專題03費馬點模型(原卷版+解析)

專題03費馬點模型【解題方法】“PA+PB+PC”型最小值問題（費馬四點共線）以已知邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，在結(jié)合等邊三角形手拉手模型證明最小值?！究谠E】旋轉(zhuǎn)，四點共線，值最小【模型一】正方形內(nèi)一點到三個頂點距離之和最小值問題（費馬點四點共線）解題口訣：旋轉(zhuǎn)60°，可得等邊三角形；三線合一值最小；勾股定理、三角函數(shù)求結(jié)果。1．已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA+PB+PC的最小值．【模型二】設(shè)未知數(shù)丘縣段的數(shù)量關(guān)系問題解題口訣：設(shè)未知數(shù)，作輔助線，構(gòu)造直角三角形；全等三角形，角相等，正切值也相等2．(2023?松桃縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，點F是DE的中點，連接CE，DE．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖1所示，在點D運動的過程中，連接CF，CF的延長線與AB交于點P，連接DP，試猜想DP與CE位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論．（3）如圖2所示，在點D運動的過程中，當BD＝2CD時，連接CF，CF的延長線與AB的延長線交于點G，求的值．【模型三】三角形內(nèi)求線段和最小值問題解題口訣：構(gòu)造等邊三角型，造手拉手模型，截長補短證最值3．(2023春?周村區(qū)期末）如圖①，P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）如果點P為銳角三角形ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的長．（2）已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點，連結(jié)AP，如圖②．①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點為△ABC的費馬點．4．(2023秋?北碚區(qū)校級期中）如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）證明：EF＝DF；（2）如圖2，點M是ED上一點，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．（3）如圖3，在（2）的條件下，當點M與點D重合時，若CD⊥AD，GD＝4，請問在△ACD內(nèi)部是否存在點P使得P到△ACD三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由．專題03費馬點模型【解題方法】“PA+PB+PC”型最小值問題（費馬四點共線）以已知邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，在結(jié)合等邊三角形手拉手模型證明最小值?！究谠E】旋轉(zhuǎn)，四點共線，值最小【模型一】正方形內(nèi)一點到三個頂點距離之和最小值問題（費馬點四點共線）解題口訣：旋轉(zhuǎn)60°，可得等邊三角形；三線合一值最小；勾股定理、三角函數(shù)求結(jié)果。1．已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA+PB+PC的最小值．【考點】軸對稱﹣最短路線問題；正方形的性質(zhì)．分析：順時針旋轉(zhuǎn)△BPC60度，可得△PBE為等邊三角形，若PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，求出AF的值即可．【解答】解：將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度，可得△PBE為等邊三角形．即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC＝AF．此時∠EBC+∠CBP＝∠FBE+∠EBC＝60°＝∠FBC，所以∠ABF＝90°+60°＝150°，∠MBF＝30°，BM＝BF?cos30°＝BC?cos30°＝，MF＝，則AM＝1+＝，在△AMF中，勾股定理得：AM2+MF2＝AF2AF＝＝＝＝．【點評】本題主要考查軸對稱﹣路線最短問題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的知識，此題難度一般．【模型二】設(shè)未知數(shù)丘縣段的數(shù)量關(guān)系問題解題口訣：設(shè)未知數(shù)，作輔助線，構(gòu)造直角三角形；全等三角形，角相等，正切值也相等2．(2023?松桃縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，點F是DE的中點，連接CE，DE．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖1所示，在點D運動的過程中，連接CF，CF的延長線與AB交于點P，連接DP，試猜想DP與CE位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論．（3）如圖2所示，在點D運動的過程中，當BD＝2CD時，連接CF，CF的延長線與AB的延長線交于點G，求的值．【考點】幾何變換綜合題．分析：（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；（2）通過證明四邊形PDCE是矩形，可得PD＝CE，PD∥CE；（3）過點G作GH⊥BC于H，設(shè)CD＝a，可得BD＝2a，BC＝3a，AB＝AC＝a，由全等三角形的性質(zhì)可得BD＝CE＝2a，由銳角三角函數(shù)可求GH＝2CH，可求CH＝a，可求BG的長，即可求AG＝a，即可求解．【解答】（1）證明：∵把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：PD＝CE，PD∥CE，理由如下：如圖1，連接AF，連接PE，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，點F是DE的中點，∴AF＝DF＝EF，∠AFD＝90°，∠DAF＝∠ADF＝45°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝90°，∵點F是DE的中點，∴CF＝DF＝EF，∴∠FDC＝∠FCD，∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE＝∠PCD，∴∠BAD+∠DAF＝∠ABD+∠DCP，∴∠FPA＝∠FPA，∴PF＝AF，∴PF＝DF＝EF＝CF，∴四邊形PDCE是平行四邊形，PC＝DE，∴四邊形PDCE是矩形，∴PD＝CE，PD∥CE；（3）解：如圖2，過點G作GH⊥BC于H，∵BD＝2CD，∴設(shè)CD＝a，則BD＝2a，BC＝3a，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝＝a，由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝2a，∵CF＝DF，∴∠FDC＝∠FCD，∴tan∠FDC＝tan∠FCD，∴＝2，∴GH＝2CH，∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BGH＝45°，∴BH＝GH，∴BG＝BH∵BH+CH＝BC＝3a，∴CH＝a，BH＝GH＝2a，∴BG＝2a，∴AG＝BG﹣AB＝a，∴＝＝．【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【模型三】三角形內(nèi)求線段和最小值問題解題口訣：構(gòu)造等邊三角型，造手拉手模型，截長補短證最值3．(2023春?周村區(qū)期末）如圖①，P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）如果點P為銳角三角形ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的長．（2）已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點，連結(jié)AP，如圖②．①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點為△ABC的費馬點．【考點】相似形綜合題．分析：（1）①由三角形內(nèi)角和定理可求∠PBA+∠PAB＝60°，可證∠PBC＝∠BAP，可得結(jié)論；②由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）①由“SAS”可證△ACE≌△ADB，可得∠1＝∠2，即可求解；②通過證明△ADF∽△CFP，可得，可證△AFP∽△CDF，可得∠APF＝∠ACD＝60°，可得結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵點P為銳角三角形ABC的費馬點，∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴∠PBA+∠PAB＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBC＝∠BAP，又∵∠APB＝∠BPC，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，又∵PA＝3，PC＝4，∴，∴PB＝2；（2）①解：設(shè)AC與BD的交點于F，如圖，∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，∴△ADF∽△CFP，∴，∴AF?PF＝DF?CP，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF，∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點為△ABC的費馬點．【點評】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，費馬點的定義，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．(2023秋?北碚區(qū)校級期中）如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）證明：EF＝DF；（2）如圖2，點M是ED上一點，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．（3）如圖3，在（2）的條件下，當點M與點D重合時，若CD⊥AD，GD＝4，請問在△ACD內(nèi)部是否存在點P使得P到△ACD三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由．【考點】三角形綜合題．分析：（1）可先推出∠CAF＝∠ABD，再證△ACF≌△BAD，即可得出結(jié)論；（2）在EF上截取EN＝EM，連接MN，可推出△EMN是等邊三角形，可證△NCM≌△EGM，然后推出△CMG是等邊三角形，從而問題得證；（3）先求得AD＝，將△DPC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG，連接AG，可得△PDQ是等邊三角形，于是AP+PD+CP＝AP+PQ+QG，故當A、P、Q、G共線時，AP+PD+CP最小＝AG，最后解斜三角形ADG，從而求得．【解答】（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠ACB＝60°，∴∠CAF+∠DAB＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠DAB+∠ABD＝60°，∴∠CAF＝∠ABD，∵AF＝BD，∴△ACF≌△BAD（SAS），∴EF＝DF；（2）證明：如圖2，由（1）知，EF＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等邊三角形，∴∠DEF＝60°，在EF上截取EN＝EM，連接MN，∴CN＝CE+EN＝CE+EM＝EG，∴△EMN是等邊三角形，∴∠CNM＝60°，∵∠GMC＝∠GEC，∠α＝∠β，∴∠NCM＝∠EGM，∵CM＝GM，∴△NCM≌△EGM（SAS），∴∠MEG＝∠CNM＝60°，∴∠CEG＝180°﹣∠MEG﹣∠FED＝60°，∴∠GME＝∠GEC＝60°，∵CM＝GM，∴△CMG是等邊三角形，∴CG＝CM；（3）解：如圖3，由（1）（2）知，△DEF和△CDG是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，CD＝GD＝4，∵CD⊥AD，∴∠CDF＝90°，∴AD＝