解】去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握求解步驟并注意不要漏乘常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵．2.(2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）解方程組：答案:分析：整理方程組得，繼而根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解．【詳解】解：整理方程組得，

得，y=1，

把y=1代入①得，解得x=5，

∴方程組的解為.【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3.解方程組答案:分析：方程組適當(dāng)變形后，給②×3-①×2即可消去x，解關(guān)于y的一元一次方程，再將y值代入①式，即可解出y．【詳解】解：由可得②×3-①×2得，即，解得y=1，將y=1代入①式得，解得．故該方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組．解二元一次方程主要用到“消元思想”，將二元一次方程組化為一元一次方程求解．主要方法有加減消元法和代入消元法，熟練掌握這兩種方法并能靈活利用是解題關(guān)鍵．4.（1）解方程：答案:，分析：利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得．【詳解】解：移項(xiàng)，得，因式分解，得，于是，得或，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，因式分解是解題的關(guān)鍵．（2）(2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）x2－2x－3＝0答案:分析：利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】解：，，或，或，故方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．5.(2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）解方程：答案:分析：先方程兩邊同時(shí)乘以，化成整式方程求解，然后再檢驗(yàn)分母是否為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得到：，解出：，當(dāng)時(shí)分式方程的分母不為0，∴分式方程的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過(guò)程中細(xì)心即可．【題型五】解一元一次不等式（組）【典例分析】1.解不等式組：，并寫(xiě)出它的正整數(shù)解．答案:，不等式組的正整數(shù)解為：1，2，3分析：分別求出每個(gè)不等式的解集，進(jìn)而求出不等式組的解集，再求出不等式組的正整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式得．解不等式得，∴不等式組的解集為：．∴不等式組的正整數(shù)解為：1，2，3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數(shù)解，正確求出每個(gè)不等式的解集，進(jìn)而求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】（1）不等式的其他性質(zhì)：①若a＞b，則b＜a；②若a＞b，b＞c，則a＞c；③若a≥b，且b≥a，則a=b；④若a2≤0，則a=0；⑤若ab＞0或，則a、b同號(hào)；⑥若ab＜0或，則a、b異號(hào).（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小關(guān)系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．不等號(hào)具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但a＜b可轉(zhuǎn)換為b＞a，c≥d可轉(zhuǎn)換為d≤c.（3）由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表．不等式組（其中a＞b）圖示解集口訣（同大取大）（同小取?。ù笮∪≈虚g）無(wú)解（空集）（大大、小小找不到）【變式演練】1.(2023·寧夏·中考真題）解不等式組：．答案:不等式組的解集是分析：分別求出兩個(gè)不等式的解集，然后再求出不等式組的解集即可．【詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，∴不等式組的解集是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解不等式組，準(zhǔn)確求出兩個(gè)不等式的解集，是解題的關(guān)鍵．2.(2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）解不等式組并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．答案:x≤1，圖見(jiàn)解析分析：先分別求出不等式組中每一個(gè)不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用數(shù)軸表示出來(lái)即可．【詳解】解：解①得：x≤1，解②得：x<6，∴x≤1，解集在數(shù)軸上表示為：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組：求解出兩個(gè)不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，小于小的大于大的無(wú)解”確定不等式組的解集．也考查了用數(shù)軸表示不等式的解集．3.(2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：并寫(xiě)出該不等式組的最大整數(shù)解．答案:，-3分析：先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后求出不等式組的整數(shù)解即可．【詳解】解：，解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為，∴不等式組的最大整數(shù)解是-3．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)，能求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．1．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）計(jì)算：答案:0分析：先分別計(jì)算絕對(duì)值，冪的乘方的逆運(yùn)算與冪的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分母有理化，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值，冪的乘方的逆運(yùn)算與冪的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分母有理化．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．2．（2023·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）計(jì)算：．答案:分析：根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校聯(lián)考一模）（1）計(jì)算：；（2）分解因式：．答案:（1）；（2）分析：（1）根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算及特殊的三角函數(shù)值計(jì)算即可；（2）先利用完全平方公式再利用平方差公式分組分解即可．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及因式分解，熟練掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算計(jì)算方法、特殊角的三角函數(shù)值以及乘法公式進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┫然?jiǎn)，再求值：，其中．答案:，3分析：原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，求出x的值，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┯?jì)算：答案:分析：先進(jìn)行有理數(shù)的乘方、特殊角的三角函數(shù)、絕對(duì)值和零指數(shù)冪運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及有理數(shù)的乘方、特殊角的三角函數(shù)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、零指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．6．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）分解因式：答案:分析：先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023·陜西西安·?？既＃┮蚴椒纸猓捍鸢?分析：原式利用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．8．(2023·四川廣元·統(tǒng)考二模）解方程．答案:【詳解】解：去分母，得．去括號(hào)，得．移項(xiàng)，得．合并同類(lèi)項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）解方程組：答案:分析：運(yùn)用加減消元法求解即可．【詳解】解：得，解得把代入得故原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，熟練選擇解題方法是解題的關(guān)鍵．10．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考一模）解方程：(1)(2)答案:(1)(2)分析：（1）運(yùn)用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先將原方程化為，然后再整體求得，進(jìn)而求得x．【詳解】（1）解：．（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和直接開(kāi)平方法是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）解方程：．答案:分析：去分母，解一元一次方程，驗(yàn)根即可得到答案；【詳解】解：方程兩邊都乘以得，，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以是分式方程的解；【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是去分母時(shí)注意符號(hào)選取及別漏乘，最后要驗(yàn)根．12．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）計(jì)算：(1)解方程：．(2)關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．答案:(1)(2)分析：（1）將分式方程化為整式方程進(jìn)行求解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：去分母，得：，移項(xiàng)，合并，得：，系數(shù)化1，得：；經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；∴原方程的解為：；（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系．熟練掌握解分式方程的步驟，以及一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇無(wú)錫·?？级＃?）解方程：；

（2）解不等式組：答案:（1）方程無(wú)解；（2）分析：（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．【詳解】（1）解：去分母得：去括號(hào)得：移項(xiàng)合并得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的增根，故原方程無(wú)解；（2）解不等式①得：解不等式②得：即不等式的解集為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及解一元一次不等式組，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）（1）解方程：1；（2）解不等式組：答案:（1）；（2）分析：（1）按照去分母，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟求解，然后檢驗(yàn)即可獲得答案；（2）分別解兩個(gè)不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無(wú)處找”的原則獲得答案．【詳解】解：（1）1，去分母，得，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得x，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原分式方程的解為；（2），解：解不等式①，得，解不等式②，得，所以，該不等式組的解集為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程和解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程和解一元一次不等式組的方法和步驟．15．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A，B，C，其中，，如圖所示．設(shè)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)數(shù)的和是p．(1)若以B為原點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)A，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)，并計(jì)算p的值；若以C為原點(diǎn)，p又是多少？(2)若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且，求p．答案:(1)(2)分析：（1）按照數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)的規(guī)律寫(xiě)出點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，再求出的值即可，按照數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)的規(guī)律寫(xiě)出點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，再求出的值即可；（2）根據(jù)原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊和分別求出點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)，即可求出p的值．【詳解】（1）解：若以為原點(diǎn)，則點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，此時(shí)，，若以為原點(diǎn)，則點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，此時(shí)，；（2）原點(diǎn)在圖中數(shù)軸上點(diǎn)的右邊，且，則點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，此時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離以及數(shù)軸的運(yùn)用，還考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，解題時(shí)注意：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離．16．(2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）老師在黑板上出示了下面的5個(gè)未計(jì)算完的有理數(shù)．，，，，(1)求這5個(gè)數(shù)的和，并直接寫(xiě)出這5個(gè)數(shù)的中位數(shù)．(2)在這5個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是，最小的數(shù)是n．求的值．答案:(1)和為，中位數(shù)是(2)分析：（1）分別根據(jù)有理數(shù)的乘方，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，化簡(jiǎn)多重符號(hào)，有理數(shù)的除法，化簡(jiǎn)各數(shù)，進(jìn)而求得這個(gè)5個(gè)數(shù)的和以及中位數(shù)；（2）根據(jù)有理數(shù)的大小比較求得的值，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，從小到大排列：∴中位數(shù)是1；