4.4探索三角形相似的條件（提升版）（含答案）-北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊

4.4探索三角形相似的條件（提升版）夯實(shí)基夯實(shí)基礎(chǔ)黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書遲。一、選擇題1．如圖，在由小正方形組成的方格紙中，△ABC和△PDE的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABC∽△PDE，則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為（）A．P1 B．P2 C．P32．如圖，能使△ABC∽△ADE成立的條件是（）A．∠A=∠A B．∠ADE=∠AED C．ABAD=AC3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，下列條件中能判斷△AED∽△ABC的是（）A．∠AED＝∠ABC B．∠ADE＝∠ACBC．ADAC=ED4．神奇的自然界處處隱含著數(shù)學(xué)美！生物學(xué)家在向日葵圓盤中發(fā)現(xiàn)：向日葵籽粒成螺線狀排列，螺線的發(fā)散角是137.5°．我們知道圓盤一周為360°，360°?137.A．軸對稱 B．旋轉(zhuǎn) C．平移 D．黃金分割5．如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加下列一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB6．已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），若AB＝4，則AC的長為（）A．（6-25） B．（25-2） C．（5-1） D．（3-5）7．下列判斷中，正確的是（）A．各有一個(gè)角是76°的兩個(gè)等腰三角形相似B．鄰邊之比為2：1的兩個(gè)等腰三角形相似C．各有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形相似D．鄰邊之比為2：3的兩個(gè)等腰三角形相似8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)F，下列條件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠ABE=∠ACD B．DFC．ABBE=AC9．已知△ABC如圖，則下列4個(gè)三角形中，與△ABC相似的是（）A． B．C． D．10．一個(gè)鋼筋三腳架三邊長分別為30cm，60cm，80cm，現(xiàn)在要做一個(gè)和它相似的鋼筋三腳架，而只有長為40cm和90cm的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截兩段（允許有余料）作為另兩邊，則不同的截法有（）A．一種 B．兩種C．三種 D．四種或四種以上鞏固積鞏固積厚寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。二、填空題11．圖中的兩個(gè)三角形是否相似，（填“是”或“否”）.12．已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，AB=20，則AC的長度是13．已知線段AB=4cm，C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則AC=.（結(jié)果保留根號(hào)）14．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，連接CD．請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得△ACD∽△ABC，然后再加以證明．15．已知線段AB=4，P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>BP，則AP=．優(yōu)尖拔優(yōu)尖拔高書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。三、解答題16．如圖，點(diǎn)D為△ABC邊AB上一點(diǎn)，連接CD，AD=2，BD=6，AC=4.求證：△ACD∽△ABC.17．如圖，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=90°，點(diǎn)P在BC上，且∠APD=90°，證明：△ABP∽△PCD．18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且滿足CA19．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連接CE，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且∠DFC=∠B．求證：△DCF∽△CEB．20．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC.求證：△ADE∽△DBF．

答案與解析答案與解析1．答案:B解析：解：△ABC中，AB是正方形的對角線，∴∠ABC=135°，且AB=12+即ABBC要使△ABC∽△PDE，則∠PDE=∠ABC=135°，觀察圖形，只有P2D是正方形的對角線，即且DP2=即DP∴點(diǎn)P2故答案為：B.分析：易得∠ABC=135°，AB=2，BC=2，要使△ABC∽△PDE，則∠PDE=∠ABC=135°，觀察圖形可得只有∠P2DE=135°，且DP2．答案:C解析：解：由題意得，∠A=∠A，若添加ABAD=ACA、B、D均不能判定△ABC∽△ADE，故不符合題意；故答案為：C.分析：直接根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可.3．答案:A,B,D解析：解：A、∵∠AED＝∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合題意；B、∵∠ADE＝∠AC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合題意；C、ADACD、∵ADAC∴△AED∽△ABC，符合題意.故答案為：ABD.分析：直接根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可.4．答案:D解析：解：∵137.∴體現(xiàn)了“黃金分割”．故答案為：D．

分析：利用“黃金分割”的定義求解即可。5．答案:D解析：解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故A不符合題意；

B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故B不符合題意；

C、∵∠A=∠A，APAB=ABAC，

∴△ABP∽△ACB，故C不符合題意；

D、∵∠A=∠A，APAB分析：圖形中隱含了公共角∠A=∠A，利用有兩組角分別對應(yīng)相等的兩三角形相似，可對A，B作出判斷；再利用有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，可對C，D作出判斷.6．答案:B解析：解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，∴AC＝5?12AB＝2（故答案為：B.分析：根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)可得AC＝5?17．答案:B解析：A.沒有明確指出角是頂角還是底角無法判定，故A選項(xiàng)不符合題意．B.因?yàn)楸戎禐?：1，所以大邊一定是腰，所以對邊成比例，相似，故B選項(xiàng)符合題意．C.沒有明確指出角是頂角還是底角無法判定，故C選項(xiàng)不符合題意．D.沒有指明誰是底邊誰是腰，無法判定，故A選項(xiàng)不符合題意．故答案為：A．

分析：利用相似三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可。8．答案:C解析：解：∵∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，∴△ABE～△ACD，故A選項(xiàng)不符合題意；∵∠DFBF=EF∴△DFB～△EFC，∴∠DBF＝∠ECF，∵∠BAE=∠CAD，∴△ABE～△ACD，故B選項(xiàng)不符合題意；∵ABBE=ACCD，∴C選項(xiàng)符合題意；∵AD·AB=AE·AC，∴ADAE=AC∴△ABE～△ACD，故D選項(xiàng)不符合題意；故答案為：C．

分析：相似三角形的判定：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，據(jù)此逐一判斷即可.9．答案:D解析：解：∵由圖可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A、三角形各角的度數(shù)都是60°，B、三角形各角的度數(shù)分別為75°，52.5°，52.5°，C、三角形各角的度數(shù)分別為40°，70°，70°，D、三角形各角的度數(shù)分別為75°，30°，75°，∴只有D選項(xiàng)中三角形各角的度數(shù)與題干中三角形各角的度數(shù)相等，故答案為：D．

分析：利用相似三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可。10．答案:B解析：解：由相似三角形對應(yīng)邊成比例得，只能將40cm長的作為一邊，將90cm長的截成兩段，設(shè)從90cm的鋼筋上載下的兩段分別長xcm，ycm，當(dāng)40cm長的邊對應(yīng)30cm長的邊時(shí)，3040=60此時(shí)x+y>90，所以此截法不可行；當(dāng)40cm長的邊對應(yīng)60cm長的邊時(shí)，30x=60此時(shí)x+y<90，所以此截法可行；當(dāng)40cm長的邊對應(yīng)80cm長的邊時(shí)，30x=60此時(shí)x+y<90，所以此截法可行，綜上所述，截法有兩種，故答案為：B．

分析：由相似三角形對應(yīng)邊成比例得，只能將40cm長的作為一邊，將90cm長的截成兩段，設(shè)從90cm的鋼筋上載下的兩段分別長xcm，ycm（x＞y），分三種情況討論：①當(dāng)40cm長的邊對應(yīng)30cm長的邊時(shí)，②當(dāng)40cm長的邊對應(yīng)60cm長的邊時(shí)，③當(dāng)40cm長的邊對應(yīng)80cm長的邊時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)分別求解即可.11．答案:是解析：解：如圖，第一個(gè)三角形的第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180°?70°?45°=65°，根據(jù)有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得這兩個(gè)三角形相似，故答案為：是分析：根據(jù)內(nèi)角和定理求出第一個(gè)三角形另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后根據(jù)有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判斷.12．答案:10解析：解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分制點(diǎn)，且AC>BC，AB=20，∴AC=5故答案為：105分析：根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)可得AC=5?113．答案:2解析：解：∵C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，并且AC＞BC，AC為較長線段；∴AC=4×5?12=故答案為：25分析：根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)可得AC=5?114．答案:∠ACD=∠B（答案不唯一），證明見解析解析：解：添加∠ACD=∠B，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，故答案為：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

分析：利用相似三角形的判定方法求解即可。15．答案:2解析：解：∵點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，

∴AP2=BP×AB，

∴AP2=4（4-AP）

解之：AP=25?2（取正）

分析：利用已知點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，可得到AP2=BP×AB，由此可得到關(guān)于AP的方程，解方程求出符合題意的AP的值.16．答案:證明：∵AD=2，BD=6，∴AB=8，∴ADAC=24=又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC解析：由線段的和差關(guān)系可得AB=AD+BD=8，根據(jù)已知條件可得ADAC17．答案:證明：∵∠APD=90°，∠B=∠C=90°∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=90°∴∠BAP=∠CPD又∵∠B=∠C∴△ABP∽△PCD解析：利用“一線三等角”證明△ABP∽△PCD即可。18．答案:解：△ACD∽△BCA；∵CA∴CACD∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA．解析：根據(jù)兩邊成比例且夾角相等可證△ACD∽△BCA.