2025屆高考數(shù)學(xué)二輪精講三角與向量第6講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示含解析

Page1第6講平面對量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)問與方法本專題主要學(xué)問為平面對量基本定理及坐標(biāo)表示,駕馭向量加法、減法、數(shù)乘對應(yīng)的坐標(biāo)運算.1.平面對量的基本定理假如是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的隨意向量,有且只有一對實數(shù),使.留意:（1）基底向量不唯一,關(guān)鍵是它們不共線;（2）利用定理可將任一向量在給出基底的條件下進(jìn)行分解;（3）當(dāng)基底給定時,分解形式唯一.2.平面對量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中,分別取與軸、軸方向相同的兩個不共線單位向量作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量,由平面對量基本定理知,有且只有一對實數(shù)使得,則把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo),記作.3.平面對量的坐標(biāo)運算(1)設(shè),則.(2)若,則.4.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè),則.典型例題【例1】設(shè)是兩個不共線的向量,已知,若三點共線,求的值.【分析】由于點共線,則有,將用向量表示,由平面對量基本定理得到關(guān)于的方程組,求出的值.更高更妙的百題講壇中學(xué)數(shù)學(xué)(三角與向量)N【解析】因為,由題意,設(shè),則.由平面對量基本定理知,所以.【點睛】本題由三點共線得到,其實還可以得到或(為常數(shù)),但不能得到(為常數(shù)).若,則只能說明向量共線,它包含與所在的直線平行與重合兩種狀況.【例2】設(shè)向量不共線,則關(guān)于的方程解的狀況是（）A.至少有一個實數(shù)解B.至多有一個實數(shù)解C.至多有兩個實數(shù)解D.可能有多數(shù)個實數(shù)解【分析】待求的式子是個向量等式,不是關(guān)于的一元二次方程,將向量看作基底,等式變形為,故系數(shù)存在且唯一.【解析】將等式變形為,因為向量不共線,所以由平面對量基本定理知,有且只有一對實數(shù),使成立,因此,故選B.【點睛】本題很有創(chuàng)意,它的題眼是兩個向量不共線,此類問題常要運用平面對量基本定理加以解決.專題6平面對量的基本定理及坐標(biāo)表示【例3】已知向量,求實數(shù)的值.【分析】先求出向量的坐標(biāo),再依據(jù)共線向量條件確定的值.【解析】解法1：由已知得,因為,所以存在使得,即,則解得所以.解法2：因為,且,所以,因此.【點睛】解法2運用了向量平行的坐標(biāo)表示,留意此時不要把錯記為或.【例4】(多選題)如圖,設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸,分別是與軸、軸正方向同向的單位向量,則稱平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系.若,則把有序數(shù)對做向量的仿射坐標(biāo),記為.在的仿射坐標(biāo)系中,設(shè),則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在上的投影向量為【分析】本題是斜坐標(biāo)系問題,斜坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系不同(直角坐標(biāo)系為正交分解),解題的關(guān)鍵在于緊扣新定義,進(jìn)行向量的相關(guān)計算.其中在上的投影向量為.【解析】對于選項,則,故選項A正確;對于選項,故選項B正確;對于選項,故選項錯誤;對于選項D,由于,故在上的投影向量為,故選項D正確.故選ABD.【點睛】本題是新定義問題,解題的關(guān)鍵在于緊扣新定義,進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算、模的計算、向量在上的投影向量的計算以及向量的數(shù)量積的計算.【例5】如圖,在同一個平面內(nèi),已知向量的模分別為,與的夾角為,且與的夾角為.若,則_____.【分析】本題入ロ比較寬,解法多樣,可以采納坐標(biāo)法求解,也可在等式的兩邊分別乘以,進(jìn)而得到關(guān)于的二元一次方程組,解出,或者將分解到兩個方向上求解.【解析】解法1：以所在直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則有.因為,所以.又,所以有,即.因為,所以,即解得.解法2：如圖,由得.依據(jù)向量的分解得即解得故.解法3：因為,所以,即所以解得.解法4：過點作,分別交線段的延長線于點,則.由正弦定理可得.又,由解法3知,得.則.因為,所以.故.【點睛】明確兩個向量相等的充要條件,它們的對應(yīng)坐標(biāo)相等,其實質(zhì)為平面對量基本定理的應(yīng)用.依據(jù)向量的數(shù)量積公式得到關(guān)于的方程組,解出.【例6】如圖,在中,已知若,用表示.(2)設(shè),求的取值范圍.【分析】本題是平面對量基本定理的應(yīng)用.在第(1)問中,是邊的三等分點,不難用,表示;第(2)問可用表示,結(jié)合三點共線,其關(guān)向量的系數(shù)和為1,得到關(guān)于的表達(dá)式進(jìn)行求解.【解析】（1）因為,所以.所以.(2)因為,所以.又,所以.又三點共線,所以.又,所以,即.故的取值范圍是.【例7】設(shè)為的重心,過點作直線,分別交線段(不與端點重合)于點.若.(1)求的值.(2)求的取值范圍.【分析】先用基底表示,視察到點共線,轉(zhuǎn)而用表示,從而得到關(guān)于的等式.利用第(1)問中的關(guān)系式,采納消元法可求的取值范圍.【解析】解法1：(1)如圖,連接并延長,交于點,則是的中點.設(shè),則又(2),所以.因為三點共線,故存在實數(shù),使,所以,則消去得,即.解法2：(1)因為,所以.又三點共線,所以,即.（2）因為,所以,所以,即.,其中,當(dāng)時,有最大值;當(dāng)或2時,有最小值2.所以的取值范圍是.【點睛】連接并延長,交于點,則是的中點.設(shè),依據(jù),用表示,然后由三點共線求解.對于特別狀況,如當(dāng)直線與平行時,,則.【例8】已知平面單位向量滿意,求的最小值.【分析】由可知與的夾角,將變?yōu)?這樣就出現(xiàn)的系數(shù)1的和為1,然后利用三點共線求解;或者將所求式子平方,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù),求最小值.【解析】解法1：設(shè),令.平面單位向量滿意,即構(gòu)成等邊三角形.作,得到Rt,由題意可得三點共線.所以的最小值為.解法2：已知平面單位向量滿意,則由向量的減法意義得構(gòu)成等邊三角形,則.所以|,即的最小值為1.【點睛】向量的模常用平方解決,對于三點共線,點到直線的距離,可用其幾何意義解決.【例9】如圖,在扇形OAB中,已知∠AOB=120°,點C為圓弧AB上的一個動點.若,則【分析】本題利用平面對量基本定理求解的取值范圍.做題時要尋求與動點在方向上的分解關(guān)系,可利用正弦定理和余弦定理,建立坐標(biāo)系、等和線的方法解題.【解析】解法1：(正弦定理)過點作,交于點,作,交于點,則,即.設(shè)扇形所在圓的半徑為1,在中,.記,由正弦定理可得,即,所以,所以.解法2：(向量平方與余弦定理)設(shè)扇形所在圓的半徑為1,將的等號兩邊平方得,即,則.(判別式)令,代人,消去可得,則.又,所以.（基本不等式）,即，故,則.又,所以.(三角換元),即.令,則.故.又,所以.解法3(坐標(biāo)法)以所在直線為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,則,其中.所以則.故.解法4(等和線法)設(shè)交于點.由點從點到點運動的過程可得.又三點共線,則.【例10】設(shè)點在內(nèi),且,則與的面積之比為_____.【分析】要求兩個三角形的面積之比,關(guān)鍵是確定點的位置.解法1采納補(bǔ)形法,若記,則,可知點為的重心,利用重心相關(guān)性質(zhì)解決;解法2將拆分為,分別和配對,從而找出點的詳細(xì)位置;解法3利用奔馳定理解決.【解析】解法1：將延長至點,使,將延長至點,使,則,所以是的重心.所以,故.解法化為.解法2：分別取的中點,則.故,,,所以.解法3（奔馳定理）設(shè)的面積分別記作,則.因為,所以.【點睛】三角形重心將一個三角形面積分成相等的三部分,解答的關(guān)鍵是三角形面積公式的運用.【例11】已知是平面上的定點,.是平面上不共線的三個點,動點滿意,則點的軌跡肯定通過的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【分析】解本題須要扎實的平面幾何學(xué)問,重心是三角形中線的內(nèi)分點,所分中線的比為.【解析】設(shè)的中點為,則由平行四邊形法則可知,點在的中線所在的射線上,所以動點的軌跡肯定通過的重心.故選C.【點睛】在解題的過程中,將平面對量的有關(guān)運算與平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)學(xué)問奇妙結(jié)合.強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知非零向量和不共線.(1)假如,證明:三點共線.(2)要使和共線,試確定實數(shù)的值.【解析】(1).所以與共線,且有公共點,因此三點共線.（2）因為與共線,所以存在使,則.因為與不共線,所以解得.2.設(shè)是已知的平面對量且,關(guān)于向量的分解,有如下四個命題.(1)給定向量,總存在向量,使;(2)給定向量和,總存在實數(shù)和,使;(3)給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實數(shù),使;(4)給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使.上述命題中的向量和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】【解析】由向量加法的三角形法則可知①是真命題;由平面對量的基本定理可知②是真命題;以的終點為圓心作半徑為的圓,這個圓必需和向量有交點,這個不肯定能滿意,所以③是假命題;利用向量加法的三角形法則,結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊,即必需,如當(dāng)時,不成立,所以④是假命題.3.設(shè)向量,且,則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為向量,且,所以,得.4.如圖,設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸,分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若,則把有序數(shù)對叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).假設(shè),則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依據(jù)題意,若,則,,故.5.如圖,已知平面內(nèi)有三個向量,其中與的夾角為與的夾角為,且,.若,則的值為_____.【答案】6【解析】以為對角線構(gòu)造平行四邊形,點分別在射線上.因為與的夾角為與的夾角為,則.因為,所以,故.6.在中,設(shè),試用表示.【解析】解法設(shè),因為,所以,因為,所以,即.同理,,因為,所以,即,解得.故.解法2：因為,三點共線,所以.又因為三點共線,所以,解得.故.7.已知是的邊的中點,過點作直線,與分別交于點,且,則的最小值是_____.【答案】2【解析】因為所以.又三點共線,所以,即所以.當(dāng)時,有最小值2.(特別狀況當(dāng)與重合時,,也可求解)8.已知向量滿意.若,當(dāng)時,的取值范圍是_____.【答案】【解析】設(shè).令,則點在線段上.表示單位圓上的點與線段上的點的距離,如圖.又,所以.所以.9.在矩形中,已知,動點在以點為圓心且與相切的圓上.若,則的最大值為（）A.3B.C.D.2【答案】【解析】解法1：如圖,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的方程是.所以.設(shè),即,又在圓上,則圓心到直線