專題06勾股定理綜合應(yīng)用(一)(原卷版+解析)-【重難點(diǎn)突破】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}專練(北師大版)

專題06勾股定理綜合應(yīng)用（一）題型一與倍長中線結(jié)合1．如圖中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的面積是．2．如圖，，，，，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則．題型二存在性問題3．如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，，，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長為．4．如圖，在長方形中，，在上存在一點(diǎn)，沿直線把三角形折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上，設(shè)此點(diǎn)為，若三角形的面積為，那么折疊三角形的面積為．5．中，，，，過點(diǎn)的直線把分割成兩個(gè)三角形，使其中只有一個(gè)是等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的面積是．題型三旋轉(zhuǎn)問題6．如圖，在中，，．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△的位置，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，則的長為．7．如圖，中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，若點(diǎn)在線段的延長線上，則的長為．8．如圖，、都是等腰直角三角形，，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，則．

9．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接，，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)，求證：垂直平分；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．10．已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，若為內(nèi)部一點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若為邊上一點(diǎn)，，，求的長．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，已知，，，，求的長．

11．已知中，．（1）如圖1，在中，，點(diǎn)在線段上，，連接，請(qǐng)寫出：①和之間的位置和數(shù)量關(guān)系為、；②、和之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在中，，連接、，若，于點(diǎn)，，，求線段的長；（3）如圖3，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，，若，，則的長為，請(qǐng)簡(jiǎn)要寫出解答過程．

12．【問題背景】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專題學(xué)習(xí)中遇到一個(gè)幾何問題：如圖1，已知等邊，是外一點(diǎn)，連接、、，若，，，求的長．該小組在研究如圖2中中得到啟示，于是作出圖3，從而獲得了以下的解題思路，請(qǐng)你幫忙完善解題過程．解：如圖3所示，以為邊作等邊，連接．、是等邊三角形，，，．，，，．，，．，．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在中，，，，以為直角邊，為直角頂點(diǎn)作等腰直角，求的長．

【拓展創(chuàng)新】如圖5，在中，，，以為邊向外作等腰，，，連接，求的最大值．13．在中，，，為上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，過作交于，連接．（1）求證：；（2）求線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（3）若，，求．

14．已知，在中，，，．（1）如圖1，若，且點(diǎn)在的延長線上時(shí)，求證：；（2）如圖2，若，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若，，，求的長．

15．請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，、求度數(shù)的大小和等邊三角形的邊長．李明同學(xué)的思路是：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖，連接，可得△是等邊三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以，而，進(jìn)而求出等邊的邊長為，問題得到解決．請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，．求度數(shù)的大小和正方形的邊長．

16．如圖1，在中，，、是斜邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接．（1）試說明：；（2）當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)和的長；（3）如圖2，和都是等腰直角三角形，，是斜邊所在直線上一點(diǎn)，，，求的長．專題06勾股定理綜合應(yīng)用（一）題型一與倍長中線結(jié)合1．如圖中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的面積是6．【解答】解：延長至，使，連接，在和中，，，，，，，為△，，的面積等于的面積為：．故答案為：6．2．如圖，，，，，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則．【解答】解：延長交于點(diǎn)，，，在與中，，，，，，，，故答案為：．題型二存在性問題3．如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，，，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長為1或7．【解答】解：作于，在中，，，，，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，．．．．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，．．，綜上所述，的長為1或7．故答案為：1或7．4．如圖，在長方形中，，在上存在一點(diǎn)，沿直線把三角形折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上，設(shè)此點(diǎn)為，若三角形的面積為，那么折疊三角形的面積為16.9．【解答】解：三角形的面積為，，，在中，，，，又，在中，，，，．5．中，，，，過點(diǎn)的直線把分割成兩個(gè)三角形，使其中只有一個(gè)是等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的面積是3.6或4.32或4.8．【解答】解：在中，，，，，．沿過點(diǎn)的直線把分割成兩個(gè)三角形，使其中只有一個(gè)是等腰三角形，有三種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖①所示，；②當(dāng)，且在上時(shí)，如圖②所示，作的高，則，，，；③當(dāng)時(shí)，如圖③所示，；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，根據(jù)平行線分線段成比例定理得點(diǎn)是的中點(diǎn)，是斜邊上的中線，，此時(shí)也是等腰三角形，不符合題意，舍去．綜上所述：等腰三角形的面積可能為3.6或4.32或4.8．故答案為3.6或4.32或4.8．題型三旋轉(zhuǎn)問題6．如圖，在中，，．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△的位置，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，則的長為．【解答】解：，是的中點(diǎn)，，△由旋轉(zhuǎn)得到，，，，是等邊三角形，，，，，，垂直平分，，，，，，故答案為：．7．如圖，中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，若點(diǎn)在線段的延長線上，則的長為．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，，，，在中，，在中，，，，，，，故答案為：．8．如圖，、都是等腰直角三角形，，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，則．【解答】解：如圖，連接，、都是等腰直角三角形，，，，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△，，，，，在和中，，過作于，在中，，在中，，，故答案為：．9．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接，，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)，求證：垂直平分；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【解答】（1）證明：如圖2中，根據(jù)題意：，，，，，在和中，，，；（2）證明：如圖3中，根據(jù)題意：，，，在和中，，，，，且，，，，，，，，，，，是線段的垂直平分線；解法二：通過計(jì)算證明，，可得結(jié)論．（3）解：中，邊的長是定值，則邊上的高取最大值時(shí)的面積有最大值，當(dāng)點(diǎn)在線段的垂直平分線上時(shí)，的面積取得最大值，如圖4中：，，，于，，，，，的面積的最大值為：，旋轉(zhuǎn)角．10．已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，若為內(nèi)部一點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若為邊上一點(diǎn)，，，求的長．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，已知，，，，求的長．【解答】解：（1）如圖1中，結(jié)論：．理由如下：，都是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，；（2）如圖2中，連接．，，，，，；（3）如圖3中，在的上方作等腰直角，使得，．，，在和中，，，，，，，，，，，．11．已知中，．（1）如圖1，在中，，點(diǎn)在線段上，，連接，請(qǐng)寫出：①和之間的位置和數(shù)量關(guān)系為、；②、和之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在中，，連接、，若，于點(diǎn)，，，求線段的長；（3）如圖3，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，，若，，則的長為，請(qǐng)簡(jiǎn)要寫出解答過程．【解答】解：（1）①和之間的位置和數(shù)量關(guān)系為：，，理由如下：，，，，，即，又，，，，，，，故答案為：，；②由①得：，，，，又，，是等腰直角三角形，，，故答案為：；（2）連接，如圖2所示：，，是等邊三角形，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，，，；（3）以為邊向上作等邊，連接，過點(diǎn)作交延長線于，如圖3所示：、都是等邊三角形，，，，，即，，，，是等腰直角三角形，，，在中，由勾股定理得：，，故答案為：．12．【問題背景】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專題學(xué)習(xí)中遇到一個(gè)幾何問題：如圖1，已知等邊，是外一點(diǎn)，連接、、，若，，，求的長．該小組在研究如圖2中中得到啟示，于是作出圖3，從而獲得了以下的解題思路，請(qǐng)你幫忙完善解題過程．解：如圖3所示，以為邊作等邊，連接．、是等邊三角形，，，．，，，．，，．，．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在中，，，，以為直角邊，為直角頂點(diǎn)作等腰直角，求的長．【拓展創(chuàng)新】如圖5，在中，，，以為邊向外作等腰，，，連接，求的最大值．【解答】解：【問題背景】如圖3所示，以為邊作等邊，連接．、是等邊三角形，，，．，，，．，，．，；故答案為：，，4；【嘗試應(yīng)用】以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，，，，，，，，；【拓展創(chuàng)新】以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最大，此時(shí)最大，，，，，的最大值為．13．在中，，，為上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，過作交于，連接．（1）求證：；（2）求線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（3）若，，求．【解答】（1）證明：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可得是等腰直角三角形，，，，在和中，，，；（2）解：；理由：如圖，連接，，是等腰直角三角形，是的垂直平分線，，又，，，，在中，，；（3）解：，是等腰直角三角形，，，，，，設(shè)，則，，在中，，解得，．14．已知，在中，，，．（1）如圖1，若，且點(diǎn)在的延長線上時(shí)，求證：；（2）如圖2，若，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若，，，求的長．【解答】（1）證明：，，為等邊三角形，，，，，，，，，，；（2）解：．理由：如圖1中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．，，是等邊三角形，，，，，，，，，，．（3）解：如圖2，過作，使，連接、，由勾股定理得：，，，，，，，，即，，，，，在中，，．15．請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，、求度數(shù)的大小和等邊三角形的邊長．李明同學(xué)的思路是：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖，連接，可得△是等邊三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以，而，進(jìn)而求出等邊的邊長為，問題得到解決．請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，．求度數(shù)的大小和正方形的邊長．【解答】解：（1）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△，則△．，；連接，在△中，，，，；（2分）在△中，，，，，即；△是直角三角形，即，，．（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)；則是等腰直角三角形，，，；在中，由勾股定理，得；，正方形邊長為