3.2用頻率估計(jì)概率課件北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)2用頻率估計(jì)概率數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)1.在實(shí)際生活中，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)，或各種可能出現(xiàn)

的結(jié)果發(fā)生的可能性不相同時(shí)，我們一般通過(guò)

?來(lái)估計(jì)

概率，即在相同的條件下，用

?試驗(yàn)所得到的隨機(jī)

事件發(fā)生的

來(lái)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率.2.一般地，大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件

A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某

個(gè)常數(shù)

P

，那么事件

A

發(fā)生的概率為

?.頻率

大量重復(fù)

頻率的穩(wěn)定值

P

（

A

）＝

P

頻率概率區(qū)別實(shí)驗(yàn)值或使用時(shí)的統(tǒng)計(jì)值理論值隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化確定的值聯(lián)系試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定于概率3.頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練

某商場(chǎng)有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓形轉(zhuǎn)盤(pán)（如圖）.規(guī)定：顧客

購(gòu)物100元以上可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止

時(shí)，指針落在哪一個(gè)區(qū)域就獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品（指針指向兩個(gè)

扇形的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形）.下表是活動(dòng)進(jìn)行中的

一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)

n

1001502005008001000落在“鉛筆”的次

數(shù)

m

68111136345544701落在“鉛筆”的頻

率

0.680.740.680.690.680.70（1）轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得一瓶飲料的概率約為

（結(jié)

果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；0.3

（2）經(jīng)統(tǒng)計(jì)該商場(chǎng)每天約有5000名顧客參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一瓶

飲料和一支鉛筆單價(jià)和為4元，支出的鉛筆和飲料的獎(jiǎng)品總費(fèi)用

是8000元，請(qǐng)計(jì)算該商場(chǎng)每支鉛筆和每瓶飲料的費(fèi)用；（3）在（2）的條件下，該商場(chǎng)想把每天支出的獎(jiǎng)品費(fèi)用控制

在6000元左右，則轉(zhuǎn)盤(pán)上“一瓶飲料”區(qū)域的圓心角應(yīng)調(diào)整

為

度.36

【思路導(dǎo)航】（1）由表格得知，當(dāng)落在“鉛筆”的次數(shù)增多

時(shí)，落在“鉛筆”的頻率逐漸穩(wěn)定，由頻率估計(jì)概率可知落在

“鉛筆”的概率，從而可得獲得一瓶飲料的概率；（2）根據(jù)獲

得一瓶飲料的概率和獲得一支鉛筆的概率，以及總費(fèi)用列出方

程求解；（3）設(shè)出圓心角，就可以得到獲得一瓶飲料的概率和

獲得一支鉛筆的概率，然后根據(jù)總費(fèi)用是6000元列出方程求解.（1）【解析】根據(jù)表格可知，轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得鉛筆的概

率約為0.7，∴轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得一瓶飲料的概率約為1－0.7＝0.3.故答案為0.3.

解得

x

＝1，則4－

x

＝4－1＝3.∴該商場(chǎng)每支鉛筆1元，每瓶飲料3元.

解得

n

＝36.即轉(zhuǎn)盤(pán)上“一瓶飲料”區(qū)域的圓心角應(yīng)調(diào)整為36度.故答案為36.【點(diǎn)撥】利用頻率估計(jì)概率時(shí)，切忌使用少量的某次試驗(yàn)的頻

率來(lái)估計(jì)，一定是用大量重復(fù)試驗(yàn)后的頻率的穩(wěn)定值來(lái)估計(jì).

1.一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個(gè)黑球、4個(gè)白球

和若干個(gè)紅球.每次攪勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回

袋中.通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于

0.4.由此可估計(jì)袋中有紅球

個(gè).8

2.二維碼具有儲(chǔ)存量大，保密性高，追蹤性高，抗損性強(qiáng)，備

援性大，成本便宜等特性.現(xiàn)今，二維碼已經(jīng)被各大廠

商使用開(kāi)發(fā).如圖是一張邊長(zhǎng)為5cm的正方形二維碼的示意圖，

在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑

色部分的頻率穩(wěn)定在0.7左右，由此可以估計(jì)該二維碼黑色部分

的總面積為cm2.17.5

【解析】∵通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色部分的頻率穩(wěn)

定在0.7左右，∴估計(jì)點(diǎn)落在黑色部分的概率為0.7.∴估計(jì)該二

維碼黑色部分的總面積為5×5×0.7＝17.5（cm2）.故答案為

17.5.

在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外都相同的黑、白兩種球共

40個(gè).小穎做摸球試驗(yàn)，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出

一個(gè)球并記下顏色，然后把它放回盒子中.不斷重復(fù)上述過(guò)程，

下表是試驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)

n

1002003005008001000摸到白球的次數(shù)

m

65124178302481599摸到白球的頻率

0.6500.6200.5930.6040.6010.599（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)

n

很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)穩(wěn)定于

?

（精確到0.1）；假如你從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，你摸到白球的概

率約為

（精確到0.1）.0.6

0.6

（2）試估算盒子里黑、白兩種球的個(gè)數(shù).（3）在（2）的條件下，若要使摸到白球的頻率為0.8，則需要

往盒子里再放入多少個(gè)白球？【思路導(dǎo)航】（1）利用頻率估計(jì)概率的方法，隨著試驗(yàn)次數(shù)的

增多，值越來(lái)越精確，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)便可得出結(jié)論；（2）白

球的個(gè)數(shù)＝球的總數(shù)×摸到白球的概率，再由“球的總數(shù)－白

球的個(gè)數(shù)＝黑球的個(gè)數(shù)”計(jì)算；（3）設(shè)需要往盒子里再放入

x

個(gè)白球，利用頻率與概率的關(guān)系建立方程求解即可.（1）【解析】由統(tǒng)計(jì)表可知，摸到白球的頻率在0.6上下波

動(dòng)，所以當(dāng)

n

很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)穩(wěn)定于0.6.根據(jù)“用

頻率估計(jì)概率”可知，隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到白球的概率約為0.6.

故答案為0.6，0，6.（2）解：盒子里白球約有40×0.6＝24（個(gè)），黑球約有40－

24＝16（個(gè)）.（3）解：設(shè)需要往盒子里再放入

x

個(gè)白球.根據(jù)題意，得24＋

x

＝0.8（40＋

x

）.解得

x

＝40.故需要往盒子里再放入40個(gè)白球.【點(diǎn)撥】解這類利用試驗(yàn)后的頻率值估計(jì)球的個(gè)數(shù)的基本方

法：通常先設(shè)出所求物體的數(shù)量，然后再根據(jù)頻率與概率的關(guān)

系建立方程求解.解答時(shí)容易由于沒(méi)有正確理解概率與頻率之間

的關(guān)系，不能正確地列出方程求解.

解得

x

＝1.經(jīng)檢驗(yàn)

x

＝1是原分式方程的解，且符合題意.故估計(jì)箱中白球有1個(gè).（1）估計(jì)箱中白球的個(gè)數(shù)；（2）小高同學(xué)從箱中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回箱中，搖勻

后再次伸手摸出一個(gè)球，求他獲得獎(jiǎng)品的概率.（2）（方法一）列表如下：第二次第一次紅1紅2紅3白紅1（紅1，紅

1）（紅1，紅

2）（紅1，紅

3）（紅1，

白）紅2（紅2，紅

1）（紅2，紅

2）（紅2，紅

3）（紅2，

白）第二次第一次紅1紅2紅3白紅3（紅3，紅

1）（紅3，紅

2）（紅3，紅

3）（紅3，

白）白（白，紅

1）（白，紅

2）（白，紅

3）（白，白）

（方法二）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球恰

好都是白球的結(jié)果有1種.

如圖，有一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面都是等邊三角形的正四面體骰

子，四個(gè)面上依次標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.小華想通過(guò)試驗(yàn)的方法

了解拋一次該骰子朝下一面的數(shù)字是3的概率有多大.于是他開(kāi)

始做試驗(yàn)，連續(xù)拋骰子，并記錄得到下表中的數(shù)據(jù)：（1）請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，將表格拓展資料完整（結(jié)果精確到

0.001）；拋骰子次數(shù)朝下一面的數(shù)字是3的

頻數(shù)朝下一面的數(shù)字是3的

頻率4080.20080220.275120290.242160410.256200520.2600.2000.2750.2420.2560.260拋骰子次數(shù)朝下一面的數(shù)字是3的

頻數(shù)朝下一面的數(shù)字是3的

頻率240600.250280690.246320800.2500.2500.2460.250

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表在圖中畫(huà)出折線統(tǒng)計(jì)圖；（3）從統(tǒng)計(jì)圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？（4）小華認(rèn)為正四面體骰子難找，想用別的替代物進(jìn)行模擬試

驗(yàn)，請(qǐng)你說(shuō)出一種方法.【思路導(dǎo)航】（1）利用頻率的計(jì)算公式，用朝下一面的數(shù)字是

3的頻數(shù)除以拋骰子的次數(shù)，即可得到朝下一面是3的頻率；

（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，由畫(huà)折線統(tǒng)計(jì)圖的步驟畫(huà)出圖形；

（3）觀察折線統(tǒng)計(jì)圖就會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)越多，所得到的

頻率越來(lái)越趨于穩(wěn)定，也就能反映這一事件的概率的大小；

（4）確保替代物與被替代物所產(chǎn)生的所有結(jié)果數(shù)相同，對(duì)應(yīng)事

件概率相等即可.（3）從折線統(tǒng)計(jì)圖中可以看出，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，頻率在

0.25上下波動(dòng)，所以可以把0.25作為朝下一面的數(shù)字是3的概率

的大小.解：（2）畫(huà)出的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（4）用標(biāo)有1，2，3，4點(diǎn)的四張撲克牌作為替代物進(jìn)行模擬試

驗(yàn).（答案不唯一）【點(diǎn)撥】（1）試驗(yàn)的次數(shù)越多，所得的頻率就越能反映事件概

率的大小.（2）頻數(shù)分布表、折線統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、直方

圖都能較好地反映頻數(shù)、頻率的分布情況，可以利用它們提供

的信息估計(jì)某一事件的概率.（3）利用替代物進(jìn)行模擬試驗(yàn)

時(shí)，首先要求替代物與被替代物所產(chǎn)生的所有可能的結(jié)果數(shù)相

同，且所有結(jié)果中的每一對(duì)對(duì)應(yīng)事件的概率相等；其次所選擇

的替代物不能比被替代物進(jìn)行試驗(yàn)更困難，替代物通常選用撲

克牌、轉(zhuǎn)盤(pán)、小球、骰子等.

2

（2）如果先隨機(jī)從口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一

球，試用樹(shù)狀圖或表格表示出所有等可能的結(jié)果，并求摸出的

球恰好是兩個(gè)白球的概率；（2）解：（方法一）畫(huà)樹(shù)狀圖（略圖）如下：