2024年重慶市渝中區(qū)中考數(shù)學二調(diào)試卷

第1頁（共1頁）2024年重慶市渝中區(qū)中考數(shù)學二調(diào)試卷一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）實數(shù)﹣2的倒數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（4分）兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比為2：3，則它們的面積比為（）A．2：3 B． C．3：2 D．4：93．（4分）如圖，日晷是我國古代的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成當太陽光照在日晷上時，晷針的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一時間．晷針在晷面上形成的投影是（）A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．無法確定4．（4分）如圖是光的反射定律示意圖，PO，OQ，反射光線和法線．若∠POM＝2∠POB，則∠AOQ的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．30° D．36°5．（4分）估計的值應(yīng)在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間6．（4分）觀察下列圖案，第①個圖案有4個正六邊形，第②個圖案有7個正六邊形，第④個圖案有13個正六邊形，……，第⑨個圖案中含有的正六邊形個數(shù)為（）A．25 B．28 C．31 D．347．（4分）如圖①，將A4紙（矩形PQMN）沿QE折疊1落在QM上．如圖②，再沿∠EQM的角平分線QF折疊，發(fā)現(xiàn)點E剛好與點M重合（）A． B． C． D．8．（4分）如圖，∠ABC的邊BA經(jīng)過點O且與⊙O相交于點E，F(xiàn)，BC與⊙O相切于點D．若∠ABC＝m°（）A．（180﹣3m）° B．（90﹣2m）° C． D．9．（4分）如圖，直線y＝﹣2x與雙曲線交于點P和點Q，且MP⊥MQ，若△PMQ的面積為（）A． B． C．﹣8 D．﹣410．（4分）對一個由5個數(shù)組成的數(shù)列S0，將其中的每個數(shù)換成該數(shù)在S0中出現(xiàn)的次數(shù)，可生成一個新數(shù)列S1，稱為一次變換．將數(shù)列S1重復上述操作可生成新數(shù)列S2，稱為二次變換．按照此方法經(jīng)過n次操作可生成數(shù)列Sn.如數(shù)列S0：（5，﹣2，3，﹣2，2），經(jīng)過一次變換生成新數(shù)列S1：（1，2，1，2，1），經(jīng)過二次變換生成新數(shù)列S2：（3，2，3，2，3）．……以下說法，正確的個數(shù)是（）①數(shù)列S0（2，﹣5，﹣3，﹣2，2），經(jīng)過一次變換生成新數(shù)列S1：（2，1，1，1，2）；②至少存在一個數(shù)列S0經(jīng)過n（n≥2）次變換生成新數(shù)列Sn：（1，3，2，1，1）；③所有數(shù)列S0經(jīng)有限次變換都能得到數(shù)列Sn（n≥1）與數(shù)列Sn+1相同，且數(shù)列Sn共有15種不同的結(jié)果．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）計算：＝．12．（4分）已知菱形的邊長是4cm，則菱形的周長是cm．13．（4分）蘇州素有“園林之城”的美譽，其四大名園：滄浪亭、獅子林、拙政園、留園，分別代表著宋、元、明、清四個朝代的藝術(shù)風格．小明一家準備五一節(jié)期間前往蘇州游玩，他們想在四大名園中任意選擇兩個名園游玩，則選到拙政園和留園的概率是．14．（4分）某小區(qū)新增了一家快遞店，據(jù)統(tǒng)計第一天攬件216件，第三天攬件253件．若設(shè)第二天，則可列方程為．15．（4分）如圖，△PMN中，∠MPN＝90°，若點P的坐標為（1，0），點N的坐標為（4，6）．16．（4分）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，BO長為半徑畫弧交AB于點E，交BC于點F，DO長為半徑畫弧交AD于點H，交DC于點G．若AB＝4.（結(jié)果保留π）17．（4分）如果關(guān)于x的分式方程有非負整數(shù)解，且關(guān)于y的不等式組，那么符合條件的所有整數(shù)a的值之和為．18．（4分）若一個四位正整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0，其千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字相同，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同，則稱該數(shù)為凹對稱數(shù)．如：四位數(shù)3223是凹對稱數(shù)，四位數(shù)5323，最小的凹對稱數(shù)是；將凹對稱數(shù)m的千位和個位上的數(shù)字分別與百位和十位上的數(shù)字對調(diào)得到的數(shù)m'稱為m的凸對稱數(shù)．已知凹對稱數(shù)n＝1000x+100y+10y+x的凸對稱數(shù)為n'．設(shè)，，若F（M）被5除余2（N）﹣F（M）+18x＝36．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（8分）計算：（1）（a﹣1）（a+3）+a（a﹣2）；（2）．20．（10分）學習了等腰三角形后，小雯在用尺規(guī)作等腰三角形頂角的角平分線時，發(fā)現(xiàn)這條角平分線與底邊的交點到兩腰中點的距離相等．她的解題思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：如圖，用直尺和圓規(guī)作∠BAC的平分線交BC于點D，連接DE（要求：只保留作圖痕跡）已知：如圖，等腰△ABC中，AD平分∠BAC，E，F(xiàn)分別是AB證明：∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴，．∵AB＝AC，∴①．∵AD平分∠BAC，∴②．∵AD＝AD，∴△ADE≌③（SAS）．∴DE＝DF．小雯進一步研究，發(fā)現(xiàn)角平分線AD上任意一點均有此特征．請你依照題意補全命題：等腰三角形的頂角平分線上的點④．21．（10分）春晚吉祥物“龍辰辰”發(fā)布后，某超市及時訂購了甲、乙兩種型號的“龍辰辰”布偶．已知用440元購進甲的數(shù)量是用180元購進乙的數(shù)量的2倍，每件甲的進價比乙多8元．（1）求甲、乙兩種型號每件進價分別是多少元？（2）該超市共購進甲、乙兩種布偶200個，然后將甲、乙的售價分別定價為60元和50元，全部銷售完后共獲利3040元22．（10分）某校有甲、乙兩個校區(qū)，其中初三年級甲校區(qū)有250名學生，乙校區(qū)有350名學生．兩個校區(qū)所有初三學生都參加了中招模擬體測．為了解模擬體測成績情況，對他們本次成績進行了收集、整理、描述和分析．成績（均為整數(shù)，單位：分）分成4個等級；中等：35≤x＜40；良好：40≤x＜45甲校區(qū)成績優(yōu)秀等級統(tǒng)計表分數(shù)47484950人數(shù)31078乙校區(qū)成績優(yōu)秀等級統(tǒng)計表分數(shù)454647484950人數(shù)3223146兩個校區(qū)成績分析表校區(qū)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差滿分率甲46.248a20.21m%乙46.2b4920.9815%根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝，b＝，m＝；（2）你認為哪個校區(qū)本次體測成績更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）估計本次體測成績?yōu)闈M分的人數(shù)約有多少人？（結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）23．（10分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，動點P從點C出發(fā)，設(shè)點P移動的路程為x，△ACP的面積為y．（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象，并寫出它的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出△ACP的面積為3時x的值．24．（10分）如圖，小敏家A和快遞店C分別位于小區(qū)大門B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西53°方向，且在快遞店C的北偏西30°方向上．（1）求超市D到直線AB的距離；（2）已知由大門B出發(fā)經(jīng)過快遞點C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快遞點C的路線有兩條：①A→D→C；②A→B→C．請計算說明哪條路線短？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（4，0）（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）線段DE位于第四象限，且在線段BC上移動，EF∥y軸交拋物線于點F，求△DEF的面積的最大值，及此時點E的坐標；（3）將該拋物線沿射線CB方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中△DEF的面積取得最大值時對應(yīng)的點E處，當∠PEK和∠PKE中，其中一個角與∠ACB相等時，并寫出其中一個點的求解過程．26．（10分）已知△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于點D，BD與CE交于點F．（1）如圖1，求證：AE＝EF；（2）如圖2，EG∥AC，且∠CGE＝45°，CD，CG之間有何數(shù)量關(guān)系；（3）若，，點P是AB邊上一動點（點P與點E重合除外），連接FP，連接BF'，CE'．當BF'最小時的值．

2024年重慶市渝中區(qū)中考數(shù)學二調(diào)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）實數(shù)﹣2的倒數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【解答】解：實數(shù)﹣2的倒數(shù)是：﹣．故選：D．2．（4分）兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比為2：3，則它們的面積比為（）A．2：3 B． C．3：2 D．4：9【解答】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)高之比為2：3，∴它們的相似比為2：3，∴面積比＝（）2＝4：8．故選：D．3．（4分）如圖，日晷是我國古代的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成當太陽光照在日晷上時，晷針的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一時間．晷針在晷面上形成的投影是（）A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．無法確定【解答】解：晷針在晷面上形成的投影是平行投影．故選：A．4．（4分）如圖是光的反射定律示意圖，PO，OQ，反射光線和法線．若∠POM＝2∠POB，則∠AOQ的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．30° D．36°【解答】解：根據(jù)光的反射定律可知，∠POM＝∠MOQ，∵∠POB+∠POM＝90°，∠MOQ+∠AOQ＝90°，∴∠POB＝∠AOQ，∵∠POM＝2∠POB，∠POB+∠POM＝90°，∴3∠POB＝90°，∴∠POB＝30°，∴∠AOQ＝30°．故答案為：C．5．（4分）估計的值應(yīng)在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【解答】解：＝＝，∵，即，∴，∴的值應(yīng)在：3和5之間，故選：B．6．（4分）觀察下列圖案，第①個圖案有4個正六邊形，第②個圖案有7個正六邊形，第④個圖案有13個正六邊形，……，第⑨個圖案中含有的正六邊形個數(shù)為（）A．25 B．28 C．31 D．34【解答】解：觀察圖案可知，第①個圖案有4個正六邊形，即4＝6；第②個圖案有7個正六邊形，即7＝4+3×1；第③個圖案有10個正六邊形，即10＝3+3×2；第④個圖案有13個正六邊形，即13＝8+3×3；……，按此規(guī)律，第n個圖案中含有的正六邊形個數(shù)為：7+3（n﹣1），第⑨個圖案中含有的正六邊形個數(shù)為：8+3×8＝28（個），故選：B．7．（4分）如圖①，將A4紙（矩形PQMN）沿QE折疊1落在QM上．如圖②，再沿∠EQM的角平分線QF折疊，發(fā)現(xiàn)點E剛好與點M重合（）A． B． C． D．【解答】解：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠P＝∠PQM＝∠M＝∠N＝90°，∵將矩形PQMN沿QE折疊，點P的對應(yīng)點P1落在QM上，∴∠EP1Q＝∠P＝90°，P6Q＝PQ，∴∠MP1E＝90°，∴四邊形PQP1E和四邊形EP4MN都是矩形，PQ＝P1E＝MN，∴P1Q＝P3E，∴EQ＝＝P4E＝MN，如圖②，∵沿∠EQM的角平分線QF折疊，∴EQ＝MQ，∴MQ＝MN，∴＝＝，即MQ：MN＝，∴A4紙的長與寬的比為：3，故選：A．8．（4分）如圖，∠ABC的邊BA經(jīng)過點O且與⊙O相交于點E，F(xiàn)，BC與⊙O相切于點D．若∠ABC＝m°（）A．（180﹣3m）° B．（90﹣2m）° C． D．【解答】解：連接OD，∵BC與⊙O相切于點D，∴∠ODB＝90°，∵∠ABC＝m°，∴∠BOD＝90°﹣m°，∵OF＝OD，∴∠OFD＝∠ODF＝＝45，∴∠FDC＝∠OFD+∠ABC＝45m°+m°＝45°+，故選：D．9．（4分）如圖，直線y＝﹣2x與雙曲線交于點P和點Q，且MP⊥MQ，若△PMQ的面積為（）A． B． C．﹣8 D．﹣4【解答】解：設(shè)P（x，﹣2x）＝﹣x，∵點M為x軸上一點，∠PMQ＝90°，∴OM＝OP＝OQ＝﹣x，∴S△POM＝S△PMQ＝＝4，∵，∴，解得x＝﹣2或+7（舍去），∴P（﹣2，4）．∵P點在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝﹣5．故選：C．10．（4分）對一個由5個數(shù)組成的數(shù)列S0，將其中的每個數(shù)換成該數(shù)在S0中出現(xiàn)的次數(shù)，可生成一個新數(shù)列S1，稱為一次變換．將數(shù)列S1重復上述操作可生成新數(shù)列S2，稱為二次變換．按照此方法經(jīng)過n次操作可生成數(shù)列Sn.如數(shù)列S0：（5，﹣2，3，﹣2，2），經(jīng)過一次變換生成新數(shù)列S1：（1，2，1，2，1），經(jīng)過二次變換生成新數(shù)列S2：（3，2，3，2，3）．……以下說法，正確的個數(shù)是（）①數(shù)列S0（2，﹣5，﹣3，﹣2，2），經(jīng)過一次變換生成新數(shù)列S1：（2，1，1，1，2）；②至少存在一個數(shù)列S0經(jīng)過n（n≥2）次變換生成新數(shù)列Sn：（1，3，2，1，1）；③所有數(shù)列S0經(jīng)有限次變換都能得到數(shù)列Sn（n≥1）與數(shù)列Sn+1相同，且數(shù)列Sn共有15種不同的結(jié)果．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：①數(shù)列S0（2，﹣7，﹣2，經(jīng)過一次變換生成新數(shù)列S1：（4，1，1，2，2）；②設(shè)數(shù)列S0（6，﹣5，﹣2n，若Sn＝（6，3，2，3，1）1中8的個數(shù)1+3+2+1+1＝2，而S1中1的個數(shù)應(yīng)為S4中1的個數(shù)與2的個數(shù)之和，即S2中1的個數(shù)是2+5＝4，故②錯誤；③若數(shù)列S0經(jīng)有限次變換都能得到數(shù)列Sn（n≥3）與數(shù)列Sn+1相同，則數(shù)列Sn中1的個數(shù)與S2中1的個數(shù)相同，數(shù)列Sn中2的個數(shù)與S3中2的個數(shù)相同，數(shù)列Sn中3的個數(shù)與S8中3的個數(shù)相同，???數(shù)列Sn中n的個數(shù)與S0中n的個數(shù)相同，即數(shù)列Sn與數(shù)列S7完全相同，所以數(shù)列Sn與數(shù)列Sn+1完全相同，所以Sn共有15種不同的結(jié)果．故③正確．故選：C．二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）計算：＝1．【解答】解：＝3﹣8＝1，故答案為：1．12．（4分）已知菱形的邊長是4cm，則菱形的周長是16cm．【解答】解：∵菱形的邊長是4cm，菱形的四邊相等，∴菱形的周長＝4×6＝16（cm），故答案為：16．13．（4分）蘇州素有“園林之城”的美譽，其四大名園：滄浪亭、獅子林、拙政園、留園，分別代表著宋、元、明、清四個朝代的藝術(shù)風格．小明一家準備五一節(jié)期間前往蘇州游玩，他們想在四大名園中任意選擇兩個名園游玩，則選到拙政園和留園的概率是．【解答】解：列表如下：滄浪亭獅子林拙政園留園滄浪亭（滄浪亭，獅子林）（滄浪亭，拙政園）（滄浪亭，留園）獅子林（獅子林，滄浪亭）（獅子林，拙政園）（獅子林，留園）拙政園（拙政園，滄浪亭）（拙政園，獅子林）（拙政園，留園）留園（留園，滄浪亭）（留園，獅子林）（留園，拙政園）共有12種等可能的結(jié)果，其中選到拙政園和留園的結(jié)果有：（拙政園，（留園，共2種，∴選到拙政園和留園的概率是＝．故答案為：．14．（4分）某小區(qū)新增了一家快遞店，據(jù)統(tǒng)計第一天攬件216件，第三天攬件253件．若設(shè)第二天，則可列方程為216（1+x）2＝253．【解答】解：∵第一天攬件216件，第三天攬件253件，∴216（1+x）2＝253，故答案為：216（4+x）2＝253．15．（4分）如圖，△PMN中，∠MPN＝90°，若點P的坐標為（1，0），點N的坐標為（4，6）（﹣5，3）．【解答】解：如圖，過點M作MA⊥AB于點A，∴∠MAP＝∠PBN＝90°，∴∠AMP+∠MPA＝90°，又∵∠MPN＝90°，∴∠MPA+∠NPB＝90°，∴∠AMP＝∠NPB，在△AMP與△BPN中，，∴△AMP≌△BPN（AAS），∴AM＝PB，AP＝BN，∵點P的坐標為（1，0），8），∴AP＝BN＝6，AM＝BP＝4﹣8＝3，∴OA＝AP﹣OP＝6﹣3＝5，∴M（﹣5，4），故答案為：（﹣5，3）．16．（4分）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，BO長為半徑畫弧交AB于點E，交BC于點F，DO長為半徑畫弧交AD于點H，交DC于點G．若AB＝416﹣4π.（結(jié)果保留π）【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，BD＝AC＝＝，∴OB＝OD＝＝，∴圖中陰影部分的面積為：＝16﹣7π．故答案為：16﹣4π．17．（4分）如果關(guān)于x的分式方程有非負整數(shù)解，且關(guān)于y的不等式組，那么符合條件的所有整數(shù)a的值之和為﹣4．【解答】解：將關(guān)于x的分式方程的兩邊都乘以x﹣2，得a﹣3（x﹣4）＝﹣x，解得x＝，∵關(guān)于x的分式方程有非負整數(shù)解，∴a+7≥0且a為偶數(shù)，即a≥﹣6的偶數(shù)，由于分式方程的增根為x＝3，當x＝2時，即＝2，因此a≠﹣2，解關(guān)于y的不等式a﹣4y≤1﹣2y，得y≥a﹣2，解關(guān)于y的不等式＞6+y，由于關(guān)于y的不等式組的解集是y＞6，所以a﹣1≤3，即a≤7，所以﹣6≤a≤4的偶數(shù)且a≠2，所以符合條件的所有整數(shù)a的值之和﹣6﹣4+7+2+4＝﹣2．故答案為：﹣4．18．（4分）若一個四位正整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0，其千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字相同，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同，則稱該數(shù)為凹對稱數(shù)．如：四位數(shù)3223是凹對稱數(shù)，四位數(shù)5323，最小的凹對稱數(shù)是1001；將凹對稱數(shù)m的千位和個位上的數(shù)字分別與百位和十位上的數(shù)字對調(diào)得到的數(shù)m'稱為m的凸對稱數(shù)．已知凹對稱數(shù)n＝1000x+100y+10y+x的凸對稱數(shù)為n'．設(shè)，，若F（M）被5除余2（N）﹣F（M）+18x＝363223或5335．【解答】解：∵n＝1000x+100y+10y+x，∴n′＝1000y+100x+10x+y，∴＝＝9x﹣9y，設(shè)m＝1000a+100b+10b+a（a＞b，a，b均為大于或等于6且小于或等于9的整數(shù)），則m′＝1000b+100a+10a+b，∴F（M）＝＝9a﹣3b＝9（a﹣b）．∵F（M）被5除余2，∴F（M）的個位的數(shù)字為2或7，∵a＞b，a，b均為大于或等于8且小于或等于9的整數(shù)，∴a﹣b＝3或a﹣b＝5，∴F（M）＝27或72．∵F（N）﹣F（M）+18x＝36，∴9x﹣9y﹣27+18x＝36或8x﹣9y﹣72+18x＝36，∴3x﹣y＝8或3x﹣y＝12．∴x＝或x＝．∵x＞y，x，y均為大于或等于1且小于或等于6的整數(shù)，∴x＝3，y＝2或x＝7．∴凹對稱數(shù)n的值是3223或5335．故答案為：3223或5335．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（8分）計算：（1）（a﹣1）（a+3）+a（a﹣2）；（2）．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+3）+a（a﹣5）＝a2+3a﹣a﹣8+a2﹣2a＝2a2﹣3；（2）＝?＝．20．（10分）學習了等腰三角形后，小雯在用尺規(guī)作等腰三角形頂角的角平分線時，發(fā)現(xiàn)這條角平分線與底邊的交點到兩腰中點的距離相等．她的解題思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：如圖，用直尺和圓規(guī)作∠BAC的平分線交BC于點D，連接DE（要求：只保留作圖痕跡）已知：如圖，等腰△ABC中，AD平分∠BAC，E，F(xiàn)分別是AB證明：∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴，．∵AB＝AC，∴AE＝AF①．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD②．∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF③（SAS）．∴DE＝DF．小雯進一步研究，發(fā)現(xiàn)角平分線AD上任意一點均有此特征．請你依照題意補全命題：等腰三角形的頂角平分線上的點到兩腰中點的距離相等④．【解答】解：補全圖形如下：證明：∵E，F(xiàn)分別是AB，∴，．∵AB＝AC，∴AE＝AF①．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD②．∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF③（SAS）．∴DE＝DF．依照題意補全命題：等腰三角形的頂角平分線上的點到兩腰中點的距離相等④．故答案為：AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，到兩腰中點的距離相等．21．（10分）春晚吉祥物“龍辰辰”發(fā)布后，某超市及時訂購了甲、乙兩種型號的“龍辰辰”布偶．已知用440元購進甲的數(shù)量是用180元購進乙的數(shù)量的2倍，每件甲的進價比乙多8元．（1）求甲、乙兩種型號每件進價分別是多少元？（2）該超市共購進甲、乙兩種布偶200個，然后將甲、乙的售價分別定價為60元和50元，全部銷售完后共獲利3040元【解答】解：（1）甲種型號每件進價是x元，則乙種型號每件進價是（x﹣8）元，由題意得：＝2×，解得：x＝44，經(jīng)檢驗，x＝44是原方程的解，∴x﹣8＝44﹣8＝36，答：甲種型號每件進價是44元，乙種型號每件進價是36元；（2）設(shè)購進甲種型號布偶y個，則購進乙種型號布偶（200﹣y）個，由題意得：（60﹣44）y+（50﹣36）（200﹣y）＝4＝3040，解得：y＝120，答：購進甲種型號布偶120個．22．（10分）某校有甲、乙兩個校區(qū)，其中初三年級甲校區(qū)有250名學生，乙校區(qū)有350名學生．兩個校區(qū)所有初三學生都參加了中招模擬體測．為了解模擬體測成績情況，對他們本次成績進行了收集、整理、描述和分析．成績（均為整數(shù)，單位：分）分成4個等級；中等：35≤x＜40；良好：40≤x＜45甲校區(qū)成績優(yōu)秀等級統(tǒng)計表分數(shù)47484950人數(shù)31078乙校區(qū)成績優(yōu)秀等級統(tǒng)計表分數(shù)454647484950人數(shù)3223146兩個校區(qū)成績分析表校區(qū)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差滿分率甲46.248a20.21m%乙46.2b4920.9815%根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝48，b＝48.5，m＝20；（2）你認為哪個校區(qū)本次體測成績更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）估計本次體測成績?yōu)闈M分的人數(shù)約有多少人？（結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）【解答】解：（1）由題意得，a＝48＝48.5＝20．故答案為：48，48.5；（2）我認為甲校區(qū)本次體測成績更好，理由如下：因為兩個校區(qū)的平均數(shù)相同，但甲校區(qū)的方差比乙校區(qū)小，所以甲校區(qū)本次體測成績更好（答案不唯一）；（3）250×20%+350×15%≈103（人），答：估計本次體測成績?yōu)闈M分的人數(shù)約有103人．23．（10分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，動點P從點C出發(fā)，設(shè)點P移動的路程為x，△ACP的面積為y．（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象，并寫出它的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出△ACP的面積為3時x的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，∴AB＝5，當4≤x≤4時，y＝×3x，當4＜x≤7時，過點P作PF⊥AC，則AP＝9﹣x，∵∠C＝90°，∴PF∥BC，∴△APF∽△ABC，∴＝，即，解得PF＝，∴y＝×5×x+，綜上所述，y＝；（2）如圖所示：（3）當y＝7時，x＝8；＝3，解得x＝．∴y＝3時，x的值為2或．24．（10分）如圖，小敏家A和快遞店C分別位于小區(qū)大門B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西53°方向，且在快遞店C的北偏西30°方向上．（1）求超市D到直線AB的距離；（2）已知由大門B出發(fā)經(jīng)過快遞點C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快遞點C的路線有兩條：①A→D→C；②A→B→C．請計算說明哪條路線短？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，【解答】解：（1）過點D作DE⊥AB，垂足為E，在Rt△AED中，AD＝500米，∴DE＝AD?sin53°≈500×0.8＝400（米），∴超市D到直線AB的距離約為400米；（2）路線①短，理由：延長CN交DE于點F，由題意得：CF⊥DE，CF＝BE，DC+BC＝500米，∴∠DFC＝90°，∵∠DCF＝30°，∴CD＝8DF，設(shè)BC＝EF＝x米，則CD＝（500﹣x）米，∵DE＝400米，∴DF＝DE﹣EF＝（400﹣x）米，∴500﹣x＝2（400﹣x），解得：x＝300，∴BC＝300米，CD＝200米，∴CF＝BE＝＝＝100，在Rt△AED中，AD＝500米，∴AE＝AD?cos53°≈500×4.6＝300（米），∴AB＝AE+BE＝（300+100）米，∴路線①的總路程＝AD+CD＝500+200＝700（米），路線②的總路程＝AB+BC＝300+100+300≈773（米），∵700米＜773米，∴路線①短．25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（4，0）（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）線段DE位于第四象限，且在線段BC上移動，EF∥y軸交拋物線于點F，求△DEF的面積的最大值，及此時點E的坐標；（3）將該拋物線沿射線CB方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中△DEF的面積取得最大值時對應(yīng)的點E處，當∠PEK和∠PKE中，其中一個角與∠ACB相等時，并寫出其中一個點的求解過程．【解答】解：（1）由題意得，拋物線的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x7﹣2x﹣8）＝ax4﹣2ax﹣8a＝ax7+bx﹣4，則﹣8a＝﹣4，解得：a＝，則拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣2；（2）由點B、C的坐標知，則直線BC和x軸坐標軸的夾角為45°，∵DE＝，則D、E的橫坐標差為1，故設(shè)點M（m，m﹣2），m﹣3），則點F（m+1，m2﹣），則△DEF的面積＝×EF×（xE﹣xD）＝×（m﹣3﹣m8+）×5＝m2+m+），∵＜5，當m＝1時，△DEF的面積的最大值為1，﹣5），（3）由點A、B、C的坐標得，AB＝6，BC＝4，則S△ABC＝AB×OC＝，即6×4＝×BH，解得：BH＝，則sin∠ACB＝＝，則tan∠ACB＝3；∵拋物線沿射線CB方向平移，故設(shè)拋物線向右平移m個單位、向上平移m個單位符合題意，則新拋物線的表達式為：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）﹣3+m，將點E的坐標代入上式得：﹣2＝（2﹣m）2﹣（4﹣m）﹣4+m，解得：m＝﹣2（舍去）或4，則新拋物線的表達式為：y＝x7﹣3x+2，由點C、E的坐標得，由直線BC的表達式知，∠OCE＝45°，當∠PEK＝∠ACB時，即tan∠PEK＝tan∠ACB＝3，設(shè)直線PE交y軸于點N，作NH⊥CE于點H，在△NEC中，tan∠PEK＝3，故設(shè)NH＝6x＝CH，則HE＝xx，則CE＝3x+