高中數(shù)學-求曲線方程（一）教學設計學情分析教材分析課后反思

課標分析

高中數(shù)學新課標指出：“高中數(shù)學課提倡體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”這一基本理念。

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的一門學科，”解析幾何研究的主要問題

就體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要思想方法。解析幾何里用坐標法研究曲線的一般程序是：建立適當

的坐標系;求出曲線的方程;利用方程討論曲線的幾何性質；說明這些性質在實際中的應用。

因此求曲線的方程突出了坐標法的重要性，重視數(shù)學思想方法的教學。我們應結合教學內容,

把反映出來的數(shù)學思想方法的教學，作為高中數(shù)學教學的一項重要任務來完成，

學情分析

上節(jié)課學習了“曲線的方程和方程的曲線”后，學生對這種必須同時具備純

粹性和完備性的概念有了初步的認識，對用代數(shù)方法研究幾何問題的科學性、準

確性和優(yōu)越性等已有了初步了解，對具體(平面)圖形與方程間能否對應、怎樣

對應的學習已經(jīng)有了自然的求知欲望.

由于學生數(shù)學基礎不太好，思維不夠活躍，課堂中需要放慢速度，讓學生真

正體會求曲線方程實質上就是求曲線上任意一點(x,y)橫縱坐標間的等量關系，

積極探究求曲線方程的核心方法。

求曲線的方程評測練習

班級姓名

1.已知力(2,5)、6(3,-1),則線段的方程是()

A.6x+y—17=0B.6x+y—17=0(x23)

C.6x+y-17=0(xW3)D.6x+y-17=0(2WxW3)

2.到點(一1,—2)的距離等于3的動點〃的軌跡方程是()

A.(x+1)-+(y+2)2=3B.(x+l)~+(y+2)'=9

C.(^-l)2+(y-2)2=3D.U-l)2+(y-2)2=9

3.已知4(一1,0),8(1,0),且加?礪=0,則動點"的軌跡方程是()

A./+/=1B.x+y=2

C.x+y=1±1)D.半+/=2(王/土地)

4.等腰直角三角形底邊兩端點是A(-2,0),B(l,0),頂點C的軌跡是

(A)一條直線(B)一條直線去掉一個點(C)一個點(D)兩個點

5.若/ABC的頂點A(l,l),B(3,6),且面積為3,則頂點C的軌跡方程為

(A)5x-2y+3=0(B)5x-2y-9=0(C)5x-2y+3=0或5x-2y-9=0(D)5x+2y-9=0

6.動點P到y(tǒng)軸的距離等于它到點Q(3,0)的距離，動點P的軌跡方程為

(A)x2+y2-7x+9=0(B)x2+y2-6x+10=0(C)y2+6x-9=0(D)y2-6x+9=0

7、一個動點到直線x=8的距離是它到點4(2,0)的距離的2倍，求動點的軌跡

方程.

8、已知平面上有兩定點A,B,|A5|=2a(a>0),平面上一動點M到A,B兩點距

離之比為2：1；求動點M的軌跡方程、并說出軌跡的形狀。

9、二封段.等于10,兩端點A.B分別在x軸和y軸上滑動，M在線段AB

上且而=4MB,求點M的軌跡方程。

10、線段AB與CD互相垂直平分于點O,|AB|=4,|CZ)|=2,動點P滿足|尸/4卜歸卻=|尸。歸。,

求動點尸的軌跡方程.

《求曲線的方程》觀評記錄

《求曲線的方程》這堂課，教學基本功扎實，教學重點、難點把

握得當，教師引導層層深入。教學從一個實際問題的解決入手，由此

引入課題求曲線的方程。通過問題探究垂直平分線方程，在已有的舊

知識上逐步展開，比較自然，給出求曲線方程的直接法。再總結求曲

線的方程的一般步驟，這樣讓學生更容易接受。然后通過典例剖析、

學以致用、活學活用進一步加深求曲線的步驟，鍛煉學生的思維能力，

體會數(shù)學的應用。其實一堂課的題不在多，而在于精。

建議：課堂上教師是主導、學生是主體。本節(jié)課師生互動方面做

得不夠。比如在講典例時、可以讓學生說出他們自己的建立坐標系的

方法，然后對比選擇最優(yōu)的建系方式。

啟示：“因材施教”是教學的真諦，教師也要隨機應變，注重課堂

的生成并及時解決問題。教師在教學中，要善于捕捉、組織、判斷各

種信息，有效組織課堂教學，提高認識自己的反思能力和自覺進行心

理調控的能力等。

教材分析

求曲線的方程是高中數(shù)學選修2-1第二章第一節(jié)內容的第二課時，本節(jié)重點

重點探討求曲線方程的方法一一直接法，讓學生理解坐標法的思想。求曲線方程

是解析幾何研究的兩大類問題之一，既是重點也是難點，主要包括兩種類型求曲

線的方程：一是已知曲線形狀時常用待定系數(shù)法；二是動點軌跡方程探求，本課

的重點主要是探索動點的曲線方程.

曲線和方程，既是直線與方程的自然延伸，又是圓錐曲線學習的必備，是后

面平面曲線學習的理論基礎，“曲線”與“方程”是點的軌跡的兩種表現(xiàn)形

式.“曲線”是軌跡的幾何形式，“方程”是軌跡的代數(shù)形式；求曲線方程是用

方程研究曲線的先導，是解析幾何所要解決的兩大類問題的首要問題.體現(xiàn)了坐

標法的本質一一代數(shù)化處理幾何問題，是數(shù)形結合的典范.

求曲線方程實質上就是求曲線上任意一點（x,y）橫縱坐標間的等量關系，

但如何獲得曲線的方程呢？通過創(chuàng)設情景，激發(fā)學生興趣，充分發(fā)揮其主體地

位的作用，學習過程具有較強的探究性.本課內容又為后面的軌跡探求提供方法

的準備，并且以后還會繼續(xù)完善軌跡方程的求解方法

.曲線的方程是解析幾何的核心.求曲線方程的過程類似于數(shù)學建模的過程,

它貫穿于解析幾何的始終，通過本課例題與變式，要總結規(guī)律，掌握方法，為后

面圓錐曲線等的軌跡探求提供示范.

一、教材分析

求曲線的方程是高中數(shù)學選修2-1第二章第一節(jié)內容的第二課時，本節(jié)重點重點

探討求曲線方程的方法一一直接法，讓學生理解坐標法的思想。求曲線方程是解

析幾何研究的兩大類問題之一，既是重點也是難點，主要包括兩種類型求曲線的

方程：一是已知曲線形狀時常用待定系數(shù)法；二是動點軌跡方程探求，本課的重

點主要是探索動點的曲線方程.

曲線和方程，既是直線與方程的自然延伸，又是圓錐曲線學習的必備，是后

面平面曲線學習的理論基礎，“曲線”與“方程”是點的軌跡的兩種表現(xiàn)形

式.“曲線”是軌跡的幾何形式，“方程”是軌跡的代數(shù)形式；求曲線方程是用

方程研究曲線的先導，是解析幾何所要解決的兩大類問題的首要問題.體現(xiàn)了坐

標法的本質一一代數(shù)化處理幾何問題，是數(shù)形結合的典范.

求曲線方程實質上就是求曲線上任意一點（x,y）橫縱坐標間的等量關系，

但如何獲得曲線的方程呢？通過創(chuàng)設情景，激發(fā)學生興趣，充分發(fā)揮其主體地

位的作用，學習過程具有較強的探究性.本課內容又為后面的軌跡探求提供方法

的準備，并且以后還會繼續(xù)完善軌跡方程的求解方法

.曲線的方程是解析幾何的核心.求曲線方程的過程類似于數(shù)學建模的過程,

它貫穿于解析幾何的始終，通過本課例題與變式，要總結規(guī)律，掌握方法，為后

面圓錐曲線等的軌跡探求提供示范.

二、學情分析

上節(jié)課學習了“曲線的方程和方程的曲線”后，學生對這種必須同時具備純

粹性和完備性的概念有了初步的認識，對用代數(shù)方法研究幾何問題的科學性、準

確性和優(yōu)越性等已有了初步了解，對具體（平面）圖形與方程間能否對應、怎樣

對應的學習己經(jīng)有了自然的求知欲望.

由于學生數(shù)學基礎不太好，思維不夠活躍，課堂中需要放慢速度，讓學生真

正體會求曲線方程實質上就是求曲線上任意一點（x,y）橫縱坐標間的等量關系，

積極探究求曲線方程的核心方法。

三、目標分析

1.教學目標

知識技能目標

（1）、理解坐標法的作用及意義.

（2）掌握求曲線方程的一般方法和步驟，能根據(jù)所給條件，選擇適當坐標系求

曲線方程.

過程方法目標

（1）通過學生積極參與，親身經(jīng)歷曲線方程的獲得過程，體驗坐標法在處理幾

何問題中的優(yōu)越性，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想.

（2）通過自主探索、合作交流，層層深入，培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力，深化對

求曲線方程本質的理解.

情感、態(tài)度與價值觀目標

通過合作學習，學生間、師生間的相互交流，感受探索的樂趣與成功的喜悅，

體會數(shù)學的理性與嚴謹，逐步養(yǎng)成質疑的科學精神.

2.教學重點和難點

重點：求曲線方程的方法、步驟

難點：幾何條件的代數(shù)化

四、教學分析

1.教法分析：教師引導、探究發(fā)現(xiàn)

遵循以學生為主體，教師為主導，以問題的提出、問題的解決為主線，始終

在學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設置問題，通過學生主動探索、積極參與、共同交

流與協(xié)作，在教師的引導和合作下，學生于問題的分析和解決中實現(xiàn)知識的建構

和發(fā)展，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，讓學習過程成為心靈愉悅的主動認知過程.

2.學法分析：自主探究、互相討論、探索發(fā)現(xiàn)

由于學生在嘗試問題解決的過程中常會在新舊知識聯(lián)系、思想方法運用等方

面遇到一定的困難，需要教師指導.作為學生活動的組織者、引導者、參與者，

教師要幫助學生重溫與問題解決有關的舊知，給予學生思考的時間和表達的機會,

共同對（解題）過程進行反思等，在師生（生生）互動中，給予學生啟發(fā)和鼓勵，

在心理上、認知上予以幫助.這樣，在學法上確立的教法，能幫助學生更好地獲

得完整的認知結構，使學生思維、能力等得到和諧發(fā)展.

3.設計理念

求曲線方程就是將曲線上點的幾何表示形式轉化為代數(shù)表示形式。在這轉化

過程中，學生通過積極參與、勇于探索的學習方式，讓學生的學習過程成為教師

指導下的再創(chuàng)造，這也正是建構主義理論的本質要求；遵循學生認知規(guī)律，尊重

學生個體差異，立足教材，通過對例題的再創(chuàng)造，體現(xiàn)理論聯(lián)系實際、循序漸進

和因材施教的教學原則，讓不同層次的學生得到不同層度的發(fā)展;通過激發(fā)興趣，

強調自主探索與合作交流，讓學生逐步地從學會走向會學，由被動走向主動，由

課堂走向社會，為學生的終身學習和終身發(fā)展奠定良好的基礎，也是當前新課程

所追求的基本理念.

五、教學過程

根據(jù)本課教學內容特點，抓住問題中形成軌跡的動點具備的幾何條件，運用

坐標化的手段及等價轉化與數(shù)形結合的思想方法，突破難點，突出重點.本課的

教學設計思路是：

創(chuàng)設情景一一從解決生活上的實例出發(fā)，引入課題，激發(fā)學生的求知欲望，抓

住學生迫切一試的認知心理，自然引入坐標法的意義及曲線方程的求法.

問題探究一一從學生最熟知的直線方程入手，既回顧前面所學內容，又能自然

引入本節(jié)求曲線方程的一般方法一直接法，讓學生初步感受求曲線方程的過程。

典例剖析一一例題體現(xiàn)知識的前后聯(lián)系.通過例題的呈現(xiàn)，學生借助已有的知

識經(jīng)驗，自主探求獲得問題的求解，在教師的引導下，讓學生感受求曲線方程的

含義及求解步驟；在沒有坐標系的情況下，選擇建系合適方法，進一步完善求曲

線方程的步驟?？偨Y出建立坐標系的一般規(guī)律。

學以致用一一利用學生探究認知水平，運用獲得的知識解決情景創(chuàng)設中的實際

問題，一方面可以考察學生運用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力；另一

方面是學生思維的自然順應，，是“一般一一特殊”的過程.全面完成教學目標.

通過解決實際問題，讓學生感受數(shù)學建模的意義，初步體會數(shù)學的應用價值，激

發(fā)學生興趣。

活學活用一一此題解法比較靈活，既可用一般求解思路，亦可活用幾何性質找

到解決問題的突破口，熟練列出幾何限制條件，從而轉化成坐標表示。深化對認

知結構的理解，運用數(shù)形結合的思想方法，突破難點，突出重點。

教

學教學內容學生活動設計意圖

環(huán)

節(jié)

問題引入：在美麗的南沙群思考：1.形成軌跡感

島中，甲島與乙島相距8海巡邏艦的運動軌跡是什知

創(chuàng)

里，一艘軍艦在海上巡邏么？（激起學生濃厚興2.感受數(shù)學的

設

（甲島、乙島同側），，巡趣）價值

情

邏過程中，從軍艦上看甲乙有求知欲望，有所思索3.自然引入課

景

兩島，保持視角為直角，你但不知方程是什么（學題“求曲線的方

認為軍艦巡邏的路線應是生可能想到需要建立坐程”

怎樣的曲線，你能為它寫出標系）

一個方程嗎？

1.自主求解1.充分肯定學

已知兩點坐標為A（-l-l）,

可能解法：用點斜式求生利用已有的

直線方程知識經(jīng)驗順利

B（3,7）,求線段AB的垂直

問求解

平分線的方程.y-3=-1（x-i）

2.將“待定系數(shù)

題法”導向軌跡方

即x+2y—7-0

程求法，讓學生

2.（在教師引導下）探初步體驗求曲

探索動點滿足的幾何條線方程的方法

件，進而討論、探求曲與步驟

線方程

究3.比較方法，得出啟示.3.進行必要的

口頭表述：求曲線方程反思

需要的步驟

求曲線方程的一般步驟：1.學生通過互相討論，1.通過“體驗一

歸（優(yōu)化）歸納總結，以自己的語一理解——歸

1.建系設點言完善求曲線方程的一納一一應用”逐

納2.寫限制條件般步驟步實現(xiàn)教學目

3.坐標代入2.學生思考：證明可以標

總4.化簡方程不作要求，那么如何保2.檢驗過程和

5.證明----不作要求證完備性呢？結果.養(yǎng)成質疑

結（檢驗）與反思的習慣

已知一條直線/和1.相互討論、合作交流，1、了解常見的

它上方的一個點F,讓學生提出遇到的問題建系策略，真正

典（無法代數(shù)處理，需要突破建系難點

點F至h的距離是2。

先建系）難點：建系2、最后一步驗

一條曲線也在/的

例（學生直覺或結合計算證不要求證明”

上方，它上面的一的繁簡可以快速建系，不是“不需要證

剖點到F的距離減去但理解不會深刻）明”，要求學生

至h的距離的差是2.探究發(fā)現(xiàn)問題中的養(yǎng)成對曲線方

析2,建立適當?shù)淖鴺藥缀侮P手，進而轉化成程檢驗的意識

系，求這條曲線的坐標表示?！獧z驗過程、

3.思考求出的方程是否檢驗結果，為學

方程。

為曲線方程？生思維的發(fā)散

留有空間（讓不

同認知水平的

學生都得到發(fā)

展）

在美麗的南沙群島中，甲島學生思考討論如何轉化學生再從“一般

學與乙島相距8海里，一艘軍成數(shù)學問題——特殊”，考

艦在海上巡邏（甲島、乙島自主探索，表述解答過察學生運用所

以同側），，巡邏過程中，從程學數(shù)學知識解

軍艦上看甲乙兩島，保持視決實際問題的

致角為直角，你認為軍艦巡邏意識和能力；是

的路線應是怎樣的曲線，你學生思維的自

用能為它寫出一個方程嗎？然順應，自然釋

放，形成首尾呼

應

活已知點C的坐標是（2,學生討論：通過比較讓學

2）,過點C直線CA與x軸解決問題的突破口，可生學會對比，尋

學交于點A,過點C且與直線以從那些條件出發(fā)找?guī)浊蟾啙嵉慕?/p>

CA垂直的直線CB與y軸交何限制條件題方法，活用幾

活于點B,設點M是線段AB的何性質

中點,求點M的軌跡方程.

用

小求曲線方程的一般步驟：理解求法、步驟，相互幫助學生形成

結

建系設點一一寫限制條件討論，明確關鍵步驟是完整的認知結

反

——建立方程——化簡方哪一步，時間允許可以構

思

程----檢驗發(fā)表看法

作

P37:習題2.1

業(yè)作業(yè)分為兩種形課后作業(yè)自主

A組：3、4B組1、2

布式，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性完成

置彈性作業(yè)

已知平面上有兩定點A,B,和發(fā)展性原則，而彈性

\AE\=2a（a>0），平面上一作業(yè)不作統(tǒng)一要求，供

動點M到A,B兩點距離之

學有余力的學生課后研

比

究.同時，它也是新課標

為2：1;求動點M的

;方程、并說出軌跡的形狀。里研究性學習的一部

分.

教學流程圖

創(chuàng)

學

問

活

以

設

題

復學

致

情

探

活

用

景

習究

用

回

反

思

效果分析

本節(jié)課以學生的“數(shù)學活動”為主線，以問題的解決為目的，

讓學生自主探索（直譯法）求曲線方程的思路，以積極的情感態(tài)度、

用親身體驗與創(chuàng)造的方法來學習數(shù)學，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗，進

而掌握曲線方程的求法在教師的引導下，讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”、

“再創(chuàng)造”的活動過程，為學生發(fā)展數(shù)學思維能力提供有效的途徑。

本節(jié)課從實際問題入手，激發(fā)學生興趣，進而解決實際問題，

前后呼應。通過活學活用環(huán)節(jié)，讓學生鞏固已學知識，熟練掌握求曲

線方程的一般方法一直接法。為今后學習圓錐曲線打下堅實的基礎。

求曲線的方程（一）教學反思

本內容包含“曲線與方程”和“求曲線的方程”。上節(jié)課引入

“曲線的方程”和“方程的曲線”概念，并通過概念的簡單應用，使

學生初步理解概念；本節(jié)給出求軌跡方程的一般步驟和方法，通過求

軌跡方程幫助學生進一步理解、掌握曲線方程的概念.在教學設計中，

主要考慮貫徹教材編寫意圖問題，注重利用學生在學習“直線的方程”

“圓的方程”中建立的已有經(jīng)驗，通過適當?shù)膯栴}引導學生學習，這

樣的安排充分注意了學生已有的認知基礎，有利于學生主動構建概念。

我認為這樣的設計對學生理解概念、發(fā)展能力都有積極意義，但做好

這一點必須有充足的時間讓學生進行歸納、思考、總結.從實際的教

學情況來看,在概念的引入上是比較成功的，學生在課堂中的表現(xiàn)和

教學設計的預設比較一致。

本節(jié)課以學生的“數(shù)學活動”為主線，以問題的解決為目的，

讓學生自主探索（直譯法）求曲線方程的思路，以積極的情感態(tài)度、

用親身體驗與創(chuàng)造的方法來學習數(shù)學，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗，進

而掌握曲