專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）原卷版

2/2專題31復(fù)數(shù)（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】復(fù)數(shù)的概念 4【考點(diǎn)2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 5【考點(diǎn)3】復(fù)數(shù)的幾何意義 6【考點(diǎn)4】復(fù)數(shù)與方程 7【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).(2)分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系z(mì)·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．22．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．14．（2023·全國(guó)·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2022·全國(guó)·高考真題）（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．29．（2021·全國(guó)·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．12．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】復(fù)數(shù)的概念一、單選題1．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．1012 B．1011 C． D．2．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分條件D．“”是“”的充分不必要條件三、填空題5．（2024·貴州黔南·二模）為虛數(shù)單位，若是以的實(shí)部為虛部、以的虛部為實(shí)部的復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為.6．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則，的實(shí)部為．反思提升：1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部b＝0，與實(shí)部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實(shí)部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0且b≠0.2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，則eq\o(z,\s\up6(－))＝z.【考點(diǎn)2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算一、單選題1．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．22．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知，是方程的兩個(gè)復(fù)根，則（

）A．2 B．4 C． D．二、多選題3．（2024·河南·二模）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的實(shí)部為B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．D．4．（2023·重慶·二模）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．若且，則 D．若，則三、填空題5．（22-23高三上·天津南開·期中）已知（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則．6．（2024·福建廈門·三模）復(fù)數(shù)滿足，，則.反思提升：(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).【考點(diǎn)3】復(fù)數(shù)的幾何意義一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題3．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（

）A． B．C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上 D．的最大值為4．（2024·江西·二模）已知復(fù)數(shù)（且，為虛數(shù)單位），若，則下列說法正確的是（

）A．在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限B．C．D．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為三、填空題5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.6．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.反思提升：1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.【考點(diǎn)4】復(fù)數(shù)與方程一、單選題1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的有（

）A．若，則B．若是關(guān)于x的方程（p，）的一個(gè)根，則C．若，則D．若，則或二、多選題3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知，方程有一個(gè)虛根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)虛根為，則（

）A． B．該方程的實(shí)數(shù)根為1C． D．4．（2024·浙江溫州·三模）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，其中，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·河南·三模）已知（i為虛數(shù)單位），z為實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則．6．（2024·廣東廣州·二模）若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù).反思提升：(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高一下·浙江·期中）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）若為純虛數(shù)，則（

）A．2 B．4 C． D．4．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知（為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．二、多選題5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都位于第四象限B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上C．D．的最小值為46．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若則（

）A． B．C． D．是純虛數(shù)7．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則或 D．若且，則三、填空題8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為.9．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為．10．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.四、解答題11．（22-23高一下·福建三明·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).(1)若，求的值；(2)，，求.12．（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知復(fù)數(shù)（a，），存在實(shí)數(shù)t，使成立.(1)求證：為定值；(2)若，求a的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)和滿足，則（

）A．1 B． C． D．2二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最小值為3 D．的最小值為3三、填空題3．（2024·上海靜安·二模）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．四、解答題4．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，且．(1)求m的值；(2)若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求該一元二