應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換應(yīng)力張量課件

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換應(yīng)力張量坐標(biāo)變換包括平移、旋轉(zhuǎn)和反射。對右手坐標(biāo)系，平移和旋轉(zhuǎn)變換后仍保持右手系，反射變換則變成左手系。對平移變換，一點的應(yīng)力分量保持不變。本節(jié)主要討論坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換是應(yīng)力分量的變化規(guī)律考察物體內(nèi)任一點o，設(shè)oxyz為舊坐標(biāo)系，其單位矢量為e1、e2、e3，相應(yīng)的應(yīng)力分量為xyze1e2e3z’x’y’e1’e2’e3’設(shè)ox’y’z’為新坐標(biāo)，其單位矢量為e1’、e2’、e3’

。相應(yīng)的應(yīng)力分量為新舊坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸間的方向余弦為xyzx’l1=a1’1m1=a1’2n1=a1’3y’l2=a2’1m2=a2’2n2=a2’3z’l3=a3’1m3=a3’2n3=a3’3作斜面abc垂直于x’軸，該斜面上的應(yīng)力矢量為T。T在舊坐標(biāo)系下的三個分量為T1，T2

和T3

，則xyzz’x’y’TT1T2T3由斜面應(yīng)力(Cauchy)公式在新坐標(biāo)系下，T在新坐標(biāo)軸上的三個分量即為新系下該斜面上的三個應(yīng)力分量。因為簡寫同理統(tǒng)一的變換式可見：應(yīng)力分量在經(jīng)坐標(biāo)變換后，仍保持其對稱性統(tǒng)一的變換式數(shù)學(xué)上將滿足上式的一組量稱為二階張量，即決定一點應(yīng)力狀態(tài)的9個應(yīng)力分量是一個二階張量，稱為應(yīng)力張量§5-2主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變量已知一點的應(yīng)力分量，則任意斜截面上的應(yīng)力矢量斜截面上的應(yīng)力矢量T不僅與該點的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，且與斜面的方向有關(guān)。問：是否存在一特定的斜截面，其上應(yīng)力矢量T與截面法線同向。即T為該截面上的正應(yīng)力，而剪應(yīng)力為零。設(shè)斜截面法線方向余弦為：應(yīng)力矢量T在坐標(biāo)軸上的投影為：由斜面應(yīng)力(Cauchy)公式故或?qū)⑸鲜秸归_當(dāng)斜面法線方向滿足上述方程時，該斜面上只有正應(yīng)力，沒有剪應(yīng)力，稱該平面為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；主應(yīng)力方向（即主平面法線方向）稱為主方向。上述方程為的齊次線性方程組，且常數(shù)項都為零。因為：，故不能同時為零，所以方程組的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即將行列式展開，得到求解主應(yīng)力的三次方程，稱為應(yīng)力張量的特征方程。式中設(shè)特征方程的三個根為，則展開后有比較上兩式，有對一個給定的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力的大小和方向是確定的，不隨坐標(biāo)系的變換而變化。故是不隨坐標(biāo)系的變換而變化的量，稱為應(yīng)力張量不變量。（特征方程）

分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。

主應(yīng)力的重要性質(zhì)1.主應(yīng)力為實數(shù)；2.三個主應(yīng)力相互垂直；即物體內(nèi)任意一點，一定存在三個互相垂直的應(yīng)力主平面，及對應(yīng)的三個主應(yīng)力。（1）當(dāng)，有3個相互垂直的主應(yīng)力；（2）當(dāng)，與垂直的平面上的任意方向都為主應(yīng)力方向，即該平面上任意方向都是主方向，且應(yīng)力值相同。（3）當(dāng)，空間任意方向都是主方向，且應(yīng)力值相同。3.主應(yīng)力的極值性；（1）最大（或最?。┑闹鲬?yīng)力是相應(yīng)點處任意截面上正應(yīng)力的最大（或最?。┲担辉O(shè)：，則（2）絕對值最大（或最?。┑闹鲬?yīng)力是相應(yīng)點處任意截面上全應(yīng)力T的最大（或最?。┲??！?-3最大剪應(yīng)力將三個坐標(biāo)軸取在三個相互垂直的主應(yīng)力方向上，稱為應(yīng)力主軸。則應(yīng)力分量為：由斜面應(yīng)力公式，斜面上應(yīng)力矢量T的分量斜面上的正應(yīng)力：斜面上的剪應(yīng)力：教材93頁公式（3）有誤由

是m，n的函數(shù)，取極值（也取極值）的條件是即上式第一式除，第二式除，得（1）當(dāng)對應(yīng)主平面，其剪應(yīng)力為零。第二組解：第一組解：對應(yīng)于經(jīng)過主軸之一，而平分其他兩主軸夾角（與主平面成45°）的平面，設(shè)，最大剪應(yīng)力為：（2）兩主應(yīng)力相等，設(shè)由第二式，得方程的解為

表示通過oz軸的平面，該組平面上，剪應(yīng)力為零。

表示任一個與圓錐面相切的微分面。在該組面上剪應(yīng)力取最大值。（3）三個主應(yīng)力相等

空間任一方向都為主方向，即任一平面都是主平面，剪應(yīng)力均為零。

該應(yīng)力狀態(tài)稱為均勻受力狀態(tài)，也稱為靜水應(yīng)力狀態(tài)?！?-4應(yīng)力張量的分解描述一點應(yīng)力狀態(tài)的9個應(yīng)力分量構(gòu)成一個對稱應(yīng)力張量其中稱為應(yīng)力張量的分量。引入平均應(yīng)力則應(yīng)力張量可分解為兩個張量之和簡寫為式中稱為應(yīng)力偏量，為應(yīng)力球形張量，為單位張量。球形張量是代表各向均勻拉伸或壓縮的應(yīng)力狀態(tài)。

球形張量應(yīng)力（靜水應(yīng)力）作用下，物體只產(chǎn)生各向相同的線應(yīng)變而無剪應(yīng)變。對應(yīng)物體的體積改變，而形狀不變。應(yīng)力偏量代表各面正應(yīng)力中偏離靜水應(yīng)力的量，是正應(yīng)力之和為零的應(yīng)力狀態(tài)。該應(yīng)力狀態(tài)下，物體的體積不改變而形狀改變。靜水壓力實驗研究表明，在均