高一（下）期末測(cè)試卷（B卷 能力提升）解析版-2023年春季高一數(shù)學(xué)下學(xué)期講義（人教A版2019）

高一（下）期末測(cè)試卷（B卷能力提升）

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1.（2022春?黑龍江哈爾濱?高一校考期末）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4=-3+2i,Z2=l-4i,則復(fù)數(shù)2=4+2?

在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，表示出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而得到其在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到所在象限.

【詳解】由復(fù)數(shù)加法運(yùn)算可知

z=Zj+z2=-3+2i+1—4i=-2-2i

在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-2）,所以所在象限為第三象限

所以選C

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單加法運(yùn)算，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)及其象限，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）cos275-sin275的值為（）

Ao_1C—c6

2222

【答案】A

【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.

【詳解】cos275-sin275=cos（2x75）=cos150=--—.

故選：A.

3.（2021春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）已知"C外接圓的圓心為。，且2AO=A8+AC網(wǎng)=園，則

向量CA在向量CB上的投影向量為（）

A.-CBB.—CBC.—CBD.-CB

4222

【答案】A

【分析】根據(jù)條件作圖，由249=AB+AC，外接圓圓心。為BC的中點(diǎn)，即BC為外接圓的直徑，所

以oABO為等邊三角形，得到NACB=30。，表示出所求投影即可得出答案.

【詳解】\\\2AO=AB+AC

所以ABC外接圓圓心。為BC的中點(diǎn)，即3C為外接圓的宜徑,

如圖：

乂|A8|=|A0|,所以ABO為等邊三角形，

:.ZABO=60°,WJZACB=30°,CA|=|BC\cos30°=—|fiC|,

2

向量CA在向量CB卜一的投影為：芯|cos3（T=李翳招.

故投影向量為=3

4

故選：A.

4.（2022春?黑龍江哈爾濱?高一?？计谀┮阎蛄?。=（1,1）,方=（2,-1）,若（Q/+人）〃（〃-2匕），則實(shí)數(shù)4=

（）

1I

A.:B.——C.2D.-2

22

【答案】B

【分析】由平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示出42+九a-2b，再由平面向量共線的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】由己知得癡+b=（X+2,/l-l）,a-26=（-3,3）,

又因?yàn)椴贰?9〃（。一%）,

所以有3（4+2）=-3（4—1）,解得2=_；.

故選：B

5.（2022春?湖北恩施?高一恩施土家族苗族高中?？计谀┤鐖D，一個(gè)底面半徑為功的圓錐，其內(nèi)部有一

個(gè)底面半徑為。的內(nèi)接圓柱，且此內(nèi)接圓柱的體積為6兀/,則該圓錐的體積為（）.

C.4GmD.8Gm

【答案】B

【分析】作出該幾何體的軸截面，求出內(nèi)接圓柱的高，利用三角形相似求出圓錐的高，即可求的其體積.

【詳解】作出該幾何體的軸截面如圖示：A8為圓錐的高，

BDC

設(shè)內(nèi)接圓柱的高為而3C=2a,8￡)=r=a,

因?yàn)閮?nèi)接圓柱的體積為\fiTta3,即na2h=百兀/，

則h=y/3a，

由于AB〃瓦Z故△C4BsZ\CE。，則二二g，

ABBC

即縣=生三，故AB=2四，

AB2a

所以圓錐體積為兀x(2“『x2折=手必3,

故選：B

6.(2022春?湖北恩施?高一恩施土家族苗族高中校考期末)已知某圓錐的內(nèi)切球(球與圓錐側(cè)面、底面均相

切)的體積為32胃4，則該圓錐的表面積的最小值為()

A.32萬(wàn)B.28乃C.247D.20萬(wàn)

【答案】A

【分析】先求得內(nèi)切球半徑r=2,再畫圖設(shè)底面半徑為R,利用三角函數(shù)值代換衣達(dá)出表面積的公式

5=孚1,再設(shè)￡=六一4>0,根據(jù)基本不等式求最小值即可

2_4

4Pn

【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r，則y=亍，解得T,設(shè)圓錐頂點(diǎn)為A,底面圓周上一點(diǎn)為8,

底面圓心為C,內(nèi)切球球心為￡）,內(nèi)切球切母線AB于E,底面半徑BC=R>2,ZBDC=0,則tane=^,

“2tan。R4R

又〃。石二萬(wàn)一？，，故AB=8￡+AE=A+2tan（;r-2，）=R-2tan2e,又1-tan2^R24-/?2,

1------

4

故—一聾="'故該圓錐的表面積為5=嚶/+次=咨’令"*一4>°,則

S=2"（：+4）=2",+?+#242M^+8=兆”’當(dāng)且僅當(dāng)，=/，即，=4,R=2五時(shí)取等號(hào).

故選：A.

7.（2022春?天津紅橋?高一統(tǒng)考期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四

棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上

的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

.\[5—I總6—1r石+1門6+1

4242

【答案】C

【分析】設(shè)8=a,PE=b,利用PO2=：CDPE得到關(guān)于a力的方程，解方程即可得到答案.

【詳解】如圖，設(shè)CO=a,PE=%,則尸。=介爐一。爐=

由題意尸。2=!出,，即〃一《=!"，化筒得4（2）2-2&-1=0,

242aa

解得2=匕且（負(fù)值舍去）.

a4

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.

8.（2022春?福建福州?高一福州四中?？计谀┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)"圓材埋

壁"的問題："今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑兒何?”現(xiàn)有一類似問題，

不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深CD=2-行，鋸

道Afi=2,則圖中ACB與弦A8圍成的弓形的面積為（）

【答案】B

【分析】設(shè)圓的半徑為，利用勾股定理求出，再根據(jù)扇形的面積及?:角形面積公式計(jì)算可得；

【詳解】解：設(shè)圓的半徑為，則。。=廠-8=「一（2-6），AD=^AB=\,

由勾股定理可得+AD2=。儲(chǔ)，即卜-（2-6），+1=產(chǎn)，

解得r=2,所以O(shè)A=OB=2,筋=2,

所以ZAOBR,因此“形=s，i-S3小X22，X2?聾S

故選：B

二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合

題目要求的.

9.（2021春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）設(shè)孫〃是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正

確的有（）

A.若，"〃/則〃_1_&B.若加則〃_La

C.若aILa,則，"_L/?D.若a-L#,，〃_La,則機(jī)//〃

【答案】AC

【分析】結(jié)合空間中直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判定，也可以通過舉例說(shuō)明命題錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)槌?/〃，機(jī)La,所以“La,A正確；

對(duì)于B,因?yàn)椤?//aEl寸，”,a也可以平行，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閍〃民，wJLtz,所以加_1_夕，C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閍，△相，C時(shí)，直線心也可能在平面月內(nèi)，所以D錯(cuò)誤；

故選：AC.

10.（2021春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，仞,N分別是AR,A瓦

A.4。，平面4口

B.二面角A-MN-A的正切值為2友

C.三棱錐A-4MN的內(nèi)切球半徑為g

D.過直線3D與平面平行的平面截該正方體所得截面的面積為18

【答案】BCD

【分析】選項(xiàng)A中，連接4。，交仞V于點(diǎn)P,連接AP,利用向量法證明AP與A/C不垂直，即4c與平

面AMN不垂直；選項(xiàng)B中，找出NA/沏是二面角4-MN-A的平面角，計(jì)算tan/ABA/即可；選項(xiàng)C中，

利用等體積法求出三棱錐4/-的內(nèi)切球半徑長(zhǎng)；選項(xiàng)D中，取B/C/的中點(diǎn)E,C/Q的中點(diǎn)F,連接

BE、EF、DF,四邊形8EFO是過直線8D與平面平行的截面，可求出四邊形的面積.

【詳解】對(duì)于A,如圖1所示,

圖1

連接A/C/,BiDi,則MN"BQi,由80/L平面A/C/C,得用NJ_平面A/C/C,所以MML4C；

設(shè)MN交AC于點(diǎn)、P,連接AP,以矩形ACC泊/的底邊AC為x軸，44/為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖

圖2

則A（0,0）,C（4夜,0），A（0,4）,P（?4）

所以AP=（夜,4），AC=（4夜,一4）,則，AP.4C=8—16=—8父0

所以AP與A。不垂直，即AP與4c不垂直，

所以A/C與平面4MN不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由上有MNL平面A/C/C,則NM工AP,且

AA4「

所以NA%/是二面角A-MN-A的平面角，則tan/A以/=力=后=2近，

所以二面角A-MN-A的正切值為2夜，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,設(shè)三棱錐Ai-AMN的內(nèi)切球半徑為r,

]118

VX5XXX2X2X4=

A,-A,W,V=2VAM/VM=223

MN=；BR=20,AP=JW+4尸=J16+2=3&

4V=AM,/[|AP，NM

所以S'AMN=-xWx?lP=-x272x372=6

22

又J-AMN二§XrX(Sv^MN+SVAAM+SvqAjV+^VANM)

1-1-八8

=—x—x2x2+—x4x2+—x2x4+6=—

31222)3

解得，=；，所以三棱錐4-4MN的內(nèi)切球半徑為選項(xiàng)C正確;

對(duì)于D,如圖3所示

圖3

取勺。的中點(diǎn)E,?！?gt;/的中點(diǎn)F,連接BE、EF、DF,

設(shè)所與4。交于點(diǎn)0,,則EF"BQ、，乂B\DJ1BD,所以E/〃所以52E,尸四點(diǎn)共面.

平面AMN〃平面BEFO,且平面ACC0）平面4MN=AP,平面4CG4、平面BDEF=OQ,

所以。。//AP,乂AO//P。，所以四邊形A。。/為平行四邊形.

則AP=OO}=3g,由4P?!NM,則。?！繣F

則四邊形8EFO是過直線BD與平面AMN平行的截面，且四邊形8E尸。是等腰梯形，

BD=472,EF=gBQ=272

梯形8EFD的面積為1（8。+所）*0。1=140+2后）x3應(yīng)=18,所以選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

11.（2022春?福建福州?高一福州四中?？计谀?duì)于ABC,有如下命題，其中正確的有（）

A.c=acosB+bcosA

B.若"C是銳角三角形，則不等式sinA<cos5恒成立

C.若sin2A=sin28,貝ijABC是等腰三角形

D.若AB=5AC=l,3=30。，貝|JABC的面積為包或也

42

【答案】AD

【分析】對(duì)于A,由正弦定理與兩角和的正弦公式判斷，對(duì)于B,由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷，對(duì)于C,由正弦函

數(shù)性質(zhì)判斷，對(duì)于D,由正弦定理與面積公式判斷

【詳解】對(duì)于A,在二中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,由正弦定理化簡(jiǎn)得

c=tzcosB+Z?cosA,故A正確，

對(duì)于B,43c是銳角三角形，則Ov5-BvAv],得sinA>sin（]-8）=cosB,

故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,若sin2A=sin28,則2A=26或24+28=4，.ABC是等腰;角形或直角一角形，故C錯(cuò)誤，

\rARFi1

對(duì)于D,由正弦定理知—=^—，MsinC=—.C=60?；?20。，A=90?；?0°，5=-MB-ACsin71=

sinBsinC224SC

旦或息,故D正確，

42

故選：AD

12.（2022春?福建福州?高一福州四中?？计谀┖瘮?shù)/（x）=Asin（2x+e）[A>0，M<gj部分圖象如圖所示,

對(duì)不同w[a,句，若/（入）=/（&），都有/（菁+赴）=拒，則（）

A.a+b=7TD./(〃+〃)=百

【答案】BC

【解析】由三角函數(shù)的對(duì)稱性得工產(chǎn)）=2,結(jié)合/（與+々）=0化簡(jiǎn)得出9=?,利用五點(diǎn)作圖法得

出a,匕的值，即可得出答案.

【詳解】由三角函數(shù)的最大值可知A=2

設(shè)女愛_=機(jī)，則為+工2=2根，山對(duì)稱性可知/（m）=2,則2sin（26+夕）=2

7T

解得2加+*=2ATT+5(ZcZ)

/(玉+12)=2$也[2(玉+X2)+0]=2sin(2x2m+*)=2sin[2x(2〃7+0)—

=2sin2乂(2%萬(wàn)+1)—夕=2sin[4^4-^-^?]=2sin=41

則sing=也，結(jié)合|*區(qū)三，即9=￡,則/(x)=2sin(2x+f]

224<4J

7FITTTiTT

由五點(diǎn)作圖法可知：2a+f=0,3+f=%，所以。=-￡力==

4488

所以a+人=(/-a=(a+0)=/(?)=2sin(2x?+?)=0

故選：BC

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.（2022春?天津紅橋?高一統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)z滿足z=2-i（其中i為虛數(shù)單位），則|z|=.

【答案】亞

【分析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】由已知可得（="2+（-1）2=方.

故答案為：石.

14.（2022春?天津紅橋?高一統(tǒng)考期末）已知平面向量“力滿足M=2，W=1,且〃與匕的夾角為g,則卜+目

【答案】V7

【分析】直接由1+0=+2〃山+『結(jié)合已知條件求解即可

【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄繚M足W=2，W=1,且聯(lián)與歸的夾角為

所以卜+6卜y]a~+2a-b+b'

=J22+2X2X1X1+12=y/7,

故答案為：y/1

15.（2022春?天津紅橋?高一統(tǒng)考期末）在二ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,h,c.若

a=4-j3,h=4s/2,B=45°,貝|角4=.

【答案】60?；?20。

【分析】利用正弦定理及A的范圍求其大小.

【詳解】由正弦定理知：三=工，即逆=￡L,可得sinA=3,

sinAsmBsinAsin4502

而45°<A<135°,故4=60°或120°.

故答案為：60?；?20。

16.（2022春?天津紅橋?高一統(tǒng)考期末）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元

素為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)視覺盛宴，象征各國(guó)、各地區(qū)代表團(tuán)的91朵“小雪花"匯聚成一朵代表全人類“一起走向

未來(lái)"的"大雪花"的意境驚艷了全世界，順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊ABCDEF.已知正六邊形的邊

長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則ARAB的最大值是

3

【答案】萬(wàn)

【分析】作利用向量?jī)?nèi)積的幾何意義求解

【詳解】

作PP'lAB

要使AP?AB最大，必須讓cos〈AP,AB〉>0

所以AP-AB=|AP|?|A31?cos〈AP,AB>=|AP'|-|AB|

如圖可知，當(dāng)P在c處時(shí)JAP］最大，從而AP.45最大

此日寸|AP|=|AC|=?(AP,AB)=%,AP-AB=舟\*@

3

故答案為：—

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

17.（2021春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）在A8C中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,0,c,且

-a2=c（b—c）M=4.

⑴若b二述,求8；

3

⑵若ABC面積為46，求b與。的值.

【答案】（1）8=45

（2）b=4,c=4.

【分析】（1）利用余弦定理求得A=60，再利用正弦定理即可求解；

（2）利用三角形面積公式及余弦定理即可求解.

【詳解】（1）由〃一/jQ-c）得：a2=b2+c2-bc

根據(jù)余弦定理：〃=b?+c?-2Z?ccosA得：cosA=—

2

乂，ABC中，0<A<180,則A=60，

由正弦定理：a'^00'a=4,b=,解得：sinBu'Z

smAsinB32

又，ABC中，0<B<180-60，則B=45,

（2）由“=4,4=60,結(jié)合余弦定理：a2=lr+c2-IbccosA.即〃+c?-bc=16①

由面積公式S八%=gbcsinA及己知得：bc=16②

聯(lián)立①②，且匕>0,c>0,解得：8=4,c=4.

18.（2021春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8C￡>為菱形，ZABC=60°,

又B4J?底面ABC2E為BC的中點(diǎn).

⑴求證：AD±PE；

（2）設(shè)F是的中點(diǎn)，求證：CF平面

【答案】⑴答案見解析

⑵答案見解析

【分析】（1）由題意可得4￡13BC,根據(jù)BCm。，推斷出4皿。，又以S4D,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定

理證出AD0平面PAE,最后利用線面垂直的性質(zhì)可得AD0PE：

（2）取的中點(diǎn)G,易得FG團(tuán)以，CG^AE,即可證明平面CFGS平面雨E,進(jìn)而可得CfB平面以E.

【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫?BCD為菱形，ZABC=60°,且E為8C的中點(diǎn)，所以XELBC.

XBC//AD,所以

又尸AJ■底面A8C￡>,A￡）U底面ABC。，所以A4_LAO.

因?yàn)锳Eu平面以E,PAu平面叢E,PAcAE=A,所以AO_L平面Q4￡,

QPEu平面R4E，所以AT>_LPE.

（2）取AO的中點(diǎn)G,連接尸G,CG,

G,尸是中點(diǎn)，.1FG〃尸A,CG//AE,

.FG//PA,FG<z平面R4E，P4u平面B4E，，而/平面R4E，

CG//AE,CG0平面E4E,/山二平面E4E,CG/平面出￡,

又FGu平面CFG,CGu平面CFG,FGcCG=G,

平面CFG，平面R4E,

QC/u平面CFG,.?.CF，平面R4E.

19.（2022春?黑龍江哈爾濱,高一?？计谀┮阎簭?fù)數(shù)z=l+iy+/，其中i為虛數(shù)單位.

1+1

⑴求Z及|z|；

（2）若z?+應(yīng)+6=2+3i,求實(shí)數(shù)a,b的值.

【答案】（l）z=l+3i,|z|=V10

(2)?=1,b=9

【詳解】⑴z=（l+i"號(hào)d蒜專=2i+I』+3i,則電燈=M

(2)由(1)得：(l+3i)2+a(l-3i)+6=-8+6i+a-3ai+b=(a+b-8)+(6-3a)i=2+3i,

a+b-8=2a=l

63=3,解得:

b=9'

20.（2022春?黑龍江哈爾濱?高一?？计谀┰贛BC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為〃也c.已知sinA=百sinC，

8=150。，ABC的面積為由.

⑴求“的值;

(2)求sinA的值;

⑶求sin（2A+?J的值.

【答案】（1）2石；

⑵丁

(3)—.

14

【分析】（1）（2知條件結(jié)合三角形面積公式和正弦定理即可求出

（2）由余弦定理求出b,再根據(jù)正弦定理即可求出sinA；

⑶根據(jù)sinA求出cosA,再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.

【詳解】（1）回sinA=^sinC,自由正弦定理得a=

又的面積為G，團(tuán)gacsinl500=G,解得c=2,

回〃=2-75：

(2)由余弦定理有b2=a2+c2-2?ccosl50°,0b=2幣.

由正弦定理°=b=sinA=2百sin1500歷

sinAsinB27714

(3)138=150°,&4<90°,回由sinA=叵得，cosA=-

1414

0sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A-l=—.

1414

冗7113

團(tuán)si.n(c2AA+—4)=sin2Acos冗—+cos2Asin—=

I6)666614

21.(2022春?黑龍江哈爾濱?高一?？计谀?如圖，在四棱錐P-ABC。中，四邊形438為平行四邊形，AO4P

為直角三角形且ZM=DP,AA5P是等邊三角形.

(1)求證：PA1.BD；

(2)若BA=BD=2,求二面角。一尸C-8的正弦值.

【答案】(1)見解析；(2)遞.

7

【分析】(1)取AP中點(diǎn)F,連接DM,BM,由已知可證PA回DM,PA0BM,又DMnBM=M,可得PAEI平面

DMB,因?yàn)锽Du平面DMB,可證PABBD；

(2)由已知可得自DAP是等腰三角形，乂回ABP是等邊三角形，可求出MD13MB,以MP,MB,MD所在直線

分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面DPC與平面PCB的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余

弦值得二面角D-PC-B的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值.

【詳解】(1)證明：取AP中點(diǎn)M,連

EIA4=DP,A4BP為等邊三角形，

^PALDM,PA±BM,又DMcBM=M,

ElPAL平面DW3,又回BQu平面DW3,^PArBD.

(2)解：回84=%>=2,M為AP中點(diǎn)，結(jié)合題設(shè)條件可得。V=1,8"=百，

^BDr=MB'+MD1,\2\MDYMB.

如圖，以MP,MB,MD所在直線分別為％Mz軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(一1,0,0),8(0,石,0),尸(1,0,0),。(0,0,1),

得￡)P=(l,0,T),OC=A8=(1,6,0),BP=(l,-6,0),8c=AO=(1,0,1)

設(shè)平面DPC的一個(gè)法向量/=(大,加4),

{n."DP=0x1—zi=0/1-i-\

[n,DC=0l%+Gx=0''

設(shè)平面PCS的一個(gè)法向量《2=（w，y2，Z2），

m內(nèi)=(A/3,1,->/3).

13cos(%,%)

2=

設(shè)二面角D-PC-8的平面角為a,則由圖可知sina>0,0sina=-cos^n,,n2)■

【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求解空間角，考查計(jì)算能力，是中檔題.

22.（2022春?湖北恩施?高一恩施土家族苗族高中?？计谀┤鐖D，設(shè),ABC中角4B,C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,AD為BC邊上的中線，已知c=l且2csinAcosB=asinA-加inB+—戾inC,cos/BAD=.

⑴求中線的長(zhǎng)度；

⑵設(shè)點(diǎn)反廠分別為邊A8,AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段EF交AD于G,且△用'的面積為,,ABC面積的一半，求

4G的最大值.

【答案】⑴呼

【分析】（1）先由正弦定理與余弦定理進(jìn)行邊角互化，求出6=4,再由AD=g（AB+AC）結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)

算性質(zhì)即可求解;

(2)設(shè)|亞|=兌,目