新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-4-1平面素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊

8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面

【情境探究】1.生活中的一些物體通常呈平面形,課桌面、黑板面、海平面都給我們以平面的形象,請問:生活中的平面有大小之分嗎?幾何中的“平面”呢?如何表示平面?提示:生活中的平面有大小之分.而幾何中的“平面”是從生活中的物體抽象出來的,是平的,無限延展的,且無大小之分;平面可用α,β,γ等表示,也可用表示平面的平行四邊形的四個頂點或相對的兩個頂點的大寫字母表示.必備知識生成2.如圖所示,直線a與直線b相交于點A,用符號表示能否記為a∩b={A}?

提示:一般不記作a∩b={A},而記作a∩b=A,這里的A既是一個點,又可以理解為只含一個元素(點)的集合.3.若把直尺邊緣上的任意兩點放在桌面上,直尺的邊緣上的其余點和桌面有何關(guān)系?提示:直尺邊緣上的其余點都在桌面上.4.兩個平面有三個公共點,這兩個平面重合嗎?提示:不一定,當(dāng)三點在同一條直線上時,不能判斷兩個平面重合;當(dāng)三點不在同一條直線上時,根據(jù)不共線的三點確定一個平面,兩平面重合.5.觀察正方體ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),平面AB1D1與平面BCC1B1只有公共點B1嗎?提示:因為平面是可以無限延展的,所以平面AB1D1與平面BCC1B1不只有公共點B1,而是有一條公共直線.【知識生成】1.平面的概念(1)平面是一個不加定義,只需理解的原始概念.(2)立體幾何里的平面是從呈現(xiàn)平面形的物體中抽象出來的.如課桌面、黑板面、平靜的水面都給我們平面的局部形象.2.平面的畫法常常把水平的平面畫成一個___________,并且其銳角畫成_____,且橫邊長等于鄰邊長的__倍

一個平面被另一個平面遮擋住,為了增強立體感,被遮擋部分用_____畫出來

平行四邊形45°2虛線3.平面的表示方法(1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ.(2)用表示平面的平行四邊形的_________的大寫字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四邊形的相對的兩個_____表示,如平面AC,平面BD.希臘字母四個頂點頂點3.平面的表示方法(1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ.(2)用表示平面的平行四邊形的_________的大寫字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四邊形的相對的兩個_____表示,如平面AC,平面BD.希臘字母四個頂點頂點4.基本事實1文字語言過_______的三點,有且只有一個平面圖形語言

符號語言A,B,C三點_______?有且只有一個平面α,使A∈α,B∈α,C∈α作用確定平面證明四點共面不共線不共線5.基本事實2文字語言如果一條直線上的_______在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)圖形語言

符號語言A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?_____作用判斷點在平面內(nèi)判斷直線在平面內(nèi)用直線檢驗平面兩個點l?α6.基本事實3文字語言如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線圖形語言

符號語言P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l作用確定平面相交證明三線共點或三點共線7.基本事實的推論推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面(圖①).推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面(圖②).推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面(圖③).關(guān)鍵能力探究探究點一三種語言的轉(zhuǎn)化【典例1】(1)點P在直線a上,直線a在平面α內(nèi)可記為(

)A.P∈a,a?α

B.P?a,a?αC.P?a,a∈α D.P∈a,a∈α(2)用符號表示下列語句,并畫出圖形.①平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點A,B.②點A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點C,點C不在直線AB上.關(guān)鍵能力探究探究點一三種語言的轉(zhuǎn)化【典例1】(1)點P在直線a上,直線a在平面α內(nèi)可記為(

)A.P∈a,a?α

B.P?a,a?αC.P?a,a∈α D.P∈a,a∈α(2)用符號表示下列語句,并畫出圖形.①平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點A,B.②點A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點C,點C不在直線AB上.【思維導(dǎo)引】解決本例的關(guān)鍵是,要正確理解立體幾何中表示點、線、面之間位置關(guān)系的符號“∈”“?”“?”“?”“∩”的意義.【解析】(1)選A.點可看成元素,而直線、平面可看成是由點構(gòu)成的集合,故選A.(2)①用符號表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如圖.

②用符號表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C?AB,如圖.【類題通法】三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號語言表示.(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時,要注意實線和虛線的區(qū)別.(3)轉(zhuǎn)化時要注意符號的使用,“∈”或“?”反映的是點與線,點與面的關(guān)系,而“?”或“?”反映的是直線與平面的關(guān)系.【定向訓(xùn)練】根據(jù)下列符號表示的語句,說明點、線、面之間的位置關(guān)系,并畫出相應(yīng)的圖形.(1)A∈α,B?α.(2)l?α,m∩α=A,A?l.(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.【解析】(1)點A在平面α內(nèi),點B不在平面α內(nèi).(2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點A,且點A不在直線l上.(3)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α內(nèi)一點Q.圖形分別如圖①,②,③所示.探究點二點、線共面問題【典例2】如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,E,F分別是BC,PC的中點,點G在PD上,且PG=PD.證明:點A,E,F,G四點共面.【思維導(dǎo)引】連接EF,AG,在平面ABCD內(nèi),連接AE并延長交DC的延長線于點M,在平面PCD內(nèi),連接GF并延長交DC的延長線于點M1,證明點M與點M1重合,進而可得結(jié)論.【證明】連接EF,AG,在平面ABCD內(nèi),連接AE并延長交DC的延長線于點M,則有CM=CD.在平面PCD內(nèi),連接GF并延長交DC的延長線于點M1.取GD的中點N,連接CN.則由PG=PD可知PG=GN=ND.因為點F為PC的中點.所以在△PCN中有FG∥CN,即GM1∥CN.所以在△GM1D中有CM1=CD.所以點M與點M1重合,即AE與GF相交于點M.所以A,E,F,G四點共面.【類題通法】證明點線共面的常用方法(1)納入平面法:先由基本事實1或其推論確定一個平面,再由基本事實2證明有關(guān)點線在此平面內(nèi).(2)輔助平面法:先證明有關(guān)的點線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.【定向訓(xùn)練】1.求證:如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交,那么這四條直線共面.【證明】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c和l共面.如圖所示,因為a∥b,所以直線a與b確定一個平面,設(shè)為α.因為l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,則A∈α,B∈α.又因為A∈l,B∈l,所以由基本事實2可知l?α.因為b∥c,所以直線b與c確定一個平面β,同理可知l?β.因為平面α和平面β都包含著直線b與l,且l∩b=B,而由推論2知:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面,所以平面α與平面β重合,所以直線a,b,c和l共面.2.已知E、F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC的中點.求證:A1,C1,E,F四點共面.【證明】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,所以四邊形ACC1A1為平行四邊形,所以A1C1∥AC.因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC.所以A1C1∥EF.所以直線A1C1與EF確定一個平面α,所以A1,C1,E,F四點共面于平面α.探究點三點共線、線共點問題【典例3】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點共線.【思維導(dǎo)引】(1)考慮P,Q,R三點分別在哪幾個平面上.(2)考慮在兩個相交平面上的點,有什么特點.【證明】方法一:因為AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事實3可知點P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上.所以P,Q,R三點共線.

方法二:因為AP∩AR=A,所以直線AP與直線AR確定平面APR.又因為AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因為B∈面APR,C∈面APR,所以BC?面APR.又因為Q∈面APR,Q∈α,所以Q∈PR.所以P,Q,R三點共線.【類題通法】證明多點共線的方法(1)選擇兩點確定一條直線,然后證明其他點在這條直線上;(2)證明這些點都在兩個平面內(nèi),而兩平面相交,因此這些點都在兩平面的交線上.【定向訓(xùn)練】1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC,BD交于點M,求證:C1,O,M三點共線.【證明】連接A1C1,由AA1∥CC1,得AA1與CC1確定一個平面A1ACC1.因為A1C?平面A1ACC1,而O∈A1C,所以O(shè)∈平面A1ACC1.又A1C∩平面BC1D=O,所以O(shè)∈平面BC1D.所以O(shè)點在平面BC1D與平面A1ACC1的交線上.又AC∩BD=M,所以M∈平面BC1D且M∈平面A1ACC1.又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1ACC1,所以平面A1ACC1∩平面BC1D=C1M,所以O(shè)∈C1M,即C1,O,M三點共線.2.如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.

求證:AB,CD,l共點(相交于一點).

【證明】因為梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰.所以AB,CD必定相交于一點.設(shè)AB∩CD=M.又因為AB?α,CD?β,所以M∈α,M∈β.所以M∈α∩β.又因為α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共點(相交于一點).

【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達標(biāo)1.下列說法中正確的個數(shù)為 (

)①書桌面是平面;②8個平面重疊后,要比6個平面重疊后厚;③有一個平面的長是100m,寬是90m;④平面是絕對平滑,無厚度,無限延展的抽象概念.A.0

B.1

C.2

D.3【解析】選B.①錯誤,因為平面具有延展性;②錯誤,平面無厚度;③錯誤,因為平面無厚度、大小之分;④正確,符合平面的概念.2.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為(

)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.依題意,與AB和CC1都相交的棱有BC;與AB相交且與CC1平行的棱有AA1,BB1;與AB平行且與CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合條件的棱共有5條.3.任意三點可確定平面的個數(shù)是 (

)A.0 B.1 C.2 D.1或無數(shù)個【解析】選D.當(dāng)這三點共線時,可確定無數(shù)個平面;當(dāng)這三點不共線時,可確定一個平面.4.看圖填空:(1)AC∩BD=__________;

(2)平面AA1B1B∩平面A1D1C1B1=__________;

(3)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________;

(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=____________.

答案:(1)O

(2)A1B1

(3)AC

(4)OO1Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)