梯形-第3講精英班教師版

npoints

(-)梯形的相關(guān)概念

1.定義

c

AB//

5A5Cl叫做梯形.

A。二

2.等腰梯形

A5C0是等腰梯形,

AB//CD1ZDAB=ZCBA,

AD=BC]ZADC=/BCD,

AC=BD.

3.直角梯形

AB//CD1_

ABC。是直角梯形.

CB^AB]

4.平行線等分線段定理

l//1//1.//lA

x2=>44=BC=C]D].

AB=BC=CD\

5.中位線定理

⑴三角形中位線定理

AABC中：

AM=BM

nMN〃LBC,MN=-BC.

AN=CN22

⑵梯形中位線定理

梯形ABCD中：

AB//CDMN//AB//CD,

AM=DM>ni

MN=-(AB+CD)

BN=CN

(-)梯形中常見的輔助線和基本圖形

帝、009春季學(xué)鼠改孌命運

賽一…―

內(nèi)容基本要求略高要求較高要求

掌握梯形的概念，

會識別梯形、等腰會計算梯形的周長

梯形

梯形；了解等腰梯及面積；會用等腰

形的性質(zhì)和判定梯形的性質(zhì)和判定

解決簡單問題

1在等腰梯形ABCD中，AD//BC,若AD=4,BC=8,ZB=G0°,那么這個等腰梯形的周長等

于.

【解析】20

2梯形ABCD中，AB//CD,對角線AC、瓦＞交于點。且垂直，AC=3,BD=4,則梯形ABCD

的面積等于.

【解析】6

3已知：梯形ABCD中，AD//BC,AB^CD,E是梯形

內(nèi)一點，EA=ED.求證：EB=EC.

【解析】VAD//BC,AB=CD,

：.：.ZBAD=ZCDA.

EA=ED,

2|初二第三講精英班|

Z3=Z4.

CB,

即：Z1=Z2.

\ABE也AT>C￡（SAS）.

EB=EC.

\已知：等腰梯形中，一個底角為45。，高為力，中位線長為加，則梯形較小的底的長為多少？

【解析】分別作于M,作DN工BC于N.

:4=45。，AM=h,

：.BM=CN=hfAD=MN.

設(shè):AD=x,貝IBC=x+2h,

根據(jù)梯形中位線定理：

m=^（AD+BC）.

2m=%+（%+2/z）.

x=m—h.

答：梯形較小的底邊長為：m-h.

^^Mexample

【例1】（2007年理工附期末試題）如圖，已知等腰梯形周長是20,AD//BC,ADvBC,440=120。,

對角線AC平分NBCD,求梯形加8的面積.

【解析】過點A作垂足為￡.

?:AD//BC

：.ZBCA=ZCAD

???ZBCA=ZDCA

：.ZCAD=ZDCA^>AD=CD

???ZBAD=120°

：.ZACD=ZBCA=3O°,ZABC=ZDCB=6O°

：.ABLAC

：.BC=2AB

：.5AB=20=AB=4,AE=2^

...Ss卷迎+B。-26

【變式1］（“希望杯”試題）如圖，等腰梯形ABCD中，AB//CD,

ZD4B=60。，AC平分ZZ>W,且AC=2百，則梯形ABCD的

周長等于.

【解析】方法與例1相同，不再給出！結(jié)果為10.

AD

【變式2］（2007年北大附中期末試題、2007年北京市中考題）如圖，在梯

形ABCD中，AD//BC,AB=DC=AD,ZC=60°,AE±BD

BC

帝、009春季學(xué)鼠改孌命運

于石，AE=19求梯形ABCD的高.

【解析】由例1可知，ZABD=ZCBD=30°.

VAE=1,ZABD^30°,AE±BD

：.AB=2

VZCSD=30°,ZC=60°

:.BD工CD

：.DH=—CD=y/3

2

【變式3］（2007年西城區(qū)抽樣測試題）如圖，等腰梯形ABCD中，

AD//BC,AB=DC,對角線AC與相交于點O,

ZBOC=120°,AD=2,5。=4.求等腰梯形ABCD的面積.

【解析】???ABCD為等腰梯形

：?AB=CD,ZABC=ZDCB

■:BC=BC

:.AABCgADCB

：.ZACB=ZDBC=30°

剩下的解題過程同上，不再給出！

【變式4］（上海市數(shù)學(xué)競賽題）如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC,

AD=2,BC=8,M是AB的中點，若MDLCD,則梯

形的面積為.

【解析】延長DM,交CB的延長線于E,作。垂足為H.

?.?AD//BC：.ZDAM=ZEBM

VZAMD=ZBME,AM=BM

：.：.BE=ADE

??,ABCD為等腰梯形

/.CH=^(BC-AD)=3

,:EH=CE-CH=10-3=7

：.DH=y/21(此處可引入射影定理或者利用勾股定理來證明。"2=石"c”)

勾股定理證明該結(jié)論如下：DE2=DH2^EH2,CD2=DH2+CH2,DE2-^-CD2=CE2

于是有EH2+CH2+2DH2=CE2=EH2+CH1+2EH-CH,化簡可得=切?切

【例2】（2007年北達(dá)資源期末考試）如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,

AC平分ZBCD.若ZB=50。，ZBCD=80°,AD=2,求的長.

【解析】過點、D作DE//AB,丈BC于點、E.

VDE//AB,ZB=50°

：.ZDEC=50°

丁ZDCE=80°

：.ZEDC=50°

：.CD=CE

■:ADIIBC

：.ZACB=ZCAD

■:AC平分ZBCD

：.ZACD=ZDAC

：.AD=CD

VAD//BC,ABIIDE

4|初二第三講精英班|

BC

???AD=BE

：.BC=2AD=4

【另解】延長84、CD相交于點石.

VZB=50°,ZDCB=80°

：.ZBEC=50°BC=CE

,:AD!IBC：.ZEAD=NEBC=500=AD=DE

■:ADIIBC：.ZACB=ZCAD

?.*AC平分ZBCD：.ZACD=ZDAC

：.AD=CD：.BC=CE=2AD

【變式1】如圖，在梯形ABCD中，ADUBC,AB=8,AD=39

CD=69

并且4+NC=90。，則該梯形的面積為.

【解析】過點A作AE//CD,交BC于E.

■:AE//CD：.ZAEB=ZC

??,ZB+ZC=90°BA±AE

VAD//BC9AE//CD

:?AD=CE=3,AE=CD=6

*.*AB=8BE=10

.76x824

1124192

SABCD=—+BC)=—x—x16=

【另解】延長64、CD相交于點石.

AEABA

AE2+DE2=AD2=9,

DE~DC~3

129S^^BE-CE-AE-DE)=掾

ikAE=—,DE=-

559

【變式2](“希望杯”試題)在梯形ABCD中，AD//BC,E、F

分別是4)、5。的中點，EF=^-(BC-AD),貝！]

2

ZB+NC=.

【解析】過點石作石N//AB、EM//CD,分別交3。于N、M.

VEN//AB,EM//CD,AD//BC

：.AE=BN9DE=CN

AE=DE=-AD

2

BN=CM=-AD

2

：.MN=BC-AD

?.?EF=g(BC—AD)

：.NELME

VENI/AB,EM//CD

：.ZB+NC=90。

【變式3】（全國聯(lián)賽試題）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,

ZB=30°,ZC=60°,E、F、N分別是AB、BC、

CD、ZM的中點，已知BC=7,MN=3,則

EF=.

【解析】???ZB=30°,ZC=60°

帝、009春季學(xué)鼠改孌命運

：.MN=-(BC-AD)(由變式2可知)

2

VBC=1,MN=3：.AD=1

VEF^-(AD+BC)；.EF=4

2

AD

［變式4］如圖，等腰梯形ABCD中，AC=BC+AD,則ZDBC的度數(shù)是.

【解析】過點。作DE//AC交3c的延長線于點E.

VDE//AC,AD//BC

：.AC=DE,AD=CE

,：ABCE(為等腰梯形

AC=BD=DE

'：AC^BC+AD

：.AC=BC+CE=BE

：.BD=BE=DE

：.ZDBC=60°

【變式5】如圖，等腰梯形ABCD的下底AB=a,兩對角線相互垂直且長均

為b.試求上底的長及梯形的面積,并討論問題有解時。與b之間的

關(guān)系.

【解析】輔助線及解法與變式4相同，這里不再給出！

AB+CD=y^AC,即a+C￡>=&n@-a>0na<向

這就是問題有解時。與b之間滿足的關(guān)系式.

上底CD=06-a.

梯形的面積為：—b~.

2

【例3】(重慶市數(shù)學(xué)競賽題)如圖，梯形ABCD中，AB//DC,E是肺的中

點.

(1)當(dāng)鉆、DC、滿足什么關(guān)系時，BEYCE2

(2)若BC=AB+OC,是否有BELCE?

(3)當(dāng)3C=AB+OC時，ZABE.NCBE滿足什么關(guān)系？

(4)若ZDCE=NBCE,AB.DC、3C滿足何種關(guān)系？

【解析】(1)取3C的中點連接EF.

■:BELCE,BF=CF：.EF=-BC

2

?：EF=g(AB+DC)

：.BC=AB+DC

(2)；EF=g(AB+DC),BC=AB+DC

：.EF=-BC

2

*/BF=CF=-BC

2

：.BE±CE

(3)由(2)可知，當(dāng)3C=AB+r>C時，BF=EF,蟻/?=邳

VEF//AB：.ZABE=ZFEB

：.ZABE=ZCBE

6I初二第三講精英班I

CDF

(4)VEFIICD：.ZFEC=ZECD

■:ZDCE=ZBCE:.ZFEC=ZBCE

:.CF=EF=BF

：.BC=AB+DC

【另解】如右圖，延長班、CD爻于點、F.

解題過程與解析相似，不再給出！

【變式1】如圖，梯形ABCD中，AD//BC,ABLBC,M是DC的中點，試比較AM、的大小.

【解析】AM=BM

取AB中點石，連接石M.

VAE=BE,DM=CM

：.EM//AD

?.*AB1.AD

：.EM工AB

JAM=BM

【另解】如右圖，延長AW、BC至于點、E.

■:ADIIBC

：.ZADM=ZECM

VZAMD=ZEMCfDM=CM

：.AADMgNECM

：.AM=EM=-AE

2

?:AB±BC

AM=-AE

2

：.AM=BM

【變式2］（“希望杯”試題）如圖，在直角AABC中，ZABC=9009ZC=60°,

BC=2,。為AC的中點，從。作。石，AC與CB的延長線相交于

E,以AB、的為鄰邊作長方形連接DF,則小的長為

【解析】由變式1可知，DE=DF

VDELAC,ZC=60°

JZDEC=30°

?:CE±EF

：./FED=8。

???AD￡F為等邊三角形，DF=EF=DE

,/ABEF為長方形

AB=EF

?**DF=AB=J3BC=2y/3

【變式3】如圖，梯形ABCD中，AB//CDfND=90。，M是的中點,

BC=2CD,ZDAM=50°9貝!|ZAA/C=.

【解析】連接DM.

由變式1可知，AM=DM

：.ZDAM=ZADM=50°,ZAMD=80°

???NADC=90。

???ZDMC=40。

VBC=2CD,BM=CM

:.CD=CM

：.ZDMC=ZCDM=40°

,?DE—EF,Sl^ADE~S^FBE

?,^ABCD_°A￡)CF

DE=EF

?,^M)CE=S"CE

,,SABCD=S^DCF=2sM)CE=2s

【另解】取CD中點尸，連接石尸.

■:AE=BE,DF=CF

：.2EF=AD+BC

SARCFBC

q77/7，SADEF=S^cEF=}S

SbADE+S'BCEAO+5。

=2nS\ADE+SgcE=S

EF

??SABCD~2s

【變式5】（河南省數(shù)學(xué)競賽試題）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,知是的中點，MN±AD9

垂足為N.求證：梯形面積=MV?AD.

ABABEAB

【解析】作如圖所示輔助線，解法與變式4相同，證明過程這里不再給出！

【例4】等腰梯形的下底等于對角線，而上底等于高，則上底與下底的比值為.

【解析】過點。、。分別作DE_LAB、CFLAB,垂足為石、F.

■:DC=DE=CF,DELAB,CF.LAB,DC!/AB

:?DEFC為正方形,DC=EF

???ABCD為等腰梯形

/.ZDAB=ZCBAfAD=BC

VDELAB,CF±AB

：.AAD*ABC/

AE=BF=g(AB-CD)

：.BE=g(AB+CD)

8|初二第三講精英班|

在RfADEB中,由勾股定理可得，BD2^BE2+DE2

：.AB2=^(AB+CD)2+CD2=>3AB2-2AB-CD-5CD2=0

AR5

/.(3AB-5CD)(AB+CD)=0=>—=-(AB+CD>0)

【例5】梯形的上底為。，下底為b(b>a),兩個底角分別為45。、

60°,求梯形的面積.

【解析】過點。、。分別作DE_LAB、CF±AB,垂足為石、F.

VAB//CD,DELAB,CF±AB

:?EF=DC=a,DE=CF

VZDAB=60°,DELAB

：.AE=—DE

3

同理，BF=CF=DE

：.AB=AE+EF+BF=(^+X)DE+a=b

.6(b-a)(3—yf3)(b—a)

,?DE=--------=------------------------

1+A/32

22

S^CD=g(AB+CO)?OE==g(a+b)("W一'=(b-a)

【變式1】如圖，已知梯形ABCD中，DC//AB,BD=AD,AC=AB,ZADB=90°,

(1)求證：ZC4B=30°；(2)若BD和AC交于E,求證：BE=BC.

【解析】(1)過點D、C分別作Z5GLAB、CHLAB,垂足為G、H.

■:BD=AD,ZADB^90°,DG^AB

：.DG=-AB

2

VDC//AB,DG±AB,CH±AB

：.DG=CH

：.CH=-AB=-AC

22

CH±AB

：.NC4B=30°

（2）由（1）可知，NC4B=30°,"54=45°,故NCEB=75°

VZCAB=3Q°,AC=AB

ZECB=15。

：.BC=BE

【變式2］（北京市數(shù)學(xué)競賽試題）如圖，ABCD是正方形，E為BF上

的一點，四邊形AEFC恰好是一個菱形，則㈤5=.

【解析】連接CE,我們發(fā)現(xiàn)四邊形ABEC與變式1中的梯形ABCD

是同一個圖形，輔助線以及接下來的解題過程均與變式1相同

不再給出，我們觀察問題要善于聯(lián)想和類比.

本題作為北京市數(shù)學(xué)競賽的一道經(jīng)典試題，其根就是變式1,

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要善于把握最基本的技能技巧，然后利用這些技巧

笄/009春季學(xué)鼠改孌命運

來進(jìn)行演變，不停的“退”，退到最原始的地方，我們發(fā)現(xiàn)這

個圖形原來我們見過，而且比較熟悉，如果能夠長期地堅持這

種數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他的學(xué)科都會大有裨益！

【例6】(山東省競賽題)如圖，分別以AABC的邊AC、BC為一邊,在AABC外作正方形ACDE和

CB/G,點P是防的中點.求證：點P到邊鉆的距離是AB

的一半.

【解析】建議先講第二個變式再講例題.仔細(xì)觀察本題的已知條件，

我們發(fā)現(xiàn)本題與例6的第二個變式條件非常相似，不過沒有

直角梯形這個“背景”而已，我們可以“造”.

過點E、C分別作田CC'±AB,垂足為。'、C.

由例6可知，MED'段AG4C

D'E=AC'

同理，F(xiàn)F'=BC

：.AB=D'E+FF'

過點P作PP'_LA3,垂足為產(chǎn).

VPE=PF,ED'.LAB,

CC'±AB,PP'^AB

：.D'P'=F'P'

：.PP'=1(￡)'￡+FF')=1AB

【變式】已知A、3為平面上兩個定點，C為平面上位于直線4?

同側(cè)的一個動點，以AC、BC為邊,在AA5c形外分別作正方形C4DE、CBFH.求證：無論動

點C在AB同側(cè)的任何位置，/加的中點P的位置不變.

【解析】本題與例6非常相似，唯一不同的是本題在例6的基礎(chǔ)上作了推廣，推廣到位于AB同側(cè)的任意

一個點，我們發(fā)現(xiàn)此時例6中的結(jié)論仍然成立.要學(xué)會用運動變化的觀點看待一個問題，找出變

化中“不變”的量.

【變式】如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD^AB,E是上的點，BE=CE,ZBEC=90°,M

是3c的中點.求證：AADM是等腰直角三角形.

【解析】取AD中點/，連接

VDF=AF,CM=BM

：.FM=1(AB+CD)

VZBEC=90°,ADYAB

ZDEC^ZABE

VBE=CE,ADrAB,ADVCD

：.ADCEgMEB

:.CD=AE,DE=AB

：.AD=AB+CD

：.FM=-AD

2

10|初二第三講精英班|—

AB

：.AM.LDM

■:FM//AD,ABLAD

:.FM±AD

,:DF=AF

：.DM=AM

???AADM"是等腰直角三角形

【另解】延長DM、AB交于點尸，可證AD=AF,DM=FM,則AADW是等腰直角三角形.

【例7】已知：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,AC±BD,AC=5,3。=12.求：梯形ABCD中位線的

長.

【解析】作。石〃AC交5C的延長線于石.

AD//BC,

：.ACED是平行四邊形.

:.AD=CE,DE=AC=5.

'：AC±BD,DE//AC,

：.BD±DE.

,:BD=12,

：.BE=VB￡?2+DE2=13.

中位線長=；(4￡>+3(7)

=1(BC+CE)

22

答：梯形ABCD的中位線長為6.5.

【變式】已知：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,BDLDC,且如平分NABC.若梯形ABCD

的周長為20cm,求：梯形的中位線長.

【解析】,：AD//BC,Z1=Z2.

：33平分ZABC,ADAD

二丈24廣\

AB=AD,AD//BC,-------------------------------------------

：.ZABC=ZC.

：.Z1=-ZABC=-ZC.

22

BD工CD,

Zl+ZC=90°,

AZC=60°,Nl=30。，

JDC=-BC.

2

設(shè)AB=a,

則AD=CD=a,BC—2a.

據(jù)題意，a+a+a+2a-20(cm),

/.5〃=20,a=4(cm).

梯形的中位線長為：(〃+2〃)+2=6(cm).

答：梯形的中位線長為6cm.

備注：此題與例1條件相同，就是所求條件不同，主要是讓學(xué)生聯(lián)系梯形中位線求法.此題比較簡單可以

放在前面講解.

笄/009春季

【例8】已知：如圖，四邊形ABCD中，AC=BD,M、N分別為4）、BC的中點.求證：FP=FQ.

【解析】取CD中點E,分別連結(jié)EM、EN.

,；M、N分別為AD、BC的中點，

AEM//-AC,EM=-AC,EN//-BD,EN=-BD.

2222

,/AC=BD,

：.EM=EN,

：,Z1=Z2,

Z1=ZCPQ,Z2=ZFQP,

ZCPQ=ZFQP,

：.FP=FQ.

【變式】已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、〃分別為AD、BD、BC、AC的中點.求證：EG、

FH互相平分.

【解析】分別連結(jié)EF、FG、GH、HE.

,:E、尸分別為AD、80的中點，

EF//-AB,EF=-AB.

22

■:H、G分別為AC、的中點,

AHG//-AB,HG=-AB.

22

EF//HG,EF=HG.

：.￡FGH為平行四邊形.

:.EG、FH互相平分.

Jreview

羽晚畫

習(xí)題L在梯形ABCD中，兩底">=4,BC=8,對角線ACL3D,且AC=6,則NDBC=.

【解析】過點。作AC的平行線即可，ZDBC=3Q°.

習(xí)題2.在梯形ABCZ）中，若AD//3C,ADLDC,AD+BC^AB,E是CD的中點，且AD=2,BC=8,

貝!JSAABE=?

【解析】5〃m=20.設(shè)DE=CE=X,由勾股定理可知AB2MM2+BE2,則有

2?+x?+8。+%2=IO?=>尤=4

也可運用相似來求解，ADBC=DECE^DE=CE=4

習(xí)題3.（浙江省中考題）梯形ABC。中，AD//BC,ABYBC,BC=DC,ZC=30°,AD=a,貝（JBC

的長為.

【解析】過點。作DE_LBC,垂足為E.則3￡=池=即CE=—CD^—BC,故a+@3C=3C

222

從而可得，BC=（4+273）a

12|初二第三講精英班|

習(xí)題4.已知：如圖，AD//BC,ZA=90°,BD=8,ZC=30°,BDLCD.求：梯形ABCO的面積.

【解析】作。石，5C于石.

???ZC+Z2=90°.