難點02幾何最值問題(原卷版+解析)

難點02幾何最值問題近幾年四川中考看，幾乎年年會出現(xiàn)反幾何綜合的題目，經(jīng)常以填空題的形式出現(xiàn)，難度偏下，屬于各市中考考查的重點，考驗學生們的幾何思維能力，幾何關(guān)系綜合，動點問題與最值綜合考查。熟悉各種幾何最值問題（將軍飲馬，瓜豆模型，隱圓模型等）；相似三角形的判定與性質(zhì)；幾何輔助線的作法；【中考真題】1．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關(guān)于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為_________．2．(2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為6的等邊中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，交于點，連接，則的最小值為_____．3．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點A的對應(yīng)點恰好落在對角線上，點B的對應(yīng)點為，則線段的長為_______；第二步，分別在上取點M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點F與點E重合，則線段的長為_______．4．(2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足∠AMD＝90°，則點M到直線BC的距離的最小值為_____．5．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發(fā)沿向點運動，同時，動點從點出發(fā)沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．【模擬題】1．(2023年四川省成都市中考數(shù)學模擬卷）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的與x軸的正半軸交于點A，點B是上一動點，點C為弦的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則面積的最小值為________．2．(2023年四川省樂山市峨眉山市第九年級二次調(diào)研檢測數(shù)學試題）如圖，點是等腰的斜邊的中點，，，連結(jié)，以為直角邊，作等腰，其中，連結(jié)，則四邊形面積的最大值是____．3．(2023年江蘇省鹽城初級中學南北校區(qū)中考數(shù)學一模試題）如圖，在中，，，點、分別在邊、上，點為邊的中點，，連接、相交于點，則面積最大值為__．4．(2023年四川省樂山市夾江縣中考數(shù)學適應(yīng)性試卷）如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，點P是以AB為直徑的半圓O上一點，連接PC、PD，則PC+PD的最小值為____．5．(2023年四川省成都市成華區(qū)九年級二診數(shù)學試題）如圖，在中，．若點為平面上一個動點，且滿足，則線段長度的最小值為_______，最大值為______．6．(2023年四川省成都市天府新區(qū)二診數(shù)學試題）已知：如圖，在中，，，，點是邊的中點，點是射線上的一動點（不與，重合），連接，將沿翻折得，連接，，當線段的長取最大值時，的值為_______________．7．（四川省成都市石室天府中學2021-2022學年九年級下學期3月月考數(shù)學試題（一模））如圖，將直角△ABC沿斜邊AC翻折后B點的對應(yīng)點，點P、Q是線段AB、上的動點，且BP=，已知AB=12，BC=5，則線段PQ的最小值為______．8．（山東省濟南市天橋區(qū)濼口實驗中學2021-2022學年九年級下學期數(shù)學第一次月考試題（一模））已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD上一點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F，過點D作DG⊥AF，交AF于點H，交BF于點G，N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC，MN，若=，則MN+MC的最小值為__________；9．(2023年四川省廣元市蒼溪縣中考數(shù)學模擬試題）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，D，E是AC，BC上兩個動點，且AD＝CE，AE，BD交于點F，連接CF，則CF長度的最小值為______．10．(2023年四川省成都市金堂縣中考數(shù)學二診試卷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣x＋4的圖象與x軸、y軸交于A、B點，點C在線段OA上，點D在直線AB上，且CD＝2，△DEC是直角三角形（∠EDC＝90°），DE＝DC，連接AE，則AE的最大值為_________．11．(2023年四川省綿陽市游仙區(qū)九年級中考數(shù)學一診試卷）等邊△ABC的邊長為6，P是AB上一點，AP＝2，把AP繞點A旋轉(zhuǎn)一周，P點的對應(yīng)點為P′，連接BP′，BP′的中點為Q，連接CQ．則CQ長度的最小值是_____．12．(2023年江蘇省蘇州市高新區(qū)實驗初級中學中考數(shù)學三模試題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是___．13．（內(nèi)蒙古鄂爾多斯2021年中考數(shù)學試題）如圖，已知正方形的邊長為6，點F是正方形內(nèi)一點，連接，且，點E是邊上一動點，連接，則長度的最小值為___________．14．(2023年四川省自貢市貢井區(qū)九年級中考模擬數(shù)學試題）如圖所示，在矩形中，，，為矩形內(nèi)部的任意一點，則的最小值為______．15．(2023年四川省成都市溫江區(qū)中考數(shù)學二模試題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最大值是___．16．(2023年四川省內(nèi)江市市中區(qū)中考數(shù)學適應(yīng)性試題）如圖，P為菱形ABCD內(nèi)一動點，連接PA，PB，PD，∠APD＝∠BAD＝60°，AB＝2，則PB+PD的最大值為______．17．(2023年四川省成都市邛崍市九年級中考第二次診斷數(shù)學試題）如圖，在中，，，，點在內(nèi)，連接、、，則的最小值是______．難點02幾何最值問題近幾年四川中考看，幾乎年年會出現(xiàn)反幾何綜合的題目，經(jīng)常以填空題的形式出現(xiàn)，難度偏下，屬于各市中考考查的重點，考驗學生們的幾何思維能力，幾何關(guān)系綜合，動點問題與最值綜合考查。熟悉各種幾何最值問題（將軍飲馬，瓜豆模型，隱圓模型等）；相似三角形的判定與性質(zhì)；幾何輔助線的作法；【中考真題】1．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關(guān)于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為_________．答案:【詳解】延長DE，交AB于點H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴點P的對稱點在EF上．由點B，D關(guān)于直線AC對稱，∴QD=QB．要求最大，即求最大，點Q，B，共線時，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當點與點F重合時，得到最大值BF．連接BD，與AC交于點O．∵AE=14,CE=18，

∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，

解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：．2．(2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為6的等邊中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，交于點，連接，則的最小值為___________．答案:．【詳解】如圖所示，∵邊長為6的等邊，∴，又∵∴∴∴∴∴點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧此時連接CO交⊙O于，當點P運動到時，CP取到最小值∵，，∴∴，∴又∵∴，∴即故答案為：3．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點A的對應(yīng)點恰好落在對角線上，點B的對應(yīng)點為，則線段的長為_______；第二步，分別在上取點M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點F與點E重合，則線段的長為_______．答案:

1

【詳解】如圖所示，連接AF，設(shè)EF與AA’交于點O，由折疊的性質(zhì)得到AA’⊥EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD∥BC∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC，∴△AOE△ADC，∴，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得：，∴OE=，∴OA=，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=，∴OC=，令BF=x，則FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3，解得：,∴的長為1．連接NE，NF，如圖，根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，設(shè)B’N=m，則，解得：m=3，則NF=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案為：1，．4．(2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足∠AMD＝90°，則點M到直線BC的距離的最小值為_____．答案:【詳解】解：取AD的中點O，連接OM，過點M作ME⊥BC交BC的延長線于E，點點O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，∴當O，M，E共線時，ME的值最小，最小值為3﹣2．5．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發(fā)沿向點運動，同時，動點從點出發(fā)沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．答案:

【詳解】解：連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，則PE=GF，PG=AD=3，設(shè)FQ=t，則GF=PE=2t，GQ=3t，在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，∴當t最大即EP最大時，PQ最大，由題意知：當點P、A重合時，EP最大，此時EP=2，則t=1，∴PQ的最大值=；設(shè)EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，∴，∴當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，連接DO，過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，則OK=BK=1，∴NO=2，CN=1，∴DN=3，則在Rt△DON中，，∴DH的最小值=DO－OH=．故答案為：，．【模擬題】1．(2023年四川省成都市中考數(shù)學模擬卷）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的與x軸的正半軸交于點A，點B是上一動點，點C為弦的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則面積的最小值為________．答案:2【詳解】解：如圖所示，連接，取的中點M，連接，過點M作于N，則，∵，∴是的中位線，∴，∴點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的，設(shè)交于．∵直線與x軸、y軸分別交于點D、E，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∵當點C與重合時，的面積最小，∴的面積最小值，故答案為：2．2．(2023年四川省樂山市峨眉山市第九年級二次調(diào)研檢測數(shù)學試題）如圖，點是等腰的斜邊的中點，，，連結(jié)，以為直角邊，作等腰，其中，連結(jié)，則四邊形面積的最大值是____．答案:【詳解】解：如圖，將點B繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至點G，連接，則：是等腰直角三角形，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，

∴當點E在以O(shè)為圓心，2為半徑長的⊙O上運動時，點F在以G為圓心，為半徑長的⊙G上運動．∵是等腰直角三角形，，∴，∵O是的中點，∴，∴．過點作于點，∵，∴當三點共線時，有最大值，最大值為，∵，，∴當取得最大值時，最大，當最大時，，∴最大為：故答案為：．3．(2023年江蘇省鹽城初級中學南北校區(qū)中考數(shù)學一模試題）如圖，在中，，，點、分別在邊、上，點為邊的中點，，連接、相交于點，則面積最大值為__．答案:【詳解】解：如圖1，作交的延長線于點，則，，，，，，，，，，，，，當最大時，則最大；作的外接圓，作于點，于點，于點，連接，，四邊形是矩形，，，，即，當點與點重合，即、、三點在同一條直線上時，最大，此時最大；如圖2，的外接圓，于點，點在的延長線上，連接、，，，，，，，，，，，，，面積最大值為，故答案為：．4．(2023年四川省樂山市夾江縣中考數(shù)學適應(yīng)性試卷）如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，點P是以AB為直徑的半圓O上一點，連接PC、PD，則PC+PD的最小值為____．答案:【詳解】如圖甲所示，連接OD，OP，取OD的中點E，連接CE，∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，∴，∴OD＝，∴，∵點P是以AB為直徑的半圓O上一點，∴OP＝OA＝2，∵，∠EOP＝∠POD，∴△EOP∽△POD，（SAS）∴，∴，∴PC+PD＝PC+EP≥CE，（兩點之間，線段最短）如圖乙所示，過E作EG⊥BC于G，過E作EF⊥BA于F，則EFAD，∵E為OD的中點，EFAD，∴F為OA的中點，∴，∴，BF＝3，∵∠EFB＝∠FBG＝∠BGE＝90°，∴四邊形EFBG為矩形，∴EF＝BG＝1，BF＝EG＝3，∴CG＝BC﹣BG＝3，∴CE＝，∴PC+PD的最小值為．故答案為：．5．(2023年四川省成都市成華區(qū)九年級二診數(shù)學試題）如圖，在中，．若點為平面上一個動點，且滿足，則線段長度的最小值為_______，最大值為______．答案:

【詳解】①如圖，以AC為底邊，在AC的右側(cè)作等腰三角形AOC，使則以O(shè)為圓心，以CO長為半徑畫優(yōu)弧，連接BO交于點E則當點D在AC右側(cè)時，點D在上運動過點O作于F過點O作于M四邊形MCFO為矩形在中，當點D于點E不重合時，當點D于點E重合時，當B、D、O三點共線時（此時，點D與E重合），BD有最小值為②如圖，以AC為底邊，在AC的左側(cè)作等腰三角形AC，使則以為圓心，以C長為半徑畫優(yōu)弧，連接B并延長交于點E則當點D在AC左側(cè)時，點D在上運動過點O作于F同①可求在中，當點D于點E不重合時，當點D于點E重合時，當B、D、O三點共線時（此時，點D與E重合），BD有最大值為故答案為：，．6．(2023年四川省成都市天府新區(qū)二診數(shù)學試題）已知：如圖，在中，，，，點是邊的中點，點是射線上的一動點（不與，重合），連接，將沿翻折得，連接，，當線段的長取最大值時，的值為_______________．答案:【詳解】解：如圖，由翻折可知：，所以，點E在以N為圓心，NC為半徑的圓上，點共線時，此時BE最大，在中，∠∴∵點N是邊AC的中點∴由翻折可知MN是CE的垂直平分線，∴∠延長GN交AB于點D∴∠∴DN平分∠過點D作，在和中在中，在中，根據(jù)勾股定理得，，解得，在中，，由勾股定理得，，∵∠，∠∴∠∵∴，故答案為：7．（四川省成都市石室天府中學2021-2022學年九年級下學期3月月考數(shù)學試題（一模））如圖，將直角△ABC沿斜邊AC翻折后B點的對應(yīng)點，點P、Q是線段AB、上的動點，且BP=，已知AB=12，BC=5，則線段PQ的最小值為______．答案:【詳解】連接，交AC于點O．由翻折可知，．故可以O(shè)為坐標原點，以AC方向為x軸正方向，方向為y軸正方向建立直角坐標系，如圖．∵在中，AB=12，BC=5，∴．∵，∴．∴B(0，)，(0，)．∵在中，AB=12，，∴，∴，∴A(，0)，C(，0)．設(shè)經(jīng)過A、B的直線解析式為，則，解得：，∴經(jīng)過A、B的直線解析式為．設(shè)經(jīng)過、C的直線解析式為，則，解得：，∴經(jīng)過、C的直線解析式為．故可設(shè)P(，)，Q(，)，則，，∵，∴，整理，得：．根據(jù)所作坐標系可知，．∴．∵，將代入，并整理得：，其對稱軸為，且開口向上，又∵，∴當時，最小，最小值為，∴此時最小，最小值為．故答案為：．8．（山東省濟南市天橋區(qū)濼口實驗中學2021-2022學年九年級下學期數(shù)學第一次月考試題（一模））已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD上一點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F，過點D作DG⊥AF，交AF于點H，交BF于點G，N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC，MN，若=，則MN+MC的最小值為__________；答案:2【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴A點與C點關(guān)于BD對稱，∴CM=AM，∴MN+CM=MN+AM≥AN，∴當A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE+∠DEH=90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，∴∠DAE=∠CDG，∴∠CDG=∠F，∴△DCG∽△FCE，∵，∴，∵正方形邊長為3，∴CF=6，∵AD∥CF，∴，∴DE=1，CE=2，在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，∴，∵N是EF的中點，∴EN=，在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，∴，∴AN=2，∴MN+MC的最小值為2，故答案為：2．9．(2023年四川省廣元市蒼溪縣中考數(shù)學模擬試題）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，D，E是AC，BC上兩個動點，且AD＝CE，AE，BD交于點F，連接CF，則CF長度的最小值為______．答案:【詳解】解：∵AD＝CE，∴點F的路徑是一段弧，∴當點D運動到AC的中點時，CF長度的最小，即點F為△ABC的中心，過B作于，過A點作交于點，∴，∵△ABC是等邊三角形，BC＝2，∴，∴．∴CF長度的最小值是．故答案為：．10．(2023年四川省成都市金堂縣中考數(shù)學二診試卷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣x＋4的圖象與x軸、y軸交于A、B點，點C在線段OA上，點D在直線AB上，且CD＝2，△DEC是直角三角形（∠EDC＝90°），DE＝DC，連接AE，則AE的最大值為_________．答案:【詳解】解：如圖，以CD為邊作等邊三角形DCG，以G點為圓心，DG為半徑作⊙G，在直線y＝中，當x＝0時，y＝4，當y＝0時，x＝，∴A點坐標為（，0），B點坐標為（0，4），在Rt△AOB中，OA＝，OB＝4，∴tan∠DAC＝，∴∠DAC＝30°，∴點A在⊙G上，∴AG＝DG＝DC＝2，∵DEC是直角三角形（∠EDC＝90°），DE＝DC，∴∠DEC＝30°，DE＝2，在Rt△DGH中，∠HDH＝30°，∴DE＝，GH＝1，在Rt△EHG中，EG＝＝＝2，當A、G、E三點共線時，AE最大，最大值為2+2．11．(2023年四川省綿陽市游仙區(qū)九年級中考數(shù)學一診試卷）等邊△ABC的邊長為6，P是AB上一點，AP＝2，把AP繞點A旋轉(zhuǎn)一周，P點的對應(yīng)點為P′，連接BP′，BP′的中點為Q，連接CQ．則CQ長度的最小值是_____．答案:【詳解】解：如圖，取AB中點D，連接DQ，CD，AP'，∵AP＝2，把AP繞點A旋轉(zhuǎn)一周，∴AP'＝2，∵等邊△ABC的邊長為6，點D是AB中點，∴BD＝AD＝3，CD⊥AB，∴CD＝，∵點Q是BP'是中點，∴BQ＝QP'，又∵AD＝BD，∴DQ＝AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，∴CQ的最小值為3﹣1，故答案為．12．(2023年江蘇省蘇州市高新區(qū)實驗初級中學中考數(shù)學三模試題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是___．答案:．【詳解】如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根據(jù)垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，設(shè)AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET=a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值為．故答案為．13．（內(nèi)蒙古鄂爾多斯2021年中考數(shù)學試題）如圖，已知正方形的邊長為6，點F是正方形內(nèi)一點，連接，且，點E是邊上一動點，連接，則長度的最小值為___________．答案:-3【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∵，∴∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠DFC＝90°，∴點F在以DC為直徑的半圓上移動，如圖，設(shè)CD的中點為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AD對稱的正方形APGD，則點B的對應(yīng)點是P，連接PO交AD于E，交半圓O于F，則線段FP的長即為BE＋FE的長度最小值，OF＝3，∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OP＝，∴FP＝-3，∴BE＋FE的長度最小值為-