人教版數(shù)學八年級初二年級下冊《第十六章二次根式》導學案教學設計

16.1二次根式

學習目標、重點、難點

【學習目標】

1、理解二次根式的概念，并利用G(aNO)的意義解答具體題目.

2、理解G(a>0)是一個非負數(shù)和(&)2=a(a>0),并利用它們進行計算和化簡.

【重點難點】

1、二次根式的性質(zhì).

2、能確定二次根式中字母的取值范圍.

知識概覽圖

,r二次根式：一般地，形如&320)的式子叫做二次根式

[二次根式的有關(guān)概念J

I代數(shù)式：由基本運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式

「①被開方數(shù)a非負，即a>0

「二次根式的雙重非負性「一

二二次根式的性”[②G本"負，即&力

次

根

式

(y[^)2=(a^O)

4a)2=a(a20)

二次根式的有關(guān)公式

a(a>0)

\[a^=問=<0(〃=0)

{-a(a<0)

新課導引

如右圖所示，電視塔越高，從塔頂發(fā)射出的電磁波傳播得就越遠，從而能收到電

視節(jié)目的區(qū)域就越廣.如果電視塔高hkm,電視節(jié)目信號的傳播半徑為rkm,貝!J它

們之間存在近似關(guān)系式，7=V2Rh,其中R是地球半徑，6400km.若某個電視塔高為200km,

則從塔頂發(fā)射出的電磁波的傳播半徑為多少？

【問題探究】因為R^6400km"=200km,所以求傳播半徑r,實際上就是求,2x6400x200

的值，即求,2560000的值.怎么求J2560000的值呢?

【解析】因為160()2=2560000,所以J2560000=1600.

所以r^72x6400x200=1600(km)

教材精華

知識點1二次根式的概念

一般地,我們把形如江(。蕓0)的式子叫做二次根式.其中讀作“二次根號”.

拓展(1)二次根式必須含有二次根號如百，4話等都有“一”，雖然=4,但是4是

二次根式J記的計算結(jié)果，因此J話，7121,VL44,《等也都是二次根式.

(2)二次根式中的被開方數(shù)。既可以表示一個數(shù)，也可以表示一個代數(shù)式,但前提是必須保證逐

有意義，即。巳0,也就是說，被開方數(shù)必須是非負數(shù).例如：值，因為無論。取什么實數(shù)，都

有次巳0,所以必是二次根式.而J—2f—l都不是二次根式,因為它們雖然都有“一”,

但是它們的被開方數(shù)都是負數(shù)，是沒有意義的.因此判別二次根式時，不僅要從表達形式上看是否

存在“?”，而且應注意看被開方數(shù)是否是非負數(shù)，如果被開方數(shù)中含有字母，那么就要考慮字母

的取值范圍.

⑶“一”的根指數(shù)為2,即“曠”，我們常省略根指數(shù)2,寫作“?”，不要誤把“丁”的根指數(shù)當

做0.如啦就不是二次根式，因為它的根指數(shù)是3.

(4)有理數(shù)(不是0)與二次根式相乘，把有理數(shù)寫在二次根式的前面，省略乘號.若有理數(shù)是分

數(shù)，一定要化成假分數(shù)再與二次根式相乘，比如：2劣與君相乘，要寫成號指的形式，此時的有

33

理數(shù)稱為二次根式的系數(shù).

知識點2確定二次根式中字母的取值范圍

要使G有意義,被開方數(shù)。就必須是非負數(shù)，即由此可以確定被開方數(shù)中字母的取值

范圍，如岳工1,只有當2x+lN0,即xN-工時，二次根式岳工1才有意義.再如，對于式子

2Vx+1

3_丫〉Q

來說，只有當"一'即1V%W3時，二次根式才有意義.

x+1>0,

拓展對于既含有二次根式，又含有分母的代數(shù)式，寫字母的取值范圍時，既要保證二次根式

有意義，又要保證分母不為零.

知識點3二次根式的性質(zhì)

二次根式的雙重非負性：心0,。三0,因為右（。三0）表示非負數(shù)。的算術(shù)平方根，所以

由算術(shù)平方根的定義可知620,如G，J|等都是非負數(shù).

（G）2=a（。三0）.由于&（。三0）表示非負數(shù)。和算術(shù)平方根，將非負數(shù)。的算術(shù)平方根

平方，就等于它本身a,因此有（&）2=a,例如：（百>=3,（#）2=6,（A/1?5）2=1.5.

拓展（1）（6）2=a（a>0）,可以看做是系數(shù)為1的二次根式的平方運算，結(jié)果等于被開

方數(shù).

（2）把Q?￥=a（aNO）逆用，寫成a=（&>（a》0）.即任何一個非負數(shù)都可以寫成它

的算術(shù)平方根平方的形式，利用這一特性，我們可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，比如：在有理數(shù)

范圍內(nèi)無法分解，但在實數(shù)范圍內(nèi)，2可以寫成（立尸,所以段寸（點）2=（x+四）（》后）.

（3）有理數(shù)的運算律和運算法則在有關(guān)二次根式的計算中仍然適用.比如：

（3A/2）2=32X（V2）2=9X2=18.（-^）2=（-）2x（76）2=-x6=-^）則用到了積的乘方法則

2242

(〃6)2=〃262

知識點4萬的化簡

由于必表示〃的算術(shù)平方根，所以必的化簡結(jié)果必須是個非負數(shù).而當值有意義時屋

(a>0),這里?？梢哉梢载摚部梢允?.為了保證值的化簡結(jié)果非負，所以在化簡結(jié)果

中添加絕對值符號，即必=同，然后再根據(jù)。的符號化簡絕對值.比如：正斤=卜5|=5.也可

以先把被開方數(shù)寫成非負數(shù)的平方的形式，再化簡，比如盾7=J*=5.如果以中a的符號

a(a>0),

不確定，那么要討論.即，？=問=<O(Q=O),

a(a<0).

拓展(GA與必的區(qū)別與聯(lián)系，如下表所示:

(\[a)2

字母a被開方數(shù)a的取值范圍為a>0,即a被開方數(shù)次中的a可取一切實數(shù)，也就是

的取值是一個非負數(shù)，且(G)2=a例如：說，a既可以是正數(shù)，1乜可以是負數(shù)，還

范圍a(a-0)，例如當

(V2)2=2,(血產(chǎn)=0,(右尸無意可以是零.必=同=<

不同-a(a<0).

義

t?=3時，=3|=2,當a=3時

7(-3)2=|-3|=3

意義(?")2=a(a20)表示a的算術(shù)平77=同表示a的平方的算術(shù)平方根.例

不同

方根的平方.例如(6>=5表示5的如：行=也=3表示3的平方的算術(shù)平

算術(shù)平方根的平方，結(jié)果等于5方根，結(jié)果等于3

形式(6)2=〃(〃三0),其結(jié)果只有一4^=\a\,其結(jié)果有兩種形式，與。的取

不同

種形式，就是非負數(shù)。本身值有關(guān)，當a>0時，選=a,當a<0

時，=-a

聯(lián)系(Va)2=a(a>0)是一個非負數(shù)V7=H>O是一個非負數(shù)

當a20時，(GY;后

知識點5代數(shù)式

用基本運算符號，(基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方)杷數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來

的式子叫做代數(shù)式，單獨一個數(shù)或字母也是代數(shù)式,例如:5,a,a+b,ab,：(伏))，丁,后石，

+A/3^7(X=3)等都是代數(shù)式.

拓展代數(shù)式中不含有“=”">”“<”等符號，只有運算符號.

課堂檢測

基本概念題

1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？為什么？

(1)口；(2),(—3)2；

(3)J(-3)3；(4)由；

(5)y/—x；(6)-x/4；

(7)d-2a2-1；(8)J—二；

\(x+3)2

(9)J-(a-4)2；(10)+2//+1.

基礎知識應用題

2、當x取何值時，下列各式有意義?

(1)A/3X+A/—x；(2)+

x+2

(3)J(x-1)2；

(5)

(7)(8)+工

。+1

3、實數(shù)a,人在數(shù)軸上的位置如圖211所示，化簡后-后-?a-b）2.

—10I

圖211

綜合應用題

4、（1）三角形的高是底的底為XCM,則這個三角形的面積是___________cm2;

2

（2）第一圓的半徑是第二個圓的半徑的4倍，則這兩個圓的周長之和是（設第一個

圓的半徑為「）.

探索創(chuàng)新題

5、甲同學和乙同學做一道相同的題目：化簡求值l+、小丁2,其中。=上

aVa5

甲同學的做法是：

由1□—12149

原式=—F./（〃）=—I-----a=1=10—=—.

a\aaaa55

乙同學的做法是：

誰的做法是正確的？說明理由.

體驗中考

1、若代數(shù)式立三有意義，則X的取值范圍是（）

x-2

A.%>1且/2B.

C./2D.且對2

2、若x,y為實數(shù),且|x+2|+7F三=0,則（x+y）2。"的值為.

學后反思

附：課堂檢測及體驗中考答案

課堂檢測

1、分析本題考查二次根式的概念，判斷一個式子是否是二次根式應滿足兩個條件：一是看是否

含有二次根號“丁”；二是看被開方數(shù)是否是非負數(shù).

解：(1)..?SVO,??.戶不是二次根式.

(2)V(3)2>0,J(-3)2是二次根式.

(3)..?⑶3=27<0,...J(-3)不是二次根式.

(4).??近的根指數(shù)3,?..而不是二次根式.

(5)由于小三中的x的符號不能確定，因此應分兩種情況討論.

①當xWO時，Q是二次根式；

②當x>0時，。不是二次根式.

???Q不一定是二次根式.

(6)???禮的根指是4,不是二次根式.

(7),：2a2^0,：.2a2l<0,，J-2a2-1不是二次根式.

(8)..?。+3)2三0,當分母x+3=0時，原式?jīng)]有意義，

.?.當若3時，是二次根式.

V(x+3)2

不一定是二次根式.

\(x+3)2

(9)..?(a4)2W0,.?.只有當a4=0,即a=4時，J-(a-4了是二次根式;

當今4時，(a4)2<0,J-(a-4)2不是二次根式.

綜上，J-(a-4)2不一定是二次根式.

(10)*.*rrr+2m+1=(m+1)2>0,Jn?+2.+1是二次根式.

【解題策略】本題主要考查對二次根式的概念的理解，一定要注意當被開方數(shù)中含有字母時,

應考慮字母的取值范圍，即二次根式G中的。必須是非負數(shù)，本題體現(xiàn)了分類討論思想，在具體

解題時，對一個較復雜的問題往往采取分類討論的思想，以達到化難為易的目的.

2、分析本題考查二次根式有意義的條件，要使二次根式有意義，則被開方數(shù)必須是非負數(shù),

如果分母是二次根式，那么被開方數(shù)必須為正數(shù)，因為零不能作分母.

解：⑴欲使岳+Q有意義，則必有產(chǎn)R...x=o.

一工20,

.?.當％=0時，底+Q有意義.

（2）欲使心+」-有意義，則必有'，尤＜0,且存2.

x+2[%+2w0,

...當xWO,且樣2時，+有意義.

（3）???（燈）220,.?.無論％取何實數(shù)，J（x-都有意義.

（4）欲使J」一有意義，則必有23x＞0,

V2-3x3

...當■時，有意義.

3\2-3x

（5）欲使4有意義,則必有＜xN-2,且*：2.

x-2

.?.當％三2,且存2時，，2X+4有意義.

x—320,

（6）欲使一z--有意乂，則必有|3.

元2-3[%2-3^0,

.?.當時，寫3有意義.

（7）欲使有意義,則必有f；2Go[.xwL且存1.

國T卜|-1w0,

??.當xwL,且存1時，有意義.

2W-1

(8)欲使萬+且有意義，則必有―一且分1.

。+1[a+1/O,

...當oW2,且分1時，VT二'+2幺有意義.

Q+1

【解題策略】本例中的(2)及(4)~(8)小題應充分考慮到分母不能為零的情況，(6)

小題中，由x320,得xN3,由爐3邦，得/士也，而±g均不在93的范圍內(nèi)，所以只需滿足x

巳3即可.(7)小題中，由12x>0,得xW；,由同-1加，得存±1,只有x=l在xW；的范圍內(nèi)，

而x=l不在xW』的范圍內(nèi)，所以只需滿足xW,，且存1即可.

22

3、分析本題考查二次根式的性質(zhì)，利用公式，/=同將形如值的式子化簡.

解：由數(shù)軸可知a<0,b>0,ab<0,

??J——db2-J(a—b)~=同一同一=a一人一[一(a—匕)]=-a-6+a—b=-2b.

a(a>0),

【解題策略】解決此題的關(guān)鍵是牢記并理解公式=同=0(a=0),

-a(a<0).

4、分析由面積公式或周長公式寫出代數(shù)式即可.(1)底為xcm,則高為2em,所以三角

2

形的面積為1工三=直(cm2).(2)因為第一個圓的半徑為r,所以第二個圓的半徑為二，所以

2244

_,尸s

這兩個圓的周長之和為2兀丫+2兀?一=一兀丫.

42

r25

答案：(1)—(2)—nr

42

5、分析a=,，所以工＞a,所以Jd—a)?」—a'—a

5aVaaa

解：甲同學的做法是正確的，理由如下:

11

)?—〉'a,??----q)*。,??----a一—ci.

aaaa

乙同學在去掉絕對值符號時，忽略了。與上的大小關(guān)系，導致錯誤.

a

【解題策略】利用值=。進行化簡時，。三0的條件不能忽略，否則以=同.

體驗中考

1、分析本題考查二次根式有意義的條件，被開方數(shù)為非負數(shù)及分母上含有字母的式子有意義

Y—

的條件（即分母知），由題意知’...xN!且x#2.故選D.

屋-2刈，

2、分析卜+2|+正與=0知％+2=0,且y—3=0,所以x=—2,y=3,所以(%+＞產(chǎn)1。=(-2

+3)2°10=polo..故填L

16.2二次根式的乘除

學習目標、重點、難點

【學習目標】

1、最簡二次根式概念；

2、二次根式的乘除法法則及其逆用；

【重點難點】

1、最簡二次根式概念；

2、二次根式的乘除法法則及其逆用;

知識概覽圖

(最簡二次根式的概念：被開方數(shù)中不含分母且不含能開得盡方的因數(shù)或因式

的二次根式，叫做最簡二次根式

二次根式的乘除二次根式乘法法則：4a-4b=4ab(a^0,6N0)

二次根式，法法則

的乘除\二次根式除法法則：黑書(心0,方＞0)

二次根式乘除法＜二次根式乘法法則的逆用：4ab=4a-4b{a^G,后0)

法則的逆用

[a_4a

二次根式除法法則的逆用:(a>0,b>0)

vby/b

新課導引

如右圖所示，一個直角三角形ABC中，兩直角邊3C,AC分別是6和/10,那么由

勾股定理可知其斜邊A3為V62+102=736+100=V136,設這個直角三角形//J斜邊上的高

BC

CD為x,則'6x10='呵xx,所以x=R,利用的是面積“橋”的方法.

22V136

6x10如何對"進行化簡呢？

【問題探究】是最簡的結(jié)果嗎?如果不是,

A/136

【點撥】黑不是最簡的結(jié)果，同可以進行化簡，首先將136分解因數(shù)，即

136=22x34,再將^寫成區(qū)互=2扃進一步將分母中的根號化沒即可,

6X10_60A/34_15A/34

A/136-2x34-17

教材精華

知識點1二次根式的乘法

兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即=疝（。三o/三0）.

拓展（1）二次根式相乘的結(jié)果是一個二次根式或一個有理式.

（2）二次根式的乘法運算公式中的被開方數(shù)的取值范圍.

4a-4b-4ab,公式中的a,Z?必須滿足aK）,b>0,否則血\揚就沒有意義.

（3）由&?振=疝，得加=?.瓜a2L即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算

術(shù)平方根的積，運用這個性質(zhì)可以化簡二次根式，即如果一個二次根式的被開方數(shù)中有因數(shù)（式）

是完全平方數(shù)（式），則可以利用性質(zhì)=&?揚（。三0,后0）及

4^=a（a三0）A/24=J4x6=2^6,Vx3+2x2+x=y/x（x+l）2=（尤+1）6（x>0）.

（4）如果沒有特別說明，本章中所有字母都為正

知識點2二次根式的除法

公呼飛（a>0,人>0）可通過二次根式的乘法公式得到：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)

相除，根指數(shù)不變.例如:\北3

拓展（1）當被除式的被開方數(shù)能被除式的被開方數(shù)整除，可直接利用除法法則.比如:

A/84-j-v21=J一==2.

V21

（2）當被除式的被開方數(shù)不能被除式的被開方數(shù)整除時，或者是被除式是整數(shù)而除式是二次

根式時，可以利用分式的基本性質(zhì)把分母中的根號化去.例如：=旺噂=

V2V2-V2

屈2==2片維

（3）由*=心0,b>0）,得J|=9（a>0,b>0）.可以用語言敘述為：商的算術(shù)平方根

等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

在公式、=器中：（1）。必須是非負數(shù)，）必須是正數(shù)；（2）如果被開方數(shù)是帶分數(shù)，應

先化成假分數(shù)，如舊必須先化成檸，以免出現(xiàn)尼=石xj；這樣的錯誤.

（4）二次根式的除法運算結(jié)果要化到最簡.

知識點3最簡二次根式

被開方數(shù)中不含分母且不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.也就是

說，若二次根式有如下特點：①被開方數(shù)中不含分母，②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式,

則這個二次根式就是最簡二次根式.例如：2忘，回，2&等都是最簡二次根式.

10a

拓展（1）判斷一個二次根式是否是最簡二次根式，要緊扣最簡二次根式的特點：

①被開方數(shù)不含分母；

成底數(shù)較小、乘方的形式后，因數(shù)或因式的指數(shù)小于2.

③若被開方數(shù)是和（或差）的形式，則先把被開放方數(shù)寫成積的形式，再作判定，若無法寫成

積（或一個數(shù)）的形式，則為最簡二次根式.比如：因為或2+42=籽,所以

A/32+4272%2+2/=72（X2+/）,且因式2和（必+/）的指數(shù)都是i,所以聲n7產(chǎn)萬中

/+〃無法變成一個數(shù)（或因式），所以，？+加是最簡二次根式.

（2）化簡二次根式一般例如為兩步：一如果被開方數(shù)是分數(shù)或分式，利用分母有理化化簡；二

化去被開方數(shù)中的分母之后，再將被開方數(shù)分解成幾個數(shù)相乘的形式或分解因式，然后利用積的算

術(shù)平方根的性質(zhì)把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來.若被開方數(shù)中不含分母，則只需第二步.

課堂檢測

基本概念題

1、下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？為什么？

J4F-40?,-爐,夜,&一4九+4(x>2),x.—,W.75血7^(b>Q,a>0),

\2x

79%2+16/,小(a+b￥(a-b)(a>b>01

基礎知識應用題

2、若J(x+3)(x-3)=Jx+3?Jx-3成立,貝U()

A.%23B.%23

C.3WxW3D.x為任意實數(shù)

3、如果、巨=刀旦成立，那么（）

Vx-67^6

A.xN6B.0WxW6C.xNOD.x>6

綜合應用題

4、如圖214所示，飛行員在飛機3處用雷達測得飛機和目標城市A的距離為

4.5x102m,且測得對這個目標的俯角?=45°,C為地面上位于飛機正下h.

圖214

探索創(chuàng)新題

5、已知a=近，b=屈,請用含a,6的代數(shù)式表示屈從不同不的計算角度考慮，用兩種

以上方法表示.

體驗中考

1、(1)有這樣一個問題：血與下列哪些數(shù)相乘，結(jié)果是有理數(shù)?

A.3A/2B.2-72C.V2+V3E.0

問題的答案是(只需填字母)：；

(2)如果一個數(shù)與血相乘的結(jié)果是有理數(shù)，那么這個數(shù)的一般形式是什么？(用代數(shù)式表示)

2、對于任意不相等的兩個數(shù)a,b,定義一定運算※如下：

aXb=,如3X2="+2=下,那么12X4=

a-b3-2

學后反思

附：課堂檢測及體驗中考答案

課堂檢測

1、分析本題主要考查最簡二次根式的概念.

解：痙麻三々9一+16J,手是最簡二次根式.

,：,412-4()2=7(41-40)(41+40)=商=9,

yjx1-4x+4=J(X-2)2=X2,

導-蘢

—x工」后,

t2x*2x2

Jo.75a4=A/O.25X3ab43ab,'a濟=b-Ja,

&a+b)2(a-b)=(a+b)J(a—b),g

J412—4()2,6—以+4(x〉2),-%,—,J。.75ab,\]ab2(b>0,a>0),

2x

J(a+/)2(a一h)(a>b>0),g不是最簡二次根式.

【解題策略】判斷最簡二次根式主要看被開方數(shù)是否有分母，另外，要看被開方數(shù)是否含有

能開方的因式.

2、分析本題考查的知識點是二次根式的乘法公式成立的條件，要求x+3>0,且x320,由此

可得x23,故選A.

3、分析本題主要考查二次根式的除法公式成立的條件，要求x20,且%6>0,所以x>6.

故選D.

規(guī)律?方法求使等式成立的字母的取值范圍，只需使等式的每一部分都有意義即可，這里

包括二次根式的被開方數(shù)非負，分母不為零，零次幕和負整數(shù)次募的底數(shù)不為零等.

4、分析本題綜合考查勾股定理和二次根式的化簡，解決此題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化到一個直

角三角形中去分析.

解：因為a=45°,所以NA=45°.

在R3ABC中，ZACB=90°,所以NABC==45。，所以AC=BC=/?.

由勾股定理可知即2/「=(4.5X102)2.

所以力2=-(4.5rx110C2-)、22=-8-1--0-0--0-0-.

28

皿?，/810000…武,、

所以丸=J---=225J2(m)

答：飛機此時的高度為225Vl(m).

【解題策略】解決此題的方法是將問題轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中去，將求飛機的高度轉(zhuǎn)化為

求直角邊的長度，同時注意結(jié)果要化到最簡.

5、分析解決本題的關(guān)鍵在于把4.9用不同的形式表示出來.

[49(49x7_7。

解法1:斥=、777

V70二STb

7M7㈣7V70

解法2：聞=,回=-X_7b

U001010V71010a

[49077x770ab

解法3：回=,

\|100~10一"10,

【解題策略】根據(jù)4.9="==及二次根式的性質(zhì)化簡，化簡后使其與a,8相關(guān)，然后將

10100

能用a,6代替的用a,b代替,表示出結(jié)果.

體驗中考

1、分析本題考查二次根式的乘法運算，對所有的選項親自算一下，就會得到所有答案.

解：⑴A,D,E.

（2）設這個數(shù)為x,則x?e=a（a為有理數(shù)），

a

（。為有理數(shù)）,

所以x=正

2、分析本題考查對新運算的理解,以及對二次根式的化簡能力,12※妹等故嗎.

【解題策略】對于新定義的運算，要看清它的計算實質(zhì)，利用例子把新運算轉(zhuǎn)化為普通的運

算.

16.3二次根式的加減

學習目標、重點、難點

【學習目標】

1、同類二次根式的概念;

2、二次根式的加減；

3、二次根式的混合運算;

【重點難點】

1、同類二次根式；

2、二次根式的混合運算;

知識概覽圖

同類二次根式

二次根式的力限二次根式的加減

二次根式的混合運算

新課導引

如圖所示，要在圓形的花壇的中心種花，外圍栽草，并使得兩個圓為同心圓，種花、草的面積

分別為6.28cn?,18.84cn?,求種草的寬度.(兀取3.14)

2

【問題探究】由于種植花、草的面積分別為6.28cn?,i8.84cm,所以花壇的大、小圓的面

225.12

積分別為25.12cm2,6.28cm,求得它們的半徑分別為、生中和、型，當兀取3.14時，它們的

717L

值分別為說和直,這實際上是求血-0,那么如何計算*-四呢？

【解析】強-亞=20-應=(2-1)0=71

教材精華

知識點1同類二次根式

定義:幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，一這幾個二次根式叫做同類二

次根式，同類二次根式與同類項類似.例如:3孫2和.2是同類項，2國33是同類二次根式，

3歷與-y河也是同類二次根式.又如：-疵與后,需要化簡后再判斷，因為

-^2=-2^,727=3^3,所以_厄與后疝和振來說,因為配=23,加=30,它們的被

開方數(shù)不同，所以■與不是同類的二次根式.

拓展對同類二次根式的理解應注意以下幾點：

(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式時，首先將二次根式化為最簡二次根式，其次看

被開方數(shù)是否相同.

（2）幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)和根指數(shù)有關(guān)，與根號外的系數(shù)無關(guān).

全并同類二次根式.

將同類二次根式的系數(shù)相加減，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變.

例如：3石-2白+工行=13-2+工］6=3后合并同類二次根式的方法與整式加減中合并同

212J2

類項類似，利用合并同類項的法則把二次根式的加減運算轉(zhuǎn)化為系數(shù)（有理數(shù)）的加減運算.

拓展（1）二次根式的系數(shù)就是這個二次根式根號外的因式（或因數(shù)），它包含前面的符號.

（2）當二次根式的系數(shù)為帶分數(shù)時，必須將其化為假分數(shù).

（3）不是同類二次根式，千萬不要合并.

知識點2二次根式的加減

二次根式的加減實質(zhì)上就是合并同類二次根式.

即先將各個二次根式都化成最簡二次根式；再把其中的同類二次根式進行合并.

對于沒有合并的二次根式，一定不要丟棄，要抄下來，它們也是結(jié)果的一部分.

々二次根式的加減運算實質(zhì)上是化成最簡二次根式，再合并同類二次根式.

在運算過程中，與整式的加減類似.交換律、結(jié)合律以及乘法分配律，去括號法則在二次根式

的加減中仍然適用.

々二次根式的加減步驟：

（1）先將每一個二次根式都化為最簡二次根式.

（2）判斷哪些根式為同類二次根式，把同類二次根式合并為一組.

（3）合并同類二次根式.

例如：（1）聞+病+炳—2次=5行+4應+30-4收

=（5+4+3-4）0=8后.

（2）后-2百+履=3百-2百+3百=百+3占

拓展二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區(qū)別如下表所示:

運算二次根式的乘除法二次根式的加減法

系數(shù)系數(shù)相乘除系數(shù)相加減

被開方被開方數(shù)相乘除被開方數(shù)不變

數(shù)

化簡結(jié)果化成最簡二次先化成最簡二次根式，再合并同類二

根式次根式

知識點3二次根式的混合運算

二次根式的混合運算實質(zhì)上是有理數(shù)與無理數(shù)的混合運算，是二次根式的加、減、乘、除、乘

方法則的綜合應用.

在進行二次根式的混合運算時，應注意：

（1）二次根式的混合運算順序和實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括

號的，先算括號里面的（或者先去括號）.

（2）乘法運算的運算律以及乘法公式在二次根式中的運用.

（3）二次根式運算的結(jié)果要最簡，不能含有能合并的同類二次根式.

拓展在進行二次根式的運算時，能用乘法公式的要盡量使用乘法公式，有時還需要靈活逆

用公式，這樣可以使計算過程大大簡化.

【規(guī)律方法小結(jié)】我們在學習同類二次根式的概念、二次根式的加減法時就是采用類比的

方法，類比整式中同類項的概念、整式的加減法來學習和掌握的.

探究交流“6+36=4退”是否正確？為什么？

點撥不正確，因為若與36不是同類二次根式，不能合并，這與合并同類項一樣，不是同類

的不能合并.

課堂檢測

基本概念題

1、下列二次根式中，哪些是同類二次根式?

基礎知識應用題

2、下列二次根式中，能夠與曲合并的是（）

A.727B.V18C.749

3、計算.

(1)780-720+^5;

-76；

7

(3)3\/a3b-3yjab3(a>0,Z?>0);

(4)%戶+亞

Va

綜合應用題

4、滿足不等式行(x-l)〉氏-Jli的最小整數(shù)解是()

A.2B.3C.4D.5

探索創(chuàng)新題

a4a-b4a

5、在化簡時，有下列兩種不同的方法:

a+s[ab

方法1：原式二封,協(xié)a-b_(y/a-y/b