2022年中考數(shù)學三輪復習：數(shù)與式(附答案解析)

第第頁2022年中考數(shù)學三輪復習：數(shù)與式一．選擇題（共10小題）1．（2021?任城區(qū)二模）記sn＝a1+a2+…+an，令Tn＝，則Tn為a1，a2，…，an，這列數(shù)的“凱森和”．已知a1，a2，…a500的“凱森和”為2004，那么18，a1，a2，…a500的“凱森和”為（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20212．（2021?婁底模擬）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)，已知a1＝5，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)…，依此類推，a2020的值是（）A． B．﹣ C． D．53．（2021?陽谷縣一模）我國南宋數(shù)學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按n的次數(shù)由大到小的順序）．請依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含x2019項的系數(shù)是（）A．﹣2021 B．2021 C．4042 D．﹣40424．（2021?開平區(qū)一模）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和．下列等式中，根據(jù)上面的規(guī)律，用含有n（n為大于等于1的整數(shù)）的等式表示上面關系正確的是（）A．n+n+2＝n2 B．n（n+3）＝n2 C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1 D．5．（2021?懷寧縣模擬）已知實數(shù)a≠b≠c≠0，且滿足＝a+6，＝b+6，則+﹣的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．（2021?渝中區(qū)校級三模）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是（）A．34 B．40 C．49 D．597．（2021?嘉善縣一模）已知一列數(shù)a1，a2，a3，…，具有如下規(guī)律：a2n+1＝an+an+1，a2n＝an（n是正整數(shù)）．若a1＝1，則a37的值為（）A．1 B．5 C．7 D．118．（2021?云南模擬）觀察下列關于x的單項式，探究其規(guī)律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述規(guī)律，則第2020個單項式是（）A．6061x2020 B．﹣6061x2020 C．6058x2020 D．﹣6058x20209．（2020?江漢區(qū)模擬）把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組，（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31）…，若AM＝（i，j）表示正奇數(shù)M是第i組第j個數(shù)（從左往右數(shù)），若A7＝（2，3），則A2019＝（）A．（32，26） B．（32，49） C．（45，42） D．（45，80）10．（2020?新野縣三模）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分[如圖（1）]，畫2條直線，最多能把白紙分成4部分[如圖（2）]，畫3條直線，最多能把白紙分成7部分[如圖（3）]，當在一張白紙上畫20條直線，最多能把白紙分成（）部分．A．190 B．191 C．210 D．211二．填空題（共5小題）11．（2021?北京模擬）《孫子算經(jīng)》是中國南北朝時期重要的數(shù)學專著，其中包含了“雞兔同籠”“物不知數(shù)”等許多有趣的數(shù)學問題．《孫子算經(jīng)》中記載：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”其譯文為：“有一個正整數(shù)，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的正整數(shù)．”請用含有k的代數(shù)式表示滿足條件的所有正整數(shù)．12．（2021?洪澤區(qū)二模）將2021個邊長為1的正方形按如圖所示的方式排列，點A，A1，A2，A3，…，A2021和點M，M1，M2，…，M2020是正方形的頂點，連接AM1，AM2，AM3，…，AM2020，分別交正方形的邊A1M，A2M1，A3M2，…，A2020M2019于點N1，N2，N3，…，N2020，則N2020A2020長為．13．（2021?徐匯區(qū)二模）古希臘數(shù)學家把下列一組數(shù)：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形數(shù)，這組數(shù)有一定的規(guī)律性，如果把第一個三角形數(shù)記為x1，第二個三角形數(shù)記為x2，…，第n個三角形數(shù)記為xn，那么xn﹣1+xn的值是（用含n的式子表示）．14．（2021?長沙模擬）規(guī)定：在一個矩形中，先剪下一個最大的正方形稱為裁剪1次，再在剩余的圖形中剪下一個最大的正方形稱為裁剪2次，……依次進行，若裁剪n次后，最后剩余的圖形也是一個正方形，我們把這樣的矩形稱為完美矩形．已知在完美矩形中，兩條相鄰邊長分別為4，a，若a＝7，則n＝；若1＜a＜3，且n＝3，則a＝．15．（2021?咸寧模擬）下面是一組有規(guī)律的算式，根據(jù)其中規(guī)律，第n個算式為：12+22+32+…+n2＝．12＝；第1個算式12+22＝；第2個算式12+22+32＝；第3個算式12+22+32+42＝；第4個算式…三．解答題（共5小題）16．（2021?五蓮縣模擬）（1）計算：；（2）先化簡，再求值，其中a，b滿足．17．（2021?重慶模擬）一個三位自然數(shù)a，滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和不超過10，并且個位數(shù)字與百位數(shù)字不同，我們稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．將a的個位數(shù)字與百位數(shù)字交換得到一個新數(shù)a'，記G（a）＝．例如，當a＝125時，a'＝521，G（125）＝＝﹣36；當a＝370時，a'＝73，G（370）＝＝27．（1）判斷236（選填“是”或“不是”）完美數(shù)，計算G（321）＝；（2）已知兩個“完美數(shù)”m，n，滿足m＝100a+10+b，n＝100c+d（0≤b＜a≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d為整數(shù)），若G（m）能被7整除，且G（m）+G（n）＝9（d+2），求m﹣n的最小值．18．（2021?德州模擬）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為a1，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為a2，依次類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為an．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．如：數(shù)列1，3，5，7，…為等差數(shù)列，其中a1＝1，a4＝7，公差為d＝2．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等差數(shù)列5，10，15，…的公差d為，第5項是．（2）如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an…，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，…由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：an＝a1+（）d．（3）﹣4040是不是等差數(shù)列﹣5，﹣8，﹣11…的項？如果是，是第幾項？（4）如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an…，是等差數(shù)列，且公差為d，前n項的和記為Sn，請用含a1，n，d的代數(shù)式表示Sn，Sn＝．19．（2021?重慶模擬）任意一個正整數(shù)n，都可以表示為：n＝a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均為正整數(shù)），在n的所有表示結果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我們就稱a×b×c是n的“階梯三分法”，并規(guī)定：F（n）＝，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因為|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的階梯三分法，即F（6）＝＝2．（1）如果一個正整數(shù)p是另一個正整數(shù)q的立方，那么稱正整數(shù)p是立方數(shù)，求證：對于任意一個立方數(shù)m，總有F（m）＝2．（2）t是一個兩位正整數(shù)，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均為整數(shù)），t的23倍加上各個數(shù)位上的數(shù)字之和，結果能被13整除，我們就稱這個數(shù)t為“滿意數(shù)”，求所有“滿意數(shù)”中F（t）的最小值．20．（2021?威遠縣一模）閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項，記為a1，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為an．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數(shù)列1，3，9，27，…為等比數(shù)列，其中a1＝1，公比為q＝3．然后解決下列問題．（1）等比數(shù)列3，6，12，…的公比q為，第4項是．（2）如果已知一個等比數(shù)列的第一項（設為a1）和公比（設為q），則根據(jù)定義我們可依次寫出這個數(shù)列的每一項：a1，a1q，a1?q2，a1?q3，…．由此可得第n項an＝（用a1和q的代數(shù)式表示）．（3）若一等比數(shù)列的公比q＝2，第2項是10，求它的第1項與第4項．（4）已知一等比數(shù)列的第3項為12，第6項為96，求這個等比數(shù)列的第10項．

2022年中考數(shù)學三輪復習：數(shù)與式參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2021?任城區(qū)二模）記sn＝a1+a2+…+an，令Tn＝，則Tn為a1，a2，…，an，這列數(shù)的“凱森和”．已知a1，a2，…a500的“凱森和”為2004，那么18，a1，a2，…a500的“凱森和”為（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；推理能力．【分析】先根據(jù)已知求出T500的值，再設出新的凱森和Tx，列出式子，把得數(shù)代入，即可求出結果．【解答】解：∵Tn＝，∴T500＝2004，∴S1+S2++S500＝2004×500＝1002000，∴18，a1，a2，…a500的“凱森和”為＝＝＝18+2000＝2018．故選：A．【點評】此題考查了數(shù)字的變化類，解題的關鍵是掌握“凱森和”這個新概念，找出其中的規(guī)律，再根據(jù)新概念對要求的式子進行變形整理即可．2．（2021?婁底模擬）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)，已知a1＝5，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)…，依此類推，a2020的值是（）A． B．﹣ C． D．5【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；倒數(shù)．【專題】規(guī)律型；數(shù)感；運算能力．【分析】根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個數(shù)便不難發(fā)現(xiàn)，每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2020除以3，根據(jù)余數(shù)的情況確定出與a2020相同的數(shù)即可得解．【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝﹣，a3＝＝，a4＝＝5，…，∴數(shù)列以5，﹣，三個數(shù)依次不斷循環(huán)，∵2020÷3＝673…1，∴a2020＝a1＝5，故選：D．【點評】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，理解差倒數(shù)的定義并求出每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵．3．（2021?陽谷縣一模）我國南宋數(shù)學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按n的次數(shù)由大到小的順序）．請依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含x2019項的系數(shù)是（）A．﹣2021 B．2021 C．4042 D．﹣4042【考點】完全平方公式；數(shù)學常識；規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；猜想歸納；整式；數(shù)感；運算能力；推理能力．【分析】根據(jù)特殊到一般的數(shù)學思想進行分析歸納．【解答】解：由題意得，含x2019項為＝﹣4042x2019．∴展開式中含x2019項的系數(shù)是﹣4042．故選：D．【點評】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握特殊到一般的數(shù)學思想是解決本題的關鍵．4．（2021?開平區(qū)一模）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和．下列等式中，根據(jù)上面的規(guī)律，用含有n（n為大于等于1的整數(shù)）的等式表示上面關系正確的是（）A．n+n+2＝n2 B．n（n+3）＝n2 C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1 D．【考點】數(shù)學常識；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；平方差公式；函數(shù)關系式．【專題】猜想歸納；數(shù)感；運算能力．【分析】根據(jù)特殊到一般的數(shù)學思想解決此題．【解答】解：第1個圖形，（1+1）2＝4＝1+（1+2）；第2個圖形，（2+1）2＝9＝1+2+（1+2+3）；第3個圖形，（3+1）2＝16＝1+2+3+（1+2+3+4）；第4個圖形，（4+1）2＝25＝1+2+3+4+（1+2+3+4+5）；…第n﹣1個圖形，（n﹣1+1）2＝n2＝1+2+3+…+n﹣1+（1+2+3+…+n）；第n個圖形，（n+1）2＝1+2+3+…+n+（1+2+3+…+n+n+1）．∴．故選：D．【點評】本題主要考查規(guī)律型，熟練掌握特殊到一般的數(shù)學思想是解決本題的關鍵．5．（2021?懷寧縣模擬）已知實數(shù)a≠b≠c≠0，且滿足＝a+6，＝b+6，則+﹣的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考點】分式的化簡求值．【專題】分式；運算能力．【分析】根據(jù)＝a+6，＝b+6，通過變形，可以得到a+b的值，然后再將所求式子變形，即可得到所求式子的值．【解答】解：∵＝a+6，＝b+6，∴c＝a2+6a，c＝b2+6b，∴a2+6a＝b2+6b，a2＝c﹣6a，b2＝c﹣6b，∴a2﹣b2＝﹣6（a﹣b），∴（a+b）（a﹣b）＝﹣6（a﹣b），∵a≠b≠c，∴a﹣b≠0，∴a+b＝﹣6，∴+﹣＝＝＝2﹣＝2﹣0＝2，故選：D．【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是求出a+b的關系．6．（2021?渝中區(qū)校級三模）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是（）A．34 B．40 C．49 D．59【考點】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】壓軸題；規(guī)律型；猜想歸納；推理能力．【分析】觀察與比較每個圖案相同點與不同點，得出后一個圖案總是在與之相鄰的前一個圖案基礎上有規(guī)律地增加圓點數(shù)，即在前一個圖案的基礎上增加比圖案序號數(shù)多一個的圓點數(shù)，從而解決該題．【解答】解：當n＝1時，第1個圖案的圓點的個數(shù)是y1＝5+2＝7個．當n＝2時，第2個圖案的圓點的個數(shù)是y2＝y(tǒng)1+3＝5+2+3＝10個．當n＝3時，第3個圖案的圓點的個數(shù)是y3＝y(tǒng)2+4＝5+2+3+4＝14個．當n＝4時，第4個圖案的圓點的個數(shù)是y4＝y(tǒng)3+5＝5+2+3+4+5＝19．..．以此類推，第n個圖案的圓點的個數(shù)是yn＝5+2+3+4+...+（n+1）＝個．∴當n＝8時，第8個圖案的圓點的個數(shù)是個．故選：C．【點評】本題主要考查學生的觀察能力，運用特殊到一般的數(shù)學思想解決此類規(guī)律題．7．（2021?嘉善縣一模）已知一列數(shù)a1，a2，a3，…，具有如下規(guī)律：a2n+1＝an+an+1，a2n＝an（n是正整數(shù)）．若a1＝1，則a37的值為（）A．1 B．5 C．7 D．11【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】創(chuàng)新題型；能力層次．【分析】根據(jù)題干公式尋找規(guī)律．【解答】解：由a2n+1＝an+an+1，a2n＝an（n是正整數(shù)）可得：a37＝a18+a19＝2a9+a10＝2（a4+a5）+a5＝2a4+3a5＝2a2+3a3＝2a2+3（a2+a3）＝5a2+3a3＝8a1+3a2＝11a1＝11．故選：D．【點評】考查數(shù)字變化規(guī)律，解題關鍵是根據(jù)題中規(guī)律拆項．8．（2021?云南模擬）觀察下列關于x的單項式，探究其規(guī)律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述規(guī)律，則第2020個單項式是（）A．6061x2020 B．﹣6061x2020 C．6058x2020 D．﹣6058x2020【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項式．【專題】規(guī)律型；推理能力．【分析】根據(jù)題目中的單項式，可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，從而可以寫出第n個單項式，進而求得第2020個單項式，本題得以解決．【解答】解：∵一列關于x的單項式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，∴第n個單項式為：（﹣1）n?（3n﹣2）xn，∴第2020個單項式是（﹣1）2020?（3×2020﹣2）x2020＝6058x2020，故選：C．【點評】考查數(shù)字的變化類、單項式，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項式的變化規(guī)律．9．（2020?江漢區(qū)模擬）把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組，（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31）…，若AM＝（i，j）表示正奇數(shù)M是第i組第j個數(shù)（從左往右數(shù)），若A7＝（2，3），則A2019＝（）A．（32，26） B．（32，49） C．（45，42） D．（45，80）【考點】有理數(shù)大小比較；規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；推理能力．【分析】由題意可知2019是第1010個數(shù)，由1+3+5+7+…+2n﹣1≥1010，確定1010在第32組，第1024個數(shù)是1024×2﹣1＝2047，第32組的第一數(shù)是2×962﹣1＝1923，則2019是第+1＝49個數(shù)，即可求解．【解答】解：由已知可知，第一組1個奇數(shù)，第二組3個奇數(shù)，第三組5個奇數(shù)，…2019是第1010個數(shù)，設2019在第n組，則1+3+5+7+…+2n﹣1≥1010，∴n＞31，當n＝31時，1+3+5+7+…+61＝961，當n＝32時，1+3+5+8+…+63＝1024，∴1010個數(shù)在第32組，第1024個數(shù)是1024×2﹣1＝2047，第32組的第一數(shù)是2×962﹣1＝1923，則2019是第+1＝49個數(shù)，∴2019是第32組第49個數(shù)．故選：B．【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律；理解題意，利用奇數(shù)和給出的分組特點，逐步確定具體位置是解題的關鍵．10．（2020?新野縣三模）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分[如圖（1）]，畫2條直線，最多能把白紙分成4部分[如圖（2）]，畫3條直線，最多能把白紙分成7部分[如圖（3）]，當在一張白紙上畫20條直線，最多能把白紙分成（）部分．A．190 B．191 C．210 D．211【考點】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】規(guī)律型；運算能力．【分析】根據(jù)題意可得n＝1，a1＝1+1；n＝2，a2＝a1+2；n＝3，a3＝a2+3…；n＝n，an＝an﹣1+n，以上式子相加整理可得一般式，進而可得結果．【解答】解：根據(jù)題意得：n＝1，a1＝1+1；n＝2，a2＝a1+2；n＝3，a3＝a2+3…；n＝n，an＝an﹣1+n，以上式子相加整理得，．∴20條直線最多能把白紙分為：部分．故選：D．【點評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．二．填空題（共5小題）11．（2021?北京模擬）《孫子算經(jīng)》是中國南北朝時期重要的數(shù)學專著，其中包含了“雞兔同籠”“物不知數(shù)”等許多有趣的數(shù)學問題．《孫子算經(jīng)》中記載：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”其譯文為：“有一個正整數(shù)，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的正整數(shù)．”請用含有k的代數(shù)式表示滿足條件的所有正整數(shù)105k+23．【考點】列代數(shù)式．【專題】整式；符號意識；運算能力；推理能力．【分析】先確定出除以21余2的最小正整數(shù)為23，此時也滿足除以5余3，再確定出3，5，7的最小公倍數(shù)，即可得出結論．【解答】解：∵一個正整數(shù)，除以3余2，除以7余2，∴這個正整數(shù)除以21也余2，∴除以21余2的最小正整數(shù)為23，而23÷5＝4???3，∴滿足條件的最小正整數(shù)為23，∵3，5，7的最小公倍數(shù)為3×5×7＝105，∴符合條件的正整數(shù)為105k+23，故答案為105k+23．【點評】此題主要考查了列代數(shù)式，同余問題，最小公倍數(shù)的求法，確定出滿足條件的最小正整數(shù)為23是解本題的關鍵．12．（2021?洪澤區(qū)二模）將2021個邊長為1的正方形按如圖所示的方式排列，點A，A1，A2，A3，…，A2021和點M，M1，M2，…，M2020是正方形的頂點，連接AM1，AM2，AM3，…，AM2020，分別交正方形的邊A1M，A2M1，A3M2，…，A2020M2019于點N1，N2，N3，…，N2020，則N2020A2020長為．【考點】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】幾何圖形；幾何直觀．【分析】因為圖形是由邊長為1的正方形組成，所以圖象里有多個三角形相似，可以利用“A字型”相似求解即可．【解答】解：由題意可得△AA1N1∽△AA2M1，∴＝，∵正方形的邊長都為1，∴N1A1＝．同理可得△AA2020N2020∽△AA2021M2020，∴＝＝，∴N2020A2020＝．故答案為．【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對應邊的比相等是解題的關鍵．13．（2021?徐匯區(qū)二模）古希臘數(shù)學家把下列一組數(shù)：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形數(shù)，這組數(shù)有一定的規(guī)律性，如果把第一個三角形數(shù)記為x1，第二個三角形數(shù)記為x2，…，第n個三角形數(shù)記為xn，那么xn﹣1+xn的值是n2（用含n的式子表示）．【考點】數(shù)學常識；列代數(shù)式；規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】創(chuàng)新題型；解題思想；數(shù)感；推理能力；應用意識．【分析】此題注意對數(shù)據(jù)（數(shù)列）的分析：（1）數(shù)據(jù)依次差2，3，4，5，6，…；（2）數(shù)據(jù)擴大2倍，形成新數(shù)據(jù)：2，6，12，20，30，42，…，可以依次改成相鄰兩個正整數(shù)的乘積．這樣可以得到第n個數(shù)的規(guī)律．【解答】將條件數(shù)據(jù)1、3、6、10、15、21、…，依次擴大2倍得到：2，6，12，20，30，42，…，這組新數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)可以改寫成兩個相鄰正整數(shù)的乘積，即2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，…，∴，（n≥1）．所以．故答案是：n2．【點評】此題是對數(shù)字規(guī)律的考查，關鍵是對數(shù)字有“數(shù)感”，從特殊到一般的探尋．14．（2021?長沙模擬）規(guī)定：在一個矩形中，先剪下一個最大的正方形稱為裁剪1次，再在剩余的圖形中剪下一個最大的正方形稱為裁剪2次，……依次進行，若裁剪n次后，最后剩余的圖形也是一個正方形，我們把這樣的矩形稱為完美矩形．已知在完美矩形中，兩條相鄰邊長分別為4，a，若a＝7，則n＝4；若1＜a＜3，且n＝3，則a＝或．【考點】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】推理填空題；分類討論；數(shù)據(jù)分析觀念．【分析】第一空可以直接代入數(shù)字進行推理．第二空給了a的取值范圍，因此第一次裁剪后可以得到兩邊分別為a，4﹣a．第二次裁剪不能確定兩個鄰邊的大小，所以需要分情況討論．再根據(jù)第三次裁剪是正方形，可以列等式求出a的值．【解答】解：（1）由題中裁剪方法知，當a＝7時，第一次裁剪后剩余的邊長分別為3，4；第二次裁剪后剩余的邊長分別為1，3；第三次裁剪后剩余的邊長分別為1，2；第四次裁剪后剩余的邊長分別為1.1．∴n＝4．（2）∵1＜a＜3，且n＝3，∴第一次裁剪后剩余的邊長分別為a，4﹣a．①若4﹣a＞a，即a＜2．第二次裁剪后剩余的邊長分別為4﹣2a，a．Ⅰ若4﹣2a＞a，即a＜，則第三次裁剪后剩余的邊長分別為4﹣3a，a，此圖形為正方形，∴4﹣3a＝a，∴a＝1（舍去）．Ⅱ若4﹣2a＜a，即a＞，則第三次裁剪后剩余的邊長分別為3a﹣4，4﹣2a，∴3a﹣4＝4﹣2a，∴a＝．②若4﹣a＜a，即a＞2，則第二次裁剪后剩余的邊長分別為4﹣a，2a﹣4．Ⅰ若4﹣a＞2a﹣4，即a＜，則第三次裁剪后剩余的邊長分別為8﹣3a，2a﹣4．∵第三次裁剪后的圖形為正方形，∴8﹣3a＝2a﹣4，∴a＝．Ⅱ若4﹣a＜2a﹣4，即a＞，則第三次裁剪后剩余的邊長分別為4﹣a，3a﹣8．∵第三次裁剪后的圖形為正方形，∴4﹣a＝3a﹣8，∴a＝3（舍去）．故答案為4；或．【點評】此題考查的是圖形的推理能力，分析圖形的關系并掌握分情況討論是解題的關鍵．15．（2021?咸寧模擬）下面是一組有規(guī)律的算式，根據(jù)其中規(guī)律，第n個算式為：12+22+32+…+n2＝．12＝；第1個算式12+22＝；第2個算式12+22+32＝；第3個算式12+22+32+42＝；第4個算式…【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運算．【專題】規(guī)律型；推理能力．【分析】根據(jù)所給算式分母為6，分子為n（n+1）（2n+1）求解．【解答】解：12＝，第一個算式，12+22＝，第二個算式，12+22+32＝，第三個算式，???12+22+32+…+n2＝，第n個算式．故答案為：．【點評】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，解題關鍵是通過前三個算式找出數(shù)字變化規(guī)律．三．解答題（共5小題）16．（2021?五蓮縣模擬）（1）計算：；（2）先化簡，再求值，其中a，b滿足．【考點】分式的化簡求值；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負數(shù)的性質(zhì)：算術平方根；實數(shù)的運算．【專題】實數(shù)；分式；運算能力．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值可以解答本題；（2）根據(jù)分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，然后根據(jù)．可以得到a、b的值，然后代入化簡后的式子計算即可．【解答】解：（1）＝（﹣1）++1﹣4×+﹣2＝（﹣1）++1﹣2+2﹣2＝﹣；（2）＝﹣＝＝﹣，∵，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得a＝2，b＝﹣1，當a＝2，b＝﹣1時，原式＝﹣＝﹣1．【點評】本題考查分式的化簡求值、特殊角的三角函數(shù)值、有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．17．（2021?重慶模擬）一個三位自然數(shù)a，滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和不超過10，并且個位數(shù)字與百位數(shù)字不同，我們稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．將a的個位數(shù)字與百位數(shù)字交換得到一個新數(shù)a'，記G（a）＝．例如，當a＝125時，a'＝521，G（125）＝＝﹣36；當a＝370時，a'＝73，G（370）＝＝27．（1）判斷236不是（選填“是”或“不是”）完美數(shù)，計算G（321）＝18；（2）已知兩個“完美數(shù)”m，n，滿足m＝100a+10+b，n＝100c+d（0≤b＜a≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d為整數(shù)），若G（m）能被7整除，且G（m）+G（n）＝9（d+2），求m﹣n的最小值．【考點】列代數(shù)式；因式分解的應用．【專題】整式．【分析】（1）根據(jù)定義可直接判斷236不是完美數(shù)，根據(jù)新定義的運算法則算出G（321）即可；（2）先算出G（m）和G（n）的值，寫出a，c，d的關系，再由已知條件列出可能的情況，根據(jù)完美數(shù)的定義確定c，d的值，最后求出n．【解答】解：（1）∵2+3+6＝11＞10，∴236不是完美數(shù)，根據(jù)題意，G（321）＝＝18；故答案為：不是；18．（2）∵m＝100a+10+b，∴m'＝100b+10+a，∵n＝100c+d，∴n'＝100d+c，∴G（m）+G（n）＝+＝9（d+2），∴a﹣b+c＝2d+2，設G（m）＝7x，x為整數(shù)，∴＝7x，即9（a﹣b）＝7x，∵0≤b＜a≤9，∴滿足條件的a只有7或8或9，當a＝9時，m不是完美數(shù)，故舍去，當a＝8時，b＝1，這個數(shù)是811，是完美數(shù)，此時，8﹣1+c＝2d+2，即c＝2d﹣5，∵0≤c≤9，0≤d≤9，∴d＝3，c＝1時，n＝301，則m﹣n＝510；d＝4，c＝3時，n＝403，則m﹣n＝811﹣403＝408；d＝5，c＝5時，n＝505，則m﹣n＝811﹣505＝306；d＝6，c＝7（舍去），∴共有三種情況，最小的為306；當a＝7時，b＝0，這個數(shù)是710，是完美數(shù)，此時，7﹣0+c＝2d+2，即c＝2d﹣5，∵0≤c≤9，0≤d≤9，∴d＝3，c＝1時，n＝301，則m﹣n＝710﹣301＝409；d＝4，c＝3時，n＝403，則m﹣n＝710﹣403＝302；d＝5，c＝5時，n＝505，則m﹣n＝710﹣505＝205；d＝6，c＝7（舍去），∴共有三種情況，最小的為205；綜上，m﹣n的最小值為205．【點評】本題主要考查新定義的運算和應用，正確理解新定義的運算是解題的關鍵．18．（2021?德州模擬）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為a1，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為a2，依次類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為an．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．如：數(shù)列1，3，5，7，…為等差數(shù)列，其中a1＝1，a4＝7，公差為d＝2．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等差數(shù)列5，10，15，…的公差d為5，第5項是25．（2）如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an…，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，…由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：an＝a1+（n﹣1）d．（3）﹣4040是不是等差數(shù)列﹣5，﹣8，﹣11…的項？如果是，是第幾項？（4）如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an…，是等差數(shù)列，且公差為d，前n項的和記為Sn，請用含a1，n，d的代數(shù)式表示Sn，Sn＝．．【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；推理能力．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得答案；（2）根據(jù)前面幾個式子的規(guī)律可得等差數(shù)列的通項公式；（3）把﹣4040代入（2）中得到的公式可得答案；（4）把前面幾個數(shù)字相加可得Sn．【解答】解：（1）∵10﹣5＝5，15﹣10＝5，∴d＝5，后面的幾項分別是20、25、30…，∴第5項是25．故答案為：5，25．（2）∵a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，…∴an＝a1+（n﹣1）d．故答案為：n﹣1．（3）∵d＝﹣8+5＝﹣3，∴﹣4040＝﹣5+（n﹣1）×（﹣3），解得n＝1346，∴﹣4040是等差數(shù)列﹣5，﹣8，﹣11…的項，是第1346項．（4）Sn＝a1+a2+a3+…+an＝a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n﹣1）d]＝．故答案為：．【點評】本題考查了數(shù)字變化類問題，解決問題的關鍵是找出變化規(guī)律，認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．19．（2021?重慶模擬）任意一個正整數(shù)n，都可以表示為：n＝a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均為正整數(shù)），在n的所有表示結果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我們就稱a×b×c是n的“階梯三分法”，并規(guī)定：F（n）＝，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因為|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的階梯三分法，即F（6）＝＝2．（1）如果一個正整數(shù)p是另一個正整數(shù)q的立方，那么稱正整數(shù)p是立