專題29 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題29平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)1】平面向量基本定理的應(yīng)用 5【考點(diǎn)2】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 11【考點(diǎn)3】平面向量共線的坐標(biāo)表示 16【分層檢測】 19【基礎(chǔ)篇】 19【能力篇】 26【培優(yōu)篇】 30考試要求：1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.知識梳理知識梳理1.平面向量的基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．52．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．64．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2022·全國·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．參考答案：1．B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.2．D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．3．C【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C4．D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D5．B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．6．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以由可得，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】平面向量基本定理的應(yīng)用一、單選題1．（21-22高一下·重慶北碚·階段練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣西·二模）已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心，，則（

）A． B．C．的面積的最大值為 D．的最小值為4．（2022·廣東惠州·一模）如圖，點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C． D．三、填空題5．（2024·天津紅橋·二模）太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個(gè)對稱的半圓弧組成的，線段MN過點(diǎn)O且兩端點(diǎn)M，N分別在兩個(gè)半圓上，點(diǎn)P是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，令，，若，則；的最小值為．6．（2024·天津·二模）在中，，是的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．設(shè)，，則可用，表示為，若，,則面積的最大值為．參考答案：1．C【分析】根據(jù)基底的知識確定正確答案.【詳解】依題意，不共線，A選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.B選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.C選項(xiàng)，，所以和不能構(gòu)成基底.D選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.故選：C2．D【分析】由平面向量數(shù)量積公式以及平面向量基本定理求解結(jié)果.【詳解】由已知有，，，所以．已知是AC的中點(diǎn)，則，，所以，則．故選：D．3．BC【分析】利用重心性質(zhì)及向量線性運(yùn)算得，即可判斷A，此式平方后結(jié)合基本不等式，向量的數(shù)量積的定義可求得，的最大值，直接判斷B，再結(jié)合三角形面積公式、余弦定理判斷CD．【詳解】是的重心，延長交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，A錯(cuò)；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值是，D錯(cuò)．故選：BC．

4．BC【分析】對A，由正八邊形性質(zhì)可證與平行，即可由基底定義判斷；對B，由正八邊形性質(zhì)可證，即可由向量數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系判斷；對C，由，利用平行四邊形法則即可計(jì)算；對D，由，即可根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算【詳解】連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構(gòu)成一組基底，A項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，所以，B項(xiàng)正確；因?yàn)?，由平行四邊形法則可知，，C項(xiàng)正確；正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，，所以，D項(xiàng)錯(cuò)誤（或者從正八邊形的性質(zhì)可知與的夾角為銳角，則有可判斷D錯(cuò)誤）.故選：BC5．/0【分析】第一空結(jié)合圖形由向量的線性運(yùn)算可得；第二空先由向量的線性運(yùn)算得到，再當(dāng)取得最大值時(shí)計(jì)算可得.【詳解】由圓的對稱性可得為的中點(diǎn)，所以，；，因?yàn)?，所以，所以?dāng)取得最大值2時(shí)，的最小值為0,；故答案為：；0.6．，【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，表示向量；設(shè)，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根據(jù)，以及基本不等式，三角形面積公式，即可求解.【詳解】由點(diǎn)是的中點(diǎn)，則；設(shè)，，則，，，，所以，得,,所以，即，因?yàn)?，所以，，即，即，?dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，所以面積的最大值為.

故答案為：；.反思提升：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.【考點(diǎn)2】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、單選題1．（12-13高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知，若，則（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·湖北十堰·模擬預(yù)測）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，向量與向量的夾角為銳角C．存在，使得D．若，則4．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個(gè)位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．D．設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是三、填空題5．（2022·湖南岳陽·三模）設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運(yùn)動(dòng)(包含B，C兩個(gè)端點(diǎn))，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為．6．（2020·山西·三模）如圖，在△中，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).，則，滿足的等式是.參考答案：1．C【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又，，所以，解?故選：C.2．D【分析】由平面向量的線性運(yùn)算可得，即可求出，進(jìn)而求出的值.【詳解】，所以，所以，所以，.故選：D.3．AD【分析】對A，將1代入公式計(jì)算即可，對B，利用求向量夾角公式可知要判斷夾角性質(zhì)只需要驗(yàn)證結(jié)果，對C，利用共線向量性質(zhì)可得，對D，由向量垂直可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，故A項(xiàng)正確；，當(dāng)時(shí)，，但當(dāng)時(shí)，向量與向量同向，夾角為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，即，解得，故D項(xiàng)正確．故選：AD．4．AD【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的條件及向量相等的條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AJ所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.A選項(xiàng)：易知，，，，所以，，則，所以，所以A正確.B選項(xiàng)：易知，，，，，，所以，，，所以，得，解得，，所以，所以B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：由選項(xiàng)A，B知，則，，，所以C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)：易知，，設(shè)，則，，所以.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值40.所以的取值范圍是，所以D正確.故選：AD.5．[1，2]【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式，結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，設(shè)，所以，因此有，因?yàn)?，，所以有，于是有，因?yàn)?，所以，所以，即，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是題的關(guān)鍵.6．【分析】由可得，結(jié)合條件知，又B、P、D三點(diǎn)共線即可得，的等量關(guān)系【詳解】∵，有又，即∵B、P、D三點(diǎn)共線∴，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的幾何應(yīng)用，結(jié)合定比分點(diǎn)--三點(diǎn)共線求參數(shù)的等量關(guān)系，屬于簡單題反思提升：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.【考點(diǎn)3】平面向量共線的坐標(biāo)表示一、單選題1．（23-24高二上·四川綿陽·期末）直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．2．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件二、多選題3．（2024·山東聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量為，則（

）A． B．C． D．與的夾角為4．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．對空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若，其中，，且，則四點(diǎn)共面B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C．若，共線，則D．若，共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得三、填空題5．（22-23高三上·廣西貴港·階段練習(xí)）已知向量，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則．6．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，設(shè)向量，，若向量與向量共線，則角．參考答案：1．A【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個(gè)方向向量，再求與共線的向量即可.【詳解】直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量，對于A，因，即向量與共線，A是；對于B，因，即向量與不共線，B不是；對于C，因，即向量與不共線，C不是；對于D，因，即向量與不共線，D不是.故選：A.2．A【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算求出的值，判斷得解.【詳解】向量，，若與共線，則.解得或，所以“”是“與共線”的充分不必要條件，故選：A.3．ACD【分析】根據(jù)投影向量的公式求出的值，再根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，即，所以，即，解得，故A正確；對于B，，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，，所以，故C正確；對于D，，所以與的夾角為，故D正確.故選：ACD.4．BCD【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平面向量共線的坐標(biāo)表示判斷B，利用特殊值判斷C、D.【詳解】對于A：因?yàn)?，則，所以，即，所以，所以四點(diǎn)共面，故A正確；對于B：因?yàn)?，，與的夾角為鈍角，所以且與不共線反向，若，則，解得；若與共線，則，解得，綜上可得或，故B錯(cuò)誤；對于C：若、同向且，此時(shí)，即不成立，故C錯(cuò)誤；對于D：若，，顯然與共線，但是不存在使得，故D錯(cuò)誤.故選：BCD5．5【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由A，B，C三點(diǎn)共線知，則，解得．故答案為：5．6．【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，得，利用余弦定理求出，可得角.【詳解】因?yàn)橄蛄浚簿€，所以，即，得，在中，由余弦定理得，，又，所以．故答案為：.反思提升：1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．2．（2023·廣東·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．3．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個(gè)向量，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江溫州·三模）平面向量，若，則（

）A． B．1 C． D．2二、多選題5．（2021·全國·模擬預(yù)測）在中，，，分別是邊，，的中點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、為三個(gè)單位向量，且，若（），則的可能取值為（

）A． B． C． D．7．（2023·廣東·二模）若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則與同向的單位向量為C．若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若，則的最小值為三、填空題8．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知向量，，則，則實(shí)數(shù).9．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則．10．（2023·河南·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則.四、解答題11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點(diǎn)N滿足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．12．（2023·湖南永州·二模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且向量與向量共線.(1)求；(2)若的面積為，求的值.參考答案：1．C【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】如圖所示，由題意可得，而.故選：C．2．B【分析】利用坐標(biāo)法，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)利用坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理即得.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)，則，，，，，故，，.設(shè)，則，解得，所以.故選：B.3．B【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合模的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】由，得，則，即，因此，所以.故選：B4．A【分析】根據(jù)向量平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】，由于，所以，解得，故選：A5．BCD【分析】由向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷A；由平行四邊形法則判斷B；根據(jù)向量的加減法以及數(shù)乘運(yùn)算判斷C；由重心的性質(zhì)結(jié)合數(shù)乘以及平行四邊形法則判斷D.【詳解】因?yàn)?，，分別是邊，，的中點(diǎn)，所以，故A錯(cuò)誤；由平行四邊形法則可知，，故B正確；，故C正確；由題意知，點(diǎn)為的重心，所以，D正確.故選：BCD.6．ABC【解析】以向量、方向?yàn)閤，y軸建立坐標(biāo)系，則終點(diǎn)在單位圓上的向量，可計(jì)算取值范圍，即得結(jié)果.【詳解】依題意，、是一組垂直的單位向量，如圖建立坐標(biāo)系，向量、作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓上任一點(diǎn)C（表示由x軸非負(fù)半軸旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角）構(gòu)成的向量，，因?yàn)?，，，，所以，故，，故，故可以是選項(xiàng)中的0，1，.故選：ABC.7．BD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可判斷AB選項(xiàng)，再根據(jù)向量夾角公式可判斷C選項(xiàng)，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示及基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】由，，A選項(xiàng)：，則，解得，則，，所以不存在，使，即，不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，則，解得，即，，，所以與同向的單位向量為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：時(shí)，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，D選項(xiàng)正確；故選：BD.8．2【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求，結(jié)合向量平行坐標(biāo)表示求.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解得，故答案為?9．【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出和，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】，即，，，，，.故答案為：.10．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量數(shù)量積.【詳解】，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，則，有，，，，，.故答案為：11．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)幾何圖形進(jìn)行線性運(yùn)算即可；（2）利用向量共線定理即可證明.【詳解】（1）因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，則，.（2）因?yàn)椋?，則，所以，即，所以，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.

12．(1)(2)【分析】（1）由向量共線列出等式，用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求得角；（2）由面積公式解出的值，再由余弦定理解得的值.【詳解】（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，且，則（

）A． B． C． D．2二、多選題2．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在直角梯形中，為中點(diǎn)，分別為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，若，則的值可能是（

）

A．1 B． C． D．3三、填空題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，點(diǎn)，，．若與的交點(diǎn)為，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,四、解答題4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖在中，，滿足.

(1)若，求的余弦值；(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，求的最小值.參考答案：1．D【分析】由知與的夾角為，所以，由平行向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由得與的夾角為．，，由得，故．當(dāng)時(shí)，，與的夾角為；當(dāng)時(shí)，，與的夾角為，舍去．故選：D．2．AB【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)列方程可得，然后可得.【詳解】

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則設(shè)，則∵，∴，∴整理得，因?yàn)?，所以故選：AB.3．【分析】利用平行四邊形法則表示出向量，利用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出向量的坐標(biāo)，由為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以即可得的坐標(biāo)【詳解】在平行四邊形中，因?yàn)榕c的交點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，所以，由為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以向量的坐標(biāo)即為的坐標(biāo)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：.4．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，在和中利用正弦定理，建立等量關(guān)系求的余弦值；（2）利用C、M、D三點(diǎn)共線，求得，再根據(jù)三角形的面積求得，根據(jù)向量數(shù)量積求，展開后利用基本不等式求最小值.【詳解】（1）由題意可設(shè)，在中①在中②由①②可得，解得，則，解得.故.（2），且C、M、D三點(diǎn)共線，所以，，故．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；所以.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（22-23高三上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）①；②若，則雙曲線的離心率；③；④.A．①② B．①③ C．①