熱點05二次函數(shù)(原卷版+解析)

熱點05二次函數(shù)考察方向考察方向中考中，二次函數(shù)主要考察方向為：二次函數(shù)的解析式（三種形式）二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)二次函數(shù)與其它函數(shù)綜合二次函數(shù)與幾何圖形綜合二次函數(shù)的綜合運用滿分技巧滿分技巧二次函數(shù)的解析式【重點知識】一般式：；頂點式：；頂點坐標為（h,k）,其中交點式：；二次函數(shù)與x軸交點坐標為（）【方法提示】以上二次函數(shù)的三種形式，均要求。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)【重點知識】二次函數(shù)三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而減小．簡記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，（3）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系【重點知識】求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點坐標根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實數(shù)根）（4）二次函數(shù)與直線的交點【方法提示】拋物線與x軸的兩個交點的問題實質(zhì)就是拋物線與直線的交點問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定。當方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象有兩個交點；當方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象只有一個交點；當方程組無解時兩函數(shù)圖象沒有交點。（5）拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式【方法提示】當△＞0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，故：即（△＞0）基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點坐標是C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當時，y隨x的增大而增大2．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．3．(2023·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）與x軸的兩個交點的橫坐標分別為m和n，下列結(jié)論正確的是（）A．m＜a＜n＜b B．a(chǎn)＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b4．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像如圖所示，點在軸的正半軸上，且，設(shè)，則的取值范圍為（）A．B．C． D．5．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一個坐標系內(nèi)的大致圖象為（

）A．B．C． D．6．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃，臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復(fù)雜，其中在進行加工煎炸臭豆腐時，我們把焦脆而不糊的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，“可食用率”p與加工煎炸的時間t（單位：分鐘）近似滿足函數(shù)關(guān)系式：（a，b，c為常數(shù)），如圖紀錄了三次實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系和實驗數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時間為(

)A．3.50分鐘 B．4.05分鐘 C．3.75分鐘 D．4.25分鐘7．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正確的是(

)A．①② B．①④ C．②③ D．②④8．(2023·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(

)①②③④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，），點是該函數(shù)圖象上一點，當時，，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．二、填空題10．（2015·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=x2+2x+3的頂點坐標是_____________．11．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知y是x的二次函數(shù)，下表給出了y與x的幾對對應(yīng)值：x…-2-101234…y…11a323611…由此判斷，表中_______．12．（2017·湖南常德·中考真題）如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為2的正方形的邊上若設(shè)，正方形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系為______．三、解答題13．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點，，且它的對稱軸為．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點是拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限，當?shù)拿娣e為15時，求的坐標；(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動點，當?shù)闹底畲髸r，求的坐標以及的最大值14．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？15．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請在拋物線的對稱軸上找一點，使的值最小，求點的坐標，并求出此時的最小值；（4）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．16．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的二次函數(shù)（實數(shù)b，c為常數(shù)）．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，對稱軸為，求此二次函數(shù)的表達式；（2）若，當時，二次函數(shù)的最小值為21，求b的值；（3）記關(guān)于x的二次函數(shù)，若在（1）的條件下，當時，總有，求實數(shù)m的最小值．難點突破難點突破B卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形中，點，點，則互異二次函數(shù)與正方形有交點時的最大值和最小值分別是（

）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-12．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）對于一個函數(shù)，自變量取時，函數(shù)值等于0，則稱為這個函數(shù)的零點．若關(guān)于的二次函數(shù)有兩個不相等的零點，關(guān)于的方程有兩個不相等的非零實數(shù)根，則下列關(guān)系式一定正確的是（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南株洲·中考真題）二次函數(shù)，若，，點，在該二次函數(shù)的圖象上，其中，，則（

）A． B． C．D．、的大小無法確定4．(2023·湖南湘西·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為，其圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．正確的是（

）A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤5．(2023·湖南·中考真題）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．16．(2023·湖南衡陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點A（-1,0），頂點坐標（1，n）與軸的交點在（0,2），（0,3）之間（包含端點），則下列結(jié)論：①；②；③對于任意實數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；④關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的個數(shù)為

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．(2023·湖南岳陽·中考真題）在同一直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象如圖所示，若兩個函數(shù)圖象上有三個不同的點A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m為常數(shù)，令ω＝x1+x2+x3，則ω的值為（）A．1 B．m C．m2 D．二、填空題8．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5及一次函數(shù)y＝﹣x+b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍是_____．第8題圖第9題圖第10題圖9．（2015·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標為﹣2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結(jié)論正確的是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①b＞0；②a﹣b+c＜0；③陰影部分的面積為4；④若c=﹣1，則b2=4a．10．（2017·湖南株洲·中考真題）如圖示二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸在y軸的右側(cè)，其圖象與x軸交于點A（﹣1，0）與點C（x2，0），且與y軸交于點B（0，﹣2），小強得到以下結(jié)論：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④當|a|=|b|時x2＞﹣1；以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號為_______．11．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線的圖象如圖所示．已知點坐標為，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點……，依次進行下去，則點的坐標為_____．三、解答題12．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．(1)求a的值；(2)將A，B的縱坐標分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？(3)Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負值，在y軸的負半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．13．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側(cè)），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標．(2)點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．(3)如圖②，點E是點H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．14．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸相交于點，，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，將直線BC間上平移，得到過原點O的直線MN．點D是直線MN上任意一點．①當點D在拋物線的對稱軸l上時，連接CD，關(guān)x軸相交于點E，水線段OE的長；②如圖2，在拋物線的對稱軸l上是否存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F與點D的坐標；若不存在，請說明理由．15．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上，點C(3，0)在拋物線上．(1)求該拋物線的表達式．(2)正方形OPDE的頂點O為直角坐標系原點，頂點P在線段OC上，頂點E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點P的坐標．(3)在條件（2）下，點Q是線段CD上的動點（點Q不與點D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長度的最小值．16．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的函數(shù)y，當時，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．(1)①若函數(shù)，當時，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；②若函數(shù)（，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；(2)若函數(shù)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；(3)若函數(shù)，是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．17．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過點和點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，作拋物線，使它與拋物線關(guān)于原點成中心對稱，請直接寫出拋物線的解析式；(3)如圖3，將（2）中拋物線向上平移2個單位，得到拋物線，拋物線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側(cè)）．①求點和點的坐標；②若點，分別為拋物線和拋物線上，之間的動點（點，與點，不重合），試求四邊形面積的最大值．18．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點，與軸交點．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；②若點是拋物線上一動點（與點不重合），過點作軸于點，與線段交于點．是否存在點使得點是線段的三等分點？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．如圖②，直線與軸交于點，同時與拋物線交于點，以線段為邊作菱形，使點落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點，求的取值范圍．19．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸相交于點、點，與軸相交于點．(1)請直接寫出點，，的坐標；(2)點在拋物線上，當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值．(3)點是拋物線上的動點，作//交軸于點，是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．20．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線交軸于、兩點，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點．(1)寫出圖象位于線段上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線與圖象有三個交點，請結(jié)合圖象，直接寫出的值；(3)為軸正半軸上一動點，過點作軸交直線于點，交圖象于點，是否存在這樣的點，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．21．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：十六世紀的法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述為“當判別式時，關(guān)于的一元二次方程的兩個根、有如下關(guān)系：，”．此關(guān)系通常被稱為“韋達定理”．已知二次函數(shù)．(1)若，，且該二次函數(shù)的圖象過點，求的值；(2)如圖所示，在平面直角坐標系中，該二次函數(shù)的圖象與軸相交于不同的兩點、，其中、，且該二次函數(shù)的圖象的頂點在矩形的邊上，其對稱軸與軸、分別交于點、，與軸相交于點，且滿足．①求關(guān)于的一元二次方程的根的判別式的值；②若，令，求的最小值．22．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A(﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PFAB交BC于點F．(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式，(2)當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．(3)若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．熱點05二次函數(shù)考察方向考察方向中考中，二次函數(shù)主要考察方向為：二次函數(shù)的解析式（三種形式）二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)二次函數(shù)與其它函數(shù)綜合二次函數(shù)與幾何圖形綜合二次函數(shù)的綜合運用滿分技巧滿分技巧二次函數(shù)的解析式【重點知識】一般式：；頂點式：；頂點坐標為（h,k）,其中交點式：；二次函數(shù)與x軸交點坐標為（）【方法提示】以上二次函數(shù)的三種形式，均要求。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)【重點知識】二次函數(shù)三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，（3）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系【重點知識】求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點坐標根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實數(shù)根）（4）二次函數(shù)與直線的交點【方法提示】拋物線與x軸的兩個交點的問題實質(zhì)就是拋物線與直線的交點問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定。當方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象有兩個交點；當方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象只有一個交點；當方程組無解時兩函數(shù)圖象沒有交點。（5）拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式【方法提示】當△＞0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，故：即（△＞0）基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點坐標是C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當時，y隨x的增大而增大答案:D分析：由拋物線的表達式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可．【詳解】解：對于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故拋物線開口向上，故A錯誤；頂點坐標為（1，5），故B錯誤；該函數(shù)有最小值，最小值是5，故C錯誤；當時，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．2．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．答案:C分析：利用排除法，由得出拋物線與y軸的交點應(yīng)該在y軸的負半軸上，排除A選項和D選項，根據(jù)B選項和C選項中對稱軸，得出，拋物線開口向下，排除B選項，即可得出C為正確答案．【詳解】解：對于二次函數(shù)，令，則，∴拋物線與y軸的交點坐標為∵，∴，∴拋物線與y軸的交點應(yīng)該在y軸的負半軸上，∴可以排除A選項和D選項；B選項和C選項中，拋物線的對稱軸，∵，∴，∴拋物線開口向下，可以排除B選項，故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與三個系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．(2023·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）與x軸的兩個交點的橫坐標分別為m和n，下列結(jié)論正確的是（）A．m＜a＜n＜b B．a(chǎn)＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b答案:C分析：依照題意畫出二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致圖象，觀察圖象即可得出結(jié)論．【詳解】解：二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）與x軸交點的橫坐標為a、b，將其圖象往下平移2個單位長度可得出二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的圖象．觀察圖象，可知：m＜a＜b＜n．故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的圖象，依照題意畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵．4．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像如圖所示，點在軸的正半軸上，且，設(shè)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．答案:D分析：由圖像可得，，當，，并與軸交于之間，得，據(jù)悉可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由圖像可知，圖像開口向下，并與軸相交于正半軸，∴，，當，，∵，并由圖像可得，二次函數(shù)與軸交于之間，∴∴，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一個坐標系內(nèi)的大致圖象為（

）A．B．C． D．答案:D分析：先根據(jù)拋物線的開口方向確定a＜0，對稱軸可確定b的正負，與y軸的交點可知c＞0，然后逐項排查即可．【詳解】解：∵拋物線開口方向向下∴a＜0，∵拋物線對稱軸∴b＞0∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸∴c＞0∴的圖像過二、一、四象限，的圖象在二、四象限∴D選項滿足題意．故選D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的特征、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，牢記各種函數(shù)圖象的特點成為解答本題的關(guān)鍵．6．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃，臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復(fù)雜，其中在進行加工煎炸臭豆腐時，我們把焦脆而不糊的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，“可食用率”p與加工煎炸的時間t（單位：分鐘）近似滿足函數(shù)關(guān)系式：（a，b，c為常數(shù)），如圖紀錄了三次實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系和實驗數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時間為(

)A．3.50分鐘 B．4.05分鐘 C．3.75分鐘 D．4.25分鐘答案:C分析：將圖中三個坐標代入函數(shù)關(guān)系式解出a和b,再利用對稱軸公式求出即可．【詳解】將(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:②－①和③－②得⑤－④得,解得a=﹣0.2．將a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．對稱軸=．故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的三點式,關(guān)鍵在于利用待定系數(shù)法求解,且本題只需求出a和b即可得出答案．7．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正確的是(

)A．①② B．①④ C．②③ D．②④答案:A分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所給結(jié)論進行判斷．【詳解】①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，能得到：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正確；②∵對稱軸x＜﹣1，∴＜﹣1，-2a＞0，∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正確；③圖象與x軸有2個不同的交點，依據(jù)根的判別式可知b2﹣4ac＞0，故③錯誤；④當x＝﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④錯誤，故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用．8．(2023·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(

)①②③④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案:A分析：由函數(shù)圖象可知a＜0，對稱軸-1＜x＜0，；，圖象與y軸的交點c＞0，函數(shù)與x軸有兩個不同的交點；△=b2-4ac＞0；再由圖象可知當x=1時，y＜0，即a+b+c＜0；當x=-1時，y＞0，即a-b+c＞0；即可求解．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，對稱軸，圖象與y軸的交點，函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，∴，；③錯誤；②錯；①錯誤當時，，即；當時，，即；∴，即；∴只有④是正確的；故選A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠通過圖象獲取信息，推導(dǎo)出a，b，c，△，對稱軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，），點是該函數(shù)圖象上一點，當時，，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．答案:A分析：先求出拋物線的對稱軸及拋物線與軸的交點坐標，再分兩種情況：或，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的不同取值范圍便可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴對稱軸為，拋物線與軸的交點為，∵點是該函數(shù)圖象上一點，當時，，∴①當時，對稱軸，此時，當時，，即，解得；②當時，對稱軸，當時，隨增大而減小，則當時，恒成立；綜上，的取值范圍是：或．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是分情況討論．二、填空題10．（2015·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=x2+2x+3的頂點坐標是_____________．答案:（﹣1，2）分析：由拋物線解析式求解．【詳解】解：將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點式可得：y=，則函數(shù)的頂點坐標為(－1，2)故答案為：（-1，2）【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．11．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知y是x的二次函數(shù)，下表給出了y與x的幾對對應(yīng)值：x…-2-101234…y…11a323611…由此判斷，表中_______．答案:6分析：根據(jù)表格得出二次函數(shù)的對稱軸為直線，由此即可得．【詳解】解：由表格可知，和時的函數(shù)值相等，則二次函數(shù)的對稱軸為直線，因此，和的函數(shù)值相等，即，故答案為：6．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2017·湖南常德·中考真題）如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為2的正方形的邊上若設(shè)，正方形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系為______．答案:【詳解】如圖所示，∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=2，∴∠1+∠2=90°，∵四邊形EFGH為正方形，∴∠HEF=90°，EH=EF，∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，在△AHE與△BEF中，∵∠A=∠B，∠2=∠3，EH=FE，∴△AHE≌△BEF（AAS），∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，在Rt△AHE中，由勾股定理得：EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；即（0＜x＜2），故答案為（0＜x＜2）．三、解答題13．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點，，且它的對稱軸為．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點是拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限，當?shù)拿娣e為15時，求的坐標；(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動點，當?shù)闹底畲髸r，求的坐標以及的最大值答案:(1)(2)(3)的最大值為分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為再利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）設(shè)且記OA與對稱軸的交點為Q，設(shè)直線為：解得：可得直線為：則利用列方程，再解方程即可；（3）如圖，連接AB，延長AB交拋物線于P，則此時最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系數(shù)法求解AB的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，解方程組可得P的坐標．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點，∴設(shè)拋物線為：拋物線過，且它的對稱軸為．解得：∴拋物線為：（2）解：如圖，點是拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限，設(shè)且記OA與對稱軸的交點為Q，設(shè)直線為：解得：直線為：解得：或∵則（3）如圖，連接AB，延長AB交拋物線于P，則此時最大，設(shè)AB為：代入A、B兩點坐標，解得：∴AB為：解得：【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，坐標與圖形面積，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，確定最大時P的位置是解本題的關(guān)鍵．14．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？答案:(1)CG長為8m，DG長為4m(2)當BC=m時，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=m2分析：（1）兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點式即可.【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當BC=m時，y最大=m2．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．15．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請在拋物線的對稱軸上找一點，使的值最小，求點的坐標，并求出此時的最小值；（4）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．答案:（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時的最小值為；（4）存在，或．分析：（1）把點A、B的坐標代入求解即可；（2）設(shè)直線的解析式為，然后把點B、C的坐標代入求解即可；（3）由題意易得點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點B、P、C三點共線時，即為BC的長，然后問題可求解；（4）由題意可設(shè)點，然后可分①當AC為對角線時，②當AM為對角線時，③當AN為對角線時，進而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點坐標公式可進行求解．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得拋物線的解析式為，∵拋物線與y軸的交點為C，∴，設(shè)直線的解析式為，把點B、C的坐標代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（3）由拋物線可得對稱軸為直線，由題意可得如圖所示：連接BP、BC，∵點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴，要使的值為最小，則需滿足點B、P、C三點共線時，即為BC的長，此時BC與對稱軸的交點即為所求的P點，∵，∴，∴的最小值為，∵點P在直線BC上，∴把代入得：，∴；（4）存在，理由如下：由題意可設(shè)點，，當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則可分：①當AC為對角線時，如圖所示：連接MN，交AC于點D，∵四邊形ANCM是平行四邊形，∴點D為AC、MN的中點，∴根據(jù)中點坐標公式可得：，即，解得：，∴；②當AM為對角線時，同理可得：，即，解得：，∴；③當AN為對角線時，同理可得：，即，解得：，∴；∴綜上所述：當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵．16．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的二次函數(shù)（實數(shù)b，c為常數(shù)）．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，對稱軸為，求此二次函數(shù)的表達式；（2）若，當時，二次函數(shù)的最小值為21，求b的值；（3）記關(guān)于x的二次函數(shù)，若在（1）的條件下，當時，總有，求實數(shù)m的最小值．答案:（1）；（2）或4；（3）4．分析：（1）將點代入二次函數(shù)的解析式可得的值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可得的值，由此即可得；（2）先求出二次函數(shù)的對稱軸為，再分，和三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得一個關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根據(jù)可得，令，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求解即可得．【詳解】解：（1）將點代入得：，二次函數(shù)的對稱軸為，，解得，則此二次函數(shù)的表達式為；（2），即，，則此二次函數(shù)的對稱軸為，由題意，分以下三種情況：①當，即時，在內(nèi)，隨的增大而減小，則當時，取得最小值，因此有，解得或（不符題設(shè)，舍去）；②當，即時，在內(nèi)，隨的增大而減?。辉趦?nèi)，隨的增大而增大，則當時，取得最小值，因此有，解得或（均不符題設(shè)，舍去）；③當，即時，在內(nèi)，隨的增大而增大，則當時，取得最小值，因此有，解得或（不符題設(shè)，舍去），綜上，的值為或4；（3）由（1）可知，，由得：，即，令，在內(nèi)，隨的增大而增大，要使得當時，總有，則只需當時，即可，因此有，解得，則實數(shù)的最小值為4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解一元二次方程等知識點，較難的是題（2），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．難點突破難點突破B卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形中，點，點，則互異二次函數(shù)與正方形有交點時的最大值和最小值分別是（

）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1答案:D分析：分別討論當對稱軸位于y軸左側(cè)、位于y軸與正方形對稱軸x=1之間、位于直線x=1和x=2之間、位于直線x=2右側(cè)共四種情況，列出它們有交點時滿足的條件，得到關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：B（2,2）；若二次函數(shù)與正方形有交點,則共有以下四種情況:當時，則當A點在拋物線上或上方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當C點在拋物線上或下方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當O點位于拋物線上或下方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當O點在拋物線上或下方且B點在拋物線上或上方時，它們才有交點，此時有，解得：；綜上可得：的最大值和最小值分別是，．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與正方形的交點問題，涉及到列一元一次不等式組等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖像分析交點情況，并進行分類討論，本題綜合性較強，需要一定的分析能力與圖形感知力，因此對學(xué)生的思維要求較高，本題蘊含了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等．2．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）對于一個函數(shù)，自變量取時，函數(shù)值等于0，則稱為這個函數(shù)的零點．若關(guān)于的二次函數(shù)有兩個不相等的零點，關(guān)于的方程有兩個不相等的非零實數(shù)根，則下列關(guān)系式一定正確的是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求出，的值，用作差法比較的大小關(guān)系，的大小關(guān)系，根據(jù)可求出m的取值范圍，結(jié)合的大小關(guān)系，的大小關(guān)系從而得出選項．【詳解】解：∵是的兩個不相等的零點即是的兩個不相等的實數(shù)根∴∵解得∵方程有兩個不相等的非零實數(shù)根∴∵解得∴＞0∴∵，∴∴∴而由題意知解得當時，，；當時，，；當m=-2時，無意義；當時，，∴取值范圍不確定，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，判別式與根的關(guān)系及一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是熟記根與系數(shù)的關(guān)系，對于（a≠0）的兩根為，則．3．(2023·湖南株洲·中考真題）二次函數(shù)，若，，點，在該二次函數(shù)的圖象上，其中，，則（

）A． B． C．D．、的大小無法確定答案:B分析：首先分析出a,b,x1的取值范圍，然后用含有代數(shù)式表示y1,y2，再作差法比較y1,y2的大小.【詳解】解：∵，b20,∴a>0.又∵，∴b<0.∵，，∴,x1<0.∵點，在該二次函數(shù)的圖象上∴，.∴y1-y2=2bx1>0.∴y1>y2.故選：B.【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和函數(shù)值的大小比較，判斷出字母系數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.4．(2023·湖南湘西·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為，其圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．正確的是（

）A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤答案:D分析：由圖像判斷出a<0，b>0，c>0，即可判斷①；根據(jù)b=-2a可判斷②；根據(jù)當x=-1時函數(shù)值小于0可判斷③；根據(jù)當x=1時，y有最大值，y=a+b+c，當x=n時，y=an2+bn+c即可判斷④；當x=3時，函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0可判斷⑤．【詳解】∵拋物線開口向下，∴a<0，∵對稱軸x==1>0，∴b=-2a，∴b>0，∵拋物線與y軸的交點在正半軸，∴c>0，∴abc<0，①錯誤；∵b=-2a，∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②錯誤；由圖像可得當x=-1時，y=a-b+c<0，③錯誤；當x=1時，y有最大值，y=a+b+c，當x=n時，y=an2+bn+c，a+b+c>an2+bn+c，即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正確；當x=3時，函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c<0，∵b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0，+c<0，-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了拋物線圖像和二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，熟知拋物線圖像和二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．(2023·湖南·中考真題）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1答案:B分析：先由拋物線與x軸的交點個數(shù)判斷出結(jié)論①，先由拋物線的開口方向判斷出a＜0，進而判斷出b＞0，再用拋物線與y軸的交點的位置判斷出c＞0，判斷出結(jié)論②，利用拋物線的對稱軸為x＝2，判斷出結(jié)論③，最后用x＝﹣2時，拋物線在x軸下方，判斷出結(jié)論④，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個交點，∴方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，故①正確，由圖象知，拋物線的對稱軸直線為x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正確，由圖象知，拋物線開口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正確，由圖象知，當x＝﹣2時，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④錯誤，即正確的結(jié)論有3個，故選：B．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知各系數(shù)與圖像的關(guān)系．6．(2023·湖南衡陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點A（-1,0），頂點坐標（1，n）與軸的交點在（0,2），（0,3）之間（包含端點），則下列結(jié)論：①；②；③對于任意實數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；④關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的個數(shù)為

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案:D分析：利用拋物線開口方向得到a＜0，再由拋物線的對稱軸方程得到b=-2a，則3a+b=a，于是可對①進行判斷；利用2≤c≤3和c=-3a可對②進行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進行判斷；根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點可對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，而拋物線的對稱軸為直線x=-=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正確；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-，所以②正確；∵拋物線的頂點坐標（1，n），∴x=1時，二次函數(shù)值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正確；∵拋物線的頂點坐標（1，n），∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．7．(2023·湖南岳陽·中考真題）在同一直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象如圖所示，若兩個函數(shù)圖象上有三個不同的點A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m為常數(shù)，令ω＝x1+x2+x3，則ω的值為（）A．1 B．m C．m2 D．答案:D分析：三個點的縱坐標相同，由圖象可知y=x2圖象上點橫坐標互為相反數(shù)，則x1+x2+x3=x3，再由反比例函數(shù)性質(zhì)可求x3．【詳解】設(shè)點A、B在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，點C在反比例函數(shù)y(x＞0)的圖象上，因為A、B兩點縱坐標相同，則A、B關(guān)于y軸對稱，則x1+x2=0，因為點C(x3，m)在反比例函數(shù)圖象上，則x3=，∴ω＝x1+x2+x3=，故選D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的軸對稱性，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)圖象上點縱坐標相同時，對應(yīng)點關(guān)于拋物線對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵.二、填空題8．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5及一次函數(shù)y＝﹣x+b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍是_____．答案:分析：解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折疊的性質(zhì)求出折疊部分的解析式為，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A（﹣1，0）時b的值和當直線y＝﹣x+b與拋物線y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共點時b的值，從而得到當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍．【詳解】解：如圖所示：當y＝0時，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，則A（﹣1，0），B（5，0），將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），當直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A（﹣1，0）時，1+b＝0，解得b＝﹣1；當直線y＝﹣x+b與拋物線y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共點時，方程，即有相等的實數(shù)解，即解得，所以當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍為＜b＜﹣1，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．9．（2015·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標為﹣2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結(jié)論正確的是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①b＞0；②a﹣b+c＜0；③陰影部分的面積為4；④若c=﹣1，則b2=4a．答案:③④分析：①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對稱軸為x=﹣＞0，可得b＜0，據(jù)此判斷即可．②根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象，可得x=﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0，據(jù)此判斷即可．③首先判斷出陰影部分是一個平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積=底×高，求出陰影部分的面積是多少即可．④根據(jù)函數(shù)的最小值是，判斷出c=﹣1時，a、b的關(guān)系即可．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，又∵對稱軸為x=﹣＞0，∴b＜0，∴結(jié)論①不正確；∵x=﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴結(jié)論②不正確；∵拋物線向右平移了2個單位，∴平行四邊形的底是2，∵函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四邊形的高是2，∴陰影部分的面積是：2×2=4，∴結(jié)論③正確；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴結(jié)論④正確．故答案為：③④．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解．10．（2017·湖南株洲·中考真題）如圖示二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸在y軸的右側(cè)，其圖象與x軸交于點A（﹣1，0）與點C（x2，0），且與y軸交于點B（0，﹣2），小強得到以下結(jié)論：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④當|a|=|b|時x2＞﹣1；以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號為_______．答案:①④．分析：根據(jù)拋物線與y軸交于點B（0，-2），可得c=-2，依此判斷③；由拋物線圖象與x軸交于點A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判斷①②；由|a|=|b|可得二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=，可得x2=2，比較大小即可判斷④；從而求解．【詳解】由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，∵開口向上，∴a＞0；∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴﹣＞0，∴﹣＞0，∴a﹣2＜0，∴a＜2；∴0＜a＜2；∴①正確；∵拋物線與y軸交于點B（0，﹣2），∴c=﹣2，故③錯誤；∵拋物線圖象與x軸交于點A（﹣1，0），∴a﹣b﹣2=0，無法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②錯誤；∵|a|=|b|，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為y=，∴x2=2＞﹣1，故④正確．故答案為①④．考點：拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．11．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線的圖象如圖所示．已知點坐標為，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點……，依次進行下去，則點的坐標為_____．答案:分析：根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點的坐標，求得直線為，聯(lián)立方程求得的坐標，即可求得的坐標，同理求得的坐標，即可求得的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律，即可找出點的坐標．【詳解】解：∵點坐標為，∴直線為，，∵，∴直線為，解得或，∴，∴，∵，∴直線為，解得或，∴，∴…，∴，故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)的圖象以及交點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題12．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．(1)求a的值；(2)將A，B的縱坐標分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？(3)Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負值，在y軸的負半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．答案:(1)a＝2(2)m＝﹣(3)存在，G（0，﹣）分析：（1）由拋物線的頂點式可直接得出頂點P的坐標，再代入拋物線F可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可分別表達A，B的縱坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出m的值；（3）過點Q作x軸的垂線KN，分別過點P，G作x軸的平行線，與KN分別交于K，N，則△PKQ∽△QNG，設(shè)出點M的坐標，可表達點Q和點G的坐標，從而可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點的坐標為，點在拋物線上，，．（2）解：直線與拋物線，分別交于點，，，，，，當時，的最大值為，的最大值為4，，解得，，．（3）解：存在，理由如下：設(shè)點的坐標為，則，，點在軸正半軸上，且，，，，，．如圖，過點作軸的垂線，分別過點，作軸的平行線，與分別交于，，，，，，，，，即．，，，解得．．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，中點坐標公式等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形得出方程進行求解．13．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側(cè)），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標．(2)點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．(3)如圖②，點E是點H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．答案:(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）(2)(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）分析：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式．（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可．（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分來兩種情況討論：①當EG＝EF時，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當EG＝FG時，2＝，F(xiàn)點不存在．【詳解】（1）解：將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴G（0，﹣3）．（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，∴＝．（3）存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，∵E點與H點關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱，∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），①當EG＝EF時，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當EG＝FG時，2＝，此時x無解；綜上所述：F點坐標為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．14．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸相交于點，，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，將直線BC間上平移，得到過原點O的直線MN．點D是直線MN上任意一點．①當點D在拋物線的對稱軸l上時，連接CD，關(guān)x軸相交于點E，水線段OE的長；②如圖2，在拋物線的對稱軸l上是否存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F與點D的坐標；若不存在，請說明理由．答案:(1)(2)①；②在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．當點F的坐標為時，點D的坐標：或；當點F的坐標為時，點D的坐標：．分析：(1)把，代入即可得出拋物線的表達式；（2）①求出直線BC解析式：，再由直線MN：及拋物線的對稱軸：，即可得出．進而得出直線CD的解析式為：，即可得出答案；②分以BC為邊時，即，，以及分以BC為對角線時，進行討論即可得出答案．【詳解】（1）解：將點，代入得：解得∴拋物線的表達式為．（2）①由（1）可知：，設(shè)直線BC：，將點，代入得：解得∴直線BC：，則直線MN：．∵拋物線的對稱軸：，把代入，得，∴．設(shè)直線CD：，將點，代入得：解得∴直線CD：．當時，得，∴，∴．②存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為項點的四邊形是平行四邊形．理由如下：（I）若平行四邊形以BC為邊時，由可知，F(xiàn)D在直線MN上，∴點F是直線MN與對稱軸l的交點，即．由點D在直線MN上，設(shè)．如圖2-1，若四邊形BCFD是平行四邊形，則．過點D作y軸的垂線交對稱軸l于點G，則．∵，∴，∵軸，∴，∴．又∵，∴，∴，，

∵，，∴，解得．∴，如圖2-2，若四邊形BCDF是平行四邊形，則．同理可證：，∴，∵，，∴，解得．∴（II）若平行四邊形以BC為對角線時，由于點D在BC的上方，則點F一定在BC的下方．∴如圖2-3，存在一種平行四邊形，即．設(shè)，，同理可證：，∴，∵，，，∴．解得∴，．綜上所述，存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．當點F的坐標為時，點D的坐標：或；當點F的坐標為時，點D的坐標：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識，正確進行分類討論是解題的關(guān)鍵.15．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上，點C(3，0)在拋物線上．(1)求該拋物線的表達式．(2)正方形OPDE的頂點O為直角坐標系原點，頂點P在線段OC上，頂點E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點P的坐標．(3)在條件（2）下，點Q是線段CD上的動點（點Q不與點D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長度的最小值．答案:(1)該拋物線的表達式為y=x2+x+2；(2)點P的坐標為(1，0)或(2，0)；(3)線段CD'長度的最小值為1．分析：（1）先求得點A(-1，0)，點B(0，2)，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況討論：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；（3）按照（2）的結(jié)論，分兩種情況討論，當P、D'、C三點共線時，線段CD'長度取得最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：令x=0，則y=2x+2=2，令y=0，則0=2x+2，解得x=-1，點A(-1，0)，點B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴該拋物線的表達式為y=x2+x+2；（2）解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分兩種情況：①△AOB≌△DPC，則AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴點P的坐標為(1，0)；②△AOB≌△CPD，則OB=PD=2，∴正方形OPDE的邊長為2，∴點P的坐標為(2，0)；綜上，點P的坐標為(1，0)或(2，0)；（3）解：①點P的坐標為(1，0)時，∵△PQD'與△PQD關(guān)于PQ對稱，∴PD'=PD，∴點D'在以點P為圓心，1為半徑的圓上運動，當P、D'、C三點共線時，線段CD'長度取得最小值，最小值為2-1=1；②點P的坐標為(2，0)時，∵△PQD'與△PQD關(guān)于PQ對稱，∴PD'=PD，∴點D'在以點P為圓心，2為半徑的圓上運動，當P、C、D'三點共線時，線段CD'長度取得最小值，最小值為2-1=1；綜上，線段CD'長度的最小值為1．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，點和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確進行分類討論．16．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的函數(shù)y，當時，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．(1)①若函數(shù)，當時，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；②若函數(shù)（，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；(2)若函數(shù)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；(3)若函數(shù)，是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．答案:(1)①；②時，，時，(2)(3)時，存在分析：（1）①根據(jù)新定義結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②根據(jù)新定義結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)新定義結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)列出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)新定義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：①當時，則，即，，，隨的增大而增大，，②若函數(shù)，當時，，，，當時，則，，綜上所述，時，，時，，（2）解：對于函數(shù)，，，函數(shù)在第一象限內(nèi)，隨的增大而減小，，解得，當時，，，∵當時，隨的增大而增大，當時，取得最小值，此時取得最大值，最大值為；（3）對于函數(shù)，，拋物線開口向下，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小，當時，函數(shù)y的最大值等于，在時，①當時，即時，，，，的最小值為（當時），若，解得，但，故不合題意，故舍去；②當時，即時，，，，的最小值為（當時），若，解得，但，故不合題意，故舍去③當時，即時，，i)當時，即時對稱軸為，，拋物線開口向上，在上，當2時，有最小值，解得ii)當時，即時，，，，對稱軸為，，拋物線開口向上，在上，當2時，有最小值，∵，∴在上h無最小值，綜上所述，時，存在．【點睛】本題考查了函數(shù)新定義，要掌握一次函數(shù)，反比例數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，難點在于分類討論時，的取值范圍的取舍．17．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過點和點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，作拋物線，使它與拋物線關(guān)于原點成中心對稱，請直接寫出拋物線的解析式；(3)如圖3，將（2）中拋物線向上平移2個單位，得到拋物線，拋物線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側(cè)）．①求點和點的坐標；②若點，分別為拋物線和拋物線上，之間的動點（點，與點，不重合），試求四邊形面積的最大值．答案:(1)(2)(3)①或；②16分析：（1）將點和點代入，即可求解；（2）利用對稱性求出函數(shù)頂點關(guān)于原點的對稱點為，即可求函數(shù)的解析式；（3）①通過聯(lián)立方程組，求出點和點坐標即可；②求出直線的解析式，過點作軸交于點，過點作軸交于點，設(shè)，，則，，可求，，由，分別求出的最大值4，的最大值4，即可求解．（1）解：將點和點代入，∴，解得，∴．（2）∵，∴拋物線的頂點，∵頂點關(guān)于原點的對稱點為，∴拋物線的解析式為，∴．（3）由題意可得，拋物線的解析式為，①聯(lián)立方程組，解得或，∴或；②設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，過點作軸交于點，過點作軸交于點，如圖所示：設(shè)，，則，，∴，，∵，，∴當時，有最大值，當時，有最大值，∵，∴當最大時，四邊形面積的最大值為16．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖象平移和對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點，與軸交點．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；②若點是拋物線上一動點（與點不重合），過點作軸于點，與線段交于點．是否存在點使得點是線段的三等分點？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．如圖②，直線與軸交于點，同時與拋物線交于點，以線段為邊作菱形，使點落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點，求的取值范圍．答案:(1)①，②存在，點P坐標為(2，-3)或（，-），理由見解析(2)b<或b>分析：（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點M(m，m-3)點P（m，m2-2m-3）若點是線段的三等分點，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5，因為四邊形CDFE是菱形，由此得出點E的坐標．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進行討論，求出b的取值范圍．【詳解】（1）①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x-3，設(shè)點M(m，m-3)、點P（m，m2-2m-3）若點是線段的三等分點，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經(jīng)檢驗，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點P坐標為(2，-3)或（，-）（2）解：把點D（-3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當x=0時，y=4，即點C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點E（5，4）∵點在拋物線上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點，分情況討論當CE在拋物線內(nèi)時52+5b+3b-9<4解得：b<當CE在拋物線右側(cè)時，3b-9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．19．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸相交于點、點，與軸相交于點．(1)請直接寫出點，，的坐標；(2)點在拋物線上，當取何