適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)重難點突破練一新人教A版必修第二冊

PAGE重難點突破練(一)重難點一平面對量的線性運算1.下列各式中,不表示向量的是 ()A.0·a B.a+bC.3|b| D.4a2.(多選題)已知向量a,b是兩個非零向量,在下列四個條件中,肯定能使a,b共線的是 ()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相異實數(shù)λ,μ,使λa-μb=0C.當x+y=0時,xa+yb=0D.已知梯形ABCD,其中=a,=b3.在△ABC中,=15,EF∥BC,EF交AC于點F,設(shè)=a,=b,則等于 ()A.-a+15b B.a-1C.23a-13b D.13a4.如圖,四邊形ABCD是一個梯形,∥且||=2||,M,N分別是DC,AB的中點,已知=e1,=e2,試用e1,e2表示下列向量.(1)=____________;

(2)=____________.

5.已知菱形ABCD的邊長為2,則向量-+的模為______,||的范圍是____________.

6.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜邊AB的中點,=a,=b.求證:(1)|a-b|=|a|;(2)|a+(a-b)|=|b|.7.已知△OAB中,點C是點B關(guān)于點A的對稱點,點D是線段OB的一個靠近B的三等分點,設(shè)=a,=b.(1)用向量a與b表示向量,;(2)若=45,求證:C,D,E三點共線.重難點二平面對量的數(shù)量積運算1.已知非零向量a,b滿意a=1,且a-b·a+b=12A.14 B.C.22 D.2.如圖,AB是半圓O的直徑,P是半圓弧上的點,M,N是AB的兩個三等分點,且AB=6,則·= ()A.3 B.4 C.6 D.83.已知向量a,b滿意|a|=5,|b|=4,|b-a|=61,則a與b的夾角θ= ()A.150° B.120°C.60° D.30°4.(多選題)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿意=2a,=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.a為單位向量B.a⊥bC.b∥D.4a+5.在平行四邊形ABCD中,與的夾角為2π3,=1,=2,=,則·=________.

6.在△ABC中,AB=6,AC=4,∠A=120°,=m+,則的最小值為________,若⊥,則m=________.

7.已知向量a,b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2,c=ma+3b.(1)當b⊥c時,求實數(shù)m的值;(2)當m=6時,求向量a和c的夾角.8.已知平面上三個向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角均為120°.(1)求證:(a-b)⊥c;(2)若ka+b+c>1(k重難點三平面對量基本定理與向量加、減、數(shù)乘的坐標表示1.已知a=(1,-1),b=(1,1),則32a-12b= (A.(1,-1) B.(1,-2)C.(2,-1) D.(2,-2)2.若向量a=(1,2),b=(0,1),且ka-b與a+2b共線,則實數(shù)k的值為 ()A.-1 B.-12 C.1 3.(多選題)已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),則 ()A.(a+2b)∥c B.(a+2b)⊥cC.|a+c|=10+34 D.|a+c|=2|b|4.如圖所示,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD為BC邊上的高,M為AD的中點,若=λ+μ,則λ+μ的值為 ()A.53 B.-12 C.12 5.已知在非平行四邊形ABCD中,AB∥DC,且A,B,D三點的坐標分別為(0,0),(2,0),(1,1),則頂點C的橫坐標的取值范圍是____________.

6.平面內(nèi)給定三個向量:a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2).(1)求6a+b-2c;(2)求滿意a=mb+nc的實數(shù)m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求實數(shù)k.7.如圖,在平行四邊形ABCD中,F是邊CD的中點,AF與BD交于點E,用向量方法證明:E為線段BD的三等分點.重難點四數(shù)量積的坐標表示1.向量a=(1,3),b=(3,1),則向量a+b與a-b的夾角為 ()A.π12 B.π6 C.π3 2.已知向量a=(3,1),b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=3,則b= ()A.32,12 B.12,32C.14,334 D.3.(多選題)已知向量a=(-3,2),b=(-1,0),則下列選項正確的有 ()A.(a+b)·b=4 B.(a-3b)⊥bC.|a-b|=2|b| D.a2=b2+4a·b4.已知向量a=(0,-23),b=(1,3),則向量a在向量b上的投影向量的坐標為 ()A.32,332 B.-32,3C.32,-332 D.-32,-35.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c滿意(c+a)∥b,c⊥(a+b),則c=________.

6.在△ABC中,∠A=45°,M是AB的中點,若|AB|=|BC|=2,D在線段AC上運動,則·的最小值為________.

7.已知=(4,0),=(2,23),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).(1)求·及在上的投影向量的模;(2)證明:A,B,C三點共線,并在=時,求λ的值;(3)求||的最小值.8.如圖,在矩形ABCD中,BC=3AB=6,E為AB的中點,F是BC邊上靠近點B的三等分點,AF與DE交于點G.設(shè)=a,=b.(1)求∠EGF的余弦值;(2)用a和b表示.重難點突破練(一)重難點一1.C0·a是向量的數(shù)乘運算,結(jié)果仍為向量,a+b是向量的加法,結(jié)果是向量,3|b|是實數(shù)不是向量,4a是向量的數(shù)乘運算,結(jié)果仍為向量.2.ABA.聯(lián)立2a-3b=4e和a+2b=-2e消去向量e可得出4a+b=0,所以b=-4a,且a≠0,所以a,b共線;B.因為a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,所以λ,μ都不為0,所以a=μλb,所以a,bC.當x=y=0時,滿意x+y=0,此時對隨意的向量a,b都有xa+yb=0,所以得不出a,b共線;D.因為AB與CD不肯定平行,所以得不出a,b共線.3.A因為=15,所以=-45.又因為EF∥BC,所以=15=15(-),所以=+=-45+15(-)=15-=-a+15b.4.【解析】(1)因為∥,||=2||,所以=2,=12.=+=e2+12e1.(2)=++=-12-+12=-14e1-e2+12e=14e1-e2答案:(1)e2+12e1(2)14e1-5.【解析】因為-+=++=,又因為||=2,所以|-+|=||=2.又因為=+,且在菱形ABCD中,||=2,所以|||-|||<||=|+|<||+||即0<||<4.答案:2(0,4)6.【證明】因為△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB.又M是斜邊AB的中點,所以CM=AM=BM.(1)因為-=,又||=||,所以|a-b|=|a|.(2)因為M是斜邊AB的中點,所以=,所以a+(a-b)=+(-)=+=+=,因為||=||,所以|a+(a-b)|=|b|.7.【解析】(1)因為=a,=b,所以=+=-a-b,=+=+13=+13(+)=2a+13(-a+b)=53a+1(2)因為=-=45(-b)+a+b=a+15b=35,所以與共線,又因為與有公共點C,所以C,D,E三點共線.重難點二1.C因為非零向量a,b滿意a=1,且a-b·a+所以a2-b2=12,b2=12,b=2.D·=(+)·(+)=-=8.3.B由|b-a|=61有b-a2=61?a2-2a·b+所以25-2×5×4cosθ+16=61,解得cosθ=-12.因為θ∈0故θ=120°.4.ACD△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿意=2a,=2a+b,則a=12,AB=2,所以a=1,即a是單位向量,A正確;由=2a,=2a+b得b=-2a=-=,故a,b的夾角為120°,故B錯誤;因為=+=2a+b,所以=b,C正確;4a+b·=4a·b+b2=4×1×2×cos120°+4=-4+4=0,故D正確.5.【解析】·=·=·=-+·-12·+12=-+12·+12=-1+12×2×1×cos2π3+12×22=12.答案:16.【解析】因為=m+,所以==m2+2m·+=62·m2+2×6×4×cos120°m+42=36m2-24m+16=36m-132+12≥12,所以≥23.若⊥,則·=0,即·=0,整理得:-m+m-1·+=0,所以-36m-12m-1+16=0,解得:m=答案:2377.【解析】(1)因為b⊥c,所以b·c=0,即b·ma所以ma·b+3b2=0,因為a·b=a·b·cos120°=1×2×-1所以-m+12=0,所以m=12.(2)當m=6時,c2=6a+3b2=36a2+36a·b+9b2=36,所以c=6,所以a·c=a·6設(shè)向量a與c的夾角為θ,則cosθ=a·cac=12,因為向量的夾角的范圍為0°≤θ≤180°,所以向量8.【解析】(1)因為向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角均為120°,所以a·b=b·c=c·a=-12所以(a-b)·c=a·c-b·c=0,所以(a-b)⊥c.(2)不等式ka+b+?k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因為a=b=c=1,a·b=b·c=a·c=-12,所以k2-2k>0,所以k>2或k<0,即k的取值范圍為{k|k>2或k<0}重難點三1.B因為a=(1,-1),b=(1,1),所以32a-12b=32,-2.B因為a=(1,2),b=(0,1),所以ka-b=k(1,2)-(0,1)=(k,2k-1),a+2b=(1,2)+2(0,1)=(1,4),因為ka-b與a+2b共線,所以4k-(2k-1)=0,解得k=-123.AD由題意可得a+2b=(-3,5),a+c=(4,-2).因為a+2b=-c,所以(a+2b)∥c,則A正確,B錯誤;對于C,D,因為|a+c|=42+(-2)2=25,b=(-2)2+14.D因為在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD為BC邊上的高,所以在△ABD中,BD=12AB=1.又BC所以BD=13BC所以=+=+13.因為M為AD的中點,所以=12=12+16.因為=λ+μ,所以λ=12,μ=16,所以λ+μ=5.【解析】當ABCD為平行四邊形時,則=+=(2,0)+(1,1)=(3,1),故滿意題意的頂點C的橫坐標的取值范圍是(1,3)∪(3,+∞).答案:(1,3)∪(3,+∞)6.【解析】(1)6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11).(2)因為a=mb+nc,m,n∈R,所以(3,2)=m(-1,3)+n(5,2)=(-m+5n,3m+2n).所以-m+5所以m=417,n=11(3)a+kc=(3+5k,2+2k),2b-a=(-5,4).又因為(a+kc)∥(2b-a),所以(3+5k)×4-(-5)×(2+2k)=0.所以k=-11157.【證明】設(shè)=a,=b,則=-=b-a,=+=+12=b+12a.因為點A,E,F與點B,D,E分別共線,所以存在實數(shù)λ,μ,使=λ,=μ,于是=λ2a+λb,=μb-μa.由于+=,所以(1-μ)a+μb=λ2a+λb.因為a與b不共線,所以1-μ=λ2,μ所以=23,所以點E為線段BD的三等分點.重難點四1.D設(shè)θ為a+b與a-b的夾角,因為a=(1,3),b=(3,1),則a+b=(1+3,1+3),a-b=(1-3,3-1),|a+b|=6+2,|a-b|=6-2,又cosθ=(a+b因為0≤θ≤π,所以θ=π22.B設(shè)b=(x,y),其中y≠0,則a·b=3x+y=3.由x2+即b=123.ABD由題意可知,對于A:因為a+b=(-4,2),所以(a+b)·b=-4×(-1)+2×0=4,故選項A正確,對于B:因為a-3b=(-3-3×(-1),2-3×0)=(0,2),所以(a-3b)·b=0×(-1)+2×0=0,所以(a-3b)⊥b,故選項B正確,對于C:因為a-b=(-2,2),所以|a-b|=(-2)2+22=22,2|b|=2·(-1)2+0對于D:因為a2=|a|2=(-3)2+22=13,b2+4a·b=|b|2+4a·b=(-1)2+02+4×[(-3)×(-1)+2×0]=13,所以a2=b2+4a·b,故選項D正確4.D向量a在向量b上的投影向量為a·b|b|·b|b|=-62·b5.【解析】設(shè)c=(x,y),則c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).因為(c+a)∥b,c⊥(a+b),所以2解得x即c=-7答案:-6.【解析】在△ABC中,∠BAC=45°,|AB|=|BC|=2,所以∠BCA=45°,∠ABC=90°,△ABC是等腰直角三角形,|AC|=22.如圖,以AC所在的直線為x軸,以AC的