2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第一章第11節(jié)原函數(shù)構(gòu)造與“大同小異”教師版

原函數(shù)構(gòu)造與“大同小異”學(xué)問(wèn)與方法1.本節(jié)主要解決導(dǎo)函數(shù)不等式問(wèn)題，題干通常會(huì)給出一個(gè)與有關(guān)的不等式，讓我們求解一個(gè)與有關(guān)的不等式.這類題平常考試很常見，但真題考得不算多.解題的常規(guī)方法有構(gòu)造法和特例法兩種，常見的構(gòu)造歸納如下：已知的不等式中所含結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)的方向，，，，，，，，提示：中學(xué)并沒(méi)有系統(tǒng)性地學(xué)習(xí)不定積分，高考對(duì)求導(dǎo)逆運(yùn)算（構(gòu)造原函數(shù)）的要求并不高，不須要鉆研一些特殊困難的構(gòu)造，駕馭常見的幾種構(gòu)造形式即可.2.導(dǎo)函數(shù)不等式問(wèn)題除了有上述常規(guī)方法外，有時(shí)也可以采納“大同小異”的方法取巧舉個(gè)例子，假設(shè)題干給出，讓我們求解不等式，則可以按以下步驟操作：（1）第一步，在這個(gè)已知條件中，在保證的系數(shù)為正的條件下（若為負(fù)，可先移項(xiàng)使其為正)，不等號(hào)是“>”，則“大同”；（2）其次步，干脆將后面的干脆丟掉，變成；（3）第三步，依據(jù)第一步得出的“大同”，將其變成；（4）第四步，解不等式得出即為本題答案.提示：①若在上述例子中，將已知條件由改為，則屬于“小異”的狀況，那么在處理不等式的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)將其變成，從而解得結(jié)果.須要留意的是這一解題過(guò)程并不嚴(yán)密，屬于閱歷方法，不保證結(jié)果肯定正確，在考試時(shí)若想不到如何構(gòu)造原函數(shù)，或者沒(méi)有時(shí)間具體思索了，可以考慮這樣做.至于為什么這樣做大多數(shù)狀況下都是對(duì)的，去看看本節(jié)的視頻吧；②若讓我們求解的與有關(guān)的不等式中只有1個(gè)函數(shù)值，那么題干的條件中通常會(huì)給出另一個(gè)函數(shù)值，此時(shí)干脆利用另一個(gè)已知的函數(shù)湊成函數(shù)值不等式即可；③若給出為奇函數(shù)，則不等式和的解集具有“相反拼接性”，若給出為偶函數(shù)，則不等式和的解集具有“原點(diǎn)對(duì)稱性”，如下圖所示. 典型例題【例1】函數(shù)的定義域?yàn)镽，若，則不等式的解集為________.【解析】解法1：設(shè)，則，所以在R上，而，所以，從而，解得：.解法2：設(shè)，不難發(fā)覺(jué)，滿意題干全部條件，代入可得，整理得：，解得：.解法3（大同小異法）：第一步，，屬于“小異”的情形；其次步，將中的扔掉變成；第三步，依據(jù)第一步得出的“小異”，將再變成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】變式1函數(shù)的定義域?yàn)镽，若，且，則不等式的解集為________.【解析】解法1：設(shè)，則，所以在R上，，從而，所以，故，解得：.解法2：設(shè)，不難發(fā)覺(jué)，滿意題干全部條件，代入可得，整理得，解得：.解法3（大同小異法）：第一步，，屬于“小異”的情形；其次步，結(jié)合題干的將干脆變成；第三步，依據(jù)第一步得出的“小異”，將再變成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】變式2函數(shù)的定義域?yàn)?，且恒成立，則不等式的解集為________.【解析】解法l：設(shè)，則由題意，，所以在上，而，所以，從而，再考慮定義域的要求，應(yīng)有，所以，從而.解法2：設(shè)，不難驗(yàn)證滿意題干全部條件，代入可得，解得：，再考慮定義域的要求，應(yīng)有，所以，從而.解法3（大同小異法）：第一步，，因?yàn)?，所以，從而本題屬于“大同”的情形；其次步，將變形成，留意到，所以將其變形成；第三步，依據(jù)第一步得出的“大同”，將變成；第四步，解上面的不等式可得；再考慮定義域的要求，應(yīng)有，所以，從而.【答案】【反思】①在運(yùn)用大同小異法時(shí)，若所給的含有的不等式中，的系數(shù)為負(fù)，則須要先將其變成正的，再來(lái)看是“大同”還是“小異”；②在要求解的不等式中，也要保證兩個(gè)函數(shù)的系數(shù)為正，若都為負(fù)，則化為函數(shù)值的大小時(shí)不等號(hào)要反向.【例2】定義在R上的偶函數(shù)滿意當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為________.【解析】解法1：設(shè)，則也是偶函數(shù)，，且與同號(hào)，當(dāng)時(shí)，，所以在上，從而函數(shù)的草圖如圖，故或或.解法2：當(dāng)時(shí)，可設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干條件，此時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，由偶函數(shù)的對(duì)稱性知，故原不等式的解集為.解法3（大同小異法）：先考慮的情形，第一步，，屬于“大同”的情形；其次步，結(jié)合題干的可干脆變成；第三步，進(jìn)而依據(jù)第一步得出的“大同”將其變成，據(jù)此結(jié)合為偶函數(shù)可得的大致圖象如圖；再考慮的情形，此時(shí)，，由圖可知，，綜上所述，不等式的解集為.【答案】變式定義在R上的函數(shù)滿意當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【解析】解法1：令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，從而在上，故，所以，從而，故選A.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干條件，，故選A.【答案】A【例3】定義在R上的奇函數(shù)滿意當(dāng)時(shí)，，且，則使成立的x的取值范圍為________.【解析】解法1：設(shè)，則，由題意，當(dāng)時(shí)，，所以，從而在上，為奇函數(shù)為偶函數(shù)，故在上，又，所以函數(shù)的草圖如圖所示，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以使成立的x的取值范圍為.解法2：當(dāng)時(shí)，設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干條件，，由奇函數(shù)的對(duì)稱性知當(dāng)時(shí)，，所以使成立的x的取值范圍為.解法3（大同小異法）：先考慮的情形，，屬于“大同”的情形；其次步，結(jié)合將變成；第三步，依據(jù)第一步的“大同”，將變成，所以；再考慮的情形，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，由奇函數(shù)的“相反拼接性”可得，所以使成立的x的取值范圍為.【答案】變式定義在上的函數(shù)滿意，則（）A. B.C. D.【解析】解法1：設(shè)，則，從而是上的增函數(shù)，所以，即，從而，故選A.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意，代入選項(xiàng)知選A.【答案】A【例4】函數(shù)滿意，，且，則不等式的解集為________.【解析】解法1：設(shè)，則，所以在R上，且，從而解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干條件，代入可得，所以.解法3（大同小異法）：第一步，，屬于“大同”的情形；其次步，結(jié)合題干的，將變形成；第三步，依據(jù)第一步的“大同”將再變形成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】變式函數(shù)滿意對(duì)隨意的，都有，則（）A. B. C. D. 【解析】解法1：，設(shè)，則，所以在R上，從而，故，化簡(jiǎn)得：，故選B.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干全部條件，此時(shí)，，故選B.【答案】B【例5】定義在上的函數(shù)滿意恒成立，且，則不等式.的解集為________.【解析】解法1：，設(shè)，則，故在上，留意到，所，從而，故.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干全部條件，代入可得，因?yàn)?，所以，從而，故·解?（大同小異法）：第一步，，且當(dāng)時(shí)，，屬于“大同”的情形；其次步，依據(jù)已知的，將干脆變形成；第三步，依據(jù)第一步的“大同”將變成，結(jié)合可得.【答案】變式定義在上的函數(shù)滿意恒成立，則（）A. B.C. D.【解析】解法1：設(shè)，則，因?yàn)椋?，從而在上，所以，從而，化?jiǎn)得：.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干全部條件，代入選項(xiàng)知選A.【答案】A強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，且，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A. B. C. D.【解析】解法1：設(shè)，則由題意，，所以在R上，且，所以解法2：設(shè)，則，，滿意題干全部條件，此時(shí)即為，也即，結(jié)合可解得：.解法3（大同小異法）：第一步，，屬于“大同”的情形；其次步，結(jié)合將變成；第三步，依據(jù)第一步的“大同”將變成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】C2.（★★★）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，且，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為________.【解析】解法1：設(shè)，則在R上，，所以.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干全部條件，此時(shí)，.解法3（大同小異法）：第一步，，屬于“大同”的情形；其次步，結(jié)合將變形成，第三步，依據(jù)第一步的“大同”將變成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】3.（2015·新課標(biāo)Ⅱ卷·★★★★）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【解析】解法1：令，為奇函數(shù)為偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，在上，由對(duì)稱性知在上，結(jié)合可作出的草圖如圖1，下面據(jù)此求解不等式，當(dāng)時(shí)，，由圖可知，，當(dāng)時(shí)，，由圖可知，，綜上所述，使得成立的x的取值范圍是.解法2：當(dāng)時(shí)，可取，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題意，結(jié)合為奇函數(shù)可作出其草圖如圖2，由圖可知，使得成立的x的取值范圍是.解法3（大同小異法）：先考慮的情形，第一步，，屬于“小異”的情形；其次步，為奇函數(shù)且，可據(jù)此將變形成；第三步，依據(jù)第一步的“小異”將變成，所以；由奇函數(shù)“相反拼接性”可得當(dāng)時(shí)，不等式的解為，從而使得成立的x的取值范圍是.【答案】A【反思】這道題是2015年新課標(biāo)Ⅱ卷理科選擇題第12題，即使是選擇壓軸題，所考查的也就是簡(jiǎn)潔結(jié)構(gòu)的原函數(shù)構(gòu)造，由此可見高考對(duì)構(gòu)造原函數(shù)的要求不高，在復(fù)習(xí)時(shí)我們以駕馭一些常見的構(gòu)造為主.4.（★★★★）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍是________.【解析】解法1：設(shè)，則為偶函數(shù)，且，由題意，當(dāng)時(shí)，，所以，故在上，由偶函數(shù)的對(duì)稱性知在上，又，所以函數(shù)的草圖如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，使得成立的x的取值范圍是.解法2（大同小異法）：先考慮的情形，第一步，，屬于“小異”的情形；其次步，為奇函數(shù)且，可據(jù)此將變形成；第三步，依據(jù)第一步的“小異”將變成，所以；由奇函數(shù)“相反拼接性”可得當(dāng)時(shí)不等式的解為，從而使得成立的x的取值范圍是.【答案】5.（★★★）定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿意當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為________.【解析】解法1：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在R上，又，所以，故.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干全部條件，此時(shí)，.解法3（大同小異法）：第一步，，屬于“大同”的情形；其次步，依據(jù)將干脆變形成；第三步，依據(jù)第一步的“大同”將變成；第四步，解上面的不等式可得.【答案】6.（★★★）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿意，且，則不等式的解集為________.【解析】解法1：設(shè)，則由題意，，所以在上，又，所以，從而.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干全部條件，此時(shí)，.解法3（大同小異法）：第一步，，屬于“大同”的情形；其次步，依據(jù)將變形成；第三步，依據(jù)第一步的“大同”將變成；所以不等式的解集為.【答案】7.（★★★）定義在R上的函數(shù)滿意，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【解析】解法1：設(shè)，則，所以在R上，又，所以，從而.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干全部條件，此時(shí)即為，解得：.解法3（大同小異法）：第一步，，屬于“大同”的情形；其次步，依據(jù)將變形成；第三步，依據(jù)第一步的“大同”將變成，故選A.【答案】A8.（★★★）定義在上的函數(shù)滿意，且，則不等式的解集為________.【解析】解法1：設(shè)，則由題意，，所以在上，又，所以，從而，故，解得：，所以不等式的解集為.解法2：設(shè)，簡(jiǎn)潔驗(yàn)證滿意題干全部條件，代入可